Лабораторная работа №11 - mpei.ru · 2018-09-02 · 16 ЛАБОРАТОРНАЯ...

15

Оглавление

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 ........................................................................ 16

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 ....................................................................... 26





ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10 ..................................................................... 58






ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 18 ................................................................... 100









16

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ С ПОМОЩЬЮ

ЭЛЕКТРОЛИТИЧЕСКОЙ ВАННЫ

Цель работы — приобретение навыков по экспериментальному исследованию

электростатического поля заряженных тел различной конфигурации и описание его с по-

мощью эквипотенциальных силовых линий.

В данной работе требуется с помощью опытов выявить расположение эквипотен-

циалей нескольких типов полей и далее перейти к построению картины силовых линий.

Введение

Электростатическое поле характеризуется в каждой точке простран-

ства вектором напряженности поля Е

и потенциалом .

Напряженность поля равна qFЕ /

, где F

— сила, действующая на

неподвижный точечный положительный заряд q, находящийся в данной

точке поля.

Разность потенциалов равна qА /2121 , где А1-2 — работа, со-

вершаемая силами поля при перемещении точечного положительного заряда

q по произвольному пути из точки 1 в точку 2. Если положить потенциал ка-

кой-либо точки поля равным нулю, то потенциалы всех прочих точек поля

определятся однозначно. Тогда потенциал данной точки поля будет числен-

но равен работе, совершаемой силами поля при перемещении единичного

положительного точечного заряда из данной точки в ту, где значение потен-

циала условно принято за нуль. В общем случае напряженность и потенциал

меняются от точки к точке.

Поскольку

2

1

21 d

qEА , между напряженностью и потенциалом по-

лучается следующая интегральная зависимость:

2

1

21 d

E .

Для однородного поля ( constЕ

) эта формула приобретает вид

( 21 E — перемещение). Если поле неоднородно, то около любой

точки В можно выбрать настолько малые перемещения

, что поле в пре-

делах этих перемещений можно считать однородным. Тогда

17

EEЕЕВ cos)( ,

где — изменение потенциала при смещении из точки В на

, а Е —

проекция вектора Е

на направление смещения

. Из последнего равенства

имеем

Е . (1)

Соотношение (1) позволяет находить проекцию напряженности поля

на любые направления в произвольной точке В, если известны значения по-

тенциалов в окрестности этой точки. В общем случае при бесконечно малых

перемещениях формула (1) выражает дифференциальную связь между Е и

в каждой точке поля

d

dЕ . Знак минус указывает на то, что в направ-

лении вектора Е

потенциал убывает.

Графически электростатическое поле изображается силовыми линия-

ми и эквипотенциальными поверхностями (рис. 1,а). Направление силовых

линий совпадает в каждой точке поля с направлением вектора Е

.

1. Описание установки и метода измерений

Эквипотенциальная поверхность является геометрическим местом то-

чек с одинаковым потенциалом. Если заряд перемещается в направлении

, перпендикулярном к силовой линии, т.е. к вектору Е

, то 0Е и

= const.

Следовательно, во всех точках кривой, расположенной нормально к

силовым линиям, потенциал одинаков, т.е. эквипотенциальные поверхности

везде нормальны к силовым линиям. Теорема Гаусса позволяет наглядно

представить электрическое поле густотой силовых линий.

Проведем в пространстве произвольный малый замкнутый контур L и

через каждую его точку построим электрическую силовую линию (рис. 1,б).

Эти силовые линии образуют трубчатую поверхность, называемую силовой

трубкой. Рассмотрев замкнутую поверхность силовой трубки, по теореме

Гаусса, получим условие constES вдоль силовой трубки. Это условие

аналогично для жидкости, текущей по трубке переменного сечения S, а

именно constSυ , где — скорость течения жидкости. Очевидно, что в

местах с большей напряженностью поля, силовые линии гуще, а число сило-

вых линий через площадку S пропорционально напряженности поля. По-

скольку поверхность проводника эквипотенциальна, то вектор Е

направлен

к ней по нормали. Величина напряженности Е

вблизи поверхности заря-

18

женного проводника (электрода) связана с поверхностной плотностью заря-

дов на этом проводнике соотношением nЕ0 , nE — проекция вектора

Е

на направление внешней нормали к поверхности электрода. С учетом

формулы (1) получим

n

0 , (2)

где — изменение потенциала при смещении на малое расстояние n

по нормали к проводнику.

а) б) Рис. 1

Наиболее удобно описывать электрическое поле с помощью плоского

графического изображения. Проводятся только те силовые линии, которые

лежат в плоскости чертежа. Эквипотенциальные поверхности изображаются

линиями их пересечения с плоскостью чертежа. Эти линии называются эк-

випотенциалями. На рис. 1,а пред-ставлена система силовых линий (сплош-

ные линии) и эквипотенциалей (штриховые линии) для поля, созданного

равномерно заряженными плоскостью и сферой. Так как система эквипотен-

циалей определяет значение потенциала во всех точках поля, то по формуле

(1) можно рассчитать Е в произвольной точке поля, а по формуле (2) — ве-

личину в произвольной точке электрода.

Аналитический расчет электростатических полей при сложной конфи-

гурации электродов представляет большие трудности и для ряда случаев не-

выполним. В то же время при конструировании электронных, ионных и

многих других приборов очень важно знать характер распределения поля

между электродами сложной формы. Поэтому эту задачу решают либо на

ЭВМ, либо экспериментально.

В основе данной работы лежит метод моделирования электростатиче-

ского поля. Сущность этого метода заключается в замене электростатиче-

ского поля неподвижных зарядов полем стационарного тока в слабопрово-

+ – S

1 S

2

S

3

1n

2n

3n

L

19

дящей среде. С этой целью в электролит с малой удельной проводимостью

погружают электроды и прикладывают к ним разность потенциалов. Форма

и взаимное расположение электродов должны быть такими же, как форма и

расположение заряженных тел, создающих изучаемое электростатическое

поле. Теоретический анализ показывает, что в этом случае существует ана-

логия между распределением потенциалов в поле тока в однородной слабо-

проводящей среде и в электростатическом поле.

Закон Ома в дифференциальной форме Ej

связывает плотность то-

ка j

и напряженность поля E

в одной и той же точке. Можно показать, что

если проводящая среда однородна (проводимость не зависит от координат),

то в наиболее интересных случаях, поле E

в проводящей среде совпадает с

полем стE

, которое существовало бы между данными электродами, если бы

между ними было то же напряжение, что и при наличии тока, а вместо прово-

дящей среды был бы вакуум. Отсюда следует, что в однородной проводящей

среде силовые линии электростатического поля совпадают с линиями тока j

.

Покажем это расчетом. Из уравнения непрерывности t

j

div , где

(x, y, z) — объемная плотность зарядов в среде, и закона Ома в дифференци-

альной форме, при условии = 0 следует, что поле E

в проводящей среде

удовлетворяет тому же уравнению, что и электростатическое поле стE

в ваку-

уме 0div ст E

, при отсутствии объемных зарядов ( = 0).

Необходимы также одинаковые условия на границе электродов для сов-

падения полей E

и стE

. Расчет показывает, что если удельная проводимость

электролита много меньше, чем проводимость электродов, то электроды (про-

водники) будут иметь во всех точках практически один и тот же потенциал, и

силовые линии электрического поля внутри проводящей среды будут нор-

мальны к поверхности электродов, как и в электростатическом поле. Это

следует из равенства нормальных к поверхности раздела сред составляющих

векторов плотности тока, т.е. nn jj 21 . Последнее равенство означает пре-

ломление линий электрического тока на поверхности раздела проводников,

причем 2121 /tg/tg , где 1, 2 — углы между линией тока в средах 1,

2 и нормалью к поверхности раздела; 1, 2 — проводимости сред 1, 2. Рас-

суждения о тождественности электростатического поля в непроводящей среде

(вакуум, диэлектрик) и поля постоянного тока в слабопроводящей среде ста-

новятся особенно понятны, если рассматривать диэлектрик как предельный

случай среды с малой удельной проводимостью. Для большей простоты экспе-

римента проводят исследование так называемого плоского поля, не зависящего

от одной из трех координат, например z. В таком поле потенциал постоянен

вдоль любой вертикальной линии. В этом случае для изучения распределения

20

потенциала используют вертикальные тонкие металлические стержни — зон-

ды, вводимые внутрь поля. Такие зонды не искажают плоское поле.

Для изучения модели электрического поля на рис. 2 представлена уста-

новка, состоящая из ванны 1 с электролитом (водопроводной водой), элек-

тродов Э1 и Э2, зонда 3, индикаторного прибора ИП, переменных сопротив-

лений R1 и R2, пантографа 2 и источника переменного напряжения U.

Применение переменного напряжения* удобно для проведения измерений, а

также позволяет избежать поляризации электродов, приводящей к искажению

поля. При постоянном токе происходил бы процесс электролиза и на элек-

тродах выделялись бы составные части электролита. В результате напряже-

ние между электродами в течение измерений менялось бы и измерения были

бы менее точными. (* Переход на переменный ток низкой частоты (v = 50

Гц) не изменяет расположение эквипотенциалей, так как длина волны , со-

ответствующая переменной разности потенциалов /с

м10650/103 68 намного больше расстояния между электродами (0,2 –

0,3 м). Поэтому можно считать, что потенциал во всех точках поля изменя-

ется одновременно.)

Рис. 2

1

2

3

Э1, Э2

R1

R2

ИП

В

С

D

A

21

Рис. 3

Электрическая схема ванны изображена на рис. 3. Такого рода схема называ-

ется мостом. Участок СD с сопротивлениями R1 и R2 образуют одну из ветвей

моста, другая ветвь образована сопротивлением электролита между электро-

дами Э1 и Э2. Участок СD представляет собой потенциометр, который с по-

мощью расположенной на нем шкалы разделен на 10 частей. В диагональ

моста АВ между зондом и движком потенциометра А включен индикатор-

ный прибор ИП (см. рис. 2), ДДД в качестве которого используется осцил-

лограф. Если, не изменяя потенциала точки А, перемещать зонд, то можно

найти такую точку В в поле, потенциал которой равен потенциалу точки A

(В = А). Равенство этих потенциалов устанавливают с помощью осцилло-

графа. Разберем этот вопрос подробнее. От блока питания БП переменное

напряжение подается на точки С и D потенциометра, на электроды Э1 и Э2 и

на горизонтально отклоняющие пластины трубки осциллографа (вход X).

На вход Y переменное напряжение подается с точек А и В (рис. 3). Предпо-

ложим, зонд находится в такой точке В исследуемого поля, для которой В =

А. В этом случае на вход Y осциллографа напряжение не поступает, верти-

кальное отклонение луча отсутствует. На горизонтально отклоняющие пласти-

ны (на вход X) постоянно подается переменное напряжение, заставляющее

электронный луч перемещаться по экрану осциллографа то вправо, то

влево, прочерчивая на нем горизонтальную прямую.

Если передвинуть зонд в другую точку поля, для которой В А, то картина

на экране изменится. Пусть при этом положении зонда для положительного

полупериода питающего напряжения выполняется условие BA (положи-

тельным условно назовем полупериод, для которого CD ). Под действием

горизонтально отклоняющих пластин луч начинает движение вправо. Но те-

перь на вход Y через усилитель подается сигнал, пропорциональный вели-

22

чине BA , под воздействием которого луч смещается вверх. В течение

отрицательного полупериода ( DC ) луч будет скользить одновре-

менно влево и вниз. В результате на экране вместо горизонтальной ли-

нии появится наклонная прямая, угол наклона которой будет тем

больше, чем дальше находится зонд от точек поля, где BA . Если

предположить, что BA , то правый конец прямой отклоняется вниз, а

левый вверх.

Следовательно, только в точках поля, удовлетворяющих условию

BA , прямая на экране горизонтальна. Пользуясь этим критерием,

можно выявить все точки поля, в которых потенциал одинаков и равен потен-

циалу точки А. Определив эту эквипотенциальную кривую, с помощью движ-

ка потенциометра изменяют потенциал точки А и аналогичным образом нахо-

дят новую эквипотенциаль.

Найдем связь между положением движка и потенциалом точки А. При

условии BA ток через сопротивления R1 и R2 будет одинаков, и

напряжение U, подаваемое на диагональ моста СD, делится на участках СА и

АD в отношении R1/R2. Если условно принять потенциал точки С (электро-

да Э1) равным 0, то потенциал точки D (электрода Э2) будет равен

CDU , т.е. UD . Тогда потенциал точки А определится из соотно-

шения

21 // RRADCA

или, учитывая, что 0C и UD , получаем

21

1

RR

RUA

.

Величина (R1+R2) является полным сопротивлением потенциометра. Так

как потенциометр разделен шкалой на 10 частей, то, установив движок на

отметку «1», получим отношение 1,021

1 RR

R и UA 1,0 .

Следовательно, значения потенциалов точек находят по формуле

NU

AB10

, (3)

где N — число делений потенциометра.

Значение U определяют по вольтметру блока питания. При данном по-

ложении движка А находят совокупность точек равного потенциала, т. е.

23

эквипотенциаль. Изменяя положения движка и тем самым меняя R1/(R1+R2),

находят серию эквипотенциалей, соответствующих U1,01 ; U2,02 и

т.д. Величина U не влияет на картину поля. Так, в частности, эквипотен-

циаль 0,1U остается на одном и том же месте при U =10 B и U=20 В.

Только в первом случае абсолютное значение потенциала на ней будет 1 В,

во втором — 2 В.

Положение точек равного потенциала фиксируют на миллиметровой

бумаге с помощью пантографа (см. рис. 2). Пантограф — прибор, служащий

для копирования рисунков с изменением или без изменения масштаба ориги-

нала. Система рычагов на шарнирах обеспечивает перемещение иглы (каран-

даша) по бумаге. При движении зонда вдоль эквипотенциали на поверхности

воды карандаш отмечает ряд точек, повторяя форму эквипотенциали на бу-

маге. Масштаб изображения определяют как отношение длин плеч рыча-

гов.

2. Порядок выполнения работы

1. Электроды устанавливают в ванне так, чтобы они выступали из воды на 2

– 3 мм.

2. Укрепив на столе пантографа лист миллиметровки, отмечают на ней по-

ложение электродов. Для этого, обязательно отключив напряжение U,

приближают зонд вплотную к электроду и с помощью пантографа отме-

чают на бумаге несколько точек. По ним проводят линию, изображаю-

щую пересечение электрода с поверхностью воды.

3. Включают источник питания БП, устанавливают напряжение 10 — 20 В и

записывают значение U.

4. Наблюдают за изображением на экране осциллографа. Фактически в силу

особенностей электрической схемы вместо прямой на экране виден эл-

липс. Однако все сказанное об ориентации этой прямой справедливо для

большой оси эллипса. Величину оси эллипса регулируют ручкой «Уси-

ление» осциллографа. Добиваются расположения эллипса в центре экрана

с помощью ручек «смещ. X», «смещ. Y». Остальные ручки осциллографа

влияния на изображение не оказывают.

5. Снимают картины 2 — 3 полей (форма и расположение электродов за-

даются преподавателем). Для этого устанавливают движок потенцио-

метра так, чтобы потенциал зонда составлял 0,1U (или 0,2U). Перемещая

зонд, с помощью пантографа отмечают карандашом на бумаге точки, со-

ответствующие данной эквипотенциали. Точки отмечают для тех поло-

жений зонда, при которых прямая (или большая ось эллипса) занимает

горизонтальное положение.

24

6. Повторяют действия п. 5 для других эквипотенциалей через каждые

0,1U (0,2U). Для этого перемещают движок на одно (два) деление

вдоль всего потенциометра.

3. Обработка результатов измерений

1. Снимают лист миллиметровки и по найденным точкам прочерчивают

эквипотенциали, для каждой из них отмечая соответствующее ей зна-

чение потенциала в долях U (см. формулу (3)).

2. Проводят силовые линии нормально к эквипотенциалям, в том числе и

к электродам: поверхность одного из электродов разбивают с равным

шагом и далее по нормалям из этих точек проводят искомые силовые

линии.

3. По экспериментальным точкам строят график зависимости потенциа-

ла от расстояния по произвольному направлению ( ) для двух слу-

чаев: поля двух цилиндров, поля двух плоскостей (или для любой дру-

гой формы электродов, указанной преподавателем). За начало отсчета

расстояния принять электрод с нулевым потенциалом.

4. Строят график зависимости проекции напряженности E на произволь-

ное направление от для одного из типов полей.

5. Вычисляют по формуле (2) поверхностную плотность заряда в произ-

вольной точке электрода; находят из графической картины поля

как разность потенциалов этого электрода и ближайшей к нему экви-

потенциали. Величину выражают в вольтах в соответствии с фор-

мулой (3). Значение n определяют с учетом масштаба изображе-

ния.

Дополнительное задание:

1. Построить график зависимости значения вектора Е

от вдоль произ-

вольного направления.

2. Построить график распределения по длине плоского электрода. Проду-

мать, как, пользуясь этим графиком, найти заряд электрода q.

3. Определив напряженность поля вблизи поверхности электродов, найти

графически поток вектора E

через замкнутые поверхности S, окружаю-

щие эти электроды.

4. В предположении, что между электродами — вакуум, найти заряд, нахо-

дящийся на поверхности электрода. В расчетах использовать теорему

Гаусса.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение напряженности, разности потенциалов, потенциала

электрического поля.

25

2. Какова интегральная и дифференциальная связь между напряженностью

и потенциалом?

3. Что называется силовой линией, эквипотенциальной поверхностью, эк-

випотенциалью? Каково их взаимное расположение?

4. Какова электрическая схема установки?

5. Объясните принцип работы установки; чему равен потенциал точки поля,

если ось эллипса горизонтальна?

6. Каковы особенности структуры поля вблизи поверхности проводника?

7. Каковы физические условия возможности замены электростатического поля

неподвижных зарядов электрическим полем стационарного тока?

8. Объясните, чему равны напряженность поля и потенциал внутри исследуе-

мых проводников?

9. В какой части поверхности проводника поверхностная плотность зарядов

максимальна?

Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. — М.: Высш. школа, 2000,

§ 13.3; 13.4; 14.1.

26

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЕМКОСТИ КОНДЕНСАТОРА БАЛ-

ЛИСТИЧЕСКИМ ГАЛЬВАНОМЕТРОМ

Цель работы — экспериментальное определение электрической емкости конден-

саторов.

Введение

Электрическая емкость конденсатора равна отношению его заряда q к

разности потенциалов между обкладками

U

qqС

21

. (1)

При соединении двух или нескольких конденсаторов в батарею ее

электроемкость зависит от способа их соединения. При параллельном со-

единении конденсаторов общая электрическая емкость

n

iin CСCCC

121пар ... . (2)

Электроемкость батареи Спосл из последовательно соединенных кон-

денсаторов определяется выражением

n

i in CСССС121посл

11...

111. (3)

Для определения электрической емкости С достаточно измерить заряд

конденсатора q при известной разности потенциалов U.

1. Описание экспериментальной установки и метода измерений

Заряд конденсатора измеряют с помощью баллистического гальвано-

метра. Баллистический гальванометр относится к приборам магнитоэлек-

трической системы. Его схематичное устройство показано на рис. 1. Между

полюсами постоянного магнита N,S, имеющими цилиндрическую форму,

неподвижно закреплен стальной цилиндр. В зазоре возникает однородное

радиально направленное магнитное поле. Между полюсами магнита и ци-

линдром может свободно вращаться рамка 1 с обмоткой из тонкой проволо-

27

ки, подвешенная на металлической или кварцевой нити 2. Для отсчета углов

поворота рамки служит зеркальце 3, на которое падает свет от осветительно-

го устройства. После отражения от зеркальца, свет попадает на прозрачную

шкалу.

Рис. 1

Баллистический гальванометр используется для измерения заряда q,

время протекания которого через обмотку подвижной рамки мало по срав-

нению с периодом Т собственных колебаний рамки ( T ). Баллистиче-

ский гальванометр отличается от обычных зеркальных гальванометров уве-

личенным значением момента инерции I его подвижной системы. Если через

гальванометр пропустить кратковременный импульс тока, то на рамку в

каждый момент времени будет действовать вращающий момент М, обуслов-

ленный взаимодействием тока i с магнитным полем: iМ , где — коэф-

фициент пропорциональности; i — мгновенное значение тока. Благодаря

большому моменту инерции рамка за малое время практически не успевает

выйти из положения равновесия, но она приобретает угловую скорость 0 и,

следовательно, кинетическую энергию 2

20I . Рамка начинает поворачивать-

ся по инерции с начальной скоростью 0 и закручивает нить. В момент

остановки рамки вся кинетическая энергия вращательного движения пере-

28

ходит в потенциальную энергию закрученной нити 2

2

1mD , где D — посто-

янная кручения нити; m — максимальный угол отклонения рамки:

22

220 mDI

,

откуда

D

Im 0 . (4)

Угловую скорость 0 можно найти из уравнения динамики враща-

тельного движения: Mt

I

d

d или tiI dd .

После интегрирования

00

dd0

tiI с учетом

0

d qti получим

qI 0 , (5)

где q — заряд, прошедший через рамку за время . Из уравнений (4) и (5)

mm BIDq / . На опыте измеряют отклонение светового пятна не в

углах, а в делениях шкалы n. Тогда заряд q определяется по формуле

q = Сб n, (6)

где Сб — баллистическая постоянная, численно равная количеству заряда,

вызывающего максимальный отброс на одно деление шкалы, если шкала

круговая с центром, совпадающим с осью вращения рамки. Если шкала пря-

молинейная, то n прямо пропорционально φ. В этом случае необходима гра-

дуировка шкалы гальванометра. Для этого через гальванометр пропускают

заряд qэ конденсатора известной электрической емкости Сэ (эталона) при

различных значениях разности потенциалов U и измеряют отклонение све-

тового пятна в делениях шкалы n.

Заряд qэ определяют из формулы (1):

UCq ээ . (7)

29

Строят градуировочный график )(э nfq , по которому находят заряд q не-

известного конденсатора по измеренному отклонению (n) рамки гальвано-

метра.

Электрическую емкость конденсаторов вычисляют по формуле (1).

Схема экспериментальной установки показана на рис. 2, где БП —

блок питания, Г — баллистический гальванометр, В — вольтметр, К —

двойной переключатель. В положении I переключателя (К) конденсатор С

заряжается; при переводе переключателя в положение II конденсатор разря-

жается через гальванометр. В этот момент измеряют максимальное отклоне-

ние светового пятна n по шкале.

30

Рис. 2


1. Собирают схему согласно рис. 2, включая эталонный конденсатор Сэ.

2. С помощью ручки, расположенной на панели блока питания (БП), уста-

навливают разность потенциалов 4 — 5 В, измеряя ее вольтметром (В).

3. Заряжают конденсатор, установив переключатель (К) в положение I.

4. Переводят переключатель (К) в положение II и измеряют отброс светово-

го пятна по шкале гальванометра — n.

5. Повторяют измерения пп. 2 — 4, изменяя разность потенциалов U на 1В

до такого значения (10 — 14 В), при котором n будет максимально воз-

можным в пределах шкалы. Результаты измерений заносят в табл. 1.

6. Вместо эталонного конденсатора в схему включают исследуемый кон-

денсатор С1. Измерения пп. 3, 4 проводят при двух значениях U. Сначала

устанавливают U1, соответствующее максимальному отклонению свето-

вого пятна на шкале гальванометра n (при подборе U1 следует начинать с

малых значений разности потенциалов), а затем U2 — приблизительно

вдвое меньше U1.

7. Заменяют конденсатор С1 конденсатором С2. Измерения выполняют при

двух значениях U, как в п. 6, одно из значений U должно совпадать с

предыдущим U1 (или U2).

8. Соединяют конденсаторы С1 и С2 сначала параллельно, затем последова-

тельно. Измерения n проводят при одном значении разности потенциалов

U, совпадающем с U1 (или U2).

9. Результаты измерений пп. 6 — 8 заносят в табл. 2.

Градуировка шкалы гальванометра

Сэ= . . .

Таблица 1 № U, В n, дел. q, мкКл

31

Определение электрических емкостей неизвестных конденсаторов С1

и С2 и их соединений Спар, Спосл.

Таблица 2 Конденсатор U, В n, дел С, мкФ Сср, мкФ

С1

С2

Спар

Спосл


1. По формуле (7) вычисляют qэ для каждого значения разности потенциа-

лов U (табл. 1).

2. Строят график зависимости nfq э .

3. По градуировочному графику определяют значение заряда q и вычисляют

электрические емкости С1, С2, Спар, Спосл по формуле (1), используя ре-

зультаты табл. 2.

4. Рассчитывают электроемкости парС и послС по формулам (2) и (3).

5. Рассчитывают абсолютные погрешности С1, С2, Спар, Спосл по фор-

муле

22

U

U

q

q

С

С,

q определяют по градуировочному графику;

100

maxUKU

,

где К — класс точности электроизмерительного прибора;

Umax — максимальное значение измеряемой разности потенциалов на вы-

бранном пределе.

Записывают результаты измерений с учетом погрешностей.

32

6. Сравнивают разности значений общих электрических емкостей при па-

раллельном (или последовательном) соединении конденсаторов

( парпар СС ) (или послпосл СС ) с погрешностью ( парпар СС ) (или

( послпосл СС )).

Контрольные вопросы 1. Дайте определение электроемкости уединенного проводника, конденсатора.

2. Выведите формулы для определения электроемкости батареи конденсаторов при па-

раллельном и последовательном их соединении.

3. Выведите формулу для расчета электроемкости плоского конденсатора.

4. В чем заключается метод определения электроемкости конденсатора в данной рабо-

те?

Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. — М.: Высш. шк., 2000, §

16.2, 16.3.

33


ВЕСЫ НАПРЯЖЕНИЯ

Цель работы — определение разности потенциалов, приложенной к двум параллель-

ным плоским пластинам, используя «весы напряжения» для измерения силы притяжения

этих пластин друг к другу.

Введение

Связь между силой взаимодействия пластин F и разностью потенциа-

лов U между ними можно установить следующим образом. Две заряженные

пластины, расстояние между которыми равно d, образуют плоский конден-

сатор (рис. 1). Нижняя пластина с зарядом –q находится в электростатиче-

ском поле, создаваемом верхней пластиной с зарядом +q. Если расстояние

между пластинами много меньше их линейных размеров, то электрическое

поле верхней пластины можно считать однородным. Тогда сила притяже-

ния, испытываемая нижней пластиной, определяется по формуле

F=Eq, (1)

где Е — напряженность поля, создаваемого верхней пластиной в тех точ-

ках, где находится нижняя пластина, q — заряд нижней пластины.

Напряженность электрического поля Е, создаваемого пластиной, в

приближении бесконечно большой плоскости, определяется по формуле

02

E , (2)

где Sq / — поверхностная плотность заряда q на верхней пластине;

S — площадь верхней пластины; 0 — электрическая постоянная

( 120 1085,8 Ф/м).

Заряд q определяется электрической емкостью конденсатора С и

разностью потенциалов U:

q = CU, (3)

где dSC /0 — электрическая емкость плоского конденсатора.

С учетом (2) и (3) силу притяжения пластин F можно определить по

формуле

34

2

20

0

2

22U

d

S

S

qF

. (4)

Из (4) находим разность потенциалов U

S

FdU

0

2

. (5)

Если пластины круглые (4

2DS

, где D — диаметр пластин), то

формула (5) примет вид

0

22

F

D

dU . (6)


Для определения разности потенциалов, приложенной к двум парал-

лельно расположенным пластинам, служит прибор, называемый весами

напряжения (рис. 2).

Рис. 2

Медная круглая пластина М укреплена неподвижно на изолированной

подставке; сверху на пластине М расположены эбонитовые изоляторы. Над

пластиной помещен диск А из алюминиевой фольги того же диаметра, что и

35

пластина М. Эти пластины образуют плоский конденсатор. Для получения

однородного поля между пластинами они располагаются на расстоянии d,

малом по сравнению с диаметром D пластин. Диск А подвешен на метал-

лических нитях Н, являющихся одновременно проводниками, подводящими

к диску напряжение, и на металлической пружине П, по удлинению которой

.можно определить силу взаимодействия F между пластинами. При включе-

нии напряжения диск А под действием электрического поля притягивается к

диску М. Затем, не выключая напряжения, вращением блока Б медленно рас-

тягивают пружину до момента отрыва диска А. В этот момент сила упруго-

сти пружины станет равной силе взаимодействия между заряженными пла-

стинами.

Закон Гука устанавливает связь между относительным изменением

длины тела

и растягивающей (сжимающей) силой F:

SE

F

, (7)

где — первоначальная длина; S — площадь сечения; Е — модуль Юнга.

Силу взаимодействия пластин F, равную силе упругости Fупр, опреде-

ляют из (7) по абсолютному удлинению пружины Δ :

kF , (8)

где k — коэффициент, характеризующий упругие свойства пружины (значе-

ние k дано на установке).

Изменение длины пружины Δ определяют с помощью катетометра,

показанного на рис. 3. Перемещением рейки R добиваются совмещения визир-

ной нити В и метки N на пружине. Отсчет производят по миллиметровой

шкале, нанесенной на стойку, с помощью нониуса С, точность которого 0,1

мм. Измеряемое напряжение подается на пластины А и М от вторичной об-

мотки повышающего трансформатора. В работе определяется амплитудное

значение этого переменного напряжения.

36

Рис. 3


1. При помощи блока Б опускают диск А до тех пор, пока он, не касаясь

эбонитовых изоляторов, подойдет очень близко к ним (0,5 — 1 мм).

2. Включают тумблер Р, находящийся на корпусе прибора. Под действием

электрического поля диск А притянется к диску М и опустится на изоля-

торы.

3. Определяют катетометром положение h1 нижней метки N.

4. Медленно вращают блок Б до момента отрыва диска А от изоляторов.

5. После затухания колебаний пластины определяют новое положение h2

нижней метки N.

6. Все операции, указанные в пп. 1 — 5, повторить не менее трех раз.


Определение разности потенциалов Данные установки:

d= . . . ; D= . . . ; К= . . . . Таблица 1

№ h1 мм h2, мм ,м F, Н U, В

1

2

3

Среднее

1. Вычисляют удлинение (деформацию) пружины Δ ср 1ср 2 hh .

2. Находят силу взаимодействия по формуле (8).

3. Определяют амплитудное значение переменной разности потенциалов

U по формуле (6).

4. Рассчитывают погрешность U:

37

212

22

21

2

)( hh

hh

k

k

F

F

,

222

4

1

F

F

D

D

d

dUU .

(Относительные погрешности ( / ) и ( 00 / ) малы, ими можно пренебречь).

Записывают окончательный результат.


1. Ответить на вопрос, как изменится удлинение пружины, если диск А бу-

дет иметь меньший диаметр;

2. Как вычислить F, если d сравнимо c D.


1. В чем заключается метод определения разности потенциалов U?

2. Какие предположения были сделаны при выводе расчетной формулы?

3. Вывести формулу электрической емкости плоского конденсатора.

4. Как рассчитывается сила взаимодействия пластин?

Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. — М.: Высш. шк., 2000. §

15.4, 16.3.

38


ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЕМКОСТИ КОАКСИАЛЬНОГО КА-

БЕЛЯ И ПЛОСКОГО КОНДЕНСАТОРА

Целью работы является экспериментальное определение и теоретический расчет

емкости плоского конденсатора и кабеля. Кроме того, в работе рассчитывается значение

диэлектрической проницаемости твердого диэлектрика, помещенного между обкладками

плоского конденсатора.

Введение

Емкость конденсатора определяется отношением заряда, перенесенно-

го с одной обкладки на другую, к разности потенциалов, возникшей между

ними:

U

qqC

21

.

Величина емкости зависит от геометрии конденсаторов (формы, раз-

меров обкладок, расстояния между ними), а также от диэлектрических

свойств среды, заполняющей пространство между обкладками.

Емкость коаксиального кабеля рассчитывается по формуле емкости

цилиндрического конденсатора (рис. 1)

1

2

01

ln

2

R

R

hC

, (1)

где h — длина кабеля; R2 и R1 — радиусы внешнего и внутреннего проводни-

ков; — диэлектрическая проницаемость материала, находящегося между

обкладками.

h R2

R1

d d

a

b

39

Рис. 1 Рис. 2

Плоский конденсатор выполнен в виде трех металлических пластин,

соединенных, как показано на рис. 2. Электроемкость такой системы пред-

ставляет собой емкость двух одинаковых конденсаторов, соединенных па-

раллельно:

d

abC 0

2 2

, (2)

где а — длина пластин; b — высота пластин; d — расстояние между двумя

соседними пластинами.

Подобная конструкция благодаря заземлению двух внешних пластин

позволяет избежать влияния окружающих тел на емкость системы. Вычис-

ленные по формулам (1) и (2) емкости сравнивают с их экспериментальны-

ми значениями.

Вводят между пластинами плоского конденсатора полоски из диэлек-

трика длиной а и высотой b. Для того чтобы диэлектрик плотно примыкал

к металлическим обкладкам конденсатора, на диэлектрические полоски с

обеих сторон наносят слой металла. Тогда получится конденсатор без воз-

душного зазора, но с меньшим, чем на рис. 2, расстоянием d1 между обклад-

ками. Емкость такой системы конденсаторов, полностью заполненных ди-

электриком,

1

02

d

abC

. (3)

Определив экспериментально значение емкости С', а также зная a, b,

d1, можно найти из (3) величину диэлектрической проницаемости

ab

dC

0

1

2

. (4)


Исследуемый конденсатор Сх через сопротивление R подключен к ис-

точнику переменного напряжения — звуковому генератору Г (рис. 3).

40

Рис. 3

Напряжение, которое дает генератор, меняется по закону tUU cos0 .

Сопротивление R подобрано таким образом (R = 30 кОм), что напряжение на

конденсаторе много меньше, чем напряжение генератора, что,очевидно, со-

ответствует условию R >>1/C, где 1/С — емкостное сопротивление. В

этом приближении можно принять, что

tR

U

R

UI cos0 .

Так как конденсатор включен в цепь переменного тока, то его заряд в тече-

ние малого промежутка времени dt увеличивается на величину dq, где

ttR

UtIq d cosdd 0 .

Увеличение заряда на dq приводит к изменению разности потенциалов на

конденсаторе на величину

tRC

tU

C

qUC d

cosdd 0

.

Проинтегрировав это выражение, получим закон изменения разности потен-

циалов на обкладках конденсатора

tRC

Utt

RC

UUU CC

sindcosd 00 .

Константу интегрирования можно положить равной нулю, так как она

означает произвольное постоянное значение напряжения на конденсаторе,

не связанное с колебаниями. Выражение U0/RC = U0С является амплитуд-

ным значением напряжения на конденсаторе и может быть измерено милли-

вольтметром мВ (рис. 3). U0 — показание милливольтметра, присоединенно-

го непосредственно к клеммам звукового генератора. Поскольку ν2 , где

41

— частота генератора, то

ν2

00

RC

UU C ,

откуда

ν2 0

0

RU

UC

C

. (5)

Так как в эту формулу входит отношение напряжений, то оказывается

несущественным, как именно проградуирован милливольтметр (по эффек-

тивным значениям или по амплитудным).

Нетрудно видеть (см. схему рис. 3), что емкость, входящая в (5), пред-

ставляет собой сумму емкостей исследуемого конденсатора СХ и кабеля

милливольтметра (СВ на рис. 3 изображена штрихом). Так как значения этих

емкостей одного порядка, то окончательный вид выражения для расчета СХ

будет

В

0

0Х

ν2C

RU

UC

C

. (6)

Следовательно, предварительно необходимо определить емкость ка-

беля милливольтметра — СВ. Для этого подключают к генератору через со-

противление R только милливольтметр (без СХ). Величину СВ рассчитывают

по формуле (5), заменив U0С нa U0B:

ν2 B0

0B

RU

UC , (7)

где U0B — показание милливольтметра в схеме с отключенной емкостью СХ.

Кроме того, при всех измерениях необходимо отсоединять осциллограф, по-

скольку он обладает емкостью. В данной работе осциллограф предназначен

для наблюдения качественной картины изменения напряжения при внесении

диэлектрика между пластинами конденсатора.


1. Для определения емкости милливольтметра СВ собирают схему рис. 3

без конденсатора СХ и осциллографа, Для удобства подключения кабе-

лей приборов на стенде вмонтирована панель с двумя рядами клемм. В

42

верхнем ряду между второй и третьей клеммами включено сопротивле-

ние R = 30 кОм. При сборке цепи необходимо следить затем, чтобы кон-

цы кабелей генератора, милливольтметра, осциллографа, емкости с обо-

значением «земля» () были вставлены в один ряд клемм (где отсутству-

ет R). Конденсатор подключают к входу «У» осциллографа.

2. Включают генератор тумблером «сеть».

3. Устанавливают по шкале частот значение , указанное на таблице к

установке (100 — 200 кГц).

4. С помощью ручек «регулировка выхода» приблизительно устанавлива-

ют на вольтметре генератора рекомендуемое значение 8 — 10 В.

5. Точное значение U0 (при заданной частоте определяют по милливоль-

тметру, перебросив один конец его кабеля с клеммы б на клемму а (рис.

3). Предел измерения на милливольтметре должен быть при этом не ме-

нее 10 В.

6. Возвращая конец кабеля мВ на клемму б, измеряют милливольтметром

значение U0B. Предел измерения при этом 3 — 10 B. Необходимо пом-

нить, что предел измерения вольтметра всегда выбирают таким образом,

чтобы стрелка прибора отклонялась не меньше, чем на половину шкалы.

7. Включают в схему рис. 3 плоский конденсатор (без диэлектрика). Запи-

сывают показания милливольтметра U0С (предел 1 — 3 В).

8. Присоединяют осциллограф. С помощью ручек «стабильность» и «уро-

вень» добиваются устойчивого изображения на экране. Вставляют в за-

зор между пластинами конденсатора полоски диэлектрика и наблюдают

на экране качественную картину изменения разности потенциалов на

конденсаторе. Положения всех ручек осциллографа и генератора приве-

дены в таблице к установке.

9. Отсоединив осциллограф, определяют показание милливольтметра CU0

для случая, когда между пластинами конденсатора находится диэлек-

трик (предел измерения 1 В или 300 мВ).

10. Вместо плоского конденсатора в схему рис. 3 включают коаксиальный

кабель и повторяют для него измерения CU0 (пределы мВ: 1 В, 3 В).

11. Повторяют измерения U0В, U0С, CU0 , CU0

для плоского конденсатора и

кабеля при другой частоте. Для этой частоты необходимо проверить

значение U0. С этой целью провод от милливольтметра переключают

снова на клемму а (см. п. 5) и ручками «регулировка выхода» добивают-

ся прежнего значения U0 (8 — 10 В). Затем повторяют пп. 6, 7, 9, 10.


Теоретический расчет емкости кабеля

= 2,5.

43

Таблица 1 h, м R1, м R2, м C1, пФ

Теоретический расчет емкости плоского конденсатора

Таблица 2

а, м B, м d, м С2, пФ

1. По данным, приведенным на установке, рассчитывают теоретически по

формуле (1) емкость коаксиального кабеля к по формуле (2) — емкость

системы плоских конденсаторов.

Определение емкости милливольтметра

R = 30 кОм Таблица 3

, кГц U0В, В U0,B СВ,пФ

Определение емкости плоского конденсатора без диэлектрика

СВ= . . .; R = 30 кОм. Таблица 4

, кГц U0,B U0C, В СХ, пФ

2. Определяют значение емкости милливольтметра СВ по формуле (7), а ве-

личину емкости плоского конденсатора СХ по формуле (6).

3. Сравнивают значения СХ с теоретическим значением емкости С2. Рас-

хождения между этими величинами могут достигать 15 — 20%. Это свя-

зано с наличием краевых эффектов, влияние которых сказывается на уве-

личении емкости за счет выхода электрического поля за пределы пла-

стин.

Определение твердого диэлектрика

а = . . . ; b= . . .; d,= . . . ; СВ= . . . ; R = 30 кОм.

44

Таблица 5

, кГц U0, В CU0 , В

ХC , В

ср

Определение емкости коаксиального кабеля

СВ= . . .; R = 30 кОм.

Таблица 6

, кГц U0, В CU0 , В С"Х, пФ

4. Вычисляют по (6) значение емкости плоского конденсатора с диэлектри-

ком ХC .

5. Находят величину по (4), подставив экспериментальное значение емко-

сти ХC .

6. Рассчитывают емкость кабеля по (6). Сравнивают экспериментальное

значение С"Х для кабеля с теоретическим значением его емкости С1.

7. По обычным правилам определяют погрешности емкостей СХ и СТЕОР для

плоского конденсатора и кабеля

2

В0

2

В0

02

0

2

0

В0

2

0В0

222

0

0

2

Х

Х

1U

U

UU

U

U

UU

R

R

U

U

C

С

CC

CC

Сравнить разность СХ – СТЕОР с величиной (СХ – СТЕОР) и сделать вы-

вод.


1. В чем состоит метод определения емкости конденсатора в данной, рабо-

те? Каково назначение каждого прибора в схеме рис. 3?

45

2. Вывести расчетную формулу для СХ. В каком приближении она получе-

на?

3. С какой целью и как определяют емкость кабеля милливольтметра?

4. Получите теоретические формулы (1) и (2).

5. Объясните расхождение B значениях СХ и СТЕОР для плоского конденса-

тора.

Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. — М.: Высш. шк., 2000, §

16.3, 15.2.

46


ИЗУЧЕНИЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ЖИД-

КОСТЕЙ

Цель работы состоит в определении величины относительной диэлектрической

проницаемости жидкости и изучении зависимости от частоты.

Введение

Диэлектрические свойства жидкостей обусловлены структурой моле-

кул, из которых состоят эти жидкости. С этой точки зрения все молекулы

можно разбить на две группы, отличающиеся своим поведением во внешнем

электрическом поле. Первая группа характеризуется симметричным распо-

ложением электрических зарядов. В этих молекулах (Н2, Na) центры тяже-

сти зарядов разных знаков совмещены и дипольный момент р молекул в от-

сутствие внешнего поля равен нулю. Поэтому такие молекулы называют не-

полярными. Ко второй группе относятся молекулы, которые обладают

несимметричным распределением заряда (например, Н2О) и, как следствие

этого, отличным от нуля собственным дипольным моментом qp , где q —

положительный заряд молекулы (или равный ему по модулю отрицательный

заряд), — расстояние между центрами тяжести этих зарядов. Такие моле-

кулы называются неполярными.

Процесс поляризации неполярной молекулы сводится к смещению

центров тяжести зарядов друг относительно друга: положительных — по

направлению поля, отрицательных — против. В результате молекула приоб-

ретает дипольный момент qp . Тепловое движение почти не влияет на

процесс поляризации неполярных молекул.

Действие внешнего поля на полярную молекулу заключается в ориен-

тации вдоль поля уже имеющихся в диэлектрике диполей. Эта ориентация

будет тем полнее, чем сильнее электрическое поле и чем слабее тепловое

движение, т. е. ниже температура. Следовательно, для диэлектриков с по-

лярными молекулами уменьшается с ростом температуры.

Диэлектрическую проницаемость легко найти из отношения

= Сд/Св где Сд — емкость конденсатора, между обкладками которого нахо-

дится диэлектрик; Св — емкость того же конденсатора без диэлектрика, т.е.

воздушного конденсатора.


Чтобы определить диэлектрическую проницаемость вещества , нуж-

47

но знать емкость конденсатора с диэлектриком и без него. Для этого можно

воспользоваться цепью, состоящей из звукового генератора Г, напряжение

которого изменяется по закону tUU cos0 , сопротивления R, конденсато-

ра Сх, милливольтметра мВ и осциллографа ЭО (см. рис. 1).

Рис. 1

Емкость С, представленная на рис. 1, включает в себя исследуемую

емкость Сх и емкость Смв, вносимую в цепь соединительным кабелем и

входной цепью милливольтметра. Так как эта емкость включена параллель-

но конденсатору Сх, то в общем случае мвCCC x . Кроме того, кабель и

измерительные приборы вносят в цепь и некоторую индуктивность L. В ре-

зультате образуется RLC — цепочка, сопротивление которой в цепи пере-

менного тока определяется по формуле

22 1

CLRZ .

Таким образом, ток в цепи, равный Z

UI , в общем случае определя-

ется активным сопротивлением R, индуктивным сопротивлением L и ем-

костным сопротивлением C

1.

Если подобрать величину сопротивления R так, чтобы выполнялось

условие C

LR

1

, то влияние других параметров на ток в цепи будет

малым. В этом приближении с достаточно высокой точностью можно счи-

тать ток в цепи равным tR

U

R

U

Z

UI cos0 .

При протекании этого тока через конденсатор С, заряд на нем за ма-

лый промежуток времени td изменится на величину ttR

UtIq dcosdd 0 .

48

Отсюда закон изменения заряда на конденсаторе будет иметь вид

constsindcosd 00 tR

Utt

R

UtIq .

Константу интегрирования следует положить равной нулю, так как она обо-

значает произвольное постоянное значение заряда на конденсаторе, не свя-

занное с процессом колебания. Тогда разность потенциалов на пластинах

конденсатора можно определить из соотношения U = q/C, откуда

tRC

UU

sin0 .

Выражение AURC

U

0 является амплитудным значением разности по-

тенциалов на обкладках конденсатора и может быть измерено милливольт-

метром. Сохраняя постоянными напряжение генератора U0, частоту сигнала

ω и сопротивление R и зная амплитудное значение напряжения на конденса-

торе UA, можно определить емкость конденсатора с диэлектриком или без

него по формуле

RU

UС

A 0 . (1)

Так как емкость С (см. рис. 1) включает в себя как емкость исследуе-

мого конденсатора Cx, так и включенную параллельно ему емкость входной

цепи милливольтметра Смв ( мвCCC x ), то необходимо провести серию

из трех измерений для определения емкостей Смв, Сд и Св.

Для определения емкости входной цепи милливольтметра Смв отклю-

чим исследуемый конденсатор Сх от цепи. Тогда емкость мвCC . Измерив

амплитудное напряжение на входе милливольтметра мвUU A , по формуле

(1) найдем

RU

UС

мв

0мв . (2)

Подсоединим емкость без диэлектрика к цепи. Тогда мвв CCC .

Вновь измерив напряжение на конденсаторе с помощью милливольтметра

( вUU A ), по формуле (1) получим

49

RU

UСС

в

0вмв . (3)

Проделав то же самое с конденсатором, опущенным в диэлектрик, с

помощью формулы (1) получим

RU

UСС

д

0дмв , (4)

где Uд — напряжение на конденсаторе с диэлектриком.

Из формул (2) — (4), исключив Смв, получим, что:

мвд

0д

11

UUR

UC ;

мвв

0в

11

UUR

UC .

Откуда, для нахождения диэлектрической проницаемости жидкости

в

д

C

C , получим следующую расчетную формулу

вмв

дмв

д

в

UU

UU

U

U

(5)

Поскольку в расчетную формулу входит отношение напряжений, то

оказывается несущественным, как именно проградуирован милливольтметр

(по эффективным значениям или по амплитудным). Измерения производят

при двух разных напряжениях на выходе генератора U0 и при разных часто-

тах ( = 2).

Конденсатор укреплен на крышке бачка, внутри которого находится

исследуемая жидкость (трансформаторное маcло). С помощью винта можно

поднимать или опускать крышку вместе с конденсатором по вертикальным

направляющим стойкам, между которыми установлен бачок. Качественную

картину изменения напряжения на конденсаторе при погружении его в жид-

кость (или при изменении частоты ) можно наблюдать на экране осцилло-

графа (ЭО), (рис. 1).


50

1. Собирают схему в соответствии с рис. 1. Для удобства соединения про-

водов на установке имеется панель с двумя рядами клемм. На этой пане-

ли вмонтировано сопротивление R = 30 кОм. Концы кабелей от приборов

с обозначением «земля ()» должны быть вставлены в клеммы одного

ряда (где отсутствует R).

2. Отключают конденсатор от цепи.

3. Включают генератор тумблером «сеть».

4. Устанавливают на вольтметре генератора с помощью ручки «регулировка

выхода» значение U0 в пределах 5 — 10 В и по шкале частот значение 1

= 50 кГц. (Положения всех ручек генератора и осциллографа подробно

указаны в таблице к установке.)

5. Измеряют по милливольтметру значение мвU , установив предел измере-

ния на 10 В. При всех измерениях обязательно отсоединяют осциллограф.

6. Повторяют измерение мвU при других значениях частот, например: 2

= 75 кГц; 3 = 100 кГц; 4 = 125 кГц и т.д. до 200 кГц. При этом непре-

рывно следят за постоянством U0. Если отклонения стрелки милливольт-

метра при этом будут менее, чем на половину шкалы, то следует переве-

сти предел измерения его на 3 В или на 1 В.

7. Поднимают конденсатор так, чтобы он полностью находился в воздухе и

подключают его к цепи. Проводят измерения Uв при тех же частотах 1,

2, 3, 4… аналогично пп. 4 — 6.

8. Погружают конденсатор в диэлектрик (масло) и проводят измерения дU

при тех же частотах 1, 2, 3, 4… аналогично пп. 4 — 6.

9. По указанию преподавателя повторяют измерения при другом значении U0.

10. Подключив к цепи осциллограф (рис. 1), наблюдают качественную кар-

тину изменения напряжения на экране осциллографа при изменении ча-

стоты генератора и при погружении конденсатора в диэлектрик (при

неизменной частоте). Устойчивости изображения добиваются с помощью

ручек осциллографа «стабильность» и «уровень».


Определение Таблица 1

, кГц Uмв, В Uв, В Uд, В

1. По формуле (5) рассчитывают для разных частот и строят графики за-

висимости от .

51

2. Рассчитывают погрешность / по формуле (6) (для =50 кГц). Класс

точности милливольтметра на пределах 1 — 3 В равен 4,0, на пределе 300

мB — 2,5. Находят и сравнивают ее с разбросом для разных частот.

2

дмввмв

мвдв

2

дмв

д

2

д

мв

2

вмв

в

2

в

мв

UUUU

UUU

UU

U

U

U

UU

U

U

U

(6)

3. По характеру графика зависимости () определяют, зависит ли диэлек-

трическая проницаемость от в данном диапазоне частот.

Дополнительное задание.

1. Проверить экспериментально справедливость тех предположений, кото-

рые позволили для расчета тока воспользоваться формулой

tR

UI cos0 . Для этого нужно продумать, на каких участках цепи про-

извести измерения U. Сравнить измеренные значения и сделать выводы.

2. Увеличив сопротивление R в два раза, повторить измерение на одной

из частот. Сравнить вновь полученное значение со значением , полу-

ченным в ходе основного эксперимента.


1. Какие существуют типы диэлектриков? Каков механизм их поляризации?

2. Что включает в себя емкость С?

3. Почему ток в цепи зависит только от активного сопротивления R?

4. Как получена расчетная формула для определения емкости С?

5. Почему в работе необходимо провести серию из трех измерений напря-

жений Uмв, Uв, Uд?

6. Выведите расчетную формулу для определения диэлектрической прони-

цаемости .

7. Наблюдается ли в данном диапазоне частот явление дисперсии, т.е. зави-

симости от частоты .

8. Каково назначение осциллографа в данной работе?


15.1, 15.2, 16.3.

52


ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦА-

ЕМОСТИ ЖИДКОГО ДИЭЛЕКТРИКА

Цель работы — определение диэлектрической проницаемости с помощью явления

втягивания жидкого диэлектрика внутрь плоского конденсатора.

Введение

Незаряженный диэлектрик, помещенный в электрическое поле, поляри-

зуется. Процесс поляризации неполярного диэлектрика состоит в смещении

центров тяжести положительных и отрицательных зарядов молекулы друг

относительно друга, т. е. в образовании диполей. Поляризация полярного ди-

электрика заключается в преимущественной ориентации вдоль поля уже

имеющихся в диэлектрике диполей (см. введение к работе № 5).

Рассмотрим качественно поведение такого диполя в неоднородном

электрическом поле. Пусть в направлении оси X напряженность поля Е

возрастает. Графически это изображается сгущением силовых линий (рис.

1). Силы, действующие на заряды диполя, неодинаковы, 21 FF

, так

как Е1 в той точке, где находится положительный заряд больше, чем Е2 в

точке, где расположен отрицательный заряд.

Следовательно, диполь в неоднородном поле под действием результи-

рующей силы 21 FFF

перемещается в область более сильного поля.

Этим явлением, в частности, объясняется втягивание диэлектрика внутрь

плоского конденсатора.

Рис. 1

Рис. 2

E

1F

– +

2F

Х

y

d e

F F

y

Y

53


Рассмотрим плоский конденсатор, частично погруженный в жидкий

диэлектрик (рис. 2). Поскольку вблизи краев обкладок конденсатора имеет-

ся неоднородное поле, то на диполи действуют силы F

, вертикальные со-

ставляющие которых yF

направлены вверх. В результате диэлектрик втяги-

вается в зазор между обкладками конденсатора. Чтобы найти результи-

рующую вертикальной силы f

, с которой электрическое поле действует на

жидкость в области неоднородного поля конденсатора, воспользуемся зако-

ном сохранения и превращения энергии. Для простоты расчета предположим,

что поверхность жидкости горизонтальна (в этом случае отсутствуют ка-

пиллярные явления), поле внутри конденсатора (а не у его краев) одно-

родно и не влияет на изменение поверхностного натяжения жидкости. Так

как конденсатор подключен к источнику питания, то разность потенциалов U

между его обкладками остается постоянной. Пусть в процессе втягивания

диэлектрика высота y столба жидкости между пластинами увеличивается на

малую величину y (рис. 2). Тогда работу А, совершаемую силами электри-

ческого поля, определим по формуле

yfA . (1)

Кроме того, происходит изменение энергии электрического поля кон-

денсатора на величину

12

221

22

222CC

UUCUCW , (2)

где С1 и С2 — емкости конденсатора до и после подъема жидкости на высоту

y.

Емкость конденсатора, частично заполненного диэлектриком, можно

найти как емкость двух параллельно включенных конденсаторов, один из ко-

торых — с диэлектриком, другой — без него. Емкость такой системы задает-

ся выражением

1εεε)(εεε 0000

возддиэл

d

ay

d

S

d

ayS

d

ayСCC ,

где а — ширина пластины; S — ее площадь; ay — площадь погруженной части

пластины; d — расстояние между пластинами; — диэлектрическая проница-

емость жидкости.

Отсюда легко найти изменение емкости

54

1εε0

12

d

yaCC . (3)

Втягивание жидкости в конденсатор и изменение энергии его поля

происходит за счет работы источника тока. Если предположить, что процесс

втягивания идет достаточно медленно, то сила тока в цепи столь мала, что

можно пренебречь тепловыми потерями, а также считать разность потенци-

алов обкладок конденсатора равной ЭДС источника . Тогда на основании

уравнения энергетического баланса запишем

поля силист АWA . (4)

Работу, совершенную источником тока, найдем по формуле

122

ист CCUqUА , (5)

где )( 12 CCUq — дополнительный заряд, перетекающий на пластины

конденсатора по мере его заполнения диэлектриком (в данном случае на вы-

соту H).

Из уравнений (2), (4) и (5) определим работу сил поля

12

2

ист2

CCU

WAA (6)

или, учитывая формулу (3), получаем

1ε2

ε02

d

yaUA (7)

С другой стороны, по формуле (1), отсюда искомая сила равна

1ε2

ε 20

d

aUf . (8)

Состояние равновесия жидкости наступит, когда будет выполнено

условие f = mg. Если выразить массу m втянутого столба жидкости через ее

плотность и объем V = adh, то получим f = adhg. В этом выражении h —

окончательная высота, на которую поднялась жидкость под действием поля

при данном U (при выводе расчетной формулы под y подразумевалось малое

55

приращение высоты).

(Из формул (1) и (7), учитывая, что adgymgf , можно полу-

чить соотношение yd

aUyadgy

1

2

02

.

Проинтегрировав правую и левую часть этого выражения по y в

пределах от 0 до h0, получим высоту подъема жидкости h0 в два раза

большую, чем высота h, полученная из формулы (8). Разница в ответах

объясняется просто. Дело в том, что h0 — это амплитудный подъем уров-

ня идеальной жидкости, колеблющейся около положения равновесия с

координатой hy . Колебания же реальной вязкой жидкости практически

отсутствуют, она сразу стремится к положению равновесия при измене-

нии напряжения на обкладках конденсатора.)

Подставив данное значение силы в формулу (8), найдем окончательное

выражение для расчета диэлектрической проницаемости жидкости

2

0

2

ε

ρ21ε

U

hgd . (9)

В стеклянную кювету К, заполненную жидким диэлектриком, опущены

две параллельные пластины, к которым подводится напряжение от повы-

шающего трансформатора (рис. 3). (Переменное напряжение, использу-

емое в работе, не влияет на справедливость расчетной формулы (7), так как

при низкой частоте поляризация диэлектрика успевает следовать за полем.)

Рис. 3 Рис. 4

Напряжение изменяют с помощью ЛАТРа (Л) (автотрансформатора), который

вместе с трансформатором (Тр) находится внутри кожуха установки. Регу-

лировку напряжения производят поворотом ручки, выведенной на перед-

нюю панель корпуса. Измеряют напряжение на пластинах (С) киловольтмет-

ром (кВ). Изменение уровня жидкости и расстояние между пластинами

h1

h2

56

определяются измерительным микроскопом (М). В поле зрения измерительно-

го микроскопа помещена шкала, ориентацию которой можно изменять. Для

определения расстояния между пластинами шкалу располагают горизон-

тально; для определения изменения уровня жидкости при включении напря-

жения шкалу располагают вертикально. При измерениях следует иметь в ви-

ду, что изображение, даваемое окуляром, перевернутое (см. рис. 4).


1. Измеряют расстояние d между пластинами. Для этого шкалу микроскопа

располагают горизонтально. (Обратите внимание на цену деления шкалы

микроскопа.)

2. Устанавливают шкалу микроскопа вертикально и отмечают уровень жид-

кости h1 между пластинами в отсутствие напряжения (ручка ЛАТРа в

положении «0»).

3. Поворотом ручки устанавливают требуемое напряжение (600 — 700 В).

Измеряют уровень жидкости h2 при этом напряжении.

4. Повторяют измерения h2 при других значениях напряжения. Всего 5 – 7

измерений в интервале от 600 до 1500 В.


Данные установки:

=820 кг/м3; d= . . . ; h1 = ...

Таблица 1

№ U, В H2, мм h, мм

1

. . .

Среднее

1. Рассчитывают 12 hhh для каждого U.

2. Рассчитывают для каждого значения U по формуле

2

1εU

hK ,

где 0

2

ε

ρ2 gdK .

57

3. Находят погрешность для наибольшего значения U по формуле

222

41

U

U

h

h

K

K,

где 2

22

1 hhh ,

2

0

0222

4

g

g

d

d

K

K.

Погрешности h1, h2, d и U равны приборным.

4. Убедитесь, что не зависит от U.


1. Какие существуют типы диэлектриков? Каков механизм их поляриза-

ции?

2. Объяснить причину втягивания диэлектрика внутрь конденсатора.

3. Чему равно изменение энергии поля конденсатора при изменении высо-

ты столба жидкости на малую величину y ?

4. Как найти работу, совершаемую источником тока в процессе втягивания

диэлектрика?

5. При выполнении каких условий можно записать уравнение энергетиче-

ского баланса?

6. Когда наступает состояние равновесия жидкости? Как вела бы себя после

включения напряжения U идеальная жидкость, у которой отсутствует вяз-

кость?

7. Выведите формулу для расчета .

8. Как найти амплитудное значение подъема уровня идеальной жидкости в

зазоре между обкладками конденсатора?

9. Какие величины непосредственно измеряются в работе, какими прибора-

ми?

10. Как находят погрешности h1, h2, d и U?

Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. — М.: Высш. шк., 2000.

§ 15.1, 15.2.

58


ИЗМЕРЕНИЕ ЭЛЕКТРОДВИЖУЩЕЙ СИЛЫ

МЕТОДОМ КОМПЕНСАЦИИ

Цель работы — ознакомление с одним из методов измерения электродвижущих

сил (ЭДС).

Введение

Направленное движение зарядов в цепях электрического тока может

происходить под действием как электростатических (кулоновских) сил, так

и под действием сил иного происхождения (сторонних). Действие этих сил

можно охарактеризовать работой, которую они совершают над перемещаю-

щимися по цепи зарядами. Работа, совершаемая кулоновскими силами при

переносе единичного положительного точечного заряда из точки 1 в точку 2

цепи (рис.1), называется разностью потенциалов между точками 1 и 2:

q

A кул

21 . (1)

Электродвижущей силой (ЭДС) на участке цепи 1—2 (рис.1) называ-

ется работа сторонних (неэлектростатических) сил по перемещению еди-

ничного положительного точечного заряда из точки 1 в точку 2 на участке

цепи:

q

Ae

ст

12 . (2)

Напряжением на участке цепи 1-2 называется физическая величина

U12, равная суммарной работе всех сил по переносу единичного положи-

тельного точечного заряда из точки 1 в точку 2:

122112

12 )( eq

AU . (3)

R 2 1

e _

+

59

Рис.1

Согласно обобщенному закону Ома для участка цепи напряжение на

участке цепи равно произведению силы тока на сопротивление этого участ-

ка:

1221121212 )( eURI , (4)

где R12 — суммарное сопротивление данного участка; I12 — сила тока, теку-

щего по этому участку цепи.

Пользуясь обобщенным законом Ома, нужно соблюдать правило зна-

ков, согласно которому ЭДС источника, включенного на участке цепи 1-2

положительна, если направление обхода от 1 к 2 соответствует направлению

движения от катода к аноду внутри источника. На примере рис. 1 12e > 0.


Сущность метода компенсации заключается в том, что неизвестная

ЭДС компенсируется равной по величине и противоположной по знаку раз-

ностью потенциалов, так что ток на участке с исследуемой ЭДС равен нулю.

Принципиальная схема данного метода измерения ЭДС изображена на

рис 2. Здесь е — вспомогательный источник, ЭДС которого заведомо больше

ЭДС исследуемого элемента ех; Rx, R — внешние сопротивления; r0, rх —

внутренние сопротивления источников; Г — гальванометр.

Рис. 2

Компенсация возможна только в том случае, если е и еx включены од-

ноименными полюсами навстречу друг другу. Если е > ех, то всегда можно

подобрать такое положение подвижного контакта В, при котором тока в це-

пи гальванометра не будет. Обозначим установившиеся значения токов на

60

всех участках при некотором положении контакта В через I, i, и I1 (рис. 1).

Тогда согласно обобщенному закону Ома для участка В ех А (при направле-

нии обхода от В к А) получим

xАВx eRri г ,

где Rг — сопротивление гальванометра. Изменив положение контакта В, до-

биваемся отсутствия тока через гальванометр i = 0. В этом случае искомая

ЭДС

BAxe . (5)

С другой стороны, по закону Ома для участка A Rx B запишем

BAxIR ,

где Rx — сопротивление участка АВ в момент компенсации.

Так как в условиях компенсации ток в точках А и В не разветвляется (i

= 0 в цепи А ех В), то токи I и I1 равны (см. рис. 1). На основании закона Ома

для замкнутой цепи А В С е А

00 Rr

eI

,

где R0 = Rx+R — сопротивление участка АС цепи (сопротивлением соедини-

тельных проводов можно пренебречь).

Таким образом,

00 Rr

eRIR x

xBA

или с учетом (5)

00 Rr

eRe x

x

. (6)

3ная е вспомогательного источника, можно найти ех. Ввиду непосто-

янства величины е обычных источников (аккумуляторов, гальванических

элементов) и наличия у них неизвестного внутреннего сопротивления r0

приходится отказаться от непосредственного применения формулы (6), а

61

ввести сравнение с одним и тем же эталонным источником. Таким источни-

ком является нормальный элемент, электродами которого служат кадмий и

ртуть, а электролитом — насыщенный раствор серно-кислого кадмия. ЭДС

нормального элемента eN мало изменяется с течением времени и в интервале

комнатных температур практически не зависит от температуры

eN = l,0183 B.

Для сравнения элемента ех с элементом eN проводят еще раз компен-

сационное измерение, заменив исследуемый элемент нормальным элемен-

том. Отсутствию тока в цепи нормального элемента A eN B будет соответ-

ствовать новое положение контакта В. Тогда согласно (6)

00 Rr

eRe N

N

, (7)

где RN — значение сопротивления участка АВ, при котором наступает ком-

пенсация для элемента еN. Разделив (6) на (7), получим

N

xNx

R

Ree . (8)

Так как участок цепи ABC представляет однородную струну с посто-

янным сечением (реохорд), то отношение Rx/RN можно заменить отношени-

ем соответствующих длин x/ N и соотношение (8) примет вид

N

xNx ee

.


1. Собирают измерительную цепь, представленную на рис. 3. Вспомога-

тельным источником е служит блок питания (УБП); АВС — реохорд; Г —

гальванометр; К — кнопочный ключ; П — переключатель, позволяющий

поочередно включать или элемент ех или элемент eN; Rбал — балластное

сопротивление, необходимое для предохранения нормального элемента и

гальванометра от излишне большого тока в них в случае отсутствия ком-

пенсации (через Г и еN можно пропускать токи порядка 10-5

А).

62

Рис. 3

2. Проверяют правильность включения полюсов всех трех источников.

3. Устанавливают переключатель П в положение, при котором включен

элемент ех.

4. Замыкают на короткое время ключ К и наблюдают отклонение стрелки

гальванометра. Перемещают контакт В, при каждом новом его положе-

нии замыкают на короткое время ключ К. Так продолжают до тех пор,

пока стрелка гальванометра не остановится на нуле.

5. При достижении компенсации записывают значение x длины участка

АВ струны.

6. Опыт проделывают 5 раз. Для учета погрешности, связанной с неточно-

стью компенсации, сначала добиваются компенсации перемещением кон-

такта слева направо. Далее, нарушив компенсацию, вновь находят поло-

жение контакта, при котором ток в гальванометре равен нулю, только те-

перь за счет перемещения контакта справа налево.

7. Повторяют для элемента еN все действия, указанные в пп. 4 — 6 и запи-

сывают значения N.


Данные установки е 2 В, eN = 1,0183 В. Таблица 1

№ х , мм N , мм ex , В

63

Среднее

1. Находят средние значения х и N.

2. По средним значениям с помощью формулы (7) вычисляют ЭДС элемен-

та ех.

3. Рассчитывают случайные погрешности измерения x и N . По обычным

правилам рассчитывают погрешности x и N:

2приб

2сл XXX ;

2приб

2сл NNN

Погрешность косвенного измерения ЭДС определяют из формулы

222

x

x

N

N

N

Nxx

e

eee

.

4. Чертят график распределения потенциала вдоль участка цепи А ех В для

случая компенсации.


1. Измерить ех непосредственно с помощью вольтметра, сравнить полу-

ченный результат с результатом измерения ех компенсационным мето-

дом и объяснить причину расхождения.

2. Ответить на вопрос, в каком случае для измерения ЭДС можно исполь-

зовать вольтметр.

3. Нарисовать график распределения потенциала вдоль участка А ех В в от-

сутствие компенсации для случаев, когда стрелка Г отклоняется влево и

вправо от нуля, считая, что сопротивлением проводов и гальванометра

можно пренебречь.


1. Что называется ЭДС источника? Что такое нормальный элемент?

2. В чем сущность метода компенсации? Чем компенсируется ЭДС, на ка-

ком участке? Укажите, на каком участке цепи в момент компенсации нет

тока.

3. Сформулируйте обобщенный закон Ома для участка и для замкнутой це-

пи. Запишите его для участков А ех В и A Rx B в отсутствие компенсации и

в момент компенсации.

4. Почему должно быть выполнено условие е > еx (еN). С какой целью в цепь

64

Г включено балластное сопротивление?


19.1.

65


ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНДУКЦИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

ИЗМЕРИТЕЛЬНЫМ ГЕНЕРАТОРОМ

Цель работы — ознакомление с принципом работы измерительного генератора и

изучение с его помощью магнитного поля.

Введение

Основной силовой характеристикой магнитного поля является вектор

магнитной индукции В. Величина В равна отношению максимальной силы,

действующей на элемент тока dI , к величине этого элемента B=dFmax/ dI .

Вектор В можно определить экспериментально с помощью явления электро-

магнитной индукции. Если в исследуемое постоянное магнитное поле поме-

стить маленькую катушку, состоящую из N витков проволоки, то при вра-

щении катушки в ней индуцируется переменная ЭДС, мгновенная величина

которой определяется законом Фарадея

tNe

d

d . (1)

Магнитный поток Ф, пронизывающий площадь S каждого витка, ра-

вен

cosBSSB

.

Размер витка выбирают таким, чтобы в его пределах магнитное поле

можно было считать однородным; — угол между нормалью к поверхности

витка и вектором В

. Угол поворота катушки за время t при равномерном

вращении связан с угловой скоростью (или периодом вращения Т) соотно-

шением

tT

t

2

.

Следовательно,

tT

BS

2

cos .

66

Отсюда, на основании (1)

tT

etTT

NBSe

2

sin2

sin2

max . (2)

Выражение emax=2NBS/T является амплитудой, наведенной в катуш-

ке ЭДС. График зависимости ЭДС индукции от t приведен на рис. 1. Если

замкнуть концы вращающейся катушки, то в образованной таким образом це-

пи появится индукционный ток, изменяющийся по закону:

tT

ItTR

e

R

eI

2sin

2sin max

max , (3)

где R — сопротивление цепи катушки.

Рис. 1

Следовательно, при постоянной скорости вращения катушки в ее цепи

индуцируется ток I, амплитудное значение которого пропорционально мо-

дулю вектора В.

R

NBS

TR

eI

2maxmax . (4)

Из формулы (4) получим следующее выражение для магнитной индукции

NS

TRIB

2

max . (5)


В работе исследуется магнитное поле, созданное двумя короткими ка-

тушками L1 и L2, последовательно соединенными между собой (рис. 2). Плос-

e

T

t

emax

67

кости витков обеих катушек расположены вертикально параллельно друг

другу. По катушкам L1 и L2 протекает ток i, источником которого служит

блок питания (БП). Измерение тока i производят с помощью амперметра A.

Измерительный генератор, применяемый в работе, состоит из маленькой

катушки (К) (рис. 2), насаженной на удлиненную ось мотора. Мотор (М) при-

водится во вращение переменным током частотой = 50 Гц. Такое же число

оборотов имеет и вращающаяся катушка (К).

Рис. 2

Для выпрямления индуцированной ЭДС (см. рис. 1) концы катушки

подводят к коллектору, который представляет собой два изолированных друг

от друга полуцилиндра, вращающихся вместе с катушкой. Плоскость разреза

полуцилиндров перпендикулярна плоскости витков (рис. 2). Оба полуци-

линдра непрерывно касаются двух неподвижно закрепленных контактов

(щеток). В моменты, когда ЭДС близка к нулю (=, 2, З и т. д.),

т.е. когда вектор В

перпендикулярен плоскости витков катушки (К),

щетки переходят с одного полуцилиндра на другой и тем самым переклю-

чают полярность сигнала. Ток в цепи катушки (К) становится постоянным по

направлению, оставаясь переменным по величине (рис. 3). Возникающие в

измерительном генераторе токи малы и могут быть измерены чувствительным

микроамперметром (мкА) магнитоэлектрической системы (см. рис. 2, б).

Этот прибор вследствие инерции его подвижной системы не может реги-

стрировать мгновенное значение тока, а показывает некоторое среднее его

значение I0. Величину I0 можно связать с величиной Imax, пользуясь соотноше-

68

нием

2

0

maxmax0π

2π2sin

2

1T

ItdtT

IT

I . (6)

Из формул (5) и (6) получим

ν44

00

NS

RI

NS

RTIB .

Рис. 3

где 501

ν T

Гц — частота переменного тока в катушке (К).

Так как сопротивление R цепи измерительного генератора складыва-

ется из сопротивлений микроамперметра RА и катушки RК, то окончатель-

ная формула для расчета В будет иметь вид

ν4

КА0

NS

RRIB

. (7)

Для изучения зависимости В от расстояния d внутри катушек L1 и L2

закреплены две горизонтальные линейки с миллиметровой, шкалой. Начала от-

счета О обеих линеек совпадают. Линейка ОО1 расположена вдоль оси ка-

тушек L1, и L2, линейка ОО2 перпендикулярна оси катушек (см. рис 2) Пе-

ремещая измерительный генератор, который состоит из маленькой катушки

(К), насаженной на удлиненную ось мотора (М), вдоль этих линеек измеряют

I0 для каждого его положения d, где d — расстояние от начала отсчета O

до риски на оси мотора (М). На основании измерений строят графики зави-

симости В от d.


1. Собирают цепь катушек L1, L2 и цепь измерительного генератора со-

гласно рис. 2.

2. Включают ток i в цепи катушек L1, L2 и в дальнейшем поддерживают

I

Imax

t

I0

T/2 T

69

его постоянным. Регулировку тока производят ручкой на панели бло-

ка питания. Значение тока i указано на установке.

3. Помещают измерительный генератор так, чтобы риска, отмеченная на

ней, оказалась в начале отсчета О линеек. Нажатием кнопки включа-

ют мотор и измеряют по микроамперметру I0 при d = 0.

4. Передвигая измерительный генератор вдоль оси ОО1 измеряют пока-

зания микроамперметра I0 для разных d. Измерения производят через

каждый сантиметр. При всех измерениях вдоль оси OО1 (OО2) изме-

рительный генератор следует располагать так, чтобы вектор В

был

перпендикулярен оси вращения катушки измерительного генератора.

5. Повторяют те же измерения, перемещая измерительный генератор

вдоль оси ОО2. Поскольку вдоль этой оси магнитное поле изменяет

направление, то необходимо изменить направление тока через микро-

амперметр. Для этой цели на его панели установлен переключатель.


Данные установки = . . ., RА= . . ., RК= . . .

N = . . . ; S = . . . . Таблица 1

d, см вдоль ОО1 вдоль ОО2

I0, мкА В, Тл I0, мкА В, Тл

1. Рассчитывают В в различных точках осей ОО1 и ОО2 для каждого d по

формуле (7).

2. Строят графики B=f(d) для обеих осей.

3. Для случая d = 0 находят по обычным правилам погрешность В:

222

2

КА

2

К

2

А

2

0

0

ν

ν

S

S

N

N

RR

RR

I

IBB

и записывают окончательный результат.


Для фиксированного значения d изучить зависимость В от i в ка-

тушках L1 L2; построить график B=f(i).


70

1. Дать определение вектора магнитной индукции В

. Индукция какого поля изучается

в данной работе?

2. В чем состоит явление электромагнитной индукции? Как оно используется в данной

работе? Получите расчетную формулу для В.

3. Как устроен измерительный генератор? Почему размеры катушки (К) должны быть

малы?

4. Какой ток (переменный или постоянный) течет по цепи измерительной катушки, ка-

кой ток измеряет микроамперметр?


21.3, 22.2, 25.1.

71


ИЗМЕРЕНИЕ ИНДУКТИВНОСТИ СИСТЕМЫ КАТУ-

ШЕК

Цель работы состоит в определении индуктивности двух разных соленоидов,

индуктивности системы этих соленоидов при различных способах их включения и вза-

имной индуктивности системы этих катушек, вставленных друг в друга.

Введение

Собственное магнитное поле контура с током I создает магнитный

поток самоиндукции (потокосцепление) сквозь поверхность, натянутую на

этот контур. Величина пропорциональна магнитной индукции В, кото-

рая, в свою очередь, по закону Био-Савара-Лапласа пропорциональна

силе тока, вызвавшего поле. Отсюда вытекает, что ток в контуре I и созда-

ваемый им полный магнитный поток пропорциональны друг другу

LI . Коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью

контура. Следовательно, индуктивность — это величина, численно равная

магнитному потоку самоиндукции, пронизывающему данный контур при

силе тока в нем, равной единице. Индуктивность контура в отсутствие фер-

ромагнетиков зависит только от геометрии контура (т. е. его формы, раз-

меров, числа витков). В частности, индуктивность длинного соленоида

(диаметр много меньше длины) можно рассчитать по формуле

SNL

2

0 , (1)

где N — число витков; S — площадь поперечного сечения соленоида; ℓ — его

длина; 0 = 410-7

Гнм-1

— магнитная постоянная.

Теперь рассмотрим два контура, расположенных достаточно близко

друг к другу (рис. 1) . Если в контуре I течет ток силы I1, то он создает

через площадь, ограниченную контуром II, полный магнитный поток 21

пропорциональный току I1 : 12121 IM Аналогично при протекании тока I2

по второму контуру возникает магнитный поток, сцепленный с контуром I:

21212 IM . Коэффициенты пропорциональности М12 и М21 называются вза-

имными индуктивностями контуров. Их величина зависит от геометрии и

взаимного расположения контуров и не зависит от силы токов I1 и I2 при

условии отсутствия ферромагнетиков. В этом случае расчет дает, что M21 =

M12.

72

Рис. 1

Для двух длинных соленоидов (рис. 2), надетых друг на друга, ко-

эффициент взаимной индукции

1

2210

SNNM

, (2)

Рис. 2

где N1 и N2 — число витков внешнего L1 и внутреннего L2 соленоидов; S2 —

площадь сечения внутреннего соленоида; ℓ1 — длина внешнего соленоида.

Рассмотрим индуктивность системы двух соленоидов L1, L2 для двух

различных способов их соединения, изображенных на рис. 3, а, б. Индук-

тивность системы катушек, надетых друг на друга, в том случае, когда их

магнитные поля направлены в одну сторону (рис. 3,а), определяется по

формуле

MLLL 221 , (3)

где L1 и L2 — индуктивность каждого соленоида в отдельности, М' — взаим-

ная индуктивность.

Если соленоиды подключить так, что их магнитные поля направлены

навстречу друг другу (рис. 3,б), то индуктивность такой системы равна

I II

I1

ℓ1

ℓ2

S2

73

MLLL 221 . (4)

а)

б)

Рис. 3

Из формул (3) и (4) выводят выражения для М' и М"

2

21 LLLM

,

2

21 LLLM

. (5)

Величины L1, L2, L', L" находят экспериментально, a M' и М" вычисля-

ют по формулам (5). При неизменном расположении соленоидов М' = М" =

М. Вывод формул (1), (3), (4) предлагается студентам провести самостоя-

тельно.


Принципиальная схема установки представлена на рис. 4. От генерато-

ра звуковой частоты (Г) переменное напряжение tUU cos0 подается на по-

следовательно соединенные соленоид L и резистор R. Милливольтметр

(мВ) служит для определения амплитудных значений напряжения, а осцилло-

граф (ЭО) — для наблюдения качественной картины изменения этого напря-

жения. Сопротивление R подбирают таким образом, что напряжение на ка-

тушке L много меньше, чем на резисторе R. В этом случае проходящий

через соленоид ток можно с достаточной степенью точности определить по

формуле

R

tU

R

UI

cos0 ,

где U0 — амплитудное значение напряжения; πν2 круговая частота; —

L1 L2

1В

2В

L2 L1

1В

2В

74

частота.

Вследствие изменения потокосцепления самоиндукции соленоида в

нем возникает ЭДС самоиндукции

tUtR

UL

dt

dIL

dt

de L

sinsin0

c ,

где LUR

LU

0 — амплитудное значение ЭДС самоиндукции.

Рис. 4

Отсюда находят индуктивность соленоида

πν200 U

RU

U

RUL LL

. (6)

Значения U0 и UL измеряют по милливольтметру, — по шкале частот

генератора, R задано на установке.

Измерения производят для двух разных соленоидов L1, L2, а также

для системы этих соленоидов, надетых друг на друга, при двух способах

их соединения L', L". По формулам (5) вычисляют М' и М" и убежда-

ются в справедливости равенства М'=М". Найденные из опыта значе-

ния L1, L2 и М сравнивают с их теоретическими значениями, рассчитанными

по формулам (1) и (2).


Перед началом работы обязательно ознакомиться с таблицей на стен-

де.

Часть I

Определение индуктивности соленоидов L1 и L2

1. Для определения U0 предварительно собирают схему (puc. 4) без соле-

75

ноида. Концы кабелей от генератора, осциллографа, милливольтметра с

обозначением «Земля» () подключают к нижнему ряду клемм, распо-

ложенных на специальной панели.

2. С помощью ручки генератора «Частота» устанавливают = 200 кГц (или

100 кГц).

3. Включают генератор, милливольтметр, осциллограф тумблерами «Сеть».

Положения всех ручек этих приборов указаны в таблице к установке.

4. Напряжение U0 измеряют по милливольтметру. С помощью ручки гене-

ратора «Peг. выхода» добиваются значения U0 примерно 2 — 3 В. Пред-

варительно устанавливают пределы измерений на вольтметре генератора

и на милливольтметре — 3 В.

5. Затем в цепь (рис. 4) подключают один из соленоидов (например, внеш-

ний L1).

6. Записывают показания милливольтметра UL, переключив пределы его из-

мерений на 300, 100 или 30 мВ. Предел необходимо выбирать таким, что-

бы отклонение стрелки было близким к максимальному.

7. Отключив соленоид L1 присоединяют внутренний соленоид L2. Записыва-

ют показания милливольтметра UL для этого соленоида (U0 и не меня-

ют).

8. Наблюдают на осциллографе изменение амплитуды напряжения UL каче-

ственно.

Часть 2

Определение индуктивностей L', L" и взаимной индуктивности М

1. Для определения индуктивности L' системы соленоидов (рис. 3,а) их со-

единяют, как показано на рис. 5,а. Соленоиды при этом должны быть

вставлены один в другой.

2. Записывают показания милливольтметра UL' при указанном в п. 1 распо-

ложении соленоидов, не меняя значений U0 и , установленных в преды-

дущих опытах.

3. Соединение соленоидов L" осуществляют вторым способом, изображен-

ным на рис. 5,б (см. рис. 3,б).

4. Снова записывают показания милливольтметра UL" при тех же U0 и . На

экране осциллографа наблюдают качественную картину изменения

напряжения UL' и UL".

мВ L1 L2

1

2

3

4

мВ L1 L2

1

2

3

4

76

a) б)

Рис. 5

5. Все измерения 1 и 2 частей по указанию преподавателя можно повторить

в той же последовательности при другой частоте (в пределах от 100 до 200

кГц).


Определение индуктивностей L1, L2.

Данные установки: R = 103 Ом.

Таблица 1

U0 = 2 В , кГц UL, мВ L, мкГн Lср, мкГн

L1, внешний

соленоид

L2, внутрен-

ний соленоид

Определение индуктивностей L', L" и взаимной индуктивности М. Таблица 2

U0 = 2 В , кГц UL, мВ L1, мкГн Lср, мкГн M, мкГн

I соединение,

L

M

II соединение,

L

M

Теоретический расчет L1, L2 и M Таблица 3

D, мм l, мм N Lср, мкГн M, мкГн

Внешний

соленоид, L1

Внутренний

соленоид,

L2,

1. По формуле (6) находят значения L1, L2 и L', L".

2. Рассчитывая М' и М" по (5), получаем:

2

MMM

.

77

3. Рассчитывают теоретические значения L1, L2, M. Более точные расчеты

с учетом неоднородности магнитного поля на концах соленоида при-

водят к необходимости введения в формулы (1) и (2) коэффициента К,

который зависит от соотношения между D и ℓ. Для обоих соленоидов

можно принять К 0,9.

4. Сравнивают теоретические и экспериментальные значения L1 L2, M.

5. Рассчитывают погрешности величин L1 L2, М по формулам:

222

0

0

22

ν

ν

π

π

U

U

R

R

U

ULL

L

L

222222

0

0

2

ν

ν

π

π

LL

LL

UU

UU

U

U

R

RММ

.

6. Записывают окончательные результаты для L1, L2, M.

7. Сравнивают М с разницей между М' и М".

Дополнительное задание

1. Продумать, какой результат можно ожидать, если катушки расположить

перпендикулярно или достаточно далеко друг от друга.

2. Продумать, как найти число витков соленоида, если их непосредственно

подсчитать нельзя.

3. Доказать для частного случая двух надетых друг на друга соленоидов,

что М12 = М21.


1. Что называется индуктивностью контура, взаимной индуктивностью контуров? От чего

зависят L и М ?

2. Каков принцип работы электрической схемы? Какие величины непосред-

ственно измеряются?

3. Выведите расчетную формулу для определения индуктивности.

4. Чему равна индуктивность системы соленоидов, если магнитные поля в

них направлены: а) в одну сторону (L'); б) в противоположные (L")?

5. Как в работе определяют взаимную индуктивность М ?

78

Детлаф А.А., Яворский Б.М., Курс физики. — М.: Высш. шк., 2000. §

25.2, 25.3.

79


ИЗУЧЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЦЕПИ С

ИНДУКТИВНОСТЬЮ

Цель работы — исследование переходных процессов при замыкании и размыкании

RL-цепи, определение индуктивности катушки.

Введение

При включении и выключении электрических цепей, содержащих ем-

кости и индуктивности, в цепях протекают переходные процессы, которые

обусловлены изменениями энергии электрического и магнитного полей. Ин-

дуктивность цепи проявляется в замедлении процессов исчезновения или

установления тока в цепи. Причиной такого замедления является возникаю-

щая ЭДС самоиндукции из-за появления вихревого электрического поля, со-

вершающего работу.

Причем при замыкании цепи это поле направлено так, чтобы препят-

ствовать мгновенному нарастанию тока, а при размыкании цепи вихревое

электрическое поле препятствует мгновенному убыванию тока в цепи.

При замыкании или размыкании цепи, содержащей источник ЭДС

е, индуктивность L и сопротивление R (рис. 1), возникает ЭДС самоин-

дукции, препятствующая, согласно закону Ленца, изменению тока. Поэтому

ток в цепи устанавливается (или исчезает) не сразу, а в течение конечного

промежутка времени.

Рис. 1

Рассмотрим процесс нарастания тока (переключатель К ставят в поло-

жение 1) . В этом случае в цепи будут действовать ЭДС источника е и

ЭДС самоиндукции равная

t

IL

d

d. На основании обобщенного закона

Ома запишем t

ILeIR

d

d . Преобразуем это уравнение к виду

L

R

e

2

1

К

80

L

eI

L

R

t

I

d

d. (1)

Решением данного уравнения является выражение

t

L

R

R

e

R

eI exp . (2)

В этом легко убедиться, если подставить выражение (2) в уравнение

(1 ) . Так как установившийся в цепи ток ReI /0 , то нарастание тока

определяется законом (см. рис. 2)

t

L

RII exp10 . (3)

При размыкании (переключатель — в положении 2) в цепи будет действо-

вать только ЭДС самоиндукции, тогда обобщенный закон Ома имеет вид

t

ILIR

d

d или после преобразования

0d

d I

L

R

t

I.

Решением полученного уравнения является функция

t

L

RII exp0 . (4)

График нарастания и убывания тока в RL-цепи дан на рис. 2. Скорость

нарастания или исчезновения тока определяется величиной = L/R, ко-

торую называют постоянной времени. После подстановки значения фор-

мула (4) примет вид

/exp0 tII .

Из этого выражения видно, что есть время, в течение которого си-

ла тока уменьшается в е раз.

В данной работе для удобства измерений определяют время 1/2, в

течение которого ток I принимает значение, равное половине установивше-

гося тока I0 (см. рис. 2).

81

Рис. 2

Заменив в формуле (3) I/I0 через 1/2 и t через 1/2, получим

2

1exp 2/1

L

R.

После логарифмирования этого выражения найдем величину индук-

тивности катушки

ln2

τ1/2RL . (5)

Следовательно, зная сопротивление цепи R и измерив время 1/2,

можно рассчитать L по формуле (5).


Схема установки представлена на рис. 3.

Источником напряжения е в настоящей работе служит генератор прямоуголь-

ных импульсов Г, длительность которых равна 0,1 — 103 мкс.

Г

L

R Э

О

Рис. 3

I0

2

0I

1/2 t

I

82

Для изучения процессов, происходящих при замыкании и размыка-

нии RL-цепи, используют осциллограф. Напряжение U с сопротивления R

подают на вертикально отклоняющие пластины Y осциллографа и на его

экране наблюдают устойчивую картину нарастания и спада этого напряже-

ния (рис. 4).

Рис. 4

Поскольку величина U пропорциональна силе тока, то для любого

момента времени U = IR, а для установившегося тока U0 = I0R. Отсюда

следует, что U/U0 = I/I0. Тогда 1/2 найдем, как время, в течение которого

U принимает значение U0/2. Величину 1/2 определяют по горизонтальной

оси сетки экрана осциллографа. Расстояние n, см, соответствующее 1/2 при

замыкании цепи (см. рис. 4), умножают на коэффициент развертки

(например, 2 мкс/см) и на показание ручки «множитель» (1). Тогда 1/2 = =

(n21) мкс. Измерение 1/2 проводят для нескольких значений R. В качестве

переменного сопротивления в работе используют магазин сопротивлений. Ин-

дуктивность катушки вычисляют по формуле (5). При этом необходимо

учесть, что сопротивление цепи (см. рис. 3) представляет собой сумму сопро-

тивлений магазина R и генератора r. Тогда

2ln

)(τ 2/1 rRL

. (6)

Время 1/2 можно определить по току размыкания. В этом случае измеряют

расстояние в сантиметрах по горизонтальной оси, соответствующее измене-

нию напряжения от U0 до U0/2 (см. рис. 4).


U0

U0/2

1/2 1/2

83

1. Собирают схему согласно рис. 3, следя за тем, чтобы концы кабелей от

генератора и осциллографа с обозначением «Земля» () были соединены

вместе. На магазине сопротивлений устанавливают наименьшее значение R

из указанных в инструкции к работе.

2. Включают генератор импульсов и осциллограф тумблером «Сеть», у ге-

нератора нажимают кнопку «Запуск». Положения ручек осциллографа и

генератора устанавливают в строгом соответствии с указаниями к работе.

3. Наблюдают импульс на экране осциллографа. Ручками «↕ » и «↔ » для

вертикального и горизонтального перемещения луча располагают им-

пульс в центре экрана. С помощью соответствующей ручки генератора

(указана в таблице к работе) устанавливают U0 так, чтобы легко нахо-

дить значение U0/2, например U0 соответствует 4 см по вертикальной

шкале экрана осциллографа.

4. Измеряют расстояние по горизонтальной оси n, см, соответствующее U

= U0/2, предварительно с помощью ручки «↔» перемещают импульc в

положение, удобное для отсчета 1/2.

5. Повторяют измерения пп. 3, 4 для четырех значений R магазина.

6. По указанию преподавателя пп. 3 — 5 проделывают для тока размыка-

ния.



r = . . . Ом; коэффициент развертки =… мкс/см

множитель = . . . Таблица 1

№ R магазина, Ом n, см 1/2, мкс L, мкГ

Среднее

1. Вычисляют 1/2, умножив n, см, на «коэффициент развертки» и на пока-

зание «множителя».

2. По формуле (6) находят L.

3. Составляют аналогичную таблицу для тока размыкания и выполняют вы-

числения по пп. 1, 2.

4. Проводят расчет погрешности величины L по формуле

2222

rR

rR

n

nLL

.

84

5. Записывают окончательный результат.


1. Проследить за изменением формы импульса на экране осциллографа при

изменении длительности импульса генератора.

2. Объяснить полученный результат.


1. Какие явления происходят при замыкании и размыкании RL-цепи? По

какому закону изменяется ток в том и другом случаях?

2. В чем заключается метод, использованный в работе для определения L?

Выведите расчетную формулу.

3. Что называется постоянной времени RL-цепи, от чего она зависит?

4. Что такое 1/2 и как его измеряют в данной работе?

5. Объясните качественно почему при включении и выключении источ-

ника ЭДС в цепи, изменение тока происходит монотонно?

6. В чем заключается сущность переходных процессов в электрических

цепях?

7. Как увеличить или уменьшить 1/2?


25.2.

85


ИЗМЕРЕНИЕ ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТИ

Цель работы — определение взаимной индуктивности М соленоида и надетой на

него короткой катушки; изучение зависимости величины М от взаимного расположения

соленоида и катушки, а также зависимости ЭДС индукции от частоты генератора; про-

верка независимости взаимной индуктивности от частоты и напряжения генератора.

Введение

Взаимная индуктивность характеризует индуктивную связь между

двумя контурами (рис. 1).

Рис. 1

Если в контуре I течет ток I1, то созданное им магнитное поле В1 про-

низывает контур II. Полный магнитный поток 21, сцепленный с контуром II

и называемый потокосцеплением, пропорционален величине индукции В1 и,

следовательно, току I1. Таким образом,

12121 IM , (1)

где коэффициент пропорциональности М21 называется взаимной индуктив-

ностью контуров. По закону электромагнитной индукции при любом изме-

нении тока I1 в контуре II индуцируется ЭДС

t

IMе

d

d 12121 . (2)

Аналогичные рассуждения можно провести для контура I, если про-

пускать ток I2 по контуру II. Тогда в контуре I индуцируется ЭДС

I

I1

II

86

t

IMе

d

d 21212 . (3)

Как показывает теория, взаимные индуктивности в отсутствие ферро-

магнетиков всегда равны друг другу

1221 MM . (5)

В этом случае их величина не зависит от тока в первом или втором

контуре, а определяется только взаимным расположением, формой и разме-

рами обоих контуров. При наличии сердечника (ферромагнитной среды) ве-

личины M21 и М12 не равны друг другу и зависят от магнитной проницаемо-

сти среды , которая, в свою очередь, является функцией тока.

В данной работе изучается взаимная индуктивность соленоида (длин-

ная катушка) и короткой катушки, которая надета на соленоид и может пе-

ремещаться вдоль его оси. Вблизи середины соленоида, по которому течет

ток I1, величина индукции магнитного поля равна

11101 / NIμB ,

где N1 — число витков соленоида; 1 — длина соленоида (рис. 2).

Рис. 2

Если короткая катушка расположена посередине соленоида, то сцеп-

ленный с ней полный магнитный поток 11221 BSN , где N2 — число вит-

ков короткой катушки; S1 — площадь сечения соленоида. Подставляя В1, по-

лучаем

11

121021 μ I

SNN

. (5)

Сравнивая формулы (1) и (5), найдем

1

2

S2

87

1

121021

SNNμM . (6)

В настоящей работе экспериментально проверяется справедливость

равенства М21 = М12 для данного конкретного случая.


Измерение взаимной индуктивности выполняют следующим образом.

От низкочастотного генератора (Г) переменное напряжение tUU cos0

подается на последовательно соединенные соленоид (катушка I) и резистор

R (рис. 3). Значение сопротивления R подбирают настолько большим, чтобы

оно в несколько раз превышало суммарное омическое R1 и индуктивное L

сопротивления соленоида, т. е.

221 LRR . (7)

Рис. 3

Проходящий через катушку I ток в этом случае можно определить по

формуле

R

UI 1 или t

R

UI cos01 . (8)

Магнитный поток через контур II (маленькую катушку) является пе-

ременным во времени и создает в ней ЭДС индукции (см. формулы (2), (8)):

tR

UMе sin0

2121 или tее sin021 . (9)

Величина

R

UMе 0

210 (10)

является амплитудой ЭДС индукции, возникающей в короткой катушке II.

Милливольтметр (мВ) измеряет действующее значение переменного напря-

жения, поэтому, если его подключить к контуру II, то он покажет значение

мВ

I

I1, R1

II

Г

R

88

2/0ее . Подключая милливольтметр к генератору, измеряем действую-

щее значение 20 /UU . Следовательно, из (9) можно найти величину

взаимной индуктивности

U

еR

U

RеM

0

021 .

Поскольку 2 , то

U

еRM

221 . (10)

Таким образом, зная R (указано на установке), измеряя е с помощью

милливольтметра, U — с помощью милливольтметра, подключая его к вы-

ходу генератора (специальная клемма на стенде), определяя частоту генера-

тора по шкале частот, вычисляем М21. Подключив короткую катушку II к

генератору, а соленоид к милливольтметру, аналогично определяем величи-

ну М12 и убеждаемся в справедливости равенства (4). Небольшие расхожде-

ния объясняются тем, что не учитываем индуктивные и омические сопро-

тивления катушек при расчете токов.

Работа состоит из трех частей. В первой части изучают зависимость М

от взаимного расположения катушек. Для этого при неизменных U и пе-

ремещают короткую катушку II вдоль соленоида. На шкале, укрепленной

параллельно его оси, точка «0» соответствует середине соленоида. При каж-

дом новом положении контура II измеряют е и по формуле (10) рассчиты-

вают значение М21 (М12).

Схема установки для измерения взаимной индуктивности М представ-

лена на рис. 4. Клемма а служит для присоединения катушек к генератору

(Г), клемма б — к милливольтметру. Если подключить короткую катушку II

к генератору, а катушку I (соленоид) — к милливольтметру (сплошные ли-

нии на рис. 4), то милливольтметр покажет ЭДС индукции е , возникающую

в соленоиде I. При переключении катушек (штриховые линии на рис. 4)

милливольтметр показывает ЭДС индукции е в контуре II при изменении

тока в соленоиде, присоединенном к генератору.

Во второй части работы при фиксированном положении катушек и по-

стоянном U определяют по милливольтметру величину е при разных ча-

стотах генератора.

R

Г L1

L2

мВ

ЭО

а б

89

Рис. 4

В соответствии с законом электромагнитной индукции устанавливают,

что ЭДС индукции е (или е ) в одном контуре пропорциональна скорости

изменения магнитного потока в этом же контуре, но создаваемым током

другого контура, т. е. зависит от частоты колебания тока во втором конту-

ре.

В третьей части проверяют независимость взаимной индуктивности М

от частоты и напряжения U (и, следовательно, от тока). С этой целью рас-

считывают М для нескольких частот (при постоянном U) и для разных U

(при постоянной ) для фиксированного положения катушек.

В каждой части работы перед началом количественных измерений

проводят качественные эксперименты с помощью осциллографа ЭО.


Часть I

Определение взаимной индуктивности и ее зависимости от взаимного рас-

положения катушек

1. Собирают схему (см. рис. 4). При этом необходимо проследить, чтобы

концы кабелей от приборов (генератора, осциллографа, милливольтмет-

ра) с обозначением «Земля» были соединены вместе (к нижнему ряду

клемм на специальной панели). Катушку II присоединяют к генератору

(клемма а), катушку I — к милливольтметру (клемма б).

2. Включают тумблер «Сеть» на генераторе, осциллографе, милли-

вольтметре.

3. Помещают катушку II на середину соленоида (r = 0).

4. Когда приборы прогреются (2-4 мин), с помощью соответствующих ру-

чек генератора устанавливают значение U на вольтметре генератора и

значение , которые указаны в таблице, приложенной к установке.

5. Проводят качественный эксперимент. Передвигая катушку II от середи-

ны соленоида к его краю, следят за изменением амплитуды ЭДС индук-

ции на экране осциллографа и одновременно за показаниями милливоль-

тметра. Поскольку магнитная индукция на краю соленоида в два раза

меньше, чем в его середине, то смещение катушки II на край соленоида

вызывает уменьшение ЭДС индукции, а также коэффициента М в два ра-

за.

6. Повторяют качественный эксперимент, поменяв ролями катушки I и II с

помощью клемм а и б.

7. Отключают осциллограф (отсоединяют от измерительной схемы).

8. Снова устанавливают короткую катушку на середину соленоида, катуш-

ку II присоединяют к генератору, катушку I — к милливольтметру. Запи-

90

сывают в таблицу показания милливольтметра е и положение катушки

(r = 0).

9. Передвигают катушку II, записывая в таблицу ее положение r и показа-

ния милливольтметра е , особенно часто (через 1 — 0,5 см) там, где про-

исходят сильные изменения ЭДС индукции.

10. Переключив катушки (штриховая линия на рис. 4), повторяют все изме-

рения для е .

11. Пределы милливольтметра устанавливают в зависимости от частоты и

расстояния r ( 30 или 100 мВ).

12. Результаты измерений заносят в табл. 1.

Часть 2

Изучение зависимости ЭДС индукции от частоты генератора

1. Устанавливают короткую катушку в определенное положение (например,

r = 0) и. снова включают осциллограф.

2. Изменяют частоту генератора в пределах от 20 до 70 кГц и наблюдают на

экране осциллографа изменение амплитуды ЭДС индукции.

3. Через каждые 10 кГц записывают показания милливольтметра е или е

в табл. 2, при этом напряжение генератора U необходимо поддерживать

постоянным (ручка «Per. выхода»).

Часть 3

Проверка независимости взаимной индуктивности от частоты и

напряжения U

1. Используя данные табл. 2, рассчитывают для любых трех различных ча-

стот величину М по формуле (9). Результаты заносят в табл. 3.

2. Измеряют е или е для любых трех разных значений напряжения гене-

ратора U при неизменной частоте и фиксированном положении кату-

шек (табл. 4).

3. Наблюдают качественно картину изменения е на экране осциллографа

при изменении U.

Положения всех ручек на генераторе и осциллографе указаны на табличке к

установке.



R = 4,7 кОм U = 10 В = 20 кГц

Зависимость взаимной индуктивности от положения катушек

91

Таблица 1 № r, см

0е мВ М21, мкГн 0е , мВ М12, мкГн Мср, мкГн

Зависимость амплитуды ЭДС индукции от частоты звукового генератора

Таблица 2 № , кГц е, мВ

Таблица 3 № , кГц е, мВ, М, мкГн

Таблица 4 № U е, мВ М, мкГн

1. для данных табл. 1 по формуле (10) вычисляют взаимную индуктивность

для каждого взаимного положения катушек М12 и М21 и находят среднее

значение 2

2112ср

MMM

.

2. Строят графики зависимостей M = f(r) и е = f() (см. табл. 1, 2).

3. Табл. 3 заполняют согласно п. 1 части 3.

4. По данным табл. 4 находят по (10) значение М для разных U.

5. В соответствии с известными правилами производят расчет погрешности

М

2

0

0

222

0

0

U

U

R

R

е

еММ .

Погрешности U и е определяют по классу точности приборов, по-

грешность частоты — 2% от измеряемой величины . Рассчитывают Мср

для случая r = 0 и сравнивают полученную величину с максимальной

разностью 2112 MM .

6. Убеждаются в независимости величины М от U и . Для этого по резуль-

татам расчетов табл. 3 и 4 находят максимальный разброс величины М и

сравнивают его с погрешностью M .

92


Провести экспериментальную проверку применимости формулы I=U/R

(см. описание метода измерения в разд. 2). Для этого надо самостоятельно

решить, какие измерения и на каких участках цепи необходимо провести.


1. В чем заключается явление взаимной индукции? От чего зависит взаим-

ная индуктивность контуров?

2. Объясните принцип работы электрической схемы и метод определения М

в данной работе. Выведите расчетную формулу для М.

3. Как экспериментально доказать, что M21 = M12?

4. Как по результатам эксперимента обосновать независимость М от U и ?

5. Объяснить графики зависимости М(r) и е= f().

Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. — М.: Высш. шк. 2000 §

25.1, 25.3

93


ИЗУЧЕНИЕ КРИВОЙ МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ В

ЖЕЛЕЗЕ ПО МЕТОДУ СТОЛЕТОВА

Цель работы — изучение зависимости магнитной индукции и магнитной прони-

цаемости от напряженности магнитного поля для ферромагнитного материала.

Введение

Магнитное поле в веществе создается не только макротоками (сво-

бодными зарядами, движущимися упорядоченно в проводнике под действи-

ем электрического поля), но и микротоками, обусловленными внутриатомным

движением электронов. Внутриатомные движения сложны, подчиняются

квантовым законам. По современным представлениям магнетизм вещества

объясняется как орбитальным движением электронов вокруг ядер атомов, так

и собственным, или спиновым, моментом электронов. В ферромагнитных те-

лах определяющее значение имеет спиновое движение.

И то, и другое движение электрона характеризуется величиной маг-

нитного момента mP

. Полный магнитный момент атома равен векторной

сумме магнитных моментов, созданных орбитальным и спиновым движением

всех электронов, входящих в его состав.

Влияние микротоков на магнитное поле зависит от ориентации магнит-

ных моментов атомов. Если все магнитные моменты атомов вещества (маг-

нетика) расположены хаотично, то оно не создает магнитного поля. Если

имеется хотя бы частично упорядоченная ориентация атомных магнитных

моментов, то магнетик создает свое магнитное поле. Такой магнетик называ-

ется намагниченным.

1. Описание метода измерений и установки

Для характеристики магнитного состояния магнетика вводится вектор

J, равный отношению векторной суммы магнитных моментов атома в ма-

лом объеме V к величине этого объема

VPJатомовm /

.

Вектор J называется намагниченностью. При наличии в магнитном поле

магнетиков вектор индукции B

— основная силовая характеристика маг-

нитного поля — складывается из магнитных индукций внешнего поля 0B

макротоков и внутреннего поля B

, создаваемого микротоками: BBB

0 .

94

Вектор B

зависит от физических свойств, размеров, формы и расположения

магнетиков: ),( микромакро IIfB

. Это обстоятельство сильно затрудняет

непосредственный расчет B

. Во многих случаях расчеты упрощаются введе-

нием еще одной характеристики магнитного поля — вектора напряжен-

ности H

JB

H

0μ

. (2)

Вектор H

удобен тем, что его циркуляция (т. е.

dH ) в произволь-

ном магнитном поле при наличии любых магнитных тел равна алгебраиче-

ской сумме макротоков, сцепленных с контуром L, а от микротоков не за-

висит:

макроIdHL

. (3)

Соотношение (3) называется обобщенным законом полного тока. Сам

вектор H

в общем случае может зависеть от Iмакро и от Iмикро.

Для изотропных магнетиков векторы B

и H

параллельны, и связь

между ними может быть записана в такой форме:

HB

μμ0 , (4)

где 0 — магнитная постоянная; 7

0 10π4μ Гн/м; — магнитная проница-

емость вещества.

Характерной особенностью ферромагнетиков является сложная нели-

нейная зависимость между B

и H

. Это означает, что магнитная проница-

емость ферромагнетиков зависит от напряженности поля Н. Максимальные

значения в ферромагнетиках очень велики (до 105 — 10

6), т. е. внутрен-

нее поле в них во много раз превышает вызвавшее его внешнее магнитное

поле.

Таким образом, небольшое внешнее магнитное поле вызывает высо-

кую намагниченность, обусловленную упорядочением магнитных моментов

атомов, которая может сохраняться и в отсутствие внешнего магнитного по-

ля. Это объясняется тем, что магнитные моменты атомов в таких веществах

испытывают сильное воздействие со стороны соседних атомов. Магнитоупо-

рядоченное состояние вещества, в котором большинство атомных моментов

параллельны друг другу, т.е. самопроизвольная (спонтанная) намагничен-

ность, может сохраняться в отсутствие внешнего поля при температурах ни-

же точки Кюри Tс достаточно долго. Данное явление не объясняется в рам-

95

ках классической физики, а в квантовой механике объясняется так называе-

мым обменным взаимодействием между атомами, которое стремится устано-

вить спины (а следовательно, и магнитные моменты) соседних атомов или

ионов параллельно друг другу. Под спином электрона в квантовой механике

понимается собственный момент импульса электрона. Ярко выраженными

ферромагнитными свойствами обладают переходные элементы, у которых

происходит заполнение d- и f-слоев. Электроны проводимости благодаря об-

менному взаимодействию с этими слоями, участвуют в спонтанной намагни-

ченности ферромагнетика. К таким веществам относятся железо, кобальт,

никель, редкоземельные элементы , а также их соединения или сплавы

(например, очень сильными ферромагнитными свойствами обладает сплав

кобальта с самарием).

В отсутствие внешнего магнитного поля в ферромагнетиках суще-

ствуют макрообласти спонтанного намагничивания, называемые магнитны-

ми доменами. Доменная структура представляет собой чередующиеся слои с

взаимно противоположным направлением намагниченности. Образование

доменов является результатом двух конкурирующих механизмов взаимо-

действия — обменного и магнитного. Обменное взаимодействие стремится

установить магнитные моменты параллельно, т.е. суммарный магнитный

момент домена возрастает. Это —близкодействующее взаимодействие

(только между соседними атомами). Второе, дальнодействующее магнитное

взаимодействие ориентирует антипараллельно векторы намагниченности

соседних доменов. При внесении ферромагнетика во внешнее поле , послед-

нее ориентирует все векторы намагниченности доменов по полю, и чем

сильнее внешнее поле, тем большее число магнитных моментов доменов

выстраивается по полю. В достаточно сильных полях наступает насыщение,

т.е. намагниченность перестает возрастать с увеличением напряженности

внешнего магнитного поля.

Значение намагниченности J зависит от «магнитной предыстории» об-

разца, т.е. зависимость J от H является неоднозначной, наблюдается так

называемый гистерезис. Более подробно явление гистерезиса рассматрива-

ется в лабораторной работе № 18.

Для экспериментального исследования зависимостей В от Н и от Н в

данной работе используется метод Столетова.

Исследуемый образец представляет собой тонкое железное кольцо —

тороид, на который равномерно по всему кольцу намотана первичная об-

мотка I (рис. 1) с числом витков N1. Эта обмотка соединена с источником.

Текущий по обмотке I ток I создает внутри тороида магнитное поле, напря-

женность которого можно найти по закону полного тока (3):

INH 1 , (5)

96

где ℓ — длина кольца (штриховая линия на рис. 1). Так как кольцо тонкое,

магнитное поле по сечению кольца можно считать однородным.

Рис. 1

Каждому значению тока I соответствует определенное значение не

только напряженности H, но и индукции В. При экспериментальном определе-

нии значения В используется явление электромагнитной индукции. Для

этого на кольцо навивается вторичная обмотка II с небольшим числом вит-

ков N2 (см. рис. 1). Концы обмотки II подключают к баллистическому галь-

ванометру. (Описание баллистического гальванометра дано в лаборатор-

ной работе № 2.) Схема установки представлена на рис. 2. Здесь БП — блок

питания; мА — миллиамперметр для измерения тока в обмотке I. С помощью

переключателя (П) изменяют направление тока в катушке I на противополож-

ное (при неизменной величине тока). При этом происходит изменение

направления вектора B

, а следовательно, изменение и полного магнитного

потока (потокосцепления), пронизывающего витки вторичной обмотки. По

закону Фарадея в обмотке II возникает ЭДС индукции t

еd

d и в цепи

баллистического гальванометра (Г) появляется индукционный ток

tRR

еI

d

d1инд

.

Так как максимальный отброс «зайчика» баллистического гальваномет-

ра пропорционален не току, а заряду, проходящему по нему, то для заряда

имеем RtIq /ddd инд . Проинтегрировав это выражение, найдем полный

индукционный заряд, прошедший через гальванометр при изменении направ-

ления тока в катушке I:

,1

d1

d 212

21

2

1

R

N

RRqq

I

I

H

d

II

97

где Ф1 и Ф2 — начальный и конечный магнитные потоки сквозь поверх-

ность одного витка II катушки.

Рис. 2

Так как 0cos1 BS ,

180cos2 BS то Ф = 2BS, где S — пло-

щадь сечения тороида.


R

BSNq 22 . (6)

Заряд q определяют по отбросу «зайчика» баллистического гальвано-

метра q = An, где A — баллистическая постоянная гальванометра. Подставив

q = An в формулу (6), получим окончательное выражение для расчета В

CnSN

AnRB

22, (7)

где

22SN

ARC . (8)

Таким образом, работа сводится к независимым друг от друга опре-

делениям Н (5) и В (7) при 15 различных токах I в первичной цепи. Зна-

чения постоянных A, В, S, ℓ, N1, N2 заданы на установке. Магнитную прони-

цаемость рассчитывают по формуле

H

B

0μμ (9)


1. Собирают цепь согласно рис. 2. Тумблером «сеть» включают БП.

2. Замыкают переключатель П при разомкнутом ключе К. С помощью руч-

ки, находящейся на панели БП.

БП мА

К

Г

П

I

I II

98

3. Устанавливают максимальное значение тока в первичной обмотке (указа-

но на установке).

4. Замыкают вторичную цепь ключом К и замечают нулевое положение

«зайчика» на шкале баллистического гальванометра.

5. Изменяют переключателем П направление тока в первичной цепи на

противоположное и измеряют крайнее деление n, до которого отклонил-

ся «зайчик».

6. Размыкают ключом К вторичную цепь, возвращают переключатель П в

исходное положение.

7. Ручкой источника БП уменьшают ток I в обмотке I. При новом значении

тока проделывают все, что указано в п. 3 — 5. При каждом значении тока

(от максимального до 0,005 А) измеряют отброс «зайчика» n (всего 15

значений). (Каждый раз, устанавливая новое значение тока, необходимо

размыкать ключом К вторичную цепь).



N1 = . . .;N2 = . . .; S = . . .; A = . . . ; R = . . .; ℓ = . . .

Таблица 1

№ I, A H, А/м n, дел B, Тл

1. Рассчитывают напряженность поля для всех токов по формуле (5).

2. Определив постоянный коэффициент С по формуле (8), рассчитывают

магнитную индукцию для всех токов по формуле (7).

3. По результатам вычислений В и Н находят для каждого тока по фор-

муле (9).

4. Проводят расчет погрешностей величин Н, В и по обычным правилам.

Рассчитывают погрешности для случая максимального тока.

2

2

2

2222

N

N

S

S

n

n

R

R

A

AВВ ;

222

1

1

I

I

N

NHH .

5. Записывают окончательный результат для Н, В и .

6. Строят графики B = f(H), = f(H).

99


1. Рассчитать вектор намагниченности и построить кривую зависимости

J=f(H).

2. При максимальном токе рассчитать величину В намагничивающего поля

и сравнить ее с величиной В результирующего поля в магнетике при

том же токе.


1. Какая связь существует между векторами B

, H

и J

?

2. Дать определение вектора B

и вектора J

.

3. Какова цель работы? Нарисовать схему установки, объяснить, как вы-

полняется работа.

4. Каким образом в работе находят Н?

5. Какое физическое явление используется для определения В? Вывести рас-

четую формулу.

6. Как определяют величину ?

Детлаф А.А., Яворский Б.М., Курс физики. — М.: Высш. шк., 2000. §

24.4, 24.5.

100


ОЗНАКОМЛЕНИЕ С ОСЦИЛЛОГРАФОМ И ИЗУЧЕ-

НИЕ ПЕТЛИ ГИСТЕРЕЗИСА

Цель работы — определение основных характеристик ферромагнетика и получение

петли гистерезиса с помощью электронного осциллографа. Работа состоит из двух частей.

В первой изучается принцип действия осциллографа, описанный в приложении. Во вто-

рой — исследуется ферромагнетик.

Введение

Магнитная индукция B

в ферромагнетиках сложным образом зависит

от напряженности внешнего поля H

. Эта зависимость, когда исходным явля-

ется полностью размагниченное состояние, называется основной кривой

намагничивания. Она изображена на рис. 1 жирной линией 0 — 1. Видно,

что зависимость В (H) нелинейна. Для ферромагнетиков характерно также

наличие гистерезиса. При действии на ферромагнетик переменного магнитного

поля величина магнитной индукции В меняется по замкнутой петле 1 – 2 – 3 – 4

– 5 – 6 – 1 (рис. 1), которая называется петлей гистерезиса. Если постепенно

увеличивать амплитуду переменного тока, определяющего напряженность

магнитного поля Н, то можно наблюдать постепенное увеличение площади

петли (см. штриховые кривые на рис. 1). При достаточно большой напря-

женности петля перестает меняться (максимальная петля) и лишь про-

должают изменяться ее линейные участки 1 – 1, 4 – 4. Вершины петель

располагаются на основной кривой намагничивания.

Гистерезис проявляется в том, что намагничивание ферромагнетика не

является однозначной функцией H, а зависит от предыстории образца — от

того, в каких полях он был прежде. Например, в поле напряженности Н1 (см.

рис. 1) величина В может принимать значения от 1B до 1B .

Рис. 1

1 1

2

3

4 4

5

6 Bост

B

Н

Нкоэрц

1B

1B

0

101

Максимальная петля гистерезиса является характеристикой магнит-

ных свойств материала. В частности, пересечение ее с осью ординат опреде-

ляет остаточную индукцию Вост, а пересечение с осью абсцисс — напряжен-

ность поля, необходимую для размагничивания образца и называемую коэр-

цитивной силой Нкоэрц.

Осциллографический метод исследования петли гистерезиса позволяет

наблюдать ее визуально и относительно просто определять Вост и Нкоэрц.

Площадь петли пропорциональна энергии, которую необходимо затратить

на перемагничивание единицы объема образца в одном цикле.


Рассмотрим схему, приведенную на рис. 2.

Рис. 2

На первичную обмотку I тороидального ферромагнитного образца

подают переменное напряжение от блока питания ВС-24. Ток I1 первич-

ной обмотки создает намагничивающее поле, напряженность которого рав-

на H = n1I1, где n1 — число витков первичной обмотки на единицу длины

тороида. Напряжение, снимаемое с сопротивления R1 в цепи первичной

обмотки, подают на горизонтально отклоняющие пластины X осциллографа.

Величина этого напряжения пропорциональна напряженности магнитного

поля Н:

Hn

RRIxU

1

111 . (1)

На вертикально отклоняющие пластины Y подают разность потенци-

алов Uy, которую снимают с конденсатора, включенного последовательно с

сопротивлением R2 в цепь вторичной обмотки II тороида. Покажем, что Uy

пропорциональна величине магнитной индукции В. Во вторичной обмотке

БП

R1 R2

I II C

Y X

Э

О

102

тороида возникает ЭДС индукции, равная t

Nеd

d2

, где Ф — магнит-

ный поток через один виток площадью S; N2 — число витков. Поскольку в

тонком тороиде магнитное поле можно считать однородным, то Ф = ВS и

t

BSNе

d

d2 . (2)

Значения R2 и С подбирают таким образом, чтобы разность потенциалов

на конденсаторе была мала по сравнению с напряжением на сопротивлении R2.

При этих условиях ток во вторичной цепи равен 22 / RеI Учитывая выра-

жение (2), получаем

t

B

R

SNI

d

d

2

22 . (3)

Величину Uy находят по формуле t

y tICC

qU

0

2d1

, где t

tIq0

2d — заряд

на обкладках конденсатора. Подставляя значение I2 из уравнения (3), будем

иметь

BCR

SNB

CR

SNU

B

y

2

2

02

2 d . (4)

В результате на одни пластины X подается разность потенциалов, про-

порциональная Н, на другие Y — пропорциональная В, и на экране осцилло-

графа будет наблюдаться петля гистерезиса.

За один период синусоидального изменения тока след электронного

луча на экране образует полную петлю гистерезиса, а за каждый после-

дующий период в точности повторяет ее, поэтому на экране видна непо-

движная петля.

Получая на экране осциллографа последовательно ряд петель гистере-

зиса и измеряя координаты их вершин, можно построить основную кривую

намагничивания B = f(H).

Для нахождения значений Н и В необходимо знать градуировку сетки

экрана трубки, т. е. определить, какое напряжение, поданное на вход X и Y

(Uox, Uoy), вызывает отклонение пятна на одно деление координатной сетки.

Тогда Ux=UoxX, Uy=UovY, где X и Y — координаты вершин петель гистерези-

са (рис. 3), и, согласно (1) и (4):

xUR

nH ox

1

1 ; (5)

103

yUSN

CRB oy

2

2 . (6)

Рис. 3

По максимальной петле гистерезиса определяем Вост и Нкоэрц, измерив

соответствующие координаты (удвоенные) 2yост и 2xкоэрц (см. рис. 3) в делениях

сетки экрана. Измерение отрезков, равных удвоенным координатам, произво-

дят для большей точности (так как положение центра петли определяется не-

точно).


1. Ознакомиться с методическими указаниями по регулировке осциллографа

(на стенде).

2. Цепь, представленная на рис. 2, смонтирована вместе с исследуемым то-

роидом внутри корпуса стенда. На его переднюю панель выведены клем-

мы Ux и Uy. Для получения петли гистерезиса соединяют кабелем клем-

мы Ux и пластины X осциллографа. Затем подключают кабель, идущий

от гнезда осциллографа (вход Y), к клеммам Uy.

3. Устанавливают переключатель «Усилитель Y» осциллографа в положение,

указанное на установке. Развертку отключают.

4. В первичную обмотку исследуемого образца подают переменное напря-

жение от источника «ВС-24». Величину напряжения U измеряют вольт-

метром, находящимся на панели источника. Наблюдают на экране трубки

появление петли гистерезиса.

5. С помощью ручки « ↕ » располагают петлю симметрично относительно

центра координатной сетки.

Y

X

2yост

2xкоэрц

2x

2y

104

6. Работу начинают с такого значения U в первичной цепи, при котором

наблюдаемая петля максимальная.

7. Определяют координаты вершин 2у и 2х максимальной петли в делениях

сетки (см. рис. 3).

8. Уменьшая U с помощью ручки блока питания ВС-24, производят анало-

гичные измерения для других петель гистерезиса.

9. На максимальной петле определяют 2yост и 2хкоэрц в делениях сетки (см. рис.

3) и заносят в табл. 2.


Данные установки: n1 = . . .; R1 = . . . ; Uox = . . . ; С = . . . ;

N2 = . . . Uoy = . . . ; S = . . .; R2 = . . . . Таблица 1

U, B 2x, мм 2y, мм H, А/м B, Тл

Таблица 2

2xкоэрц 2yост Вост, Тл Нкоэрц, A/м

1. По формуле (5) рассчитывают напряженность Н магнитного поля, Uox

дано на установке.

2. По формуле (6) находят индукцию магнитного поля В, Uoy определяют

по положениям ручки «усиление» и тумблера (10, 1) «усилителя Y»

осциллографа.

3. По найденным значениям H и B в вершинах петель гистерезиса строят

основную кривую B = f(H).

4. Вычисляют Hкоэрц и Воcт соответственно по формулам (5) и (6).

5. По характерным точкам рисуют наблюдаемую на экране максимальную

петлю гистерезиса.

6. Проводят расчет погрешности Н

222

1

1

2

1

1

x

x

U

U

R

R

n

nНН

ox

ox .


1. Каковы основные свойства ферромагнетиков?

2. В чем заключается явление гистерезиса?

3. Как с помощью осциллографа получают петлю гистерезиса?

105

4. Сделать вывод расчетных формул для Н и В. Как измеряют величины х

и y? Что означают Uox и Uoy?

5. Как определяют Вост и Hкоэрц?


24.4, 24.5.

106


ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОГО ЗАРЯДА ЭЛЕКТРОНА

МЕТОДОМ МАГНЕТРОНА

Цель работы — определение отношения заряда электрона к его массе методом

отклонения в магнитном поле.

Введение

На электрон, движущийся со скоростью

в электрическом и магнит-

ном полях, действует сила

BeEeF

υ , (1)

где е — величина заряда электрона; E

— напряженность электрического по-

ля; B

— индукция магнитного поля.

При определенном выборе полей траектория движущегося электрона

будет плоской и замкнутой. Такие условия движения могут быть получены,

если электронную лампу, катод и анод которой изготовлены в виде двух со-

осных цилиндрических поверхностей, расположить внутри достаточно

длинного соленоида параллельно его оси. Электроны в этом случае будут

двигаться в пространстве, заключенном между катодом К и анодом А (рис.

1). Так как магнитное поле B

направлено вдоль оси электродов лампы, а

электрическое поле E

радиально, то оба поля взаимно перпендикулярны.

Двухэлектродную электронную лампу, в которой электроны, летящие от ка-

тода к аноду, наряду с электрическим полем подвергаются воздействию

внешнего магнитного поля, называют магнетроном.

1. Описание метода измерений и установки

Рассмотрим движение электрона в магнетроне. Точный расчет траек-

тории в таком устройстве (см. рис. 1) не прост, потому что электрон движет-

ся в неоднородном радиальном электрическом поле rE 0πε2/τ , где —

линейная плотность заряда электродов; r — расстояние от рассматриваемой

точки до оси электродов лампы. Однако если радиус катода весьма мал по

сравнению с радиусом анода, то вид этой траектории близок к окружности.

Действительно, в этом случае максимальная напряженность электри-

ческого поля, а следовательно, основное изменение скорости движущегося

электрона будет в области, весьма близкой к катоду. Подавляющую же часть

своего дальнейшего пути электрон пройдет с почти постоянной по модулю

скоростью. Следовательно, вид его траектории будет определяться почти

107

целиком магнитным полем.

Так как векторы B

и υ

взаимно перпендикулярны, a constυ

, то

электрон описывает в однородном магнитном поле магнетрона близкую к

окружности траекторию, плоскость которой перпендикулярна вектору B

, т.

е. оси лампы (рис.2). Нормальное ускорение при движении по этой окруж-

ности создается силой Лоренца BeF υл . Применив второй закон Ньютона,

найдем радиус окружности из уравнения BeRm υ/υ2

eB

mR

υ , (2)

где m — масса электрона.

Рис. 1 Рис. 2

Пренебрегая распределением вылетающих из катода электронов по

скоростям и считая их скорость сразу после вылета из катода равной нулю,

для определения значения воспользуемся законом сохранения энергии

A

2

2

υeU

m , (3)

где UA — анодное напряжение лампы. Действительно, численное значение

скорости, т. е. кинетическую энергию электрона, изменяет электрическое

поле. Магнитное поле меняет лишь направление скорости электрона и не

совершает работы, так как лFυ

.

Из соотношений (2) и (3) получим

2

A2 2

eB

mUR .

Следовательно, при заданном значении UA радиус траектории R

уменьшается с увеличением магнитной индукции В.

Если магнитное поле мало, то практически все электроны, вылетаю-

щие из катода, достигают анода. С ростом магнитной индукции кривизна

траектории электронов увеличивается, при некотором значении В = В0 элек-

К А

Соленоид B

E

Траектория

электрона

Анод

Катод

а R

B

108

троны совсем не попадают на анод и по замкнутой траектории возвращают-

ся к катоду (см. рис. 2). Таким образом, при В = В0 анодный ток резко падает

до нуля. Радиус кривизны траектории электрона, соответствующий В = В0,

можно определить по формуле R=(a – b)/2, где а и b — соответственно ради-

усы анода и катода лампы. Учитывая, что в магнетроне а >> b, с достаточ-

ной степенью точности получим, что R будет равен половине радиуса анода,

т. е. R = a/2. В этом случае

2

0

A2 8

eB

mUa .

Отсюда

2

0

2

A8

Ba

U

m

e . (4)

Для определения е/m используется двухэлектродная лампа, включен-

ная по схеме, данной на рис. 3,а. Лампа помещена в центральную часть со-

леноида L, схема включения которого показана на рис. 3,б.

a) б)

Рис. 3 Здесь ВС-24 — источник питания цепи соленоида; А — анод и К — катод

электронной лампы; БП — блок питания цепи катода UH и цепи анода UА.

Напряжение накала и напряжение в анодной цепи регулируют ручками, рас-

положеннными на панели БП. Ток в соленоиде изменяют с помощью ручки

источника ВС-24. Для определения В0 снимают график зависимости анодно-

го тока IA от тока в соленоиде Iс при фиксированных значениях UH и UA.

График имеет резко спадающий прямолинейный участок (рис. 4), продолжая

который до пересечения с осью абсцисс, получают значение тока I0 в соле-

ноиде, при котором анодный ток практически равен нулю, т.е. большинство

электронов на анод не попадает. Определив из графика I0, находят соответ-

ствующую этому току индукцию В0. Магнитное поле в достаточно длинном

соленоиде можно считать однородным и определять по формуле

NIB 00

0

μ , (5)

мкА БП + +

А К

UН UА

А ВС-24

+ – L

109

где ℓ — длина соленоида; N — число витков; 0 — магнитная постоянная.

Рис. 4

Определив В0, по формуле (4) рассчитывают отношение m

e. Значения

постоянных а, , N указаны на установке, там же даны рекомендуемые зна-

чения UH и UA.


1. Собирают схему согласно рис. 3.

2. Тумблером «сеть» включают источник питания БП и с помощью соответ-

ствующих ручек на его панели устанавливают значения UH и UA, указан-

ные на установке. Величины UH и UA измеряют вольтметрами, находя-

щимися также на панели БП.

3. Включают источник питания цепи соленоида. С помощью ручки на пане-

ли ВС-24 изменяют ток в соленоиде Iс, начиная с нуля, и снимают зави-

симость анодного тока IА от тока в соленоиде Iс. В области значений Iс,

соответствующих наиболее быстрому спаду IА, замеры Iс и IA нужно про-

изводить особенно тщательно и при возможно большем числе различных

значений Iс, поддерживая постоянными UH и UA.

4. Измерения пп. 2 — 3 повторить при другом значении анодного напряже-

ния UA.


Данные установки: а = . . . ; N = . . . ; ℓ = . . . ; UH = . . . . B; . . . A U B; . . . A U

Таблица

Iс, А IA, мкА

m

e Кл/кг Iс, А

IA,

мкА

m

e Кл/кг

1. По результатам измерений строят графики зависимости IA = f(Ic) (см. рис.

IA

Ic I0

110

4) для двух значений UA.

2. Указанным выше способом находят по графикам 0I , 0I и подставляют их

в формулу (5) для определения индукции 0B и 0B .

3. Вычисляют дважды отношение

m

e и

m

e по формуле (4).

4. Для одного из значений AU определяют относительную погрешность ве-

личин В0 и е/m.

222

0

0

2

0

0

2

0

0

N

N

I

I

B

B.

5. Находят абсолютную погрешность для е/m и записывают окончательный

результат.

2

0

0

22

A

A 44

B

B

a

a

U

U

m

e

m

e.


1. Продумать, чем отличается экспериментальная кривая от той, которую

можно получить теоретически в предположении, что начальные скоро-

сти всех вылетевших электронов равны нулю (см. вывод формулы (4)).

2. Какими еще причинами можно объяснить тот факт, что кривая IA спада-

ет в некотором интервале значений В?


1. Что такое магнетрон? Какие поля действуют на движущийся электрон в

данной установке и как они направлены?

2. Какова траектория электрона в магнетроне? Как изменяется форма траек-

тории при изменении B? От чего зависит R траектории?

3. Что происходит в магнетроне при В = В0? Чему равен R при этом усло-

вии?

4. Почему при выводе расчетной формулы для е/m не учитывают действие

электрического поля?

5. Для чего строят график зависимости IА от Iс?

Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. — М.: Высш. шк., 2000. §

23.1.

111


ИЗУЧЕНИЕ ОСЦИЛЛОГРАФА И ПРОВЕРКА ГРАДУИРОВКИ ЗВУКО-

ВОГО ГЕНЕРАТОРА ПО ЧАСТОТЕ

Цель работы — изучение закономерностей сложения взаимно перпен-дикулярных

колебаний. Работа состоит из двух частей. В первой части изучаются правила работы с

осциллографом, а во второй — определяют частоту исследуемого переменного напряже-

ния по методу фигур Лиссажу с помощью осциллографа.

Введение

Пусть два синусоидальных сигнала с амплитудами напряжения U01 и

U02, частотами 1 и 2 и разностью фаз колебаний в момент t — подаются

на входы X и Y осциллографа, тогда смещения луча осциллографа х и y по

осям X и Y относительно исходного (нулевого) положения могут быть запи-

саны в виде:

tAtUSx x 11101 coscos ;

tAtUSy y 22202 coscos , (1)

где А1 = SхU01 и А2 = SyU02 — амплитудные значения смещений луча; Sx —

чувствительность трубки по оси X, а Sy — по оси Y; = 0. (Чувствительно-

стью трубки S, мм/В, называют отношение величины отклонения электрон-

ного луча на экране трубки к величине разности потенциалов соответству-

ющей пары отклоняющих пластин). Задаваясь значениями моментов време-

ни t и определяя соответствующие значения координат луча, по соотноше-

ниям (1) можно построить линию, которую луч осциллографа прочертит на

экране.

Эти линии носят название фигур Лиссажу. Их вид зависит от соотно-

шения амплитуд, частот и фазы складываемых взаимно перпендикуляр-

ных колебаний. На рис. 1 показаны примеры фигур Лиссажу, получающихся

при разных соотношениях частот 1/2 и разном сдвиге фаз . Фигуры Лис-

сажу вписываются в прямоугольник, центр которого совпадает с нулевым

положением луча, а стороны параллельны осям X и Y и равны соответствен-

но 2A1 и 2A2 (рис. 2) ( 2/1/ 21 , 2/ ). Рассмотрим подробнее случай, ко-

гда 2/1/ 21 .

За период колебаний, соответствующий частоте 1, луч отклонится

вдоль оси X от крайнего левого положения до крайнего правого и вернется

назад. Поскольку частота отклонения луча 2 по оси Y в два раза больше, то

за это же время луч успевает вдоль оси Y два раза достичь крайнего верхнего

и крайнего нижнего положений. Таким образом, отношение частот оказыва-

112

ется равным отношению числа касаний соответствующей фигуры Лиссажу

со стороной прямоугольника, параллельной оси Y(ny), и со стороной, парал-

лельной оси Х(nх).


x

y

n

n

2

1 . (2)

x : y Сдвиг фаз

0 /4 /2

Рис. 1

Рис. 2

1 : 1

1 : 2

1 : 3

2 : 3

A1

A2

y

x

113

Для теоретического определения вида фигуры Лиссажу (траектории

луча на экране осциллографа) для bа // 21 и произвольного сдвига фаз

проводят расчет значений координат x и y по формуле (1), полагая а1

и b2 для моментов времени от 0 до Т, где Т определяется как наимень-

шее общее кратное чисел а/2 и b/2 . По рассчитанным значениям строят

график у(х).


Исследуемые колебания с частотой y, источником которых служит

звуковой генератор, подают на вертикально отклоняющие пластины (пл. Y)

осциллографа. На горизонтально отклоняющие пластины (пл. X) поступают

колебания известной частоты x от блока питания ВС-24, который подклю-

чен к сети переменного тока. При сложении этих колебаний луч на экране

трубки опишет одну из фигур Лиссажу. Частоты x и y связаны с круговыми

частотами x и y формулами π2/ων xx и π2/ων yy . Принципиальная

схема соединения источников напряжения и осциллографа изображена на

рис. 3. При неизменной частоте x изменяют частоту генератора y и доби-

ваются появления на экране устойчивых кривых Лиссажу, соответствующих

отношению x:y = 1:1; 2:3; 1:2; 1:3; 1:4. Для каждой фигуры считают число

касаний nх и nу. Используя соотношение (2), рассчитывают частоту исследу-

емого напряжения y по формуле

x

y

xy

n

nνν . (3)

Сравнивают получаемое значение y с соответствующей частотой ге-

нератора.

114

Рис. 3


Часть 1

Ознакомиться с ручками управления и регулировки осциллографа, по-

дробное задание изложено в приложении к работе.

Часть 2

1. В соответствии со схемой (рис. 3) подключают генератор Г с помощью

кабеля к клеммам, обозначенным «пл. Y» (пластины X и Y осциллографа

выведены непосредственно на панели стенда).

2. Соединяют клеммы с обозначениями «ВС-24» с клеммами «пл. X».

3. Переключатель «множитель частоты» генератора устанавливают в поло-

жение «1».

4. Включают осциллограф тумблером «сеть» и источник колебаний извест-

ной частоты тумблером «ВС-24».

5. Медленно вращая рукоятку «частота» генератора, добиваются появления

на экране устойчивой кривой Лиссажу. Наблюдаемую фигуру зарисовы-

вают на миллиметровую бумагу и указывают номер фигуры.

6. Размеры изображения регулируют с помощью ручки «рег. выхода» гене-

ратора и ручкой на панели ВС-24.

7. Записывают частоту звукового генератора для данной фигуры.

8. Считают число касаний nх и ny.

9. Изменяя частоту генератора, получают еще несколько различных фигур

Лиссажу. Для каждой из них повторяют измерения пп. 7, 8.


Данные установки: x = 50 Гц.

Таблица 1 звук.ген., Гц

115

nх : ny

y, Гц

№ фигуры

1. Значение y определяют из соотношения (3).

2. Сравнивают y со значениями генератора для данной фигуры.

3. Рассчитывают теоретически вид фигур Лиссажу для одного из следую-

щих вариантов по указанию преподавателя.

Таблица 2

21 / 2/3 1/5 1/4 1/2

/3 /3 /6 /6


1. В чем состоит метод фигур Лиссажу для определения частот колебаний?

2. Почему одному и тому же соотношению частот соответствует ряд фигур

Лиссажу?

3. Какие фигуры возникают в результате сложения взаимно перпендику-

лярных колебаний с одинаковыми частотами и разностью фаз 0, /2, ?

4. Что означают величины nх и ny? Как их находят?


27.4.

116


ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЗАТУХАЮЩИХ

КОЛЕБАНИЙ ПРИ ПОМОЩИ ОСЦИЛЛОГРАФА

Цель работы — изучение зависимости периода затухающих колебаний и лога-

рифмического декремента затухания от параметров колебательного контура.

Введение

Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С, катушки

индуктивностью L и резистора сопротивлением R, соединенных между со-

бой последовательно (рис. 1).

Рис.1

Если предварительно заряженный конденсатор замкнуть на катушку

индуктивности, то в контуре (см. рис. 1) возникнут свободные (или соб-

ственные) электромагнитные колебания. Точную характеристику этого про-

цесса получим, применив к колебательному контуру обобщенный закон Ома

IR = Uc+е. Здесь Uc — разность потенциалов на обкладках конденсатора в

произвольный момент времени; t

ILe

d

d — ЭДС самоиндукции (в рассмат-

риваемом контуре это единственная ЭДС); ток в контуре I и заряд на кон-

денсаторе q связаны соотношением I = – dq/dt, где q = CUc, знак « – » указы-

вает на то, что положительным считается направление тока, соответствую-

щее убыли заряда (разности потенциалов) на конденсаторе.

Подставив значения е, I и Uc = q/C в закон Ома и разделив на L, полу-

чим

01

d

d

d

d2

2

qLCt

q

L

R

t

q. (1)

Решение уравнения (1) имеет вид

117

00 cos teqq t , (2)

где — круговая частота возникающего в контуре колебательного процесса;

0 — начальная фаза; = R/2L — коэффициент затухания колебаний.

Разность потенциалов обкладок конденсатора изменяется по тому же

закону, что и заряд:

00c cos teUC

qU t , где

C

qU 0

0 .

График зависимости Uc(t) (для 0 = 0) изображен на рис.2. Множитель

A(t) = U0e-t

, называемый амплитудой колебательного процесса, убывает по

экспоненциальному закону (штриховая линия на рис. 2); U0 — начальная

амплитуда. Величина определяется формулой

2

2

1

L

R

LC. (3)

Из этого выражения следует, что свободные затухающие колебания возмож-

ны в контуре, сопротивление которого удовлетворяет условию

2

2

1

L

R

LC или

C

LR 2 .

При этом переход электрической энергии в магнитную и обратно будет про-

исходить с потерей на джоулево тепло. Если C

LR 2 , то разряд конденса-

тора теряет колебательный характер и происходит апериодически. Сопро-

тивление, при котором начинается апериодический процесс, называется

критическим.

В отсутствие сопротивления (R = 0) в контуре возникают свободные

незатухающие колебания с частотой LC/10 , которую называют соб-

ственной частотой контура. Период таких колебаний

LCT

2

2

0

0 . (4)

При этом энергия электрического поля конденсатора С полностью перехо-

дит в энергию магнитного поля катушки L и наоборот.

118

Для характеристики затухания колебаний часто пользуются логариф-

мическим декрементом затухания , который равен натуральному логариф-

му отношения двух амплитуд, отличающихся во времени на период, A(t) и

A(t+T) на рис. 2:

TTtA

tA

)(

)(ln . (5)

Величина определяет степень убывания амплитуды в течение одного

периода.


Установка состоит из генератора прямоугольных импульсов Г, элек-

тронного осциллографа (ЭО) и колебательного контура LCR. Схема уста-

новки изображена на рис. 3, где С — набор емкостей; L — катушка индук-

тивности с сопротивлением RL; R — магазин сопротивления; r — согласую-

щее сопротивление.

Рис.3

Рис.2

2

U0

-U0

A(t)

A(t+T)

T U0e-t

U

t

119

Генератор импульсов вырабатывает на выходе прямоугольные им-

пульсы напряжения длительностью от 0,1 до 103 мкс. В промежутке между

импульсами в контуре LCR совершаются затухающие колебания. Разность

потенциалов с обкладок конденсатора подается на вертикально отклоняю-

щие пластины Y осциллографа, на экране которого наблюдается картина за-

тухания колебаний.

Работа состоит из двух частей. В первой части изучают зависимость

периода Т собственных затухающий колебаний контура от величины емко-

сти. Понятие периода здесь вводится условно, так как затухающие колеба-

ния не являются периодическими. Величину Т определяют по формуле

2

2

4

1

22

L

R

LC

T

.

Рис.4

Для нахождения Т измеряют время нескольких n колебаний (рис. 4).

Определение временных промежутков производят следующим обра-

зом. С помощью делений шкалы трубки осциллографа измеряют по гори-

зонтальной оси расстояние х между двумя точками, интервал времени

между которыми необходимо рассчитать. Измеренное по шкале расстояние

х, см, умножается на цифровое значение индекса длительности развертки на

сантиметр , а затем на показание переключателя «множитель» . В этом

случае рассматриваемый интервал времени будет равен

см

мкссмx , а период колебаний определяется по формуле

n

Т

. (6)

120

Во второй части работы исследуют зависимость логарифмического

декремента затухания от сопротивления контура. Для большей точности

рекомендуется рассматривать амплитуды в моменты времени, разделенные

не одним, а несколькими периодами (например, n = 3, рис. 4); тогда

)(

)(ln

1

nTtA

tA

n . (7)

Значения амплитуд A(t) и A(t+nT) измеряют по шкале экрана осцилло-

графа. Опыты производят при разных значениях сопротивления контура и

при неизменной емкости.


Определение зависимости периода собственных затухающих колебаний от

величины емкости

1. Собрать цепь по схеме рис. 3. Следить за тем, чтобы конец кабеля гене-

ратора с указателем «земля» () был соединен с аналогичной клеммой на

входе «Y» осциллографа, который подключен к конденсатору.

2. Установить ручки управления осциллографа и генератора в положения,

которые указаны в таблице на установке.

3. Установить на магазине сопротивления R = 0 и на магазине емкостей С

= 0,01 мкФ.

4. С помощью ручки вертикального перемещения « ↕ » установить кривую

на экране трубки по возможности симметрично относительно оси X, а с

помощью ручки перемещения по горизонтали «↔» передвинуть измеря-

емый участок кривой в среднюю часть шкалы.

5. Измерить по горизонтальной оси расстояние х, соответствующее n коле-

баниям (рис. 4). Записать значение длительности развертки и показание

«множителя» . Точность измерений значительно повышается, если уве-

личивать длину измеряемого участка кривой.

6. Повторить опыт при различных значениях С.

Изучение зависимости логарифмического декремента затухания от сопро-

тивления контура

121

1. Установить R = 0 и одно из значений емкости (но не более 0,04 мкФ).

2. По шкале экрана трубки определить значения двух амплитуд A(t) и

A(t+nT) (или A(t+T)).

3. Повторить измерения при других значениях R магазина (например, R

= 10, 20, 30,..., 80 Ом), не изменяя С. Для удобства измерения рекоменду-

ется поддерживать постоянным значение A(t) (например, 20 мм) для

всех R, при этом каждый раз тщательно определять значение A(t+nT). Ре-

гулировку величины A(t) производить с помощью ручек «усилитель Y»

осциллографа.


Зависимость периода собственных затухающих колебаний Т от С


R = 0; L = . . . мГн; = . . . мкс/см; = . . . .

Таблица 1

№ С, мкф n x, см , мкс Тэксп, мкс Ттеор, мкс

1. По формуле (6) рассчитать экспериментальное значение периода Тэксп для

каждого С, где x мкс. Например, = 50 мкс/см; =(1). Тогда

1

см

мкс50смx мкс.

2. Сравнить Тэксп с теоретическим значением периода свободных колебаний;

поскольку условия эксперимента таковы, что <<0, то можно принять

LCТТ 20теор .

3. Построить график зависимости CfT эксп .

Определение логарифмического декремента затухания


L = . . . мГн; RL = . . . Ом; С = . . . мкФ.

Таблица 2

№ R, Ом R1 = R+RL, Ом А(t), мм A(t+nT), мм экcп теор

122

1. Рассчитать экспериментальное значение экcп по формуле (7) для разных R.

2. Сравнить экcп с теоретическим значением, рассчитанным по формуле

3. теор1

теортеор2

TL

RТ ,

4. где R1=R+RL — полное сопротивление контура (R — сопротивление мага-

зина, RL — сопротивление катушки).

5. Построить график зависимости экcп = f(R1).


а). Определить экспериментально критическое сопротивление, сравнить его

с теоретическим значением.

б). Проверить условие <<0.


1. Нарисовать электрическую схему колебательного контура.

2. Как измерить период собственных затухающих колебаний Т с помощью

осциллографа? От чего зависит T?

3. С помощью каких измерений определяют логарифмический декремент

затухания? От каких параметров контура он зависит?

4. Написать закон изменения заряда (или разности потенциалов) на обклад-

ках конденсатора.

5. Что называется критическим сопротивлением?


28.1.

123


ВЫНУЖДЕННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В КОЛЕБА-

ТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ

Цель работы — изучение явления резонанса в последовательной LCR-цепи, опре-

деление резонансной частоты контура.

Введение

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно со-

единенных конденсатора С, активного сопротивления R, катушки индуктив-

ности L и источника переменной ЭДС tee sin0 (рис. 1). В такой последо-

вательной LCR-цепи возникают вынужденные электрические колебания,

описываемые дифференциальным уравнением вида

tBIt

I

t

I cosω

d

dβ2

d

d 202

2

, (1)

Рис. 1

где = R/2L — коэффициент затухания; LC/1ω20 — квадрат собственной

круговой частоты контура; B = e0/L, — круговая частота вынуждающей

ЭДС.

Частное решение этого уравнения для установившихся вынужденных

колебаний имеет вид

tII sin0 , (2)

124

где I0 — амплитудное значение тока; — сдвиг фаз между внешней ЭДС и

током в цепи.

Подста-

вив (2) в (1), найдем значения I0 и :

2

2

00

1

CLR

eI , (3)

R

CL

1

tg . (4)

Выражение (3), связывающее амплитудные значения тока и внешней

ЭДС, по аналогии называют законом Ома для переменного тока.

Из сказанного следует, что через некоторое время (которое потребует-

ся для полного затухания свободных колебаний) после включения гармони-

чески меняющейся переменной ЭДС в цепи устанавливается ток с частотой,

равной частоте вынуждающей ЭДС. При этом фазы вынуждающей ЭДС и

возникающего в цепи тока не одинаковы, а сдвинуты. Из выражений (3) и

(4) видно, что амплитуда тока и сдвиг фаз зависят от частоты вынуждаю-

щей ЭДС. Характер этой зависимости можно проверить экспериментально.


Схема включения приборов в LCR-цепи представлена на рис. 2.

Источником внешней вынуждающей ЭДС служит звуковой генератор

Г, позволяющий получать синусоидальные колебания в широком диапазоне

частот. При некотором значении = peз амплитуда тока достигает макси-

мального значения — наблюдается явление резонанса. Из (3) следует, что

амплитуда тока будет максимальной

R

eI 0

рез 0 (5)

125

при условии 01

рез

рез

C

L , откуда

LC

1рез , (6)

т. е. рез= 0 — собственной круговой частоте контура. Тогда из (4) tg = 0,

т.е. ток совпадает по фазе с ЭДС.

Зависимость амплитуды тока от частоты вынуждающей ЭДС изобра-

жается графически с помощью резонансных кривых (рис. 3). Чем меньше

активное сопротивление, тем больше амплитуда силы тока при резонансе и

тем острее резонансная кривая.

Рис. 3

При изменении частоты внешней ЭДС изменяется разность потенциа-

лов на конденсаторе UС и катушке UL. Закон изменения UС находят из соот-

ношений UС = q/C, tIq d и формулы (2).

2

πsincosdsin

10

00 tUt

C

IttI

CU СС . (7)

Константа интегрирования обозначает произвольное постоянное зна-

чение напряжения на конденсаторе, и поэтому ее следует положить равной

нулю.

C

IU С

0

0 (8)

где CU0 — амплитудное значение UС; 1/C — емкостное сопротивление; UС

отстает по фазе от I на /2. Разность потенциалов на катушке найдем, при-

меняя закон Ома для участка цепи LLL eIRU , где RL — активное сопро-

I0

0= рез

R1<R2

R2

126

тивление катушки; t

ILeL

d

d — ЭДС самоиндукции. В условиях работы

IRL<<eL, поэтому с учетом формулы (2) получим

2

πsincos 00 tUtLIU LL . (9)

Здесь

LIU L 00 , (10)

LU0 — амплитудное значение разности потенциалов на катушке; L — ин-

дуктивное сопротивление; UL опережает по фазе ток на /2. Напряжение на

активном сопротивлении R

tUtRIIRUR sinsin 00 , (11)

т. е. изменяется синфазно с током.

При резонансе, как следует из формул (5), (6), (8), (10), амплитудные

значения U0С и U0L равны. Действительно,

C

L

R

e

C

LC

R

e

С

IU С

00

рез

рез 0

рез 0

;

C

L

R

e

LC

L

R

eLIU L

00резрез 0рез 0 .

Если RC

L , то амплитуды напряжений U0С рез и U0L рез могут значи-

тельно превышать е0 — амплитудное значение внешней ЭДС. Поэтому явле-

ние резонанса в последовательном LCR-контуре называется резонансом

напряжений. В этом случае контур ведет себя как чисто активное сопротив-

ление.

Рис. 4

U0c

рез 2 рез 1

1<2

2

127

Как показывает анализ уравнения (8) с учетом (3), разность потенциа-

лов на конденсаторе U0С достигает максимального значения при частоте

2

2

рез2

1

L

R

LC , (12)

т. е. несколько меньше собственной круговой частоты 0. Резонансные кри-

вые для этого случая приведены на рис. 4.

Можно показать, что максимальное значение амплитуды U0L на ка-

тушке достигается при частотах рез , несколько больших 0. Изменяя ча-

стоту звукового генератора

π2ν , изучают зависимости I0 и U0c (или

U0L) от при двух значениях активного сопротивления R (см. рис. 2). Ам-

плитуду тока определяют миллиамперметром (мА), который показывает

действующее значение тока, связанное с амплитудным соотношением

2/0II . Величину U0С измеряют с помощью милливольтметра (мВ). Ам-

плитуда внешней ЭДС e0 при различных частотах должна оставаться по-

стоянной. Для контроля за величиной ЭДС служит вольтметр, установлен-

ный на генераторе (Г). Для качественного наблюдения за изменением ам-

плитуды и частоты колебаний используется электронный осциллограф (ЭО).

По результатам измерений строят (резонансные кривые для I0 и U0С

(или U0L) (см. рис. 3, 4).

По ширине резонансной кривой можно определить логарифмический

декремент затухания для данного контура и добротность контура. Лога-

рифмический декремент затухания определяется как логарифм отношения

двух амплитуд в моменты времени, разделенные одним периодом и характе-

ризует затухание свободных (при отсутствии вынуждающей ЭДС) колеба-

ний в контуре:

TA

A

TtA

tATt

t

e

eln

)(

)(ln

0

0 . (13)

Ширину резонансной кривой для I0 определим, как разность между

двумя значениями частот 1 и 2 (по обе стороны от резонансной частоты

рез), для которых выполняется соотношение

2

max0

2

02

1II . (14)

128

Найдем значения 1 и 2, удовлетворяющие условию (14). Подставляя (3) и

(5) в формулу (14) и учитывая, что = R/2L и LC/1ω20 , получаем биквад-

ратное уравнение 222220 4 . Решая это уравнение, имеем

20

22

20

21 , ,

212 . (15)

Преобразовав выражение (15), перейдем от коэффициента к логарифмиче-

скому декременту 0T :

0

21

. (16)


1. Собирают цепь по схеме рис. 2. При этом необходимо проследить, чтобы

клемма «Земля» () генератора была соединена с клеммами «Земля» ()

осциллографа и милливольтметра. Контур подключают к осциллографу

на вход «Y».

2. Включают звуковой генератор и осциллограф, дают им прогреться в те-

чение нескольких минут. Положения ручек Г и ЭО указаны в таблице на

установке.

3. Убеждаются в наличии резонанса в контуре. Для этого, изменяя частоту

переменной ЭДС вращением ручки «частота» звукового генератора,

наблюдают за картиной на экране осциллографа. Частоту генератора из-

меняют в пределах от 20 до 200 Гц. При резонансе амплитуда колебаний

максимальна.

4. Проводят измерения для получения резонансных кривых при R = 0. Для

этого, изменяя частоту ЭДС на 10 Гц вращением ручки «частота», запи-

сывают показания миллиамперметра и милливольтметра для каждой ча-

стоты. Измерения начинают с частоты, соответствующей минимальным

значениям тока и разности потенциалов, регистрируемым приборами.

Осциллограф на время измерений отключают. Вблизи резонанса измере-

ния проводят через более короткие интервалы частот. Для построения

кривой следует снять 15 — 20 точек. Следите, чтобы во время измерений

выходное напряжение генератора е0 не изменялось!

5. Повторяют измерения при включенном сопротивлении R и при том же

значении е0.

6. Измеряют значение е0. Для этого вольтметр (мВ) подсоединяют к выходу

генератора.


129


L = . . . ; С = . . . ; e0 = . . .

Таблица

, Гц

R = 0 R = . . . .

. I0, мА U0, В I0, мА U0, В

1. Строят кривые I0 = f() при R = 0 и R 0 на одном графике. Определяют

по графику peз. Находят теоретическое значение peз по известным зна-

чениям L и С в соответствии с формулой (6)

LCπ2

1νрез и сравнивают с измеренным.

2. Строят кривые U0С = f() при R = 0 и R 0 на одном графике и определя-

ют по графику peз и 'peз. Вычисляют теоретические значения peз по

предыдущей формуле и 'peз с помощью формулы (10)

2

2

рез2

1

π2

1ν

L

R

LC и сравнивают с измеренными.

3. Сравнивают амплитуду внешней ЭДС е0 с резонансным значением U0C,

вычисляют отношение U0С peз /е0.

4. По резонансным кривым I0 = f() при R = 0 по формуле (15) определяют

сопротивление проводов и при R 0 по формуле (16) определяют лога-

рифмический декремент затухания контура.


1. Предлагается самостоятельно разобрать, в чем состоит явление резонан-

са в цепи, где конденсатор и катушка индуктивности соединены парал-

лельно. Это так называемый резонанс токов. Продумать, какие приборы

и на каких участках цепи необходимо включить, чтобы наблюдать дан-

ное явление.

2. Определить добротность контура по ширине резонансной кривой.


1. Изобразите электрическую схему контура.

2. Что называется вынужденными колебаниями? Чему равна частота уста-

новившихся вынужденных колебаний?

3. От чего зависят амплитуда тока, сдвиг фаз ?

4. Нарисуйте резонансные кривые для I0, U0С, U0L, чему равна резонансная

частота в этих случаях при условии R = 0 и R 0?

130

5. Могут ли амплитудные значения U0С и U0L быть больше амплитудных

значений внешней ЭДС?


28.1, 28.3.

131


ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ

МЕТОДОМ СЛОЖЕНИЯ ДВУХ ВЗАИМНО ПЕР-

ПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы — изучение сложения взаимно перпендикулярных колебаний с по-

мощью осциллографа и определение скорости звука.

Введение

Механические возмущения (деформации), распространяющиеся в

упругой среде, называются упругими волнами. Если эти возмущения, а сле-

довательно, амплитуды соответствующих им колебаний невелики, то такие

упругие волны называют звуковыми.

Колебание частицы среды, в которой распространяется плоская волна,

около положения равновесия (вдоль оси z ) описывается законом

0υcos ztAS , (1)

где А — амплитуда; υ/zt — фаза колебания; — круговая частота

( = 2); — частота, φ0 — начальная фаза колебания. Это выражение есть

уравнение бегущей волны. Мгновенная фотография (t = const) такой волны

представлена на рис. 1.

Рис. 1

Расстояние , на которое распространяется синусоидальная волна за

время, равное периоду колебаний Т, есть длина волны (рис. 1). Скорость

распространения волны равна скорости распространения данной фазы коле-

бания и является фазовой скоростью.


λνλ

υ T

. (2)

S

z

132

Две различные точки среды, имеющие соответственно координаты z1 и

z2, будут иметь разность фаз колебаний

λπ2

υ

1212 zzzz

. (3)

Таким образом, зная , z2 и z1, можно найти , а из (2) найти скорость

волны, если известна .


Разность фаз колебаний в двух точках среды, в которой распро-

страняется звуковая волна, находят, пользуясь методом сложения двух вза-

имно перпендикулярных колебаний.

B данной работе складываются колебания от динамика (Д) и микро-

фона (М). Источник звука — динамик — питается от звукового генератора

(Г) (синусоидальным током). Схема установки представлена на рис. 2.

Рис. 2.

Перед динамиком располагается микрофон. Динамик и микрофон раз-

мещены внутри стеклянной трубки. Звуковые волны, дойдя до микрофона,

приводят в колебание его мембрану, в результате чего в нем возникают

электрические колебания, частота которых равна частоте электрических ко-

лебаний, подаваемых на динамик. Электрические колебания, создаваемые

микрофоном и звуковым генератором, подводятся к электронному осцилло-

графу (ЭО).

Отклоняющие пластины, связанные с входом «Y», заставляют элек-

тронный луч отклоняться в вертикальном направлении, а со входом «Х» — в

горизонтальном. Таким образом, подавая электрические колебания от мик-

рофона, предварительно усиленные усилителем низкой частоты (УНЧ), на

вертикально отклоняющие пластины (вход «Y»), а от звукового генератора

— на горизонтально отклоняющие пластины (вход «X»), заставляем элек-

тронный луч участвовать в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с

133

одинаковой частотой. На экране осциллографа получается картина сложения

двух взаимно перпендикулярных колебаний (по осям X и Y). В зависимости

от разности фаз этих электрических колебаний на экране осциллографа бу-

дут наблюдаться различные траектории электронного луча.

Уравнения колебаний по осям X, и Y имеют вид:

101 ωcos tAx ; 202 ωcos tAy ,

где 10 и 20 — начальные фазы (t = 0). При сложении таких колебаний вид

тpaeктории описывается уравнением

2

21

2

2

2

2

1

2

sincos2

AA

xy

A

y

A

x. (4)

Это уравнение эллипса, эксцентриситет и ориентация осей которого

относительно X и Y, определяется отношением амплитуд и разностью фаз

складываемых колебаний.

Рис. 3

Если разность фаз равна нулю, то получим уравнение прямой, прохо-

дящей через начало координат, тангенс угла наклона которой определяется

отношением амплитуд складываемых колебаний xAAy 12 / (рис. 3). Если

постепенно менять разность фаз складываемых колебаний, то траектория

электронного луча на экране осциллографа принимает различный вид со-

гласно уравнению (4).

0 /6 /2 5/6 7/6 3/2 11/6 2

Рис. 4

A1

A2

y

x

134

Некоторые траектории с указанием соответствующих разностей фаз

складываемых колебаний изображены на рис. 4.

Следовательно, по виду и положению траектории можно определить

разность фаз двух колебаний. Разность фаз, в свою очередь, зависит от рас-

стояния ℓ между динамиком и микрофоном. Если это расстояние менять, то

будет изменяться форма указанной траектории (3).

При изменении расстояния ℓ на длину звуковой волны разность фаз

колебаний, подаваемых на осциллограф, изменяется на π2 . Следова-

тельно, наименьшее расстояние между двумя соседними положениями мик-

рофона, при котором на экране осциллографа полностью повторяется форма

каждой из фигур, приведенных на рис. 4, равно длине звуковой волны

λmin , а 01min zz ,

где z0 — ближайшее к динамику положение микрофона, отвечающее какой-

либо форме фигуры; z1 — следующее положение микрофона, соответствую-

щее той же форме фигуры. Если данная форма фигуры на экране осцилло-

графа повторится n раз, то n/λ .


1. Ознакомиться со схемой включения приборов на установке. Включают

осциллограф и получают светлое пятно в центре экрана.

2. Включают генератор, дают ему прогреться (3 — 5 мин). Положения всех

ручек на Г и ЭО указаны в таблице на установке.

3. Устанавливают на шкале звукового генератора частоту сигнала (реко-

мендуемые значения указаны на установке).

4. Усилитель низкой частоты (на плате установки) включается тумблером.

5. Располагают микрофон (М) вблизи динамика (Д) и получают на экране

осциллографа эллипс.

6. Удаляя микрофон от динамика, получают на экране осциллографа пря-

мую линию. Определяют положение микрофона 0z с помощью милли-

метровой шкалы. Регулировку наклона прямой линии производят ручкой

«Усилитель Y» ЭО или ручкой усилителя «УНЧ».

Примечание. Возможные нелинейные искажения, вносимые приборами, за-

трудняют обращение эллипса в прямую. Рекомендуется перемещать микро-

фон до тех пор, пока площадь эллипса станет минимальной.

7. Далее удаляют микрофон до тех пор, пока на экране осциллографа снова

не появится такая же прямая линия с тем же направлением наклона

(например, две крайние линии на рис. 4). Отмечают 1z . Всего находят 3 —

5 таких положений ( 1z . . . nz ).

135

8. Проделывают те же измерения в обратном порядке, т.е. приближая мик-

рофон к динамику. Записывают nz . . . 0z .

9. Таким же образом снимают показания для других частот (указаны на

установке).


Таблица № 1, Гц , м/с

nz , мм nz , мм zn ср, мм , м

0 ----- -----

1

2

3

4

Среднее

1. Составляют такую же таблицу для другой частоты 2.

2. По найденным значениям положения микрофона nz и nz находят его

среднее положение zn cp, соответствующее определенному n, где n — чис-

ло повторений данной линии на экране осциллографа.

3. По средним значениям положения микрофона вычисляют для каждого n

n

zzn ср 0ср .

4. Вычисляют скорость звука по формуле (2) для разных частот.

5. По формуле для расчета относительной погрешности

20

2

0

222

zz

zz

v

v

i

n

находят абсолютную погрешность скорости звука, записывают оконча-

тельный результат.

Относительную погрешность в определении частоты считать равной 2%

от измеренного значения частоты.

6. Изобразить на миллиметровой бумаге одну из картин сложения двух вза-

имно перпендикулярных колебаний.

136

7. Измеряя по осциллографу величину осей эллипса, и, используя полу-

ченные результаты, записывают уравнения складываемых колебаний по

осям X и Y.


1. Продумать какие кривые получатся на экране осциллографа при сложе-

нии двух взаимно перпендикулярных колебаний с разными частотами и

от чего зависит форма этих кривых (фигур Лиссажу). Как осуществить

опыт с такими колебаниями. Для наблюдаемых кривых Лиссажу указать

соотношения частот.

2. Какие кривые получатся при сложении двух взаимно перпендикулярных

колебаний с одинаковой амплитудой? Как осуществить такой экспери-

мент?


1. Какова цель работы? Что называется фазовой скоростью волны?

2. Напишите уравнения бегущей плоской волны. Что называется фазой, ам-

плитудой, частотой колебаний?

3. В чем сущность метода определения в данной работе? Как связаны и

? Как определяют ?

4. Объясните, как работает установка, каково назначение каждого прибора.

Какие колебания подаются на вход «Y», а какие на вход «X» осциллогра-

фа?

5. Какие кривые получают в результате сложения двух взаимно перпенди-

кулярных колебаний, от чего зависит их форма?

Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. — М.: Высш. шк., 2000.

§ 8.4.

137


ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА МЕТОДОМ

СТОЯЧЕЙ ВОЛНЫ

Цель работы — с помощью метода, основанного на свойствах стоячей волны,

определить скорость распространения звука в воздухе.

Введение

Стоячая звуковая волна образуется в результате наложения двух бе-

гущих волн, которые распространяются навстречу друг другу и имеют оди-

наковые амплитуды A0 и частоты . Для определенности будем рассматри-

вать смещения S частиц среды. Тогда уравнения исходных плоских синусо-

идальных волн, распространяющихся вдоль оси ОХ, имеют вид:

υ

sin, 01

xtAtxS ,

υ

sin, 02

xtAtxS ,

где х — координата рассматриваемой точки; — скорость волны.

Результирующее смещение S частиц среды при наложении этих волн

найдем по принципу суперпозиции

tx

Atx

ASSS ωsinλ

2πcos2ωsin

υ

ωcos2 0021 , (1)

где = T = 2/ — длина волны.

Из выражения (1) видно, что в каждой точке среды колебания проис-

ходят с частотой, равной частоте исходных волн, причем амплитуда оказы-

вается зависящей от координаты х

λ

π2cos2 0

xAA . (2)

В точках, где

n

х

2 (n = 0, 1, 2...), амплитуда достигает макси-

мального значения 2A0. Эти точки называются пучностями. Координаты

пучностей определяются условием

2

λ пуч nx . (3)

138

В точках, где 2

π)12(

λ

π2 n

x (n = 0, 1, 2...), амплитуда колебаний

обращается в нуль. Эти точки называются узлами. Частицы среды, находя-

щиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов имеют следую-

щие значения:

4

λ)12( узл nx . (4)

Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на четверть дли-

ны волны. Так как множитель λ

π2cos2 0

xA при переходе через нуль меняет

знак, то фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на , т. е. ча-

стицы среды, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофа-

зе. Все частицы среды, заключенные между двумя соседними узлами, ко-

леблются в одной фазе.

Рис. 1

График для смещения S в стоячей волне приведен на рис. 1, где A, В,

С, D — узлы смещения; А1, В1, С1 — пучности смещения. Кривые I, II, III, IV

— графики смещения для различных моментов времени, причем кривая I со-

ответствует моменту времени, для которого sin(t1) = 1, и, следовательно,

дает распределение амплитуд в стоящей волне. По аналогичному закону бу-

дут изменяться и другие характеристики стоячей волны. Например, если

продифференцировать уравнение (1) по х, то получим закон изменения от-

носительной деформации среды

tx

Adx

dSe ωcos

λ

π2sin

λ

π22 0 . (5)

Так как давление пропорционально относительной деформации, то

можно сказать, что уравнение (5) описывает звуковое давление в стоячей

волне. Из уравнений (1) и (5) следует, что узлы смещения совпадают с пуч-

139

ностями деформации (давления) и наоборот.

Очень важно, что стоящая волна возникает лишь в случае когерентно-

сти встречных волн, т. е. когда в каждой точке пространства, где волны рас-

пространяются, имеется определенная, не зависящая от времени, разность

их фаз.

1. Описание прибора и метода измерений

Стоячие звуковые волны можно наблюдать при распространении зву-

ка в длинной узкой трубе с гладкими стенками. Если диаметр трубы мал по

сравнению с длиной звуковой волны, то звуковая волна распространяется в

основном вдоль осп трубы. На концах трубы происходит отражение звуко-

вой волны, причем характер отражения, т. е. изменение фазы волны при от-

ражении, зависит от того, закрыт ли конец твердой стенкой или открыт. В

частности, фаза звукового давления при отражении от твердой стенки не из-

меняется, а фаза смещения изменяется на противоположную, а при отраже-

нии от открытого конца наоборот.

Следовательно, у закрытого конца будут находиться узел смещения и

пучность давления. В обоих случаях возникает отраженная от концов трубы

волна, которая складывается с падающей волной, и в трубе может возник-

нуть стоячая волна, но заметной интенсивности она достигает лишь при не-

котором соотношении между длиной трубы и длиной волны.

Так, для трубы, открытой с одной .стороны и закрытой твердой стен-

кой с другой, необходимо, чтобы на длине трубы L укладывалось нечетное

число /4, т. е. 4/λ 12 nL . При этом выполняются условия отражения

на концах: на открытом конце возникает узел давления, у твердой стенки —

пучность давления, а время распространения волны от источника до стенки

и обратно равно 2/12υ/2 TnLt , т.е. нечетному числу полупериодов

колебаний (T = /).

Итак, стоячая волна с заданной длиной волны возникает лишь в трубе

определенной длины.

Нахождение скорости звука методом стоячей волны заключается в

том, чтобы каким-нибудь способом определить положение пучностей в сто-

ячей волне и измерить расстояние а между двумя соседними пучностями. Из

формулы (3) следует, что а = /2 (такое же расстояние между соседними уз-

лами). Тогда скорость можно определить по формуле

ν2λνυ a , (6)

где T

1ν частота колебаний источника.

Прибор, при помощи которого определяется скорость звука в воздухе

140

изображен на рис. 2. Он состоит из стеклянной трубы 1 с подвижным порш-

нем 2 со штоком 3. Трубка жестко укреплена на доске 4. Снаружи трубы па-

раллельно ее оси прикреплена линейка, по которой можно определять поло-

жение поршня в трубе. Источником звука является телефонный наушник 6,

помещенный на конце трубы.

Рис. 2

На него подается синусоидальный электрический сигнал звуковой частоты,

вырабатываемый генератором (Г) сигналов звуковой частоты. Генератор

позволяет регулировать частоту электрического сигнала и его амплитуду,

следовательно, частоту и амплитуду звукового давления. Индикатором зву-

кового давления служит также телефонный наушник 7, вмонтированный в

поршень 2. Сигнал с индикатора подается на осциллограф ЭО, с помощью

которого можно судить о величине амплитуды колебательных процессов.

При перемещении поршня в трубе он будет последовательно занимать

такие положения, при которых образуется заметная стоячая волна. Как ука-

зано выше, при этом у поршня будет пучность звукового давления, сигнал

на осциллографе будет максимален. Если ℓ1 и ℓ2, отмеченные по линейке, —

два таких положения, то ℓ2 – ℓ1 = а, а скорость звука в воздухе с учетом (6)

12ν2υ .


1. Включить генератор звуковых колебаний и осциллограф. Порядок вклю-

чения и рекомендуемые режимы работы указаны на установке.

2. Установить указанное значение частоты 1.

3. Медленно перемещая поршень и наблюдая за амплитудой сигнала на

экране осциллографа, найти два таких последовательных положения

поршня, при которых амплитуда сигнала максимальна. Отметить эти по-

ложения поршня по линейке (ℓ1 и ℓ2). Измерения ℓ1 и ℓ2 провести не менее

141

5 раз.

4. Повторить измерения при другой частоте звука 2.


Таблица

1, Гц 2, Гц

ℓ1, см ℓ2, см cp, м/с ℓ1, см ℓ2, см cp, м/с

1. Рассчитать , подставляя в (7) средние значения ℓ1 и ℓ2.

2. Рассчитать погрешности для одной из частот обычным способом по

формуле

212

21

22

22

.

ℓ1, ℓ2 находят по правилам для случайных погрешностей, погрешность

частоты генератора равна двум процентам от измеряемой величины. Запи-

сать окончательный результат.


1. Снять с помощью осциллографа зависимость амплитуды стоячей волны

от координаты х и по результатам опыта построить график А(х).

2. На графике изобразить зависимость деформации среды от координаты х

используя формулу (5). Убедитесь, что в пучностях стоячей волны рас-

полагаются узлы деформации среды.

3. Как по графику А(x) определить ?

4. Постройте график зависимости фазы колебаний от х.


1. Как образуется стоячая звуковая волна? Получите уравнение стоячей

волны.

2. От чего зависит амплитуда и фаза стоячей волны? Чему равны координа-

ты узлов и пучностей?

3. При каком соотношении между длиной трубы и длиной волны в трубе

данной установки возникнет стоячая волна?

4. Объясните, как работает установка и назначение каждого прибора.

5. Какие величины непосредственно измеряются?

142

Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. — M.: Высш. шк., 2000. § 29.6.

143


ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА

Цель работы — изучение основных характеристик, описывающих процесс сво-

бодных затухающих и вынужденных механических колебаний.

Введение

Тело массой m, подвешенное к пружине с коэффициентом упругости k

(рис. 1) и выведенное из положения равновесия (x = 0), будет совершать

свободные затухающие колебания. В процессе движения на тело действуют

три силы: сила тяжести gm

; сила сопротивления f

, пропорциональная ско-

рости; сила упругости упрF

, пропорциональная смещению незакрепленного

конца пружины.

Рис. 1

Полное растяжение пружины равно x + S0, тогда сила упругости

0упр SxkFХ

, где S0 — растяжение пружины, при котором груз нахо-

дился в положении устойчивого равновесия (прямая AA ). Поскольку все

силы направлены вдоль оси ОX, то уравнение второго закона Ньютона за-

пишем сразу в скалярном виде

fFmgma упр , (1)

144

где υkf — сила сопротивления; — скорость груза; r — коэффициент

сопротивления.

Учитывая, что mg = kS0, получим

t

xrkx

t

xm

d

d

d

d2

2

. (2)

Обозначим 2 = r/m, 02 = k/m. Тогда уравнение (2) примет вид:

0d

d2

d

d 202

2

xt

x

t

x. (3)

Это дифференциальное уравнение описывает свободные затухающие коле-

бания. Решением уравнения (3) является зависимость

00 sine tAx t , (4)

где = r/2m — коэффициент затухания; 220 — циклическая ча-

стота свободных затухающих колебаний; mk /0 — циклическая часто-

та свободных незатухающих колебаний (в отсутствие силы трения).

Рис. 2

A0

A(t)

A(t+T)

T

A0e-t

t

-A0

145

Начальная амплитуда A0 и начальная фаза 0 определяются начальны-

ми условиями, т.е. значениями х и t

x

d

d в момент времени t = 0.

График зависимости x(t) представлен на рис. 2. Амплитуда затухаю-

щих колебаний A(t) = A0е-t

убывает с течением времени и тем быстрее, чем

больше коэффициент затухания . Через время

1

амплитуда уменьшает-

ся в е раз.

Затухающие колебания не являются строго периодическими, однако

смещение х достигает максимального и минимального значений через рав-

ные промежутки времени:

220

22

T . (5)

Период свободных незатухающих колебаний kmT /22

0

0

все-

гда меньше Т, так как силы сопротивления замедляют движение.

Характеристикой затухания колебаний служит безразмерная величина

— логарифмический декремент затухания — натуральный логарифм отно-

шения двух амплитуд в моменты времени, разделенные одним периодом:

N

TT

A

A

TtA

tATt

t1

e

eln

)(

)(ln

0

0

, (6)

где N — число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в

е раз.

Если на тело кроме упругой силы и силы сопротивления будет дей-

ствовать еще переменная внешняя сила (вынуждающая сила), то тело будет

совершать вынужденные колебания. В простейшем случае вынуждающая

сила изменяется по гармоническому закону: tFFx sin0 , где F0 — ампли-

туда, a — циклическая частота вынуждающей силы. В течение некоторого

промежутка времени (разного в зависимости от величины системы) про-

исходит наложение вынужденных колебаний и свободных затухающих ко-

лебаний — биения, а затем устанавливаются вынужденные колебания с по-

стоянной амплитудой А:

0sin tAx ; (7)

222220

0

4

m

FA .

(8)

146

Циклическая частота вынужденных колебаний равна циклической ча-

стоте вынуждающей силы. Если = 0, амплитуда А равна статическому

смещению А0 пружины под действием постоянной силы F0:

k

F

m

FAA 0

20

00

. (9)

С увеличением циклической частоты ( ) амплитуда А стремится

к нулю. При постоянных F0, m и β амплитуда вынужденных колебаний зави-

сит от соотношения циклических частот вынуждающей силы (Ω) и свобод-

ных незатухающих колебаний системы (0). Амплитуда достигает макси-

мального значения, когда циклическая частота вынуждающей силы равна

циклической частоте 220рез 2 . Циклическую частоту peз называ-

ют резонансной, а явление резкого возрастания амплитуды при приближе-

нии частоты вынуждающей силы к резонансной частоте называется резо-

нансом. На рис. 3 показаны резонансные кривые (2 < 1).

Рис. 3


Пружинный маятник (рис. 4) состоит из спиральной пружины К и гру-

за m обтекаемой формы. Верхний конец пружины соединен нитью, переки-

нутой через блок О, с эксцентриком, укрепленном на валу мотора М. При

вращении мотора маятник совершает вынужденные колебания с частотой,

совпадающей с частотой вращения мотора, которую можно изменять при

помощи регулятора R. Смещение груза отсчитывается при помощи указате-

ля Р, передвижных рамок R1 и R2 и шкалы S.

Груз m помещен в цилиндрический сосуд с маслом. Так как сила тре-

ния зависит от расстояния между стенкой сосуда и грузом, то необходимо

следить, чтобы груз двигался по оси сосуда.

р1 р2

2<1

1

А

А0

147

В первой части работы изучают характеристики свободных затухаю-

щих колебаний. Измеряют время t, необходимое для совершения n полных

колебаний, и вычисляют период по формуле T = t/n. Для определения лога-

рифмического декремента затухания измеряют по шкале S амплитуды в

моменты времени, разделенные n периодами, At .и At+nT. Тогда

nTt

t

A

A

n

ln1

. (10)

Во второй части работы изучают характеристики вынужденных колебаний.

Включают мотор и постепенно изменяют его частоту . При каждом поло-

жении регулятора частоты мотора измеряют с помощью секундомера период

Т вынужденных колебаний, а по шкале S — амплитуду А. Результаты измере-

ний позволяют построить график резонансной кривой (рис. 5).

Рис. 4 Рис. 5

По графику резонансной кривой можно определить логарифмический

декремент затухания двумя способами:

1) по высоте резонансной кривой. Если в формуле (8) положить peз

0 (при 0 ), считая эту частоту резонансной, то

0

0max

2

m

FA . (11)

Из формулы (6) следует, что T

, где Т в данном приближении равно

00рез

2

TT . Отсюда 2/0 и Аmах= 2

00 / mF . Сопоставляя это

выражение и формулу (9), имеем

max

0

А

А . (12)

.T2 Tрез T1

Аmax

А1

А

148

2) по ширине резонансной кривой. Ширину резонансной кривой приня-

то определять как разность между двумя значениями частот 1 и 2 (по обе

стороны от резонансной частоты рез), для которых выполняется соотноше-

ние

2max

21

2

1AA . (13)

Найдем значения 1 и 2, удовлетворяющие условию (13). Подставив

(8) и (11) в формулу (13), получим биквадратное уравнение

20

2222220 84 . Решая это уравнение и оставляя члены, содер-

жащие в первой степени, будем иметь

0

0020

212

.

Отсюда получаем с точностью до членов первого порядка малости:

002001 /1 ; /1 ;

212 . (14)

Подставим в (14) значения T

2и

0T

:

21

210

TT

TTT . (15)


1. Определение периода свободных затухающих колебаний. По шкале S от-

мечают положение равновесия груза N0 при помощи указателя Р. Задают

грузу некоторое смещение 00 NNx . Затем груз отпускают и секундо-

мером измеряют время t, в течение которого груз совершит n = 5

полных колебаний. Измерение повторяют 5 — 7 раз.

2. Определение логарифмического декремента затухания. Рамку R1 уста-

навливают в положение, соответствующее начальному смещению N1. От-

водят груз из положения равновесия до совмещения указателя Р с указа-

телем рамки R1 и отпускают груз. Когда груз начнет колебаться, рамку R2

подводят к положению N2 указателя Р, которое он будет иметь в момент

окончания n-го (например, третьего) полного колебания. Измерения по-

вторяют три раза.

3. Снятие резонансной кривой. Включают мотор, установив регулятор ча-

стоты R на одно из крайниx положений. Когда колебания установятся,

149

рамки R1 и R2 на шкале S подводят к крайнему нижнему положению N1 и

крайнему верхнему положению N2, которые достигаются указателем Р

при колебании груза. Измеряют время t, в течение которого груз совер-

шает n полных колебаний (не менее десяти). Аналогичные измерения

проводят при других положениях регулятора частоты R. При каждом но-

вом положении регулятора R нужно выждать некоторое время для уста-

новления вынужденных колебаний. Для построения резонансной кривой

необходимо получить не менее 10 — 12 точек. При этом эксперименталь-

ные точки должны быть сняты по обе стороны от максимума резонансной

кривой, особенно тщательно вблизи резонанса.


1. Определение периода свободных затухающих колебаний.

N0 = . . .

Таблица 1

№ x0, см n t, с tср, с Т, с

По данным табл. 1 находят tср и вычисляют период затухающих коле-

баний по формуле: ntT /ср .

Рассчитывают абсолютную погрешность измерения периода Т по формуле:

22

t

t

n

nTT

и записывают окончательный результат.

2. Определение логарифмического декремента затухания.

n = 3; N0 = . . .

Таблица 2

№ N1, см N2, см A1, см A1+n, см ср

По данным табл, 2 находят амплитуды A1 и A1+n (n = 3) по формулам

011 NNA , 021 NNA n . По формуле (10) вычисляют логарифмический

декремент затухания. Рассчитывают абсолютную погрешность по формуле

150

2

1

1

2

1

11

n

n

A

A

A

A

n,

и записывают результат.

3. Проверяют выполнение условия << . По найденным значениям и T

вычисляют =/T и = 2/T.

4. Снятие резонансной кривой.

Таблица 3

№ N1, см N2, см В, см n t, с Т, с

По данным табл. 3 находят для каждой точки период колебаний по

формуле T = t/n и амплитуду по формуле А = (N2 – N1)/2. По найденным экс-

периментальным значениям строят график А = f(T).

5. Определение логарифмического декремента затухания по высоте резо-

нансной кривой. Зная статическое смещение А0 (указано на установке) и

Аmах (из графика), рассчитывают логарифмический декремент затухания

по формуле (10).

6. Определение логарифмического декремента затухания по ширине резо-

нансной кривой. Из графика находят значения периодов T1 и Т2 (рис. 5),

для которых выполняется условие 2/max1 AA , и по формуле (15) рас-

считывают логарифмический декремент затухания, приняв Т0 Трез.


1. При каких условиях возникают свободные незатухающие и затухающие

механические колебания? Выведите дифференциальные уравнения для

этих колебаний.

2. От чего зависят период (частота) свободных (затухающих и незатухаю-

щих) и вынужденных колебаний пружинного маятника?

3. От каких параметров системы зависит амплитуда вынужденных колеба-

ний? Чему равна их частота?

4. Что такое резонанс?

5. Какими способами определяется в данной работе?

Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. — M.: Высш. шк., 2000. §

28.1, 28.2.

151


ИССЛЕДОВАНИЕ СТОЯЧИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТ-

НЫХ ВОЛН В ДВУХПРОВОДНОЙ ЛИНИИ

Цель работы — 1) изучение распределения напряженности электрического поля

вдоль линии; 2) определение длины электромагнитной волны и частоты колебаний гене-

ратора.

Введение

Двухпроводная линия, или система Лехера, состоит из двух длинных

параллельных проводов, натянутых на некотором расстоянии друг от друга.

В дальнейшем будем пренебрегать сопротивлением проводов, а также будем

считать, что расстояние между проводами значительно меньше, а длина

проводов значительно больше длины электромагнитной волны. При этих

условиях электромагнитное поле сосредоточено в основном между прово-

дами, поэтому система Лехера практически не излучает электромагнитные

волны в окружающее пространство, выполняя роль канала для передачи вы-

сокочастотной энергии от генератора к приемнику.

Рассмотрим механизм переноса энергии вдоль полубесконечной двух-

проводной линии, индуктивно связанной с генератором высокочастотных,

колебаний (рис. 1),

Рис. 1

В витке b будут наводиться вынужденные электромагнитные колеба-

ния, частота которых совпадает с частотой генератора. Эти колебания, со-

провождаемые переменным током проводимости в витке, дают начало элек-

тромагнитной волне, распространяющейся вдоль системы. Пусть в некото-

рый момент времени электрическое поле 1E

направлено вверх и увеличива-

ется по абсолютной величине. При этом 1ρ — поверхностные заряды, со-

здающие это электрическое поле. Согласно теории Максвелла, изменяющее-

ся электрическое поле, т. е. ток смещения, вызывает появление магнитного

152

поля. Применяя правило буравчика, находим направление магнитного поля

1B

, также увеличивающегося по абсолютной величине. Но изменяющееся

магнитное поле вызывает появление вихревого электрического поля 2E

,

направление которого определяется правилом Ленца. Если бы проводов не

было, то силовые линии поля содержали бы участки, отмеченные на рис. 1

штриховой линией. Наличие проводов деформирует поле так, что силовые

линии становятся перпендикулярны проводам, вызывая появление поверх-

ностных зарядов 2ρ . При этом в проводах возникают токи проводимости i1,

которые в любом сечении линии равны по величине и противоположны по

направлению. Разумеется также, что возрастающему полю 2E

соответствует

появление магнитного поля 2B

. Поле 2E

в точке 1 направлено противопо-

ложно полю 1E

и, следовательно, будет уничтожать последнее равно как по-

ле 2B

уничтожит 1B

.

Таким образом, поля 1E

и 1B

исчезнут, но появятся поля 2E

и 2B

в со-

седней точке пространства. В последующие моменты времени явление будет

протекать аналогично. Электрические и магнитные поля, взаимно превра-

щаясь друг в друга, распространяются вдоль линии. Если линия находится в

вакууме, то скорость переноса энергии практически совпадает со скоростью

электромагнитных волн в вакууме.

Распространение электромагнитного поля вдоль линии, как мы виде-

ли, сопровождается распространением волн тока проводимости i, поверх-

ностных зарядов , а также волны разности потенциалов U между провода-

ми (в плоскости, перпендикулярной линии). Векторы E

и B

перпендику-

лярны друг другу и скорости распространения волны c

. В бегущих вдоль

неограниченной линии волнах все величины E, В, i, U и колеблются син-

фазно, одновременно достигая максимального значения и одновременно

Рис. 2

уменьшаясь до нуля. Если генератор индуцирует в линии гармониче-

ские колебания с частотой , то любая из вышеназванных волн может быть

описана следующим уравнением:

В

В

В

i i i

Е

Е

Е

Y

X Z

153

c

xtss sin0 , (1)

где х — расстояние от начала линии.

Моментальная фотография бегущих вдоль системы Лехера волн, дли-

на которых равна , изображена на рис. 2.

Рассмотрим теперь процессы, происходящие в системе Лехера, если

она накоротко замкнута в точке x . В этом случае переменный ток прово-

димости в правом короткозамкнутом мостике даст начало отраженной элек-

тромагнитной волне (а также отраженным волнам i, U, ) распространяю-

щейся в отрицательном направлении оси x. Механизм возникновения и рас-

пространения отраженной волны полностью аналогичен ранее рассмотрен-

ному механизму распространения прямой волны, возникающей в левом ко-

роткозамкнутом витке. Электромагнитная волна, отраженная в точке x ,

распространяется вдоль линии, вновь отражаясь в точке х = 0, и т. д. Много-

кратно отраженные от концов линии волны складываются между собой и с

падающей волной, в результате чего в системе возникают сложные электро-

магнитные колебания.

При произвольной длине отраженные волны в любой точке линии

имеют случайную фазу и, складываясь, в среднем гасят друг друга. В этих

условиях амплитуда результирующих колебаний мала, а также мал ток про-

водимости в линии. Иная картина имеет место, если на длине линии укла-

дывается целое число длин полуволн 2

n (n = 1, 2, … — целое число;

cπ2). Волна, пройдя расстояние 2 , не изменяет в этом случае фазу, по-

этому многократно отраженные волны в каждую точку линии приходят с

неизменной разностью фаз. В зависимости от величины разности фаз или от

координаты точки эти волны усиливают или ослабляют друг друга. В линии

устанавливаются стоячие волны с наибольшей амплитудой колебаний. В

частности, наибольшей величины достигает ток проводимости, и включен-

ная в линию лампочка накаливания загорается наиболее ярко. Говорят, что в

этом случае система Лехера настроена в резонанс с частотой генератора.

Опишем математически стоячие волны, рассматривая однократное от-

ражение и считая, что волна в точке x отражается, полностью. Тогда

уравнение отраженной волны имеет вид

c

xtss

2sin0 . (2)

Знак «+» у слагаемого c

x связан с тем, что отраженная волна распространя-

ется в отрицательном направлении оси х. Угол характеризует изменение

154

фазы волны при отражении, причем значение этого скачка различно для

различных величин.

Складывая (1) и (2), найдем уравнение стоячей волны

2sin

2cos2 0 tx

cssss . (3)

Амплитуда колебаний стоячей волны определяется сомножителем

2cos2 0 x

cs .

В точках, где

2

12 ; ... ;2

3 ;

2

π

2

nx

c,

амплитуда колебаний равна нулю. Эти точки называются узлами стоячей

волны.

В точках, удовлетворяющих условию

nxc

; ... ; ;02

,

амплитуда достигает максимума. Это так называемые пучности стоячей

волны. Расстояние между соседними узлами такое же, как и между соседни-

ми пучностями, и равно 2

.

Используя граничные условия, найдем изменение фазы при отражении

для различных волн.

Касательная составляющая электрического поля на границе идеально-

го проводника (короткозамыкающего мостика) должна быть равна нулю,

ибо в противном случае в проводнике возник бы бесконечно большой ток.

Для обеспечения нуля на границе напряженность отраженного электриче-

ского поля в каждый момент времени имеет направление, противоположное

напряженности падающей волны. Иными словами, напряженность бегущей

волны и отраженной находятся в противофазе, , и на границах линии

( ;0x ) имеет место узел электрического поля.

Разность потенциалов и поверхностная плотность зарядов однозначно

определяется напряженностью электрического поля, поэтому на границах

линии U и также имеют узел. Впрочем, последний .результат следует и из

иных соображений: разность потенциалов на концах короткозамыкающего

проводника всегда равна нулю. Ток в короткозамыкающем проводнике мак-

симален, поэтому величина тока и создаваемое им магнитное поле на краях

линии имеют пучность, т. е. в этом случае = 0. Используя (3), можно те-

перь конкретизировать уравнение стоячей волны:

155

txc

EE

cossin2 0 , txc

BB

sincos2 0 . (4)

Из (4) следует, что в стоячей электромагнитной волне колебания элек-

трического и магнитного полей происходят не в фазе. Пучности электриче-

ского поля совпадают при этом с узлами магнитного поля и наоборот (рис.

3). Причина сдвига фаз заключается в различных условиях отражения на

границе для электрического и магнитного полей.

Рис. 3

1. Описание установки

Рис. 4

Установка, представленная на рис. 4, состоит из двухпроводной линии

NM, генератора электромагнитных колебаний Г и зонда ЭЗ — для измерения

электрического поля. Зонд вставляется в соответствующее гнездо на пол-

зуне, который может перемещаться вдоль линии. Положение зонда отсчиты-

вается по шкале. В начале линии помещена лампочка накаливания (Л), яв-

ляющаяся измерителем тока. В конце линии имеется передвижной закора-

чивающий мостик М, служащий для настройки линии Лехера в резонанс.

Генератор питаемся от регулируемого выпрямителя ВУП-2.

Электрический зонд представляет собой небольшой диполь, располо-

женный перпендикулярно проводам линии. Переменное электрическое поле

возбуждает в диполе переменный ток, который выпрямляется детектором и

регистрируется микроамперметром постоянного тока (мкА). Зависимость

В

Е

х

мкА

156

между напряженностью электрического поля Е и током, текущим через из-

мерительный прибор Iдет вследствие наличия в цепи детектора не является

линейной. Эта зависимость определяется типом детектора, и в наших усло-

виях ее можно считать квадратичной: 2дет kEI . Коэффициент пропорцио-

нальности k зависит от размеров зонда, расположения зонда относительно

проводов линии и для данной установки является константой. Отсюда сле-

дует:

Е ~ детI . (5)


1. Включают выпрямитель питания генератора. После прогрева катода лам-

пы генератора устанавливает ручку анодного напряжения в среднее по-

ложение, следя за накалом лампочки в начале линии (лампочку не пере-

каливать).

2. Перемещением мостика М настраивают систему в резонанс с генерато-

ром по максимуму накала лампочки, уменьшая при этом, если, нужно,

анодное напряжение (не перекаливать лампочку).

3. Поместив в гнездо на ползуне зонд, перемещают его вдоль всей линии и

снимают зависимость показаний прибора от длины линии Iдет(х). Измере-

ния проводят через 2 — 5 см, отмечая особо точки максимумов и мини-

мумов. Результаты измерений заносят в табл. 1.

Таблица 1

х

Iдет

Е


1. По данным измерений рассчитывают детI (так как численное значение k

неизвестно, то найденные значения Е оказываются выраженными в

условных единицах).

2. Строят график зависимости напряженности электрического поля от рас-

стояния до начала линии Е(х).

3. Определяют длину электромагнитной волны и частоту генератора по

формулам

02 ,

c

f ,

где 0 — среднее расстояние между соседними узлами стоячей волны,

найденное из графика; с — скорость распространения электромагнитной

волны.

157

4. Рассчитывают погрешность по формуле:

2

cf .

Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. — М.: Высш. шк. 2000.

§30.1, 30.2.

Лабораторная работа №11 - mpei.ru · 2018-09-02 · 16 ЛАБОРАТОРНАЯ...

Documents

Transcript of Лабораторная работа №11 - mpei.ru · 2018-09-02 · 16 ЛАБОРАТОРНАЯ...