Лекция 9. Хаос в одномерных отображениях идиссипативных системах.

1. Одномерные отображения.2. Универсальность Фейгенбаума.3. Аттрактор Рёсслера.

1. Одномерные отображения.

1.1 Треугольное отображение (tent map)

Растяжение приводит к экспоненциальному разбеганиюблизких траекторий. Складывание возвращает образ винтервал (0, 1) и вызывает необратимость отображения(образ имеет два прообраза).

)(1 nn xMx =+

)( nm

mn xMx =+

Из рисунка видно, что если начальная точка известна сточностью , то положение ее образа после m и болееитераций отображения предсказать нельзя. Точки пересечения графика с прямой задаютнеподвижных точек отображения . Из них 2 – непо-движные точки отображения M. Остальным соответствуютпериодические орбиты M.

m−± 2

nmn xx =+m2

mM

Если m = p, где p – простое число, то число периодичесихорбит периода p: . Пусть где , -- p-периоди-ческая орбита. Возьмем в качестве начального условияточку , близкую к точке периодической орбиты. После p итераций получим

Откуда где

Поскольку

для всех точек орбиты.

Поскольку для треугольного отображения , и все периодические орбиты неустойчивы.

Треугольное отображение – хаотическая система.Разбегание траекторий характеризуется показателемЛяпунова: для отображения

Показатель Ляпунова для треугольного отображениявдоль типичной траектории равен .

Типичная траектория треугольного отображения покрываетинтервал (0, 1) равномерно.

02ln >=λ

)(1 nn xfx =+

1.2 Логистическое отображение

40,10),1(1 ≤≤≤≤−=+ rxxrxx nnnn

rr

Притягивающая непо-движная точка:

Притягивающая непо-движная точка:

Рассмотрим случай r = 4:

Выполним замену x → y :

Подставляя, получим:s - целое

Знак и величина s выбираются из условия . Получаем в точности треугольное отображение для y:

)1,0(∈y

, если

, если

Следовательно, при r = 4 динамика логистического отобра-жения является хаотической.

Что происходит при 1 < r < 4 ?

При r = 1 происходит транскрити-ческая бифуркация: точка x = 0теряет устойчивость и рождаетсяустойчивая неподвижная точка

При дальнейшем росте r растетнаклон графика в точке x*. Приr = 3 имеем , и про-исходит следующая бифуркация: рождение цикла периода 2.

То есть, точки,p и q – неподвижные точки ото-бражения :

Этот цикл существует при всехr > 3.

Бифуркация рождения циклапериода 2.

r Вопрос об устойчивости этогоцикла сводится к вопросу обустойчивости неподвижной точки

.

Вычисляя, получим:Цикл устойчив прит.е. при

Бифуркационная диаграмма.

Каскад бифуркаций удвоенияпериода предельных циклов:

Что происходит при r > r∞ ?

Структура притягивающих множеств логистическогоотображения в зависимости от r.

«Самоподобие» картинки.

«Окно» периода 3.

r < r* r > r*При r = r* = происходит тангенциальнаябифуркация (похожая на «седло-узел»). При этомрождаются устойчивые неподвижные точки отображения f 3, соответствующие циклу периода 3.

Зависимость показателя Ляпунова от rдля логистического отображения.

2. Универсальность Фейгенбаума.

Рассмотрим отображение , , .

Сравним структуру притягивающих множеств в зависимостиот r для этого отображения и для логистического.

)1(1 nnn xrxx −=+

Пусть функция f (x), задающая отображение, имеет единственныймаксимум при x = xm (такиеотображения называютунимодальными).М.Фейгенбаум (1978,1979) заметил и доказал, что дляунимодальных отображений

1−nr nr 1+nr

с квадратичным максимумом последовательность бифурка-ций удвоения обладает универсальными свойствами:

, т.е. при

при

Назовем периодическую траек-торию суперустой-чивой, если

0)(2

1

=′=∏=

n

jjxfλ

},...,{21 nxx

(Следовательно, суперустой-чивая траектория содержитточку ). mxx =

Сравним графики функций и :

Замена: mxxx −→

итерацияскейлинг

Видно, что После n перенормировокполучим

Численный анализ подсказывает, что

где g0(x) – универсальная (независящая от f ) функция ссуперустойчивой неподвижной точкой.

Если начать не с , а с , придем к

gi(x) – универсальная функция с суперустойчивой перио-дической траекторией периода 2i

При получаем

Соответствующая предельная функция g(x) удовлетворяетуравнению

Надо задать граничные условия. Поскольку f (x) имеет мак-симум в нуле, полагаем Кроме того, можноположить (это определяет масштаб x ). Теперьнадо искать и

При имеем: Поскольку

Ищем в виде ряда: (здесьпредполагается, что максимум квадратичный). Этот ряд надоподставить в уравнение и приравнивать коэффициенты приодинаковых степенях x. Фейгенбаум получил

откуда , что согласуетсяс численными результатами. Можно найти и значение δ (см. более строгое и подробное изложение, например, в Г.Шустер, «Детерминированный хаос. Введение», Москва Мир, 1988).

3. Аттрактор Рёсслера

Рассмотрим систему

Зафиксируем , и будем менять параметр с. Прикаждом значении с будем строить притягивающеемножество.

Переход к хаосу осуществляется через каскад бифуркацийудвоения периода цикла. Последовательность бифуркаци-онных значений параметра дает значение δ, близкое куниверсальной константе Фейгенбаума.

Рассмотрим график xn+1 от xn, где xi – максимальноезначение x на i –ом витке при движении по странномуаттрактору Ресслера. Видно, что динамика с высокой точ-

ностью описывается унимодальнымотображением.

Для системы Ресслера можно также построить картинку, показывающую структуру притягивающих множеств отпараметра. Видно, что она похожа на универсальную.