高三数学专题复习( 8 )
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高三数学专题复习( 8)
江苏省宿豫中学:杨亚
怎样求动点的轨迹方程
复习目标:• 1.在一轮复习的基础上,进一步掌握和熟练运用求轨迹方程的常用方法。
• 2.培养思维的灵活性和严密性• 3.进一步渗透“数形结合”的思想
• 1. 已知向量 OP 与 OQ 是关于 y 轴对称 , 且 2OP·OQ=1, 则点 P ( x , y )的轨迹方程是 _________ 。
课前预习:
y2 -x2 =1/2
•总结:所谓直接法即是根据已知条件探求动点所满足的等量关系,且把这个等量关系中各个变量用动点坐标表示出来,一般有五个步骤。
• 2 设 Q 是圆 C:(x+1)2+y2=16 上的动点,另有 A(1,0) ,线段 AQ 的垂直平分线交直线 CQ 于点 P ,当点 Q在圆上运动时,点 P 的轨迹方程为x2/4+ y2/3 =1
总结:在熟知各种曲线(如:圆,椭圆,双曲线,抛物线)定义的基础上,分析动点运动规律符合某已知曲线的定义,然后设其方程求出方程中的待定系数。
• 3. 点 P 是以 F1 , F2 为焦点的椭圆 x2/25+y2/9=1 上的动点,则△ F1F2P 的重心轨迹方程为 :
_______________________
9x2/25+y2=1(y≠0 )总结:当动点 M 随着已知方程的曲线上另一个动点 C ( x0 , y0 )运动时,找出点 M 与点 C 之间的坐标关系式,用( x , y )表示( x0 , y0 )再将 x0 , y0 代入已知曲线方程,即可得到点 M 的轨迹方程。
4. 已知点 P ( x , y) 满足 x2+y2=4,则点 Q ( x y,x+y )的轨迹方程为: ___________________.y2=2x+4 (-2≤x≤2 )
总结:在求曲线方程时,如果动点坐标 x , y 关系不易表达,可根据具体题设条件引进一个(或多个)中间变量来分别表示动点坐标 x ,y ,间接地把 x , y 的关系找出来,然后消去参数即可
归纳:• 由以上几个题目可以看出求动点的轨迹方程常用的方法有:
1.直接法 ; 2.定义法(和几何法联系)
3.相关点法 ; 4.参数法求动点的轨迹方程中的注意点:1.注意方程的纯粹性和完备性即不多不少。
2.注意平面几何知识的运用。3.注意要求是求轨迹方程还是轨迹。
例题
• 1. 设过点 A ( 1 , 0 )的直线与抛物线 :x2=4y 交于不同的两点 P , Q ,求 PQ 中点 M 的轨迹方程
• 解:法一设 P ( x , y )设直线PQ的方程为y=k ( x-1 )代入抛物线方程x2=4y 中,消去y 并整理得:x2-4kx+4K=0 ,∴ x1+x2=4k,x1x2=4k,∴y1+y2=(x1
2+x22)/4=[(x1+x2)2-2x1x2]/4=4k2-2k,
x=( x1+x2)/2=2k, 消去 k 得:y=(y1+y2)/2= 2k2-k
y=(x2-x)/2=(x-1/2)2/2-1/8∵ 直线 PQ 与抛物线有两个交点,∴△=16k2-16k > 0 ,所以: k > 1 或 k < 0 ,∴ x > 2 或 x < 0, ∴ 点 M 的轨迹方程为: y=(x2-x)/2 ( x > 2 或 x < 0 )
• 法二:设 P(x1,y1),Q(x2,y2,) , P(x,y) ,由 P 、 Q 均在抛物线上得:
x12=4y1
x22=4y2 得:
(y1-y2)/(x1-x2)=(x1+x2)/4=x1/2=K pq
又∵ k pq=y/x-1
∴y/x-1=x/2 y=x(x-1)/2 ∴ 由
得两交点坐标为( 0 , 0 ),( 2 , 1 )∵ 中点 M 必在抛物线内 ∴由图可知 x > 2 或 x < 0,
∴ 点 M 的轨迹方程为: y=(x2-x)/2 ( x > 2 或 x < 0 )
y=1/2x(x-1)
x2=4y
变题:• 1 、过抛物线 x2=4y 的焦点
的弦 PQ 的中点的轨迹方程为 ______.
• 2 、过点 A(1,0) 的直线与圆 x2+y2=1/4 交于不同的两点 P 、 Q ,则 PQ 的中点轨迹方程为 _______.
• 2. 已知两点 M ( -1 ,0 ), N ( 1 , 0 ),且点 P 使向量 MP·MN ,PM·PN , NM·NP 成公差小于零的等差数列,求点 P 的轨迹方程。( 2002 年天津考题)
• 解:设点p(x,y),由M(-1,0)N(1,0)得: MP=(x+1),MN=(2,0),PM =(-1-x,y), PN=(1-x,-y),NM=(-2,0),NP=(x-1,y)
∴MP· MN= 2(x+1) ,PM · PN= (1-x) (-1-x )+y2
,
NM · NP= -2( x-1) 由已知得: 2y2+2 (1-x) (-1-x )=2 (x+1)- 2( x-1) -2( x-1) - 2(x+1)<0∴ 点P的轨迹方程为:x2+y2=3(x>0)
巩固练习:
x2+y2/4=1
C
1 、线段 AB 长为 3 ,端点 A , B 分别在 x轴与 y轴上滑动,点分 AB 成 2 : 1 ,则点 P的轨迹方程 。
2 、动点 P 在直线 x=1 上, O 为原点,以 OP 为直角边,点 O 为直角顶点,作直角三角形 OPQ ,则 Q 的轨迹为 。A 圆 B 双曲线 C 两条平行线 D 抛物线
总结:
请同学们自己完成
再
见