ملزمة جبر للصف الثاني الثانوي الترم الأول أدبي 2017 -...
Transcript of ملزمة جبر للصف الثاني الثانوي الترم الأول أدبي 2017 -...
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
١
: تعریف الدالة تسمى دالةصص الى سس مجموعتین غیر خالیتین فإن العالقة من صص ، سس إذا كانت
صص بعنصر واحد فقط من عناصر سس إذا ارتبط كل عنصر من عناصر ) س(د= أو ص صص C سس: و تكتب د
: نعبر عن الدالة بطریقتین صص C سس: د ) بیان الدالة ( بة كمجموعة من االزواج المرت) ١( ) س(د= ص ) :الصور التى تأخذھا الدالة ( بقاعدة ریاضیة تسمى قاعدة الدالة ) ٢(
:المجال و المجال المقابل و المدى : من الشكل المقابل لدالة ما : المجال
اتجیر س بحیث یكـون النـر التى یأخذھا المتغاصمجموعة العنھو
} ٤ ، ٣ ، ٢، ١{ = سس " .عـدد حقیقى " كمیة معرفة )الفترة المقابلة للشكل البیانى على محور السینات( و تكون قیمھ على محور السینات
}٩ ، ٨ ، ٧ ، ٦ ، ٥{ = صصھو مجموعة األعداد التى تأخذھا : المجال المقابل
} ٩ ، ٨ ، ٦{ : المدى
صص فى سسصر مجموعة صور عنا ) العناصر فى ص المرتبطة بعناصر س (
ھو مجموعة العناصر الحقیقیة التى یأخذھا المتغیر ص ونحصل علیھ بیانیا من محور الصادات
][أعلى قیمة ، أسفل قیمة ][
ح ھى دالة كل من مجالھا و مجالھا المقابل مجموعة جزئیة من : الدالة الحقیقیة
الدوال الحقیقیة: الوحدة األولى
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٢
اختبار الخط الرأسى ( العالقة تكون دالة بیانیا :حظة مال: ( إذا مثلث عالقة بمجموعة من النقاط فى مستوى احداثى متعامد و قطع الخط الرأسي
عند كل عنصر من عناصر المجال تمثیلیھما البیانى فى نقطة فقط فإن ھذه العالقة تمثل دالة
ة یمثل دالة فى س و لماذا ؟ أیا من االشكال اآلتی: مثال
-٢
]١[
س ٢ ١ ١-
ص٢ ١
-١
س ٢ ١ ١-
ص٢ ١
-١
س ٢ ١ ١-
ص٢ ١
-١
-٢
-٢ س ٢ ١ ١-
ص٢ ١
-١
-٢
-٢
س ٢ ١ ١-
ص٢ ١
-١
س ٢ ١ ١-
ص٢ ١
-١
-٣[ ]٢[ ٢- ٢[
]٤[ ]٥[ ]٦[
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٣
:الحل ] : ١[ الشكل
یقطع الشكل البیانى فى نقطتین ) ٠ ، ٠( ال یمثل دالة ألن الخط الرأسى المار بالنقطة ] : ٢[ الشكل
یقطع المنحنى فى ) المجال ( تمثل دالة ألن الخط الرأسي عند كل نقطة على محور السینات .نقطة واحدة فقط
.ال یمثل دالة ألن یوجد خط رأسي یقطع المنحنى فى أكثر من نقطة ] : ٣[ الشكل تمثل دالة ] : ٦ ، ٥ ، ٤[ االشكال
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : قـواعــــد ھـــامة لتعیین المجال *
.ح = مھما كان درجتھا دالة كثیرة الحدودمجال أى ) ١
: الدالة كثیرة الحدود ھى الدالة التى ال تحتوى على متغیر فى المقام مثل
١+ س + ٢س) = س( ، د٥ س ــ ٢) = س( س ، د٣) = س( ، د٥) = س( د
) = س( ، د٤+ س ٢ ــ ٣س) = س( د
. أصفـــــــار المقــــــــام - ح = الدالة الكسریةمجال ) ٢
الدالة الكسریة ھى الدالة التى یكون مقامھا یحتوى على متغیر
صفر = مجموعة أصفار المقام ھى مجموعة قیم س التى تجعل المقام : ملحوظة
نوجد أصفار المقام ) = س(ة د مثال لمعرفة مجال الدال
}٣ ، ــ ٣{ ح ــ ) = س( مجال دB ٣ ±= س B ٩ = ٢ سB ٠ = ٩ ــ ٢بوضع س
:ح فى الحاالت األتیة = مجال الدالة الكسریة : حـــالة خـــــاصة
. المقام دالة ثابتة *
+ ح Эأ ، زوجى ←أ حیث ن + ن المقام على الصورة س*
.حیث الممیز یكون سالبا : جـ + ب س + ٢المقام على الصورة أ س*
) = س(مجال الدالة د: مثال
٩= ج ، ٠= ب ، ١= ا حیث ٠ = ٩ + ٢نضع س
٣س ــ ٢
٢ س ــ ٩ ــ ٢س
٢ س ــ ٩ + ٢س
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٤
) كمیة سالبة (٠ < ٣٦ــ = ٩ × ١ × ٤ ــ ٢ ) ٠ ( = ا ج ٤ ــ ٢ب= الممیز
Bح ) = س( مجال د
:مجال الدالة الجذریة) ٣
) یقال دالة جذریة إذا كانت قاعدة الدالة تشتمل على الجذر التربیعى (
٠ Xالمجال ھو الفترة ما تحت الجذر : إذا كان الجذر فى البسط : أوال
٠> الجذر المجال ھو الفترة ما تحت : إذا كان الجذر فى المقام : ثانیا
: حالة خاصة
كثیرة حدود ) س( ، ھـ + صص gن حیث ")"س"( ھـ ؟ ن) = س(الدالة د
تسمى دلیل الجذر ن ، ح= مجال الدالة : عدد فردى فإن ن عندما :أوال
٠ X) س(مجال الدالة ھو مجموعة قیم س التى تجعل ھـ: عدد زوجى فإن ن عندما : ثانیا
:عندما یكون دلیل الجذر فــردیا : أوال
ح ) = س ( مجال د ← ) =س ( د مثال
:عندما یكون دلیل الجذر زوجیا : ثانیا
) = س ( د : مثال
[ ، ٥ ) = [س ( مجال د ← ٥ س ← ٠ ٥ ــ س ˙.˙
) = س ( د عین مجال : مثال
:لالح
٠ = ١٢ - س - ٢س بوضع
٠) = ٣+ س )( ٤ -س (
٠ = ٣+ س ٠ = ٤ -س ٣ -= س ٤= س
٣ - ٤
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٥
) ٠ ( مجال الدالة الجذریة كمیة غیر سالبة ˙.˙
] ٣ - ، - ]بآل [ ، ٤) = [ س ( مجال د . ˙.
[٤ ، ٣ــ ] -ح =
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: عین مجال كل من الدوال الحقیقیة المعرفة بالقواعد اآلتیة : مثال
" ٩"ــ " ٢س ؟ ) = س ( ٢ د ] ٢ [ " ٤"+ " س ؟ ) =س ( ١ د ] ١ [
) = س ( ٤د ] ٤) = [ س ( ٣د ] ٣ [
" ٣"+ " س ؟ ٣ ) = س ( ٦د ] ٦) = [ س ( ٥د ] ٥ [
:ل الح ]١ [ A دلیل الجذر زوجى B ٤+ س X ٠ C س X – ٤
B ضض ، ٤ - [ –ح = المجال ]
]٢ [ A دلیل الجذر زوجىB٩ – ٢ س X ٠ C٢ س X ٩ C س X ± ٣
B [ ٣ ، ٣ – ] -ح [ = ضض ، ٣ [ بآل ] ٣ - ، ضض -= ] المجال
١ أ، ٢= س C ٠ ) = ١ –س )( ٢ –س ( B ٠ = ٢+ س ٣ ــ ٢نضع س ] ٣[
B ٢ ، ١ { –ح = المجال {
ح = المجال B فیكون الممیز كمیة سالبة ٠ = ٩ + ٢نضع س ] ٤[
٣ -= ، س ٣ = س C ٠ ) = ٣+ س )( ٣ –س ( B ٠ > ٩ – ٢نضع س ] ٥[
A ٠> المجال ھو الفترة ما تحت الجذر B ٣ ، ٣ - [ –ح = المجال [
]٦ [ A دلیل الجذر فردى B ح = المجال
٢ س ــ
٩ + ٢س ٣+ س ٢ ٢+ س ٣ ــ ٢ س
١
" ٩"ــ " ٢ س؟
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٦
العملیات على الــــــــدوال
:نالحــظ من ھذا التعریف أن
حیث مجالھا ھو المجال ) Z ≠ ٢م∩١م(فرق أو ضرب دالتین ھو دالة جدیدة بشرط مجموع أو
أما مجال خارج قسمة دالتین ھو المجال المشترك للدالتین مستبعدا ٢د ، ١المشترك للدالتین د
.منھ أصفار المقام
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٦ – س - ٢س ) = س ( ٢د ، "٢ "-س ؟= ) س ( ١إذا كان د :مثال
)س ) ( ٢د + ١د( ، ) س ( ) ( ، ) س( )٢د . ١د( أوجد مجال *
:ل الح
٢ س ٠ ٢ - س B "٢ "- س ؟) = س ( ١ د
B ٢) = [ س ( ١مجال د = ١ م ، ]
ح ) = س ( ٢مجال د = ٢ م ٦ - س - ٢س ) = س ( ٢د ،
٠ ) = ٢+ س ) ( ٣ -س ( ٦ - س - ٢س ) : ٢د ( ف ) أصفار المقام (
} ٢ - ، ٣ { ) = ٢د ( ف . ˙ . ٢ -= س & ٣= س . ˙ .
[ ، ٢= [ ح ∩ [ ، ٢ = [ ٢ م ∩ ١م = س ) ٢د . ١د( مجال
( )
( )
( )
١د ٢د
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٧
) ٢ د( ف - ٢ م ∩ ١م = س ) ( مجال . ˙ . ] =٢ ، ] - } ٢ - ، ٣ { ] = ٢ ، ] - } ٣ {
٦ – س - ٢س + "٢ "-س ؟) = س ) ( ٢د + ١د(
[ ، ٢= [ ح ∩ [ ، ٢ = [ ٢ م ∩ ١م = ) س( ) ٢ د+ ١د( مجال
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:ایجاد المجال و المدى للدالة المعرفة بأكثر من قاعدة*
ارسم منحنى الدالة و اذكر مجالھا و مداھا : ثال م ) = س(د) ب) = (س(د) أ(
: الحل )١ - ، ٠( دالة ثابتة تمثل شعاع یوازى محور السینات و یبدأ من ٠< عند س ) أ(
)١ ، ٠( سینات و یبدأ من دالة ثابتة تمثل شعاع یوازى محور ال٠> عند س
} ٠{ ح ــ = المجال
}١ - ، ١{ = المدى
٠< س ١ــ
٠> س ١ ٠ X س ٢+ س
٠< س ٢ –س
٣
-٣ ٢ ١ ١- ٢
١
-١
٢
١د ٢د
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٨
نرسم جدول لكل قاعدة ) ب( ٠< س
٠ X س
[ ٢ ، ٢ -[ ح ــ = ى ح ، المد= المجال ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
) = س(إذا كانت د: مثال
مجال و مدى الدالة ارسم الشكل البیانى للدالة و من الرسم استنتج
: الحل
[ ∞ ، ٢ -= [ مجال الدالة : من الرسم
[ ∞ ، ١-= ] المدى
٠ س
- ١
- ٢
٤ - ٣ - ٢ - )س(د
٠ س
١
٢
٤ ٣ ٢ )س(د
٢ ١ ٠ ٠ ١- ٢- س ٣ ٢ ١ ١- ٠ ٣ )س(د
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢
٣ ٢ ١
-١ -٢
-٣
٠< س Y ٢ - ١ - ٢س
٠ X س ١+ س
١+ س ١ – ٢ س
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢
٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٩
٢< س Y ٢ - س عندما – ٣: مثال ) = س( إذا كانت د
٥ Y س Y ٢ س عندما
ارسم الشكل البیانى للدالة و استنج من الرسم
مجال الدالة و مداھا
: الحل
]٥ ، ١= ] ، المدى ] ٥ ، ٢ -= [ المجال
ح حیثC ] ٤ ، ٢ - : [ إذا كانت الدالة د : مثال
٠< س Y ٢ - عندما ٣+ س ٢ ) = س ( د
٤ Y س Y ٠ ــ س عندما ١
ارسم الشكل البیانى للدالة د و من الرسم استنج مجال و مدى الدالة
: الحل - ٢ Y ٠ ٠< س Y س Y ٤
]٤ ، ٢ -= [ المجال
[ ٣ ، ٣ -= [ المدى
٤ ١ ٠ ٠ ١ - ٢ - س
٣ - ٠ ١ ٣ ١ ١ - ص
٤ ٣ ١ ١- ٢- ٢ -٣
٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢
-٣ -٤
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
١٠
:ایا من العالقات اآلتیة ال تمثل دالة ] ١[ :اآلتیة تكون فیھا ص دالة فى ما عدا العالقة جمیع العالقات ] ٢[
حا س= ص ) ٤ (٢ – ٢ص= س ) ٣ (٤ ــ ٢س= ص ) ٢ (٣ س ــ ٢= ص ) ١ (
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : عین مجال كل من الدوال الحقیقیة المعرفة بالقواعد االتیة ] ٣[ "٣ــ " س ٢؟) = س(د) ٣ (٥ــ ) = س(د) ٢( س ٢ ــ ٢س) = س(د) ١(
)١( تمارین
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
١١
٢< عندما س ٢ ــ
٢ X ـ س عندما س ٤
) =س(د) ٦ ("" ٢س" " ــ٤ ؟) = س(د) ٥) = (س(د) ٤( ) = س(د) ٨) = (س(د) ٧( " ٦" -" س" " +٢" س؟ ٣) = س(د) ١٠) = (س(د) ٩(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : مثل الدوال االتیة بیانیا و عین مداھا ] ٤[
) = س( ح ، دC ] ٥ ، ١ -: [ إذا كانت د )١(
) ٥(، د) ٤(، د) ٣(، د) ٢(، د) ١(، د) ٠(، د) ١-( فأوجد كال من د .رسم الشكل البیانى للدالة و استنتج من الرسم مداھا ثم ا
) = س(إذا كانت د) ٢ (
) ٤ -( ، د ) ١ -( ، د) ٠(، د) ١(، د) ٤(، د) ٣(، د) ٢( فاوجد كال من د . ثم ارسم الشكل البیانى للدالة و استنتج من الرسم مداھا
ح حیث C ] ٣ ،٣ -: [ إذا كانت د ) ٣ (
) = س ( د
ارسم الشكل البیانى للدالة و من الرسم استنج مدى ھذه الدالة
٩ - ٢س
٣ –س
٢+ س ٣
"٢ " +" س؟
٢ س ــ
٦+ س ٥ ــ ٢ س
"٢ "س ــ؟ ١ ــ ٢ س
٢< س Y ١- س عندما -٤
٥ Y س Y ٢ س عندما
٢ X س عندما س ٢
٢< عندما س ٢+ س
٠< س Y ٣ - عندما ١ + ٢ س
٣ Y س Y ٠ عندما ٢+ س
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
١٢
: إطراد الدوال
)اطـــــــــراد الــدالـــــــة (
تناقصیة ثابتةتزایدیة
]ب ، ا[ یقال للدالة أنھا تزایدیة فى الفترة ) الدالة التزایدیة ( - ١
]ب ، ا [g ٢س ، ١ إذا كان لكل س
:یتحقق الشرط اآلتى
) ٢س ( د > ) ١س ( د ٢س > ١ إذا كان س
تكون تزایدیة إذا كانت ) س ( د : عامــــةوبصفة:
. قیمة الدالة تتزاید بإزدیاد قیمة س
تكون تزایدیة إذا كان المماس لمنحنى) س ( د : وبطریقة أخرى
.الدالة یصنع زاویة حادة مع االتجاه الموجب لمحور السینات
]ب، ا [ یقال للدالة أنھا تناقصیة فى الفترة ) صیةالدالة التناق ( -٢
]ب، ا [ g ٢س ، ١ إذا كان لكل س
: یتحقق الشرط اآلتى
) ٢س ( د < ) ١س ( د ٢س > ١إذا كان س
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
١٣
اد قیمة س قیمة الدالة تتناقص بإزدی:تكون تناقصیة إذا كانت ) س ( د : وبصفة عامــــة .
تكون تناقصیة إذا كان المماس لمنحنى الدالة) س ( د : وبطریقة أخرى
.یصنع زاویة منفرجة مع االتجاه الموجب لمحور السینات
]ب ، ا[ یقال للدالة أنھا ثابتھ فى الفترة ) الدالة الثابتھ ( -٣
]ب ، ا [ g ٢س ، ١ إذا كان لكل س
ا ) = ٢س ( د ) = ١س ( د ٢س > ١إذا كان س : حقق الشرط اآلتى یت
تكون ثابتة إذا كانت قیمة الدالة ثابتة مھما كانت قیمة س ) س ( د : وبصفة عامــــة.
المجال و فترات االطراد تقرأ على محور السینات أما المدى یقرأ على محور الصادات : أنتذكر
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
١٤
: ابحث اطراد كال من الدوال االتیة مع ذكر المدى : مثال
) ٣(الشكل ) ٢(الشكل ) ١( الشكل :الحل
] ٢ ، ٠= [ المدى ) : ١(فى الشكل
] ٥ ، ٣[ ، متناقصة فى ] ٣ ، ٠[ ، ثابتة فى ]٠ ، ٢ -[ الدالة متزایدة فى : االطراد
[ ∞ ، ٢ -= [ المدى ) : ٢(فى الشكل
] ١ ، ∞ -] ، متناقصة فى [ ∞ ، ١[ متزایدة فى : االطراد
] ٣ ، ∞ –= ] المدى ) : ٣(فى الشكل
] ٣ ، ٠[ ى ، ثابتة ف [ ∞ ، ٣[ ، متناقصة فى ] ٠ ، ∞ -] الدالة متزایدة فى : االطراد
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :نوع الدالــــة *
: الدالة الزوجیة: أوال
تكون زوجیة ص ←س : الدالة د : جبریا
] یقال لكلالرمز [ . المجال g س -، س )س ( د ) = س -( د : إذا كانت
.تكون الدالة زوجیة إذا كان الشكل البیانى لھا متماثال حول الصادات : بیانیا
ص ، س ( فإذا كانت النقطة (g منحنى الدالة فإن النقطة )- ص ، س (g منحنى الدالة .
٥ ٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢
-٥ ٤ ٣ ٢ ١ ٠ ١- ٢ -٥ ٤ ٣ ٢ ١ ٠ ١- ٢
٥ ٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢
-٥ ٤ ٣ ٢ ١ ٠ ١- ٢
٥ ٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
١٥
: الدالة الفردیة: ثانیا
ص تكون فردیة←س : الدالة د : جربيا
)س ( د -) = س -( د : إذا كانت
س -، س g المجال .
: بيانيا
.تكون الدالة فردیة إذا كان الشكل البیانى لھا متماثال حول نقطة األصل
تقع أیضا ) ص -، س -( تقع على منحنى الدالة فإن النقطة ) ص ، س ( نت النقطة فإذا كا
.على منحنى الدالة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٠) = س - ( د ) + س ( د ) ٣ (
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
١٦
:ابحث نوع الدوال اآلتیة جبریا : مثال
) = س(د) ٢) = (س(د) ١ (
) = س(د) ٤) = + (س(د) ٣ (
: الحل = = ) = س-( د) ١ (
الدالة زوجیة B) س(د =
فردیة B) س(ــ د) = = = س -( د) ٢( ) = + = + ــ س ( د) ٣(
الدالة زوجیة B) س(د = + = )س(د = ) = = ـ س ( د) ٤( B الدالة زوجیة
٥ ٥
س٣ حا ٣ س
٤س + ١
|س | س
س حا س + ١
١ –س
١+ س
١+ س
١ –س ٠> س C ٣ س ــ
٠< سC ٣ــ س ــ
س٣ حا ــ٣)ــ س (
٤)ــ س + ( ١
س٣ــ حا × ٣ ــ س
٤س + ١
س٣ حا ٣ س
٤س + ١
|ــ س | ــ س
) س-(حا ) س- +(١
|س | ــ س
س حا س + ١ ٥ ٥
١ – ــ س
١+ ــ س
١+ ــ س
١ – ــ س
٥ ) ١+ س ( ــ
)١ -س ( ــ
) ١ –س (ــ
)١+ س (ــ
٥
١+ س ٥
١ –س
٥ ١ –س
١+ س
٠> س - C ٣ س ــ -
٠< س- C ٣ــ ) س-( ــ
٠< س C ٣ س ــ -
٠> س C ٣ س ــ
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
١٧
باستخدام البرامج الرسومیة مثل الدوال اآلتیة و ابحث أى من الدوال زوجیة أو فردیة أو : مثال .غیر ذلك ثم تحقق من اجابتك جبریا
س حا س) = س(د) ٣(س + ٣س) = س(د) ٢( س ٤ – ٢س) = س(د) ١( : الحل
س٤ – ٢س) = س(د: نكون الجدول ) ١(
الشكل البیانى لیس متماثال حول محور الصادات و لیس متماثال حول نقطة األصل
) س -( × ٤ – ٢) س -) = ( س -( د ) س ( ــ د{ س ٤ + ٢س =
B الدالة ال زوجیة و ال فردیة س + ٣س) = س(د) ٢(
الشكل البیانى متماثل حول نقطة األصل ) س - + ( ٣) س -) = ( س -( ، د
)س + ٣س ( -= س – ٣ س- = ) س (ــ د =
B الدالة فردیة
س
- ١
٠
١
٢
٣
٣ - ٤ - ٣ - ٠ ٥ )س(د
س
- ٢
- ١
٠
١
٢
١٠ ٢ ٠ ٢ - ١٠- )س(د
سس
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
١٨
س حا س) = س(د) ٣(
الشكل البیانى متماثال حول محور الصادات Aس(د= س حا س ) = س -( س حا -) = س -( د ( B الدالة زوجیة .
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ مثل بیانیا الدالة د حیث: مثال
) =س( د
. ثم بین ھل الدالة زوجیة أم فردیة أم غیر ذلك و تحقق من ذلك جبریا
٢ -< س ٢ – Xس : الحل
الشكل البیانى متماثال حول محور السینات Aس - ( د = (
=
الدالة لیست زوجیة و ال فردیة B) س( د- {
٣ - ١ - ٢ - ٠ ١ - ٢ - س
١ ١ - ٠ ٢ ١ صفر ص
٢ - X س C ٢+ س
٢ -< سC ٢ــ س ــ
٢ - X س - C ٢+ س -
٢ -< س - C ٢ س ــ
٢ Y س - C ٢+ س -
٢ - > س C ٢ س ــ
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
١٩
نوعھا من حیث كونھا ن الرسم اذكر المدى وابحث اطرادھا واذكرارسم الدالة اآلتیة وم :مثال :زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك
= ) س(د
: الحل
-١ س ٠ ١ س
ص ٢ ٣ ص ٣ [ ∞ ، ٢ [ = المدى ، ح= المجال [ ∞ ، ٠[، متزایدة فى [٠ ، ∞ -]الدالة متناقصة فى زوجیة ألن منحناھا متماثل حول محور الصادات وھى دالة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :تدریب
) جبریا . ( أو غیر ذلك ابحث نوع الدوال اآلتیة من حیث زوجیة أو فردیة : مثال
) = س(د] ٣[ س ؟ ٤) = س(د] ٢ [٢ س– ٢) = س(د] ١ [ حتا س + ٣س) = س(د] ٥) = [س(د] ٤ [ )=س(د] ٧ ["٦"+ " ٢ س؟) = س(د] ٦ [ ) = س(د] ٩) = [س(د] ٨[ حتا س + ٣س) = س(د] ١٢) = [س(د] ١١[ حتا س ٣س) = س(د] ١٠[
٠> س C ٣ س ــ
٠< سC ٣ــ س ــ
س٣ حا ٣ س
٤س + ١
٠ X س C ١س ــ
٠< سC س ٧
٠ ٢
٠ X س C ٣+ س
٠< س C ٣+ ــ س
)٠،٢(
س
ص
′س ′ص
٠ Xس عندما س ٢
٠< عندما س س ٢ -
١ X عندما س ١ - س
١< عندما س ١+ س -
حا س ــ ظا س
س٣ ــ ٣ س
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٢٠
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ح gثابت لكل س ا حیث ا ) = س(الصورة العامة للدالة الثابتة ھى د
و تمثل بیانیا بمستقیم یوازى محور السینات ) ا ، ٠( و یقطع محور الصادات فى النقطة
:كما فى الشكل الموضح
، الدالة زوجیة } ا { = ح ، مداھا =مجالھا
و ھى الدالة الوحیدة التى مداھا نقطة أو مجموعة من النقاط
موجبة فإن المستقیم یكون أعلى محور السینات ا إذا كانت : ملحوظة سالبة فإن المستقیم یكون أسفل محور السیناتا ، و إذا كانت
الدالة الثابتة: أوال
صص
سس
)ا ، ٠(
ا ) = س(د
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٢١
٠ < عندما س ٢ -
٠ X عندما س ٢
و من الرسم عین المدى و االطراد و النوع ٣) = س(ة د حیث دارسم الدال: مثال : الحل
} ٣{ = المدى
ثابتة على مجالھا
زوجیة لتماثلھا حول محور الصادات
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
) =س(ارسم الدالة د: مثال
. و من الرسم أوجد مدى الدالة و ابحث اطرادھا و بین نوعھا : الحل
ھذه الدالة معرفة على فترتین
} ٢ - ، ٢{ = مدى الدالة الدالة ثابتة على الفترتین
][ ٠ ، ∞ -] ، [ ∞ ، ٠ ت فردیة و لیست زوجیة الدالة لیس
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ح C ] ٤ ، ٣ -: [ مثل بیانیا الدالة د : مثال
) = س( حیث د
: الحل ]٤ ، ٣ –] الشكل المقابل تمثیل الدالة بیانیا على المجال
} ١ - ، ٠ ، ١{ = مدى د
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢- ٣
٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢ -٣
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢- ٣
٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢ -٣
٢ - Y ، س ١
٢< س < ٢ - ، صفر ٢ X ، س ١ -
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢- ٣
٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢ -٣
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٢٢
] ٤ ، ٢[ ، [ ٢ ، ٢ –] ، ] ٢- ، ٣-[ الدالة ثابتة على كل من الفترات الثالث
من تماثل الشكل البیانى للدالة بالنسبة لنقطة االصل نستنتج أن الدالة فردیة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٠ {ا ، حح gب لكل س + س ا ) = س(الصورة العامة للدالة الخطیة ھى د و یقطع محور ) ، ب ٠( ر الصادات فى النقطة ، ویقطع محوا = و تمثل بخط مستقیم میلھ
) ٠، ( السینات فى النقطة
ح = ح ، مداھا = مجالھا : اطرادھا
)موجبة ( ٠> ا الدالة تزایدیة عندما متزایدة ٢ – س ٣) = س(الدالة د: مثال
)سالبة ( ٠< ا الدالة تناقصیة عندما س متناقصة ٣ – ٢) = س(الدالة د: مثال
: نوعھا ٠= الدالة لیست زوجیة و لیست فردیة بصفة عامة و لكنھا فردیة عندما ب
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: مثال ) =س( ارسم الدالة د
. و من الرسم استنتج مدى الدالة و اطرادھا و نوعھا : الحل
] ٢ ، ٠= [ ، المدى ] ٤ ، ٤ -= [ المجال ] ٢ ، ٢ –] ، ثابتة فى ] ٢ - ، ٤ -[ الدالة متزایدة فى
] ٤ ، ٢] فى ، تناقصیة الدالة زوجیة النھا متماثلة حول محور الصادات
الدالة الخطیة ( دالة الدرجة األولى أو : ثانیا (
ب- ا
) ، ب ٠(
ب- )٠، ( ا
سص
سس
]٢ - ، ٤ - [ g ، س ٤+ س ]٢ ، ٢ – ] g ، س ٢ ] ٢ ، ٠ [ g س ، س – ٤
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢- ٣- ٤
٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢ -٣
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٢٣
: مثال ) =س( ارسم المنحنى للدالة د
و من الرسم استنتج مدى الدالة و اطرادھا و نوعھا
: الحل ٠< س ٠ X س
١- ٠ س ١ ٠ س ٣ ٢ ص
٣ - ٢ - ص
ح = مجال الدالة [∞ ، ٢ [ بآل [ ٢ - ، ∞ -= ] مدى الدالة
[ ٢ ، ٢ -[ أو ح ــ الدالة تزایدیة على مجالھا
الدالة لیست فردیة و لیست زوجیة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ و من الرسم أوجد مدى الدالة و ابحث) = س(مثل بیانیا الدالة د حیث د: مثال
. اطرادھا و بین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك
: الحل :و لكن یمكن تحویلھا الى دالة من الدرجة االولى كما یأتى ھذه الدالة لیست من الدرجة االولى
٣ { ، س ٣+ س) = = س( د
٣= لذلك یتم تمثیلھا بیانیا بخط مستقیم بھ ثقب عند س : من الرسم نالحظ أن
} ٣{ ح ــ = مجال دالة }٩{ ح ــ = مدى الدالة
} ٣{ دیة على مجالھا ح ــ الدالة تزای
٠ X ، س ٢+ س
٠< ، س ٢س ــ
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢- ٣
٦ ٥ ٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢ -٣
٩ - ٢س
٣ –س
)٣س ــ )( ٣+ س (
)٣س ــ (
٣ - ٣
٩
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٢٤
مثل بیانیا كال من الدوال المعرفة بالقواعد االتیة و من الرسم أوجد مجال و مدى كل
. دالة و ابحث اطرادھا و نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك ٣+ س ٢) = س(د ] ٢[ س ) = س(د ] ١[ ) = س(د ] ٤) = [ س(د ] ٣[ ) =س(د ] ٦) = [ س(د ] ٥[
) = س(د ] ٨) = [ س(د ] ٧[ ) = س(د ] ١٠ [ ) = س(د ] ٩[
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:لمعطاة اختر االجابة الصحیحة من بین االجابات ا: مثال ..........ھو : مدى الدالة الممثلة بالشكل المقابل ) ١(
ح ) د ( } ١ -{ ) جـ( } ١ - ، ١{ ) ب( } ١{ ) أ ( ................. س تكون – ٣) = س(د: الدالة د ) ٢(
تناقصیة على ح ) ب(تزایدیة على ح ) أ (
[ ∞ ، ٣[ تناقصیة فى ) د [ ( ∞ ، ٣] تزایدیة فى ) جـ (
لى الدالة الثابتة و الخطیة ع) ٢(تمارین
٣ ــ ٢ س٣
١ – ٢ س
ــ س٣ س
س– ٢ س
٠ Y ، س ٢
٠> ، س ٢ــ
٠ Xس ، س
٠< ــ س ، س
]٢ ، ٠[ g س ، س ٣
[٤ ، ٢] g ، س ٦
]٦ ، ٤ [ g ، س ٢+ س
١< ، س ١+ س
٣< س < ١ ، ٢
٠ X س ، س
و
١
- ١
س
ص
٠، س ٢+ س ٠< ، س ٢+ س -
٠> ، س ٣+ س ٠ ، س ٣
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٢٥
) ٠ ( ھو عدد حقیقى غیر سالب ) مفھوم المقیاس ( *
"٢ س؟= | س | . ھو الجذر التربیعى الموجب لمربع ھذا العدد ) المقیاس العــدد ( *
= | | ، ٠= | ٠| ، ٣ = ٩؟= | ٣| ، ٢٥ ؟= | ٥ -| : مثال
) خواص دالة المقیاس : ( رسم دالة المقیاس* ١ ± = ك، ب+ | ا -س | ك) = س(د: الصورة العامة ھى
) ، ب ا( ھى نقطة رأس المنحنى ) ، ب ا( تمثل بیانیا بشعاعین من النقطة ا= االزاحة الصادیة ، معادلة محور التماثل ھو س = ة ، ب االزاحة السینی = ا
] ، ب ∞ -= ] مدى الدالة [ ∞ب ، = [ مدى الدالة ]ا ، ∞ -] الدالة تزایدیة فى [ ∞ ، ا[ الدالة تزایدیة فى
[∞ ، ا[ الدالة تناقصیة فى ] ا ، ∞ -] الدالة تناقصیة فى ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:مثال
)القیمة المطلقة ( دالــة المقـیاس : ثالثا
١ ٢
١ ٢
)، ب ا (
) ، ب ا(
سالبة ( ٠< ك (
)موجبة ( ٠> ك
تناقصیة تزایدیة
تزایدیة
تناقصیة
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٢٦
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مع ذكر المجال والمدى| س | -) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال
:و فردیة أو غیر ذلك ابحث اطرادھا وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أ
: الحل )٠ ، ٠( رأس المنحنى
المجال ح ]٠ ، -= ]المدى
[٠، -]د متزایدة فى [ ، ٠[د متناقصة فى
د زوجیة ألنھا متماثلة حول محور الصادات تمثل بیانیا شعاعین بدایتھما نقطة األصل فى الربع
ان الزاویة بین المحورینالثالث و الرابع و ینصف ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـ
: مثال
′س )٠،٠ (
′ص
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢- ٣
٢ ١
-١ -٢
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٢٧
و لكن بازاحة ثالث وحدات فى االتجاة الموجب | س|منحنى ھذه الدالة نفس منحنى :حل آخر
٠= ، و االزاحة الصادیة ٣= االزاحة السینیة . لمحور السینات . ثم نكمـــــل الحل كما سبق
: ملحوظة صفر المقیاس = االزاحة على محور السینات
)العدد المضاف الى المقیاس( العدد خارج المقیاس = االزاحة على الصادات ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٠ التحویالت الھندسیة لدالة المقیاس فى اتجاه محور الصادات ( االزاحة الرأسیة(:
مع ذكر المجال والمدى٣ +|س | ) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال :ة أو غیر ذلك ابحث اطرادھا وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردی
٣= ، االزاحة الصادیة ٠= االزاحة السینیة : حل آخر B تسمى نقطة الرأس للمنحنى نكمل الحل بنفس الحل ) ٣ ، ٠( مبدا الشعاعین
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٢٨
مع ذكر المجال والمدى٢- | س | ) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال : نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك ابحث اطرادھا وبین : الحل
)٢ - ، ٠( نقطة الرأس المجال ح
[ ، ٢-= [المدى [٠، -]د متناقصة فى [ ، ٠[د متزایدة فى
د زوجیة ألنھا متماثلة حول محور الصادات
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ .مع ذكر مجال و مدى الدالة | س | ــ ٢ ) =س(ارسم منحنى الدالة د:مثال :ابحث اطرادھا وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك :الحل
المجال ح
]٢ ، -= ]لمدى ا [٠، -]د متزایدة فى
[ ، ٠[د متناقصة فى د زوجیة ألنھا متماثلة حول محور الصادات
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مع ذكر المجال والمدى٢ -| س | - ) =س( ارسم منحنى الدالة د : مثال :ابحث اطرادھا وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك : الحل
المجال ح ]٢- ، -= ]المدى
[٠، -]د متزایدة فى [ ، ٠[د متناقصة فى
د زوجیة ألنھا متماثلة حول محور الصادات
)٢- ،٠( ′س س
′ص
ص
)٠ ،٢-( )٠ ،٢(
)٠ ، ٢(
′ص
′س س
ص
)٢ ، ٠( )-٠ ، ٢(
)٢- ،٠( ′س
′ص
ص
س
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٢٩
):فى اتجاه محور السینات ( االزاحة األفقیة * مع ذكر المجال والمدى | ٢ –س | ) =س(ارسم منحنى الدالة د : مثال :ابحث اطرادھا وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك
)الحل( ) ٠ ، ٢( راس المنحنى B ٠= ، الصادیة ٢= االزاحة السینیة
المجال ح [ ،٠= [المدى
[٢، -]د متناقصة فى [ ، ٢[د متزایدة فى
د الزوجیة والفردیة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ مع ذكر المجال والمدى | ٢+ س | ) =س(منحنى الدالة دارسم : مثال :ابحث اطرادھا وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك
)الحل( ) ٠ ، ٢ -( ، راس المنحنى ٠= ، الصادیة ٢ -= االزاحة السینیة
المجال ح [ ، ٠= [المدى
[٢-، -]د متناقصة فى [ ، ٢-[زایدة فى د مت
د الزوجیة والفردیة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ىمع ذكر المجال والمد| ٢ –س | ــ ) =س(ارسم منحنى الدالة د: مثال :ابحث اطرادھا وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك
)الحل( ) ٠ ، ٢( نقطة رأس المنحنى
]٠ ، -= ]المدى ، المجال ح [ ، ٢[د متناقصة فى ، [٢، -]د متزایدة فى
د الزوجیة والفردیة
)٠ ، ٢( ′س س
ص
′ص
)٢ ، ٠(
)-٠ ، ٢( ′س س
ص
′ص
)٢ ، ٠(
)٢- ،٠(
س ′س
ص
′ص
)٠ ، ٢(
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٣٠
مع ذكر المجال والمدى | ٢ +س | -) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال :ابحث اطرادھا وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك
)الحل( ) ٠ ، ٢ -( نقطة راس المنحنى
المجال ح ]٠ ، -= ]المدى
[٢-، -]د متزایدة فى [ ، ٢-[د متناقصة فى
د الزوجیة والفردیة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ محورى االحداثیات ىفى اتجاھ( االزاحة األفقیة و الرأسیة (: والمدى مع ذكر المجال ٣ + | ٢+ س | - ) =س( ارسم منحنى الدالة د: مثال :ابحث اطرادھا وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك
)الحل( ٣= ، االزاحة الصادیة ٢ -= االزاحة السینیة
المجال ح ]٣ ، -= ]المدى
[٢ - ، -]د متزایدة فى [ ، ٢-[د متناقصة فى
د الزوجیة والفردیة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : مثال
)٢- ،٠(
س ′س
ص
′ص
)-٠ ، ٢(
)١ ،٠( س ′س
ص
′ص
)-٣ ، ٢(
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٣١
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ انعكاس دالة المقیاس:
| س | ــ ) = س( منحنى الدالة ر حیث ر
) س( ھو انعكاس لمنحنى الدالة د
على محور السینات|س | ) = س( حیث د
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :لتمثیل كل من الدالتین ر ، ع حیث | س | ) = س(استخدم منحنى الدالة د حیث د: مثال
| ٣+ س | - ٢) = س(ع) ب (٢ - | ١ –س | ــ ) = س(ر) أ ( :الحل
)أ( ) ب(
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٣٢
على دالة المقیاستدریب :
مثل بیانیا كال من الدوال المعرفة بالقواعد االتیة و من الرسم أوجد مجال و مدى كل دالة ] ١ [
. و ابحث اطرادھا و نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك
. و اذكر معادلة محور التماثل إن وجد
| ٣ –س | ) = س(د) ٢ (٤+ | س | ) = س(د) ١ (
١ – س ٣+ | ٣+ س ٢| ) = س(ر) ٤(س + | س | ) = س(ر) ٣ (
٣+ | ٢ –س | ) = س(د) ٦( | ٣+ س | ) = س(د) ٥ (
٣ــ | س ٢ – س ٤| ) = س(د) ٨ ( | ٢ –س | ــ ١) = س(د) ٧ (
| س | ــ ٢) = س(د) ١٠( | ٣س ــ | س ــ ) = س(د) ٩ (
:لتمثیل كل من الدالتین ر ، ع | س | ) = س(استخدم منحنى الدالة د حیث د] ٢ [
| ٢ –س | ) = س ( ع) ب( | ٤+ س | ) = س(ر) أ (
٦+ | س | ) = س(ع) ء (٥ -| س | ) = س(ر) حـ (
٤+ | ٢ –س | ) = س(ع) و (١ - | ٣+ س | = ) س(ر) ھـ (
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :ر أنـــــــــتذك*
٠ {ا حـ ، + ب س + ٢سا = ص التربیعیة نقطة رأس منحنى الدالة ( ))، د( ھى هى
ب- ا٢
ب- ا٢
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٣٣
٠ {ا ، ج + ٢) س ــ ب ( ا ) = س(دالصورة العامة ھى : إذا كانت ل بیانیا بمنحنى ذو فرعین ألعلى أو ألسفل تمث
) ب ، جـ = ( و تكون نقطة الرأس المنحنى ب = ، معادلة خط التماثل ھى س
ب ) = االنتقال فى اتجاه محور السینات( االزاحة السینیة جـ ) = ى اتجاه محور الصادات االنتقال ف( ، االزاحة الصادیة
)سالبة ( ٠< ا : إذا كان ) موجبة ( ٠> ا : إذا كان ] ، جـ ∞ -= ] مدى الدالة [ ∞جـ ، = [ مدى الدالة
] ، ب ∞ -] الدالة تزایدیة فى [ ∞ب ، [ الدالة تزایدیة فى [ ∞ب ، [ الدالة تناقصیة فى ] ، ب ∞ -] الدالة تناقصیة فى
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
الدالة التربیعیة
)ب ، جـ (
)ب ، جـ ( تناقصیة تزایدیة
تزایدیة تناقصیة
قیمة صغرى ج =
٠> ا
٠< ا
قیمة عظمى ج =
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٣٤
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : مالحظات
) ج ب ، ( نقطة رأس المنحنى ھى نحدد ج+ ٢) ب-س (ا) = س(لرسم د .١ التربیعیة و دالة المقیاس لھما نقطة رأس للمنحنى الدالة .٢ فى محور السینات) س(ــ د) = س( ھو انعكاس للمنحنى د٢س) = س(المنحنى د .٣ :قبل رسمھا مثال ) القیاسیة ( یجب وضع الدالة فى صورتھا العامة .٤
٢ -٢)٣ +س = (٩-٧ )+٩+س ٦ +٢س = (٧+س ٦ +٢س ) = س(د ) ٥ - س ٤+ ٢س (- = ٥ +س ٤-٢ س-) = س(د
٩+٢)٢+س (-= }٩ – ٢)٢+س( {- = } ٤- ٥ – )٤+س٤ + ٢س ( {-= فى معادلة المنحنى٠=إلیجاد نقط التقاطع مع محور الصادات نضع س .٥
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ إزاحة أفقیة ( سسإزاحة منحنى الدالة فى اتجاه محور: ( : لتمثیل الدالتین ر ، ع حیث ٢س) = س(استخدم منحنى الدالة د: مثال
٢ )٣+ س ( ــ ) = س(ع) ٢ (٢ )٢ –س ) = ( س(ر) ١ ( :الحل
٢ )٢ –س ) = ( س(ر) ١(
بإزاحة وحدتین فى االتجاه ٢س) = س(د ھو منحنى
. الموجب لمحور السینات
سص
)٠ ، ٢(
)٤ ، ٠(
سس
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٣٥
٢ )٣+ س ( ــ ) = س(ع) ٢(
باالنعكاس فى محور السینات٢س) = س( ھو منحنى د
ثم ازاحتھ بثالث وحدات فى االتجاه السالب لمحور السینات
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ إزاحة رأسیة ( صصإزاحة منحنى الدالة فى اتجاه محور: (
:یث لتمثیل كل من الدالتین ر ، ع ح٢س) س(استخدم منحنى الدالة د حیث د: مثال
١ ــ ٢ــ س) = س(ع) ٢ (٢ + ٢س) = س(ر) ١ (
. و من الرسم عین نقطة رأس المنحنى و أوجد مدى الدالة :الحل
٢ + ٢س) = س(ر) ١(
ین فى بازاحة وحدت٢س) = س( ھو منحنى د
االتجاه الموجب لمحور الصادات
) ٢ ، ٠( نقطة رأس المنحنى ھى
[∞ ، ٢= [ ، المدى
سص
سس )- ٠ ، ٣(
)٩ ، ٠(
)٢ ، ٠(
صص
صس
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٣٦
١ ــ ٢ــ س) = س(ع) ٢(
باالنعكاس فى محور السینات ٢س) = س( ھو منحنى د
ثم ازاحة وحدة واحدة فى االتجاه السالب لمحور الصادات
)١ - ، ٠( أس المنحنى ھى نقطة ر
] ١ - ، ∞ -= ] ، المدى
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ إزاحة منحنى الدالة فى اتجاھى محورى اإلحداثیات : أوجد رأس المنحنى و المدى و ٢)١ -س ( - ٢) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال . االطراد ونوع الدالة و معادلة محور التماثل
:الحل
٢ = ، االزاحة الصادیة ١ =االزاحة السینیة B ٢ ، ١( راس المنحنى (
ات للرسم بدقة نوجد نقطة التقاطع مع محور الصاد ) ١ ، ٠ ( C ٠= و ذلك بوضع س
و على نفس المسافة من محور التماثل ) ١ ، ٢( و نستنتج النقطة
ح= المجال ] ٢ ، ∞ -= ] المدى
]١ ، ∞ -] متزایدة فى : االطراد [∞ ، ١[ متناقصة فى
ال زوجیة و ال فردیة : النوع الصادات أو نقطة االصل لعدم تماثلھا حول محور
١= معادلة محور التماثل س
صس
)١ - ، ٠(
صص
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٣٧
الصورة ثم أجریت علیھ ازاحات فأخذ المنحنى٢ س-) = س( رسم منحنى الدالة د:مثال عین ھذه اإلزاحات واذكر قاعدة الدالة مع ذكر ٢ - ٢)١ + س (- ) =س(د: اآلتیة
.المدى ومعادلة محور التماثل )الحل(
إزاحة مقدارھا وحدة واحدة فى االتجاه السالب مقدارھا وحدتین لمحور السینات متبوعة بإزاحة
.السالب لمحور الصادات فى االتجاه ٢ -٢)١+س (-) =س(د :قاعدة الدالة ھى
]٢- ، -= ]مدى الدالة
١-=س : معادلة محور التماثل ھى
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ محور بحث اطرادھا واذكر مداھا ومعادلة وا٦+س٤+٢س= )س( ارسم منحنى الدالة د:مثال
٢س) = س(منحنى دالتماثل ، ثم بین كیف یمكن الحصول على منحنى الدالة من ال )الحل(
یجب اعادة تعریف الدالة الى الصورة القیاسیة للدالة ٢+ ٢) ٢ + س = ( ٤-٦ + )٤+ س٤ +٢س) = (س(د
[ ، ٢-[د متزایدة فى ، [٢- ،-]، د متناقصة فى
، د لیست زوجیة والفردیة
[ ، ٢= [، المدى
٢-=، معادلة محور التماثل ھى س ٦+ س ٤+٢س) = س(منحنى الدالة د، ویتم الحصول على
وذلك٢س) = س(من منحنى الدالة د بإزاحة مقدارھا وحدتین فى االتجاه السالب لمحور السینات ، متبوعة بإزاحة مقدارھا وحدتین فى االتجاه الموجب لمحور الصادات
س
ص
) -٢-،١( )٣- ،٠(
′س
′ص
و
س
ص
)-٢ ، ٢(
)٦ ، ٠(
′س و
′ص
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٣٨
:تدریب على الدالة التربیعیة * : لتمثیل كل من الدالتین ر ، ع حیث ٢س) = س(استخدم منحنى الدالة د حیث د] ١[
٢ )٣س ــ ( ــ ٢) = س(ع) ب (٤ ــ ٢ )٢+ س ) = ( س(ر) أ (
و من الرسم عین إحداثى نقطة رأس المنحنى و إحداثیات نقط تقاطع المنحنى . مع محورى اإلحداثیات ، و ابحث إطراد كل من الدالتین
: لتمثیل كل من الدالتین ر ، ع حیث ٢س) = س( منحنى الدالة د حیث داستخدم] ٢[
٢ ــ ٢ــ س) = س(ع) ب (١ + ٢س) = س(ر) أ (
. ز من الرسم عین نقطة رأس المنحنى و عین مدى الدالة المنحنى ، ثم أوجد من الرسم رأس٩+ س ٦ ــ ٢س) = س(ارسم منحنى الدالة د ]٣[
المدى ، االطراد نوع الدالة ، معادلة محور التماثل .ارسم كل من الدوال اآلتیة ثم عین المدى و االطراد و النوع و معادلة محور التماثل ]٤[
٢ )١س ــ ) = ( س(د) ٣ (٢ ــ س١) = س(د) ٢ (١ ــ ٢س) = س(د) ١( ١ + ٢ )٢ –س ) = ( س(د) ٥ (٢ )٢ –س ) = (س(د) ٤( ٢ )١ –س ( ــ ١) = س(د) ٧ (٢ )١س ــ ( ــ ) = س(د) ٦( ٢ )١ –س ( ــ ٤ــ ) = س(د) ٩ (١ + ٢س) = س(د) ٨( ح C ] ٣ ، ١ -: [ حیث د ٢س) = س(د) ١٠(
٢ ــ ٢ )٢+ س ) = ( س(د) ١١(
٤+ س ٤ ــ ٢س) = س(د) ١٢(
١+ س ٤ ــ ٢س) = س(د) ١٣(
| س | س ) = س(د) ١٤(
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٣٩
١ ± =ا ، جـ + ٣)س ــ ب ( ا ) = س(د: الصورة العامة تمثل بیانیا بمنحنى ذو فرعین أحدھما ألعلى و اآلخر ألسفل
)نقطة التماثل ( و ھى رأس المنحنى ) ب ، جـ ( ة منحنى الدالة متماثل حول النقط
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : مالحظات* )٠ب ، ( ة التماثل ھى صفر فإن نقط= إذا كانت جـ -١ و تكون الدالة فردیة ) ٠ ، ٠( صفر فإن نقطة التماثل = جـ = إذا كانت ب -٢ بعكس | ب | جـ بعد إزاحتھ أفقیا مقدار ) + ب –س ( ا ) = س( نحصل على منحنى الدالة د-٣
سالبة إشارتھا على محور السینات للیمین إذا كانت ب موجبة و للیسار إذا كانت ب ألعلى إذا كانت جـ موجبة و ألسفل إذا كانت جـ سالبة | جـ | وازاحتھ رأسیا مقدار -٤
)موجبة ( ٠> ا
)ب ، جـ ( )ب ، جـ (
)سالبة ( ٠< ا
الربع الثانى و الرابع ثالثالربع االول و ال
الدالة تناقصیة على ح الدالة تزایدیة على ح الدالة ال زوجیة و فردیة الدالة ال زوجیة و فردیة
)الدالة التكعیبیة(دالة الدرجة الثالثة
٣س) = س(مثال د
٣ــ س) = س(مثال د
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٤٠
إزاحة منحنى الدالة فى اتجاه محورى اإلحداثیات: اذكر مداھا وابحث اطرادھا ٢ + ٣)١ - س ) = (س(دارسم : مثال
)الحل(
) ٢ ، ١( نقطة التماثل ھى حالمدى
ح متزایدة على مجالھا الدالة الزوجیة والفردیة الدالة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـ
اذكر مداھا وابحث اطرادھا ١ + ٣)١ + س ( -) = س(د ارسم : مثال
)الحل( ) ١ ، ١-( نقطة التماثل ھى
ح=المدى ح متناقصة على مجالھاالةد ال الفردیة والزوجیةالةد ال
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ اذكر مداھا وابحث اطرادھا ٣)١ + س ( - ٢) = س(دارسم : مثال : الحل
) ٢ ، ١-( نقطة التماثل ھى ح = ح ، المدى = المجال تناقصیة على مجالھا : االطراد
ال زوجیة و ال فردیة : نوع الدالة
′س
′ص
)٢ ، ١( س
ص
س
ص
)-١ ، ١( ′س
′ص
س
ص
)-٢ ، ١(
′س
′ص
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٤١
لتمثیل كل من الدوال اآلتیة ٣ س) =س(استخدم منحنى الدالة د حیث د: مثال : ثم أوجد نقطة التماثل
٣ ــ ٣س) = س(ر) ب (٣ )٢ –س ) = ( س(ر) أ ( ٣ )٢+ س ( ــ ١) = س(ر) د ( ٣ س– ٤) = س(ر) حـ( : الحل ٣ ــ ٣س) = س(ر) ب( ٣ )٢ –س ) = ( س(ر) أ (
)٣ - ، ٠( نقطة التماثل ھى ) ٠ ، ٢( نقطة التماثل ھى ٣ )٢+ س ( ــ ١) = س(ر) د( ٣ س– ٤) = س(ر) حـ(
)١ ، ٢ -( نقطة التماثل ھى ) ٤ ، ٠( اثل ھى نقطة التم
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٤٢
ب {، س ٠ {جـ ، ك ) = + س(د: الصورة العامة
)ب ، جـ ( نقطة التماثل ھى }جـ { –ح = ، مداھا } ب { –ح = ویكون مجالھا
فأن الدالة فردیة ) ٠ ، ٠( إذا كانت نقطة التماثل :ملحوظة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
واذكر المجال والمدى وابحث اطرادھا واذكر نوعھا ) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال :من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك : الحل
}٠ {–ح = المجال }٠ {–ح = المدى
[، ٠]، [ ٠ ، -]د متناقصة فى د فردیة ألنھا متماثلة حول نقطة األصل
ك ب -س
) ب ، جـ-( س
ص
′س
′ص
′س س
ص
′ص
)جـ ب ،(
[ ، ب∞ -] ، [ ∞ب ، ] الدالة تناقصیة فى المنحنى یقع فى الربعین االول و الثالث
الدالة ال زوجیة وال فردیة
[∞، ب-]، [ ب -، ∞ -] الدالة تزایدیة فى المنحنى یقع فى الربعین الثانى و الرابع
الدالة ال زوجیة وال فردیة
الكسریةلة الدا
س )٠ ، ٠(
ص
′س
′ص
١ س
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٤٣
المجال والمدى وابحث اطرادھا واذكر نوعھا واذكر ) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال
:من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك :الحل
}٠ {–ح = المجال }٠ {–ح = المدى
[، ٠]، [ ٠ ، -]د متزایدة فى د فردیة ألنھا متماثلة حول نقطة األصل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ فى اتجاھى محورى االحداثیات : ( التحویالت الھندسیة للدالة الكسریة( واذكر المجال والمدى وابحث اطرادھا ) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال :واذكر نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك
:الحل }٢ {–ح = المجال }٠ {–ح = المدى
[ ، ٢] ، [ ٢ ، -]د متزایدة فى د الفردیة والزوجیة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ واذكر المجال والمدى وابحث اطرادھا ٢ +- ) =س(ارسم منحنى الدالة د: مثال
:واذكر نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك :الحل
}١- {–ح = المجال }٢ {–ح = المدى
[، ١-] ، [ ١- ، -]د متزایدة فى د الفردیة والزوجیة
- ١ س
س )٠ ، ٠(
ص
′س
′ص
- ١ ٢ - س
س )٠ ، ٢(
ص
′س
′ص ١ ١+ س
)-٢ ، ١( س
ص
′س
′ص
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٤٤
واذكر المجال والمدى وابحث اطرادھا ) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال
:واذكر نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك :الحل
- ٢ = -) = س( د
}٠ {–ح = المجال }٢ {–ح = لمدى ا
[، ٠] ، [ ٠ ، -]د متزایدة فى د الفردیة والزوجیة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ واذكر المجال والمدى وابحث اطرادھا ) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال
:واذكر نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك :الحل
+ ٣) = = = س( د
}١ {–ح = المجال }٣ {–ح = المدى
[ ، ١] ، [ ١ ، -]د متناقصة فى د الفردیة والزوجیة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ دھا واذكر المجال والمدى وابحث اطرا ) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال :واذكر نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك
١ - س ٢ س
س٢ س
١ س
١ س
ص
)٢ ، ٠( ′س س
′ص ٢ - س ٣
١ - س
٣ + ٢ – ٣ – س ٣ ١ - س
١) + ١ –س ( ٣ )١ –س (
١ ١ - س
′س س
ص
′ص
)٣ ، ١(
١ - س ٢ ١+ س
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٤٥
:الحل – ٢) = = = س( د
) ٢ ، ١-( نقطة التماثل
}١- { –ح = المجال }٢ { –ح = المدى
[∞ ، ١ –] ، [ ١- ، ∞ -] الدالة متزایدة فى الدالة ال فردیة و ال زوجیة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :ثیل لتم٠ {حیث س ) = س(استخدم منحنى الدالة د حیث د: مثال
٣) = + س(د) ب) = (س(د) أ ( :الحل
) ب) (أ(
٢-١ – ٢+ س ٢ ١+ س
٣ –) ١+س (٢ ١+ س
٣ ١+ س
)-٢ ، ١( س
ص
′س
′ص
١ ١ - س
١ ١ س
٣+ س
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٤٦
: تدریب
دى كل دالة و ابحث مثل كال من الدوال المعرفة بالقواعد االتیة و من الرسم أوجد مجال و م :اطرادھا و نوعھا من حیث كونھا فردیة أو زوجیة أو غیر ذلك
٣) = + س(د) ٣) = (س(د) ٢) = (س(د) ١ ) = س(د) ٦) = (س(د) ٥) = (س(د) ٤ ) = س(د) ٩) = (س(د) ٨ () = س(د) ٧
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]٢[
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]٣ [
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ]٤ [
- ٢ س
٢ س
١ س
١ ٣+ س
١ ٣ - س
٤+س ٢ ٣ - س
١ |٣+ س |
٢ )٢ –س (
|٣)٢ –س ( | ١ - س ٣
س
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٤٧
حل المعادالت و المتباینات :حـل المعـــادالت: أوال
: تذكر أن* ) ٠ ( ھو عدد حقیقى غیر سالب ) مفھوم المقیاس ( * . ھو الجذر التربیعى الموجب لمربع ھذا العدد ) مقیاس العــدد ( *
= | | ، ٠= | ٠| ، ٣ = ٩؟= | ٣| ، ٥ = ٢٥ ؟= | ٥ - | : مثال
: المقیاس" فك " تعریف *
= | ٢س ــ | = | س |
= | ٦+ س ٢ |
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :حل معادالت المقیاس بیانیا *
ھو مجموعة قیم س لنقاط تقاطع منحنیى الدالتین) س(٢د) = س(١الحل البیانى للمعادلة د
: الطریقة العامة للحل
طرف لوحدهنجعل المقیاس فى) ١
]بدقة متناھیة ) [ س(نرسم الطرف األیمن من المعادلة كدالة منفصلة و لتكن د) ٢
]بدقة متناھیة ) [ س(نرسم الطرف األیسر من المعادلة كدالة منفصلة و لتكن ر) ٣
نحسب اإلحداثیات السینیة لنقط تقاطع الدالتین د ، ر ، و نكتب مجموعة الحل ھى قیم س) ٤
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
١ ٢
١ ٢
٠، س س ٠< ، س س -
٢، س ٢ - س ٢< ، س ٢+ س -
٣ - ، س ٦+س ٢ ٣ - < ، س ٦ –س ٢ -
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٤٨
٣س ، ٥ – ٣ – س ٣< ، س ٥ - ٣+ س -
٣، س ٨ – س ٣< ، س ٢ س ــ -
١> ــ س عندما س ٣ ) = س(ارسم الدالة د: مثال
١ Yس عندما س + ١
٠) = س( ثم أوجد قیم س التى تجعل د
: الحل ١ Y س ١> س
١ -= ، س ٣= عند س ٠) = س( د }١ - ، ٣{ = ح . م
: التحقق الجبرى
٠) = س( حیث د تحقق الفترة المعطاة [ ∞ ، ١ ] g ٣= س B ٠= ــ س ٣ فإن ١> عندما س تحقق الفترة المعطاة[ ١ - ، ∞ - ] g ١ــ = س B ٠= س + ١ فإن ١ Yعندما س
}١ - ، ٣{ ھى ٠) = س(مجموعة حل المعادلة د
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :حـ= | ــ ب ا س ــ| حل المعادلة على الصورة ] ١[
ق الناتج جبریا بیانیا وحق٥= | ٣ – س |حل المعادلة : مثال ٠ = ٥ - |٣ –س | : نضع المعادلة على الصورة : الحل البیانى ٥ - |٣ –س | ) = س(نفرض أن د
=
) = س(د
١ - ٠ ١ ٢ ٣ ٤ س
٠ ١ ٢ ١ ٠ ١ - )س(د
′ص
ص
′س س ٠
) ٥ -، ٣(
٢ - ٣ ٨
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٤٩
) ٠ ، ٢ -( ، ) ٠ ، ٨( من الرسم المنحنى یقطع محور السینات فى
} ٢ - ، ٨{ = ح . م
: الجبرىالحل
[∞ ، ٣ [ g ٨ = س ٠=٨ - س فإن ٣ عندما س [٣ ، ∞ - ] g ٢ - = س ٠ = ٢ – س –فإن ٣< عندما س
٢ - ، ٨ {= مجموعة الحل{
٥) = س(، ر | ٣ –س | ) = س(د: نرسم : حل أخر
)س(یقطع منحنى الدالة د) س( منحنى الدالة ر ) ٥ ، ٢ -( ، ) ٥ ، ٨( النقاط فى } ٢ - ، ٨{ = ح . م
:الحل الجبرى
٥= | ٣ –س | B ٥ ± = ٣ – س
B ٥ - = ٣ – س ٥ = ٣ – س تحقق٢ -= تحقق س ٨= س
B ٢ - ، ٨{ = ح . م {
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ بیانیا و جبریا ٠ = ١+ | س | حل المعادلة : مثال
: الحل البیانى = ١+ | س|) = س( نرسم د
Ø= ح . م B منحنى الدالة ال یقطع محور السینات
: الحل الجبرى [∞ ، ٠[ h ١ -= س B ٠ = ١+ فإن س ٠ Xعندما س [ ٠ ، ∞ -] h ١= س B ٠ = ١+ س – فإن ٠< عندما س
Ø= ح . م B ال یحقق المعادلة ١ ، ١ -
صص
′سس سس
′صص
) ٢ - ) ٠ ، ٣
٥٠
٨
٠ X عندما س ١+ س ٠< عندما س ١+ س -
سس١
صص
١ ١ - ٠
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٥٠
٠ X| س| مرفوض الن ١ -= | س |B ٠ = ١+ | س |A : خرآحل جبرى B ح. م = Ø
: ء+ جـ س = | ب + س ا | حل المعادلة على الصورة ] ٢[
بیانیا و جبریا ٣+ س = | ٣ – س ٢| حل المعادلة : مثال
|٣ – س ٢| ) = س(نرسم الدالتین د : الحل البیانى ٣+ س ) = س( ، ر
و من الرسم نجد نقط تقاطع منحنیى الدالتین ) ٩ ، ٦( ، ) ٣ ، ٠ ( B ٦ ، ٠{ = مجموعة الحل {
:الحل الجبرى ١ Xعندما س .٥
٣+ س = ٣ – س ٢فإن B ٦= س g ] تحقق [ ∞ ، ١.٥
١.٥< عندما س ٣+ س = ٣+ س ٢ –فإن
B – ٠= س ٣ B ٠= س g [ - ∞ ، ١.٥ ] تحقق B ٦ ، ٠{ = مجموعة الحل {
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ بیانیا و جبریا ٤ –س = | ٥+ س ٢| حل المعادلة : مثال
٤ –س ) = س(، ر | ٥+ س ٢| ) = س( نرسم الدالتین د:الحل البیانى ظ انھ ال یوجد نقط تقاطع للمنحیین نالح
B مجموعة الحل =Ø
: الحل الجبرى ٤ –س = ٥+ س ٢ B ٢.٥ – Xعندما س
B ٩ -= س h ]- ال تحقق [ ∞ ، ٢.٥ ٤ –س = ٥ – س ٢ – B ٢.٥ -< عندما س
B – ١= س ٣ B س =- h [ - ∞ ، - ٢.٥ ] ال تحقق
B مجموعة الحل = Ø
٠، ٢.٥ -( ٤( - ٤
٥
صص
سس
١٣
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٥١
: |ء + ج س | = | ب + ا س | حل المعادلة على الصورة ] ٣[
بیانیا وحقق الناتج جبریا | ٣+ س | = | ٢ –س | حل المعادلة : مثال :الحل البیانى
|٢ –س | = ١نرسم د |٣+ س | = ٢، د
)٢.٥ ،٠.٥-(نجد أن نقطة التقاطع ھى :الحل الجبرى
٢) |٣+ س | = ( ٢) | ٢ –س | : ( بتربیع الطرفین
٢ )٣+ س = ( ٢)٢ –س ( ٩+ س٦ +٢س= ٤+ س ٤-٢ س - ٥= س ١٠ س = = مجموعة الحل ={ }
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ بیانیا وجبریا ٣= | ١ –س | + | ٢ –س | حل المعادلة : مثال
٣+ | ١ –س | -= | ٢ –س | باعادة التعریف للمعادلة : الحل البیانى
٣+ | ١ –س | -) = س(، ر | ٢ –س | ) = س( نرسم الدالتین د
من الرسم نقط تقاطع المنحنین
) ٢ ، ٠( ، ) ١ ، ٣( ھى
B ٣ ، ٠{ = مجموعة الحل {
باعادة التعریف للمعادلة : الحل الجبرى
} ٣ ، ٠{ = ح . م
٢ –س ١ –س - ٣ ٣= س
٢+ س - ١ –س - ٣ - ٢
مرفوض
٢+ س - ١+ س -
- ٣ ٠= س
ص
′س )٠ ، ٢(
′ص
)٠.٥،٠-( )٠ ،٣-( س
١د ٢د
٢.٥
- ٥ ١٠
- ١ ٢
- ١ ٢
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢
٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢ -٣
٢ ١
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٥٢
بیانیا١= | س | + | ٢س ــ | أوجد مجموعة حل المعادلة : مثال :الحل
: نضع المعادلة على الصورة
| س | ــ ١= | ٢س ــ |
|٢ –س | ) = س(١نرسم الدالتین د |س | ــ ١) = س(٢ ، د
Z= مجموعة الحل : من الرسم
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ بیانیا ٤= | س | + | ٢ –س | حل المعادلة : مثال :الحل
: نضع المعادلة على الصورة | س | ــ ٤= | ٢س ــ |
|٢ –س | ) = س(١نرسم الدالتین د |س | ــ٤) = س(٢ ، د
}٣ ، ١ -{ = مجموعة الحل : من الرسم
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢ = |س | + | ٢+ س | أوجد مجموعة الحل للمعادلة بیانیا : مثال :الحل
نضع المعادلة على الصورة | س | ــ ٢= | ٢+ س | | س | ــ ٢) = س(٢، د | ٢+ س | ) = س(١نرسم د
:نوجد نقط تقاطع الشكلین البیانیین فنجد ] ٠ ، ٢ -= [ ح . م
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢- ٣
٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢ -٣
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢- ٣
٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢ -٣
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢- ٣
٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢ -٣
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٥٣
١+ س ٣ –س
*حـل المعــــادالت جبریا* : العددمقیاسخواص *
٠= س إذا كان ٠= | س | ، ٠ X| س | ) ١(
مقیاس معكوسھ الجمعى = مقیاس العدد ) ٢( | س – ٢| = | ) س – ٢ ( -| = | ٢س ــ | ، | ٣ -| = | ٣| ، | ا -| = | ا | : مثال
| س – ٥| = | ٥ –س |
| ٤| + | س | Y | ٤+ س | مثال | ص | + | س | Y| ص + س | ) ٣(
|ص | × | س | = | س ص | حاصل ضرب مقیاسیھما = مقیاس حاصل ضرب عددین ) ٤( | س | ٣= | س | × | ٣ -| = | س ٣ -| : مثال
| ٥س ــ | ٢= | ٥س ــ | × | ٢ -| = | ) ٥س ــ ( ٢ - | |٤ ــ ٢س| = | )٢س ــ )( ٢+ س ( | = | ٢س ــ | | ٢+ س |
= خارج قسمة مقیاسیھما = مقیاس خارج قسمة عددین ) ٥(
: = مثال الجذر التربیعي الموجب لمربع ھذا العدد = مقیاس العدد ) ٦(
٩ = ٢) |٣ -| ( ، ٢ا = ٢ )|ا | ( ، ٥ = ٢٥؟= | ٥| ، ٢ا ؟= | ا | : مثال ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:تذكر أن
اتجة من وضع ما بداخل المقیاس مساویا الصفرصفر المقیاس ھو قیمة س الن ٣= و منھا س ٠ = ٦ – س ٢نضع | ٦ – س ٢| إلیجاد صفر : مثال
B و ھو یفید فى تحقیق الحل لمعادلة المقیاس بسھولة } ٣{ صفر ھذا المقیاس ھو
: فكــرة حل معادالت المقیاس
)صفر المقیاس ( X نأخذ ما بداخل المقیاس بنفس إشارتھ عندما س ) صفر المقیاس ( < ، و نأخذه بعكس إشارتھ عندما س
س ص
|س |
|١+ س | |ص |
|٣س ــ |
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٥٤
٣= | ٧ س ــ ٢| أوجد مجموعة الحل للمعادلة : مثال : الحل
٣.٥= = س G ٧= س ٢ G ٠ = ٧ – س ٢بوضع : صفر المقیاس
٣.٥< عندما س ٣.٥ X عندما س ٣ = ٧+ س ٢ – G ٣ ) = ٧ – س ٢ ( - ١٠= س ٢ G ٣ = ٧ س ــ ٢ G ٤ -= س ٢ - تحقق ٥= س G تحقق ٢= س
} ٥ ، ٢{ = ح . م ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٢= س ٣ــ | ٥ س ــ ٢| : أوجد مجموعة الحل للمعادلة : مثال :الحل ٢.٥= = س G ٠ = ٥ س ــ ٢
٢.٥< عندما س ٢.٥ X عندما س
٢= س ٣ ــ ٥+ س ٢ - ٢= س ٣ ــ ٥ س ــ ٢
G – ٧= س G مرفوض ٧ -= س G – ٣ -= س ٥ G تحقق = س
{ } = ح . م ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٠= | ٣ –س | + ٥: أوجد مجموعة الحل للمعادلة : مثال : الحل
٣= س G ٠ = ٣ –س : صفر المقیاس ٣< عندما س ٣ X عندما س
٠ = ٣+ س – ٥ G ٠ ) = ٣ –س ( – ٥ مرفوض ٢ -= س G ٠ = ٣ –س + ٥ مرفوض ٨= س
Z= ح . م
مرفوض الن ناتج أى و ھذا٥ -= | ٣ –س | : بالنظر للمعادلة األصلیة نجد أن : حل آخر . مقیاس البد أن یكون موجبا و بالتالى فال یوجد حل اذھھ المعادلة
٧ ٢
٥ ٢
٣ ٥
٣ ٥
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٥٥
١٨ -= | س | س ٣ ــ ٢ |س | : حل المعادلة : مثال :الحل
٠< عندما س ٠ X عندما س
١٨ -) = س -( × س ٣ ــ ٢ س١٨ -= س × س ٣ ــ٢ س G – ١٨ - = ٢ س٢ G٩ = ٢ س G١٨ - = ٢ س٣ + ٢ س
G مرفوض ٣ -= ، س ٣= س G ١٨ - = ٢ س٤ Gمرفوض = ٢ س
B ٣{ = ح . م {
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : = أوجد مجموعة الحل للمعادلة : مثال :الحل
) ٤+ س ٧ ( ٢= | ٥ – س ٢ | ٥: ینتج أن ١٠ بالضرب فى
٢.٥= = س G ٠ = ٥ – س ٢: صفر المقیاس
٢.٥< عندما س ٢.٥ X عندما س
)٤+ س ٧ ( ٢ ) = ٥ – س ٢ ( ٥ - ) ٤+ س ٧ ( ٢ ) = ٥ – س ٢ ( ٥ G ٨+ س ١٤ = ٢٥ – س ١٠ G - ٨+ س ١٤ = ٢٥+ س ١٠ G – ٣٣= س ٤ G مرفوض ٨.٢٥ -= س G – ١٧ -= س ٢٤
G تحقق = س
{ } = ح . م ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٥ = "١ " +"س" ٢"+ " ٢ س؟مثال أوجد مجموعة الحل للمعادلة : الحل
٥= | ١+ س | G ٥ = " ٢)" ١"+ "س ( ؟ = "١ " +"س" ٢"+ " ٢ س؟
-١٨ ٤
٤+ س ٧ ٥
| ٥ – س ٢ | ٢
٥ ٢
١٧ ١٧ ٢٤
٢٤
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٥٦
: تابع الحل ١ -< عندما س ١ – X عندما س
٥ = ١ – س – G ٥ ) = ١+ س ( - تحقق ٤= س G ٥ = ١+ س G - ٦= س G تحقق ٦ -= س
B س g } - ٤ ، ٦ { ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٢: = الحل للمعادلة أوجد مجموعة : مثال
٢ ± = B ٢ = A: الحل
= ٢ - = ٢
)١+ س ( ٢ - = ٣+ س ) ١+ س ( ٢ = ٣+ س
٥ -= س ٣ G ٢ – س ٢ - = ٣+ س ١ -= س - G ٢+ س ٢ = ٣+ س تحقق= تحقق س ١= س
} ، ١{ = ح . م
| ١+ س | ٢= | ٣+ س | G ٢ = G ٢: = حل آخر
٢ )١+ س ( ٤ = ٢ )٣+ س : ( وبتربیع الطرفین
٤+ س ٨ + ٢ س٤ = ٩+ س ٦ + ٢س G ) ١+ س ٢ + ٢س ( ٤ = ٩+ س ٦ + ٢ س
٠ ) = ١ –س )( ٥+ س ٣ ( G ٠ = ٥ س ــ ٢ + ٢ س٤ G ٠ = ١ – أو س ٠ = ٥+ س ٣ G تحقق ١= تحقق أو س = س B ١{ = ح . م ، {
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠= | ٣س ــ | ــ | ٥+ س | حل المعادلة : مثال
)الحظ أن التربیع یلغى المقیاس ( بتربیع الطرفین | ٣ –س | = | ٥+ س | : الحل } ١ -{ = ح . نحل السؤال كما فى الحل اآلخر م
٣+ س ١+ س
٣+ س ١+ س
٣+ س ١+ س
٣+ س ١+ س
٣+ س ١+ س
- ٥ ٣
- ٥ ٣
٣+ س ١+ س
|٣+ س |
|١+ س |
- ٥ ٥ - ٣
٣
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٥٧
٣= | ١ –س | | ١+ س | حل المعادلة : مثال :الحل
٣ ± = ١ – ٢س G ٣= | ١ – ٢س | G ٣= | ) ١ –س )( ١+ س ( |
٣ - = ١ ــ ٢ س٣ = ١ – ٢ س
مرفوض ٢ - = ٢ تحققان س٢ ±= س G ٤ = ٢ س B ٢ - ، ٢{ = ح . م {
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠ = ٠.٥ ) + ١ -| س | )( ١+ س : ( أوجد مجموعة الحل للمعادلة : مثال :الحل
= | س |
٠< عندما س ٠ عندما س ٠ = ٠.٥ ) + ١ – س - )( ١+ س ( ٠ = ٠.٥ ) + ١ –س )( ١+ س (
٠ = ٠.٥+ س ٢ – ١ – ٢ س- ٠ = ٠.٥ + ١ – ٢ س ١ - × ٠ = ٠.٥ – س ٢ – ٢ س- ٠ = ٠.٥ – ٢ س ٢ × ٠ = ٠,٥+ س ٢ + ٢س = ٠.٥ = ٢ س
٠ = ١+ س ٤ + ٢ س٢ ±= س
: خدام القانون العام تحقق باست= = س ١= ، جـ ٤= ، ب ٢= ا
٨ = ١ × ٢ × ٤ – ١٦= ا ج ٤ – ٢ب= الممیز مرفوض = س
± ١-= = س تحققان } - ١-، + ١-، { = ح . م
٠، س س ٠< ، س س -
١ ٢
٢؟٢
١ ٢؟
-١
حـ ا ٤ –۲ ب± ب – ٢؟ ا ۲
٢؟٢
١ ٢؟
٢؟٢
٢؟٢
٢؟٢
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٥٨
*حـل المتبــــایــنـات*
مجموعة حل المتباینة فى متغیر واحد ھى قیمة أو قیم المتغیر التى تجعل المتباینة صحیحة
:تذكر أن
ا ±= فإن س ا =| س | إذا كان ) ١(
ا < س < ا - فإن ا | < س | ) ٢(
ا < ب - س < ا - فإن ا | < ب –س | ) ٣(
ا Y ب - س Yا -فإن ا Y| ب –س | ) ٤(
ا > ، س ا - < س فإن ا | > س | ) ٥(
ا X ب –أو س ا - Y ب – فإن س ا X| ب –س | ) ٦(
:مالحظات ھامة تستخدم عند حل متباینات المقیاس
ال نستخدم صفر المقیاس ) ١(
: اصغر من ) < ( عندما تكون عالمة التباین ) ٢( .ما مفتوحة أو مغلقة تصبح مجموعة الحل على شكل فترة إ
:اكبر من ) > ( عندما تكون عالمة التباین ) ٣( تصبح مجموعة الحل على شكل ح ــ فترة معكوسة
فى بدایة الكالم قبل حل المتباینة ) التى داخل المقیاس ( یجب جعل س ) ٤( | ٥ـ س ـ٣| تصبح | س ٣ ــ ٥| ، | ٣ –س | تصبح | س - ٣| : مثال
عند ضرب أو قسمة طرفى المتباینة فى عدد سالب فإننا نعكس عالمة التباین ) ٥( ٣ -> فإن س ٣< ، ــ س ٥ -< س ٢ فإن ٥> س ٢ــ : مثال
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :أوجد على صورة فترة مجموعة حل كل من المتباینات اآلتیة : مثال
٥ Y | ٣+ س ٢| ) ٢ ٢ | < ٥ –س | ) ١
٠ X | ٧+ س | ) ٤ ٥ | > ٤ – س ٣| ) ٣
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٥٩
:الحل ٢ | < ٥ –س | )١(
٧< س G ٥ + ٢< س G ٢ < ٥ – إما س ٣> س G ٢ - > ٥ – س G ٢< ) ٥س ـ ( - أو
B [ ٧ ، ٣= ] ح . م
٥ Y | ٣+ س ٢| )٢(
١ Y س G ٢ Y س ٢ G ٣ – ٥ Y س ٢ G ٥ Y ٣+ س ٢ إما ٤ - X س G ٨ – X س ٢ G ٥ – X ٣+ س ٢ G ٥ Y ) ٣+ س ٢( أو ــ
B س g ] - ١ ، ٤ [
٥ | > ٤ – س ٣| )٣(
٣> س G ٩> س ٣ G ٥ > ٤ – س ٣ إما < سG ١ -< س ٣ G ٥ - < ٤ – س ٣ G ٥> ) ٤ – س ٣( أو ــ
B ٣، [ ح ــ = ح . م [
٠ X | ٧+ س | )٤(
٧ – X س G ٠ X ٧+ إما س ٧ – Yس G ٠ Y ٧+ س G ٠ X ) ٧+ س ( أو ــ
B ح= ح . م
)٤( و الحظ الفرق عن ٠ | < ٧+ س | ل المتباینة عزیز الطالب أوجد مجموعة ح : مالحظة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:أوجد على صورة فترة حل كل من المتباینات اآلتیة : مثال
٢ X| س ٣ – ٥| ) ٢ ٣ < "١٦ "+"س " ٨ـ " ـ٢ س؟) ١
| س ٤ – ٦ | - ٩ | > ٣ – س ٢| ) ٣
- ١ ١ - ٣
٣
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٦٠
:الحل ٣ | < ٤ –س | G ٣< " ٢ )"٤ –" "س ( ؟ G ٣ < ""١٦ "+"س "٨ –" ٢ س؟) ١(
٧< س G ٤ + ٣< س G ٣ < ٤ – إما س ١> س G ٣ - > ٤ – س G ٣< ) ٤ –س ( - أ،
B س g [ ٧ ، ١ ] ٢ X | ٥ – س ٣ | G ٢ X| س ٣ – ٥| ) ٢(
X س G ٧ X س ٣ G ٢ X ٥ – س ٣ إما
١ Y س G ٣ Y س ٣ G ٢ - Y ٥ – س ٣ G ٢ X ) ٥ – س ٣ ( - أ،
B س g [ ، ١ ] - ح | ٦ – س ٤ | - ٩ | > ٣ – س ٢ | G| س ٤ – ٦ | - ٩ | > ٣ – س ٢| ) ٣(
G | ٣ – س ٢ | ٢ – ٩ | > ٣ – س ٢ | G | ٩ | >٣ – س ٢ | ٢+ | ٣ – س ٢ G ٩ | > ٣ – س ٢ | ٣ G | ٣ | > ٣ – س ٢
٣> س G ٦> س ٢ G ٣ > ٣ – س ٢ إما ٠< س G ٠> س ٢ – G ٣ > ٣+ س ٢ - G ٣> ) ٣ – س ٢ ( - أ،
B ٣ ، ٠ [ -ح = ح . م [
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٥ | ٤ - س ٣| : حل المتباینة : مثال ٥ - ٤ - س ٣ ٥ ٤ - س ٣ : الحل
١ - س ٣ ٩ س ٣
س ٣ س
] ، -= ] ح . م [ ، ٣= [ ح . م
] ، - ] بآل [ ، ٣= [ ح . م
[٣، ] -ح = ح . م
٧ ٣
٧ ٣
- ١ ٣
- ١ ١- ٣
١ - ٣ ٣
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٦١
تمارین على حل المعادالت و المتباینات :أوجد جبریا مجموعة الحل لكل من المعادالت اآلتیة ] ١[
س + ٤= | ٥+ س | ٢) ب ٠ = ٥ - | ١+ س | ٢) أ
٤ = " ٤" + " س"٤–" ٢ س؟) د ٠= | س – ٢ | ٢ - | ١ –س | ٣ ) جـ
]٢ [ ]٣[ ]٤ [
١(
٢( ٣ ( ٤(
٥(
٦( ٧( ٨(
٩(
١٠(
١١(
١٢(
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٦٢
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
١( ٢( ٣(
٤( ٥( ٦(
٧( ٨(
١( ٢( ٣( ٤( ٥(
٦( ٧( ٨( ٩(
١٠(
١١(
١٢(
١٣(
١٤(
١١(
٣( ٤(
١( ٢(
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٦٣
:تذكر أن ا × ٠٠٠× ا × ا × ا × ا = نا : فإن + صص gن ، حح gا : إذا كان ) ١(
نأس ا : یقرا نا من المرات و الرمز ن مكرر كعامل ا حیث اأ، لألساس ا أ، القوة النونیة للعدد
٢٥ × ١٦ = $ ]٥ة[ × $ ٢= ٤٤ ]٥ ة٢[ : مثال
غیر معرفصفر) صفر ( الن ٠{ ا بشرط ١ = صفر ا ) ٢ ( صفر = فإن ص ١ = ص ٥ ، ١ = صفر ]٧ - [ مثال مث
عدد صحیح موجب نن صفر ، {عدد حقیقى ا إذا كان ) ٣ (
= نن - ا ، = نن ا : فإن
= ٢ – ٧ ، ٨١= = ٤ ٣: مثال ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: مالحظات ١= صفرا = نن - ا × نن ا : حیث أن نن - ا معكوس ضربى للعدد نن ا العدد -١
١=٤ - ]٥ة[ × ٤ ]٥ة[ ، ١ = ٥ ٣ × ٥ – ٣: مثال
= ٤=[ ] ٤ - [ ]: مثال نن- = [ ]نن [ ]- ٢
ـــ ـــ ـــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ) حیحة فى ح قوانین القوى الص: ( قوانین األسس
:فإن صص g ن ، حح g ب ، ا ـ : إذا كان
٩ = ٤ ]٣ة ] = [ ٣ة [ × ٣ ] ٣ة [ ، ٥ ٧ = ٢ ٧ × ٣ ٧مثال ن+ م ا = نا × ما - ١
٨١ = ٤ ٣ = ٣ – ٧ ٣ = ٣ ٣ ÷ ٧ ٣مثال ن- م ا = ن ا ÷ م ا - ٢
٥ ة ٥ - = ٣]٥ة- = [١٢ ] ٥ ة - [ ÷ ١٥ ] ٥ ة - [،
ة ي ن ا ث ل ا ة د ح و ل ا األسس و اللوغاریتمات و تطبیقات علیھا
١ نن- ا
١ ننا
١ ٤- ٣
١ ٧ @
ا ب
ب ا
٢ ٣
٣ ٢
١٦ ٨١
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٦٤
ن ٥ × ن ٣ = ن ] ٥ × ٣ = [ ن ١٥مثال نب × نا = ن ]ا ب [ - ٣
ن= [ ]، = ن [ ] مثال نب ÷ ن ا = ن ] ب ÷ ا [ - ٤
س٢ ٣ = س ] ٢ ٣[ ـ ، ٦ س = ٢ ] ٣ س [ مثال م نا = ن ] م ا [ - ٥
: مالحظات
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : اختصر البسط صورة : مثال
: = = الحل
٥ = ١ × ٥ = ٠ ٣ × ٥ = ن٣ – ن ٣ ٣× ن ٣ – ١+ ن ٣ ٥ =
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
أوجد فى ابسط صورة قیمة : مثال
= = المقدار : الحل
٣ = ١ × ٣ = صفر ٢ × ١ ٣ = ٤ – ٤ ٢ × ٨ + ٢ + ٩ – ٣ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
فأوجد قیمة س ١٠ = ١ - س ٣ + ١+ س ٣إذا كان : مثال : الحل
١٠ = ١٠ × ١ - س ٣= ] ١ + ٩ [ ١ - س ٣ ] = ١ + ٢٣ [ ١ - س ٣ = ١ - س ٣ + ١+ س ٣ B ١ = ١ – س ٣ B ٠ = ١ – س B ١= س
٣= × ١٠ = س ٣ G ١٠= × س ٣ G ١٠) = ١ – ٣ + ٣ ( س ٣: حل آخر
٥ ٧
٣ ٥
ن٣ ن٥
ن٥ ن٧
ن ب - نا { ن )ب - ا( ، نب+ نا { ن)ب + ا) ( ١ (
٨١ = ٤ ٣ = ٤ )٣ -( مثال ) عدد زوجى نحیث ( ن ا= ن )ا -) ( ٢ (
٢٧- = ٣ ٣- = ٣ )٣ -( مثال ) عدد فردى نحیث ( ن ا -= ن )ا -) ( ٣ (
ن ٢٧ × ١+ ن ٣ ٥
ن ٣ ١٥ ن ]٣ ٣[ × ١+ ن ٣ ٥
ن ٣ ] ٥ × ٣ [
ن ٣ ٣× ١+ ن ٣ ٥
ن ٣ ٥ × ن٣ ٣
ن ٢٧ × ١+ ن ٣ ٥
ن ٣ ١٥
) ٢)١٢( × ٣ -)٢٧ ٢ -)٨١( × ١٦
) ٢)٢ ٢ × ٣( × ٣ -)٣ ٣ ٢ -)٤ ٣( × ٤ ٢
٤ ٢× ٢ ٣× ٩ - ٣ ٨ - ٣ × ٤ ٢
١٠٣
٣ ١٠
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٦٥
= أثبت أن : مثال
= = الطرف األیمن : الحل
الطرف األیسر= = × = ٥÷ = = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:اختر االجابة الصحیحة : مثال
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :مالحظات
..... ) ، ١١ ، ٧ ، ٥ ، ٣ ، ٢( س البد من جعل األساس عددا أولیا عند حل مسائل األس )١
ص ٤ + ٢ صBص = س ٧ یمكن فرض س ٧ × ٤ + س ٢ ٧إذا كانت )٢
١ س ــ ٢ ــ ٥ ٧ × ص ــ س + س ٣إذا كان الكسر یمكن كتابتھ )٣
نستغنى عن شرطة الكسر ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: الجذور النونیة*
٣ - ، ٣ لھا جذران حقیقیان ھما ٩ = ٢ المعادلة س .....و ھكذا ) ذور اعداد مركبة و باقى الج ( ٢ لھا حل وحید ھو ٨ = ٣ المعادلة س
من الجذورن لھا + صgن . ح gا حیث ا = نالمعادلة س : بوجة عام
:ا = ن سالحاالت المختلفة للمعادلة : موجباا إذا كان ن زوجیا ، ] ١ [
)لجذور أعداد مركبة باقى ا( فإن المعادلة لھا جذران حقیقیان أحدھما موجب و اآلخر سالب
١ -ن٢ ٣ × ٤ - ن ٢ ٣ ×٥
ن٢ ٣ - ١+ ن ٢ ٣ × ٢
١١ ١٥
١ -ن٢ ٣×٢ ٢ - ن ٢ ٣ ×٥
)١ – ٣ × ٢ ( ن ٢ ٣ ) ١ – ٣ × ٢ ٢ – ٥ (ن٢ ٣ )١ – ٣ × ٢ ( ن ٢ ٣
ــ٥ ٥
٤٣١١
٣ ١١ ٣
١ ٥
١١ ١٥
ص ٣ × ٥ ٧ × س ٣ ١+ س ٢ ٣ × س ٧
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٦٦
بالجذر النونى ا و یسمى الجذر النونى الموجب للعدد ا؟ ن ، ــ ا؟ ن و یرمز لھما ااآلساسى للعدد
٣ــ = ٨١؟ ٤ ، ــ ٣ = " ٨١؟ ٤ لھا جذران ھما ٨١ = ٤المعادلة س: مثال ]حذورھا تخیلیة[ لیس لھل جذور حقیقیة ا = ندلة سالمعا : سالبا ا إذا كان ن زوجیا ، ] ٢ [
] ت ٤ - ت ، ٤لھا جذران تخیلیان [ لیس لھا جذور حقیقیة ١٦ - = ٤المعادلة س: مثال : ح gا فردیا ، ن إذا كان ] ٣ [
) مركبة باقى الجذور أعداد( ا ؟ ن لھا جذر حقیقى وحید ھو ا = ن فإن المعادلة س ٢ - = " ٣٢ــ ؟ ٥ لھا جذر حقیقى وحید ھو ٣٢ــ = ٥المعادلة س: مثال
:صفر = ا ، + صg نا كان إذ] ٤ [
صفر لھا حل حقیقى وحید ھو صفر = ن فإن المعادلة س صفر = صفر فإن س = م المعادلة س: مثال
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : مجموعة حل كل من المعادالت اآلتیة ح أوجد فى : مثال
٢٤٣ = ٥س) ب (١٦ = ٤س) أ (
)و باقى الجذور اعداد مركبة ( ٢ ±= " ١٦ ؟ ±= س B ١٦ = ٤س) أ : ( الحل B ٢ - ، ٢{ = ح . م {
)و باقى الجذور اعداد مركبة ( ٣ = " ٢٤٣؟ ٥= س B ٢٤٣ = ٥س) ب ( B ٣{ = ح . م {
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : األسـس الكسریة*
)٧ = ( ٧؟ ٣، ) ا =( ا ؟ ٣، ) ٣ = ( ٣ ؟، ) ا =( ا ؟: مثال
زوجى أو فردى نیراعى ا = "نا ؟ ن ، ا = ا ؟ ن : بوجة عام
] ٢ =" ٤ |٢| ؟ ٤ = " ٤|"٢- |؟ ٤ = ١٦؟ ٤ مثال [ زوجى نإذا كان | ا | = نا ؟ ن] ١ : [ مالحظة ]٢ - = " ٣٢ -؟ ٥، ٢ = " ٣٢؟ ٥مثال [ فردى نإذا كان ا = نا ؟ ن] ٢ [
١ ٢
١ ٢
١ ٣٢
١ ٣١ ٢
ن ن ن
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٦٧
: خواص الجذور النونیة*
:فإن ص g، م } ١{ ــ + ص g، ن } ٠{ - ح gا ، ح g ب؟ ن ، ا؟ ن إذا كان ٦ ؟ ٧ = ٣؟ ٧ × ٢؟ ٧ ، ٣ ؟ ٣ × ٥ ؟ ٣ = " ٣ " ×٥ ؟ ٣ مثال ب؟ ن × ا؟ ن= "ا ب؟ ن ] ١[
مب ٣ = مل مب ٣= ، = مل مب ٥ مثال ٠ {، ب = مل مب ن] ٢[ ) س = ( ٢ )س ؟ ٥ = ( " ٢س ؟ ٥ مثال ا = م ) ا ؟ ن( = ما؟ ن] ٣[
انین االسس الصحیحة یمكن تعمیم قوانین األسس الكسریة حیث انھا تخضع لنفس قو: ملحوظة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:قیمة كل من ) إن أمكن ( أوجد : مثال ) ١٢٥ــ ] ( ٣ ) [٨١ ( ــ] ٢ [" ٣٦؟ــ ] ١ [
) ٢٥ــ ] ( ٦ ) [٩ -] ( ٥[ | "١٢٨ـ ؟ ٧ | ] ٤ [ : الحل
٦ــ = ٢ ٦؟ــ = " ٣٦؟ــ ] ١ [
٣ = ٣ ) ] = ٤ ٣[ ( ــ ) = ٨١( ــ ] ٢ [
) ٥ - ] = ( ٣ )٥ - = [ ( )١٢٥ــ ] ( ٣ [
٢= | ٢ -| = | ٧")٢ -( ؟ ٧ | = | "١٢٨ـ ؟ ٧ |] ٤ [
ح h "٢٥ - ؟ ٤ ) = ٢٥ -] ( ٦[ح h ٩ -؟ ) = ٩ -] ( ٥ [
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: أوجد فى أبسط صورة كل من : مثال
" ١٨)"ص" ٢"+"س( ؟ ٦] ٤[ " ١٢ا" ١٦ ؟ ٤] ٣ [" ٨"ص" ٤"س" ١٦؟ ٤] ٢[ " ٩ب" ٦ا ٨؟ ٣ــ ] ١[
٣ ب٢ا ٢ -= ب × ا ٢ــ ــ = ٩ ب؟ ٣ × ٦ا ؟ ٣ × ٨ ؟ ٣ــ = "٩ب" ٦ا ٨؟ ٣ــ ] ١: [الحل
ا ب
ا؟ ن ب؟ن
٣ ٥
٣ ؟ ٥ ٥ ؟ ٥
٢ ؟ ٣ ٤ ؟ ٣
٢ ٤
١ م ٢
٢ ن٥
١ ٤٥
١ ٣٤ ١
٢٣
١ ٤٢
١ ٤٥
١ ٤٥
٤٤٥ ١
٣٤
١ ٣٤
١ ٢٣
١ ٤٢
٦٣١
٩٣١
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٦٨
٢ س ص٢ = ٢|ص|× | س | × ٢ = " ٨ص ؟ ٤ × " ٤س ؟ ٤ × ١٦؟ ٤ = " ٨"ص" ٤"س" ١٦؟ ٤] ٢[
٣ ا ٢= ا × ٢ = ١٢ا؟ ٤ × ١٦؟ ٤ = "١٢ا" ١٦ ؟ ٤] ٣[
٣) ص ٢+ س ) = ( ص ٢+ س = ( "١٨)"ص" ٢"+"س( ؟ ٦] ٤[ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: أوجد فى ابسط صورة : مثال
= = مقدار ال: الحل
١ = ١ × ١ = صفر ٧ × صفر ٣ = ــ ٧ × ــ + ٣ =
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
= أثبت أن : مثال
= = الطرف األیمن : الحل
١ – س ٣ – ١+ س ٣ ٤ × س ٦ – ١ – س ٦ ٧ =
األیسر = = ١× = صفر ٤ × ١ – ٧ =
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٣ سم٦٠٠ ، حجمھا مل مب ٣ = نقیعطى بالعالقة ) نق (إذا كان طول نصف قطر كرة: مثال
: حجم الكرة ح فأوجد مقربا الناتج لثالثة أرقام عشریة حیث
مساحة سطح الكرة ) ٢طول نصف قطر الكرة ) ١
١٢ ٤
١٨ ٦
١٤٧( × ٣(
)٦٣ (
١ ٢٣
١٦٥ ١
٣٦
٢ ٧ × ٣( × ٣(
) ٧ × ٢ ٣ (
٧ × ٣ × ٣
٧ × ٣
١ ٢٣
١٦٥ ١
٣٦
٢٣٦
١٣٦
١ ٢٣
١٦٥
١ ٣٢
١ ٢٣
١٦٥
٢٣٢
١ ٣٢
١ ٣٢
١+ س ٣ )٤( × ــ س ٢ )٣٤٣ (
٤ × س٣)١٩٦ (
١ ٣٢
١ ٧٣
١+ س ٣ )٤( × س ــ ٢ )٣ ٧ (
٤ × س٣)٤ × ٢ ٧ (
١ ٣٢
١+ س ٣ )٤( × ١س ــ ٦ )٧ (
٤ × س٣)٤( × س٦ ) ٧ (
١ ٧٣
١ ٧٣
ح ٣٤ π
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٦٩
سم ٥.٢٣٢ T ٥.٢٣٢٢٣ T مل مل مب ٣ = مل مب ٣ = نق: الحل
٣٤٣.٩٨٩٦١٧٥ T ٢ )٥.٢٣٢( × π × ٤ = ٢نق π ٤= مساحة سطح الكرة
T ٢ سم٣٤٣.٩٨٩
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : حل المعــــادالت *
:لكل من المعادالت اآلتیة ح أوجد مجموعة الحل فى : مثال
٢٥ ) = ٢ –س ) ( ٢ ٢٧= س ) ١
٠ = ٤ س ــ ٣س ــ ) ٤ ٠ = ٩+ س ١٠س ــ ) ٣
٣٢ ) = ١+ س ) ( ٥
: حل آخر : الحل
برفع الطرفین للقوة ٢٧= س ٥ برفع الطرفین للقوة ٢٧= س ] ١[
B ٢٧ = (٣ س( للطرفین بأخذ الجذر التكعیبى ٥B س ) =٥ ٣ ] = ٣)٣) = [ (٢٧
B ٢٤٣ = ٥ ٣ = ٥ )٢٧؟ ٣= ( س B ٢٤٣= س
B ٢٤٣{ = ح . م { B ح . م = }٢٤٣ {
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٣ برفع الطرفین للقوة ٢٥ ) = ٢ –س ] ( ٢[
B ) حل آخر ٣)٢٥ = ( × ٣ )٢ –س:
B ) ٣ ٥ ± = ٣)٢٥؟ ( ±) = ٢٥ (± = ٢ – س ٣)٢٥ = (٢ ) ٢ –س
B ٣ ٥ ± = ٣ )٢٥؟ ( ± = ٢ – س B ١٢٥ ± = ٢ – س B ١٢٥ - = ٢ – أو س ١٢٥ = ٢ – س B ١٢٥ - = ٢ – أو س ١٢٥ = ٢ – س
B ١٢٣ -= أو س ١٢٧= س B ١٢٣ -= أو س ١٢٧= س
B ١٢٣ - ، ١٢٧{ = ح . م { B ح . م = }١٢٣ - ، ١٢٧ {
ح ٣٤ π
٦٠٠× ٣ ٤ π
٣٥٢
٢٣٥٢
٣٥
٤٣٥
٤٥٥
٢٥١ -٥
٢ - ٥ ٢
٣٥٢
٥٣
٣٥٢٥
٣٢
٥٣٢
٢٣٥٢
٣٥٣
٢٣
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٧٠
٠ = ٤ س ــ ٣س ــ ] ٤ [٠ = ٩+ س ١٠س ــ ] ٣[
٠ ) = ١+ س ) ( ٤ -س ( بالتحلیل ٠ ) = ١ -س ) ( ٩ -س (
B ٠ = ١ - ، س ٠ = ٩ - س B ١ -= س ٤= س
B ٩= س B ١= س B ١ -= ٣)١ -= (٢ س٣ ٤ = ٢ س
B٥ ٩ = ٢ س B ١ = ٥ ١ = ٢ س B ١ - ؟ ±= س ٣ )٤؟ ( ±= س h ح
B ٥ )٩؟ ( ±= س B ١ ±= س B ٨ ± = ٣ ٢ ±= س
B ٥ ٣ ±= س B ٨ - ، ٨{ = ح . م{
٢٤٣ ±= س
B ١ - ، ١ ، ٢٤٣ - ، ٢٤٣{ = ح . م {
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: حل آخر ٣٢ ) = ١+ س ] ( ٥[
٢ برفع الطرفین للقوة ٢برفع الطرفین للقوة ــ : الحل
B ) ١+ س ( ٥ بأخذ الجذر للقوة ٣٢= ٥ B ) ١ - ٣٢ = ٥ ــ )١+ س
B ٢ = " ٣٢؟ ٥ = ١+ س B ) ٣٢= ٥ )١+ س
B ١ = ١ – ٢= س B ٢ ) = ٥ ٢ = ( ١+ س
B ١{ = ح . م { B ١ = ١ – ٢= س
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٤٥٥
٢٥٥ ٢
٥٥
٢٥٥ ٢
٥٥
٢٥٥ ٢
٥٥
٢٥٥
٢٣٥
٤٣٥٢٣٥
٢٣٥ ٢
٣٥
٢٣٥
- ١ ٢
- ٥ ٢
١٥٥
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٧١
: اختصر ] ١[
.، ب الحقیقیة ا قیم صحیحة لجمیعب ؟ ن× ا ؟ ن متى تكون العالقة ] ٢[
: أكمـل ما یأتى ] ٣[
.......فى ابسط صورة تساوى ) ٦) ( ب.......... (فى ابسط صورة تساوى ) ٨) ( أ(
......فى أبسط صورة تساوى ١ -مل )٣مل( مب ٣) د ..... ( فى أبسط صورة تساوى ) ( ) جـ(
....... فى أبسط صورة ) ٢ ٣ ــ ٢ ٥) ( ھـ(
تمارین على األسس الكسریة والجذورالنونیة والمعادالت
ــ ٢ × ١ــ ٤ × ٨؟ ٢ ٣ × ٢ – ٦
٢٣٥
٢٣٥
١٤٥
٣٢٥
١٦ ٦٢٥
- ٣ ١ ٤
٤٥
١٣٥
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٧٢
: اكتشف الخطأ ] ٥[
٩ = ٨١؟ = ٢")٩ -( ؟ ) = ٩ - = ( ٩ــ ) أ ( ٣= س B ٨١؟ ٤= فإن س ٨١ = ٤إذا كان س) ب (
یادةأوجد الز= ( ) إذا كان طول نصف قطر كرة یعطى بداللة الحجم من العالقة نق ] ٦[
. وحدة مكعبة π ٣٦ إلى π فى طول نصف القطر عندما یتغیر الحجم من
]٧ [
ص + فما قیمة س ٢٧= ص ٣= إذا كان س ] ٨[
]٩ [
]١٠ [
: اختر االجابة الصحیحة ] ١١[
] ١، ا س ، ١ –ا ،ا = ...... [
٢٢٥
ح ٣٤ π
١٢٥
٣٢ ٣
٣٢٥
٢٣٥
سا + ١+ س ا + ٢+ س ا
١ - سا + سا + ١+ س ا
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٧٣
: الدالة األسیة *
} ١{ - + حgا لكل سا ) = س(حیث د+ ح Cح : إذا كانت د : تعریف +ح= ولھذا یكون مداھا + ح سا ، ح = ح ولھذا یكون مجالھا س ،
ا فإن د تسمى دالة أسیة أساسھا
، أسھا س ٣ اساسھا س ٣) = س(د: مثل ٢+ اساسھا ، أسھا س ٢+ س) = ( )س( ، د
: مثال
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : التمثیل البیانى للدالة األسیة*
١٢٥
١٢٥
:تذكر أن
ھو األساس أما األس عدد حقیقى) س ( یكون المتغیر المستقل : الدالة الجبریة] ١[ ٠٠٠٠س ، + ٣س) = س( ، د٢س) = س(د: مثل
ھو األس أما األساس ھوعدد حقیقى) س(یكون المتغیر المستقل : ة األسیةالدال] ٢[ موجب ال یساوى الواحد
٠٠٠٠٠ ، ١ – س ٣) = س( ، دس ٢) = س(د: مثل
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٧٤
: و من الرسم أوجد ] ٤ ، ٣ –[ في الفترة = (۲ ( دأرسم منحنى الدالة : مثال ) ١.٥( د ) ۲ ( ) ٠.٥ –(د ) ١ (
١٠ ) =( دحل المعادلة ) ٤ ( /۲/٣خح [قیمة تقریبیة للعدد ) ٣( : الحل
) :٠.٥ –(إلیجاد قیمة د یوازى محور الصادات٠.٥ –یما عند نرسم مستق
٠.٧لیقابل المنحنى عند نقطة فنجدھا تساوى تقریبا B ٠.٧ ) = ٠.٥ –( د
نرسم كما سبق ) ١.٥( إلیجاد قیمة د ۲. ٨ ) = ١.٥( د : نجد أن
٥ ۲= ٣۲: نالحظ أن /۲/٣خح [إلیجاد قیمة
B ونرسم كما فى السابق ) ۲ ٢؛! (د = ) ٢؛% ( نوجد د
B ٥.٧ = /۲/٣خح [ قیمة ١٠) = س ( د : إلیجاد حل المعادلة
یوازى محور السینات ١٠= قیما عند ص نرسم مست ٣.٣ یقابل المنحنى عند نقطة فنجدھا تساوى تقریبا
B ٣.٣= عندما س ١٠) = س ( د ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:مالحظات
) ١ ، ٠( احداثیى نقطة تقاطع الدالة األسیة مع محور الصادات ھى ) ھـ (
٣ ٤ ۲ ١ – ٠ ١ – ۲ – ٣
٨؛! ٤؛! ٢؛! ١ ۲ ٤ ٨ ١٦ ص
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٧٥
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:نكون الجدول اآلتى : الحل
٣ ٢ ١ ٠ ١ - ٢ - ٣ - س
٨ ٤ ٢ ١ )س(١د
١ ٢ ٤ ٨ )س(٢د
١٨٢
١٤٢
١٢٢١
٢٢
١٤٢
١٨٢
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٧٦
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :مثال
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :تطبیقات على الدالة األسیة
: دالة النمو األسي *
لتمثیل النمو األسي بنسبة مئویة ثابتة فى فترات ن )ر + ١( ا ) = ن(ستخدم الدالة د ت
النسبة المئویة للنمو ر القیمة االبتدائیة ، ا ھى الفترة الزمنیة ، ن زمنیة متساویة حیث
. فى الفترة الزمنیة الواحدة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: التضاؤل األسي*
لتمثیل النمو األسي بنسبة مئویة ثابتة فى فترات ن )ر ـــ ١( ا ) = ن( تستخدم الدالة د
النسبة المئویة للنمو ریمة االبتدائیة ، القا ھى الفترة الزمنیة ، ن زمنیة متساویة حیث . فى الفترة الزمنیة الواحدة
(
( (
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٧٧
كل أسبوع ، فإذا كان عدد النحل فى ٪ ٢٥یتكاثر النحل فى آحد الخالیا فیزداد بمعدل : مثال
اكتب دالة أسیة تمثل عدد النحل بعد ن أسبوع . نحلة ٦٠ البدایة
. أسابیع٦بعد ، ثم قدرعدد النحل
أسابیع ٦ = ن ، الفترة الزمنیة ٠.٢٥= = ر ، ٦٠= ا : الحل
: أسبوع ھى ن دالة النمو األسي بعد
ن )١.٢٥ ( ٦٠ = ن )٠.٢٥ + ١ ( ٦٠ = ن )ر + ١( ا ) = ن(د
نحلة ٢٢٩ T ٦ )١.٢٥ ( ٦٠ ) = ٦( د
نحلة ٢٢٩= أسابیع ٦ل بعد عدد النح
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
عدل جنیة فإذا كان سعر السیارة یتناقص بم١٢٠٠٠٠اشترى كریم سیارة جدیدة بمبلغ : مثال
. كل سنة ٪ ١٢
. سنة من شرائھا ناكتب دالة أسیة تمثل سعر السیارة بعد ) ١
. سنوات من شرائھا ٦قدر ألقرب جنیة سعر السیارة بعد مرور ) ٢
: الحل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال حاول بنفسك : الحل
٢٥ ١٠٠
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٧٨
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
تمارین على الدالة األسیة و دالة النمو و التضاؤل
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٧٩
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٨٠
:حل المعادالت األسیة و تطبیقاتھا*
:قواعد ھامة
d ١ - ، ١ ، ٠ c - حح gا : حیث ن = م : فإن نا = ما : إذا كان -١
١ - = ٤ – ٣= س B ٣ = ٤+ س فإن ٣ ٣ = ٤+ س ٣إذا كان : مثال
:فإن مب = ما : إذا كان -٢
ب _{ ا ، ٠{ ب ، ٠{ ا حیث ٠= م *
٤= س B ٠ = ٤ –س : فإن ٤ - س ٥ = ٤ - س ٧: مثال
٠{ ب ، ٠{ اعددا فردیا ، م إذا كان ب= ا *
= س B ٣ = [ ] = ٣ سإذا كان : مثال
٠{ ب ، ٠{ اعددا زوجیا ، م إذا كان | ب | = | ا | *
_= س B ٢= [ ] = ٢س : مثال ٣ _= ص B ٤ )٣ - = ( ٤) ٣ = (٨١ = $، ص
١ _{ ا ، ٠{ ا حیث ٠= م :فإن ١ = ما : إذا كان -٣ ٢= س B ٠ = ٢ – س B ١ = ٢ - س ]٣ة [ إذا كان : مثال
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: مثال
١ ٨
١ ٢
١ ٢
١ ٤
١ ٢
١ ٢
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٨١
: الحل
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٨٢
٢٧٠) = ١ –س ( د ) + ١+س ( د لمعادلة حل ا س٣) = س ( إذا كانت د: مثال :الحل
A ٢٧٠) = ١ –س ( د ) + ١+س ( د B ٢٧٠ = ١س ــ ٣ + ١+ س ٣
B ١ ــ ٣ + ٣ ( س ٣ = (٢٧٠ B س ٣ ) ٢٧٠ + ) = ٣
B ٢٧٠= × س ٣ B ٤ ٣ = ٨١ = × ٢٧٠ = س ٣
A االساس = االساسB األس = األسB ٤= س
ص = س ٣ بفرض٢٧٠ = ١س ــ ٣ + ١+ س ٣ : خرآحل
٢٧٠ = ١ــ ٣× ص + ٣× ص B ٢٧٠ = ١ــ ٣ × س ٣ + ٣ × س ٣
B ٢٧٠ + ) = ٣( ص B ٢٧٠= × ص B و بالتعویض ٨١= ص B ٤ ٣ = س ٣ B ٤= س
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
=ــ : ن إثبت أ س٣) = س(إذا كان د: مثال
: الحل
١ –س – ١ – س ٣ – ١ +س -١ + س٣= ــــــــــــ - ــــــــــــ = االیمن
=٩ = ٢- ٣ – ٢ ٣ - =
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ س ٢٧) = س ( ٢ د ، س٩) = س ( ١إذا كانت د: مثال
٢٥٢) = ١ –س ٢ (٢د) + س٣ (١د: حل المعادلة
: الحل B ٢٥٢ = ١ -س ٢ ٢٧ + س ٣ ٩ B ٢٥٢= ٣ –س ٦ ٣ + س٦ ٣
B ٢٥٢ ) = ١ + ٣ ٣ ( ٣ -س ٦ ٣ B ٢٥٢ = ٢٨ × ٣ -س٦ ٣
B ٩ = ٣ -س ٦ ٣ B ٢ ٣= ٣ –س ٦ ٣ B ٢ = ٣ – س ٦ B ٥= س ٦ }{ = ح ٠ م
١ ١٠ ٣
٣ ٣
١٠
١ ٣
١٠ ٣
١ + س٣ ١ – س ٣
١ - س٣ ١ – س ٣
١ ٩
٨٠ ٩
)١+س(د )١-س(د
)١-س(د )١+س(د
٨٠ ٩
٥ ٦
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٨٣
:مثال
:الحل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س ٤) = س(٢ ، دس ٨) = س(١إذا كان د: مثال
٨٠ ) = ١ – س ٣(٢د) + س ٢(١ حل المعادلة د
س ٢ ٢ = س )٢ ٢) = ( س(٢ ، د س ٣ ٢ = س )٣ ٢) = ( س(١د: حل ال
٨٠ ) = ١ – س ٣(٢د) + س ٢(١ د: المعادلة
B ٨٠ = )١ – س ٣ ( ٢ ٢ + س ٢ × ٣ ٢ C ٨٠= ٢ – س ٦ ٢ + س ٦ ٢
C ٨٠) = ٢ - ٢ + ١( س ٦ ٢ C ٨٠= × س ٦ ٢
C ٨٠ = س٦ ٢ × B ٦ ٢ = ٦٤ = س ٦ ٢ B ٦= س ٦ B ١= س
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :معادالت بیانیا حل ال*
دالة خطیة مثال ثم نوجد نقطة تقاطع ) س(٢دالة أسیة ، د) س(١ نرسم منحنیي الدالتین د
االحداثى السینى لنقطة التقاطع= فإن مجموعة الحل ) س ، ص ( منحنیي الدالتین و لتكن
٥ ٤ ٤
٥
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٨٤
س – ٣) = س(٢ ، دس ٢) = س(١ارسم فى شكل واحد منحنیى الدالتین د: مثال
س – ٣ = س ٢ و من الرسم أوجد مجموعة الحل للمعادلة
: ومن الرسم نجد ٢ ، د١نرسم منحنیى الدالتین د: الحل
)٢ ، ١( نقطة تقاطع المنحنیین
B ١{ = ح . م {
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
تمارین على حل المعادالت و تطبیقاتھا
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٨٥
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : اللوغاریتمیة و تمثیلھا بیانیاالدالة *
+ح gص ، ح g س ،}١ {– +ح g ا : إذا كان :تعریف ا= ص األسیةدالة عكسیة للدالة سالـــــو = ص الدالة اللوغاریتمیة: فإن
س ٥ ٢ = ٣٢ E ٥ = ٣٢ ٢ ، لــو٣ = ٨ ٢ لـــــــوE ٣ ٢ = ٨: مثال
، ٥ ٣ = ٢٤٣ E٥ = ٢٤٣ ٣ لـــــــو : مالحظات
األساسس لوغاریتم تقرأ س ا لـــــو* الدالة اللوغاریتمیة ھى الدالة العكسیة للدالة اآلسیة *
ال معنى لھ صفر ۲لو ، ٣ – ٤ لو: ال معنى للحدیث عن لوغاریتم عدد غیر موجب فمثال *
جبا یختلف عن الواحد الصحیح یجب أن یكون عددا موااألساس *
ال معنى لھ ٧صفرلو ، ٨ ۲ - لو: فمثال
:اللوغاریتمات المعتادة * ]وقد أتفق على حذف ھذا األساس [وال یكتب ١٠= للوغاریتمات التى أساسھا ھى ا
٣ ١٠لو تعنى ٣لو : فمثال :وعلى ذلك یكون
١٠لو = ١٠٠ ، لو ١ = ١٠لو ۲
وھكذا ٣= ٣ ١٠لو = ١٠٠٠، لو ۲= وھكذا ٣ - = ٠.٠٠١، لو ۲ – = ٠.٠١ ، لو ١ – = ٠.١، لو
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ جالو= فإن ب ج = ب ا: اللوغاریتمیة العكس التحویل من الدالة األسیة الى
: مثال
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٨٦
٧ = ١٢٨ ٢ لـوB ١٢٨ = ٧ ٢ A) أ : ( الحل
١٠ = ٣٢ ٢ ؟ لــو B ٣٢ = ١٠ )٢؟ ( A) ب (
٢ -= لــو B = ٢ ــ ( )A) جـ (
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: التحویل من الدالة اللوغاریتمیة الى الدالة األسیة
: حول كل مما یأتى إلى الصورة األسیة : مثال
صفر = ١لــو ) جـ (٥ - = ٣لــو ) ب (١٠ = ٣٢ ٢؟لـو ) أ (
٢ = ٩ ٣لـو ) و ( ٣ - = لــو ) د ( ١ = ٧ ٧لــو ) ھـ (
صفر = ( )١) جـ (٥ــ ٣) = ب ( ١٠ )٢ ؟ = ( ٣٢) أ : ( الحل
٢ ٣ = ٩) و ( ٣ ــ ١٠) = د ( ١ ٧ = ٧) ھـ (
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : ایجاد قیمة لوغاریتم*
: اوجد قیمة كل من : مثال ٧ ٧ـوـل) ٤ ١۲٥ ٥ــو لـ) ٣ ۲٤٣ ٣ـولــ) ٢ ٦٤ ۲ــو لـ) ١
سB ۲ ٦٤ ۲ـو لــ= نفرض أن س ) ١ : الحل = ٦٤ = ۲ ٦
B ٦= س B ٦= ٦٤ ۲ـو لـــ
٣ B ٢٤٣ ٣لـــــــــــو= نفرض أن س ) ۲ س
= ٣ = ٢٤٣ ٥
B ٥= س B٥= ٢٤٣ ٣ لـــــــــــو
٥ B ١٢٥ ٥لـــــــــــو= نفرض أن س ) ٣ س
= ٥ = ١٢٥ ٣
B ٣= س B ٣ = ١٢٥ ٥لـــــــــــو
٧ B ٧ ٧لـــــــــــو= نفرض أن س ) ٤ س
= ٧ = ٧ ١
B ١= س B ١ = ٧ ٧ــــــــو لـــ
٢٣
٩٤
٩٢ ٤
٣
١٢
١ ٢٤٣
١ ١٠٠٠
١ ٢٤٣
١٢
١ ١٠٠٠
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٨٧
٢٧؟ ٤ ٣لــو ) ب (٠.٠٠١لـو ) أ : ( أوجد قیمة كل مما یأتى : مثال : الحل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : حل المعادالت اللوغاریتمیة*
: مجموعة كل من المعادالت اآلتیة ح أوجد فى : مثال
٢= س ٥ سلـو ) ٢= ( س ٨١لـو) ١(
١)=١ -س ( ٣لو) ٤ (٢) = ٢+ س ( سلـو) ٣(
: الحل
٢= س ٥ سلـو ) ٢ (= س ٨١لـو) ١ (
B ٣ ٣ ) = ٤ ٣ ) = ( ٨١= ( س B ٢س= س ٥
B ٢٧= س B ٢٧{= ح . م {B٠= س ٥ ــ ٢ س
٠ ) = ٥س ــ ( س Bــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
)٣ (A سلـو ) ٢ ) = ٢+ س B ٠= س h ٥= مجالھا ، س gمجالھا
B ٢س = ٢+ س B ٥{ = ح . م {
Bـــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ٠ = ٢ ــ س ــ ٢ س
B ) ٤ (٠ ) = ١+ س )( ٢ –س (A٣ لو ) ١) = ١ -س
B ١ــ = ، س ٢= س h المجال B ١ ٣ = ١ – س B ٤ = ١ + ٣= س
B ٢{ = ح . م { B ح . م = }٤{
٣٤
٣٣ ٤
٤٣٤
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٨٨
١ ) = ١٥+ س ٧ ــ ٢س( ٣ لـــــو٢لـــــــو : س إذا كان اوجد قیمة : مثال :الحل
١ ) = ١٥+ س ٧ ــ ٢س( ٣ لـــــو٢لـــــــو
A لجمیع قیم س ٠ > ١٥+ س ٧ ــ ٢س g٠ > ١٩= أ جـ ٤ ــ ٢ ح الن الممیز ب
B ٢ = ١ ٢ ) = ١٥+ س ٧ ــ ٢س (٣ لـــو B٩ = ٢ ٣ = ١٥+ س ٧ ــ٢ س
B ٠ = ٦+ س ٧ ــ ٢س B ) ٠ ) = ٦ –س )( ١ –س
B ٦= ، س ١= س ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٨٩
: الحل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:إستخدام اآللة الحاسبة logإلیجاد اللوغاریتم المعتاد ألى عدد حقیقى موجب نستخدم
shift log ( 10( ، و إلیجاد العدد الحقیقى الموجب إذا علم لوغاریتمھ المعتاد نستخدم x
٥٧.٠٦ لو بإستخدام الحاسبة أوجد:مثال : الحل
= log 5 7 . 0 6: خطوات اآللة ١.٧٥٦٣ = ٥٧.٠٦لو : نجد أن
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠.٠٠٧٥ –= لو س : أوجد قیمة س إذا كان : مثال :الحل
shift log ( 10 ( – = 5 7 0 0 . 0 : خطوات اآللة x
٠ . ٩۲٨٩= س : نجد أن
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٩٠
تمارین على الدالة اللوغاریتمیة و تمثیلھا
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٩١
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: یكون }١ {– +حح g ا ، +حح gإذا كان س ، ص :لوغاریتمات خاصیة الضرب فى ال– ١
ص × س ا لـــــو= ص ا لـــــو+ س ا لـــــو
١٥ ا لـــــو ) = ٥ × ٣ ( ا لـــــو = ٥ ا لـــــو + ٣ ا لـــــو: فمثال ٨ جـلـــو + ٧ جـلـــو ) = ٨ × ٧ ( ج لــــو = ٥٦ جـ ، لــــو
اتبعض خواص اللوغاریتم
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٩٢
٧ ا لـــــو × ٣ ا لـــــو × ۲ ا لـــــو { ) ٧ × ٣× ۲ ( ا لـــــو= ٤۲ ا ــولـــ، :مالحظة ھامة
ص ا لـــــو+ س ا لـــــو ≠) ص + س ( ا لـــــو ص ا لـــــو× س ا لـــــو ≠) ص × س ( ا لـــــو ،
:خاصیة القسمة فى اللوغاریتمات – ۲
ـــــــ ا لـــــو= ص ا لـــــو–س ا لـــــو
٧ب ــ لــو٣ بلـــو = ب، لـــو ا لـــــو = ٧ ا لـــــو – ٥ ا لـــــو : فمثال
ص ا لـــــو – س ا لـــــو ≠) ص –س ( ا لـــــو : مالحظة ھامة ص ا لـــــو÷ س ا لـــــو ≠) ص ÷ س ( ا لـــــو ،
: خاصیة لوغاریتم القوة – ٣
س ا لـــــو ن
س ا لـــــون =
٣ ا ـــــول = ٩ ا لـــــو: فمثال ۲
٢ لــو ٣ = ٣ ٢ بلــو = ٨ ب ، لـــو ٣ ا لـــــو ۲ =
١= س ســــو ـل – ٤
١ = ٨٨ ، لــــــو ١ = ٧ ٧ لـــــو ، ١ = ٦ ٦ لـــــو: فمثال
صفر = ١ ا لـــــو – ٥
صفر = ١ ٧ ، لــــــو صفر = ١ ٤ لـــــو: فمثال
= س صلـو : خاصیة تغیر األساس -٦
= = = = ٨ ٤ لـو: فمثال
س ص
٥٧
٣٧
سالـو ص ا لـو
٨ الـو ٤ ا لـو
٣ ٢ الـو
٢ ٢ ا لـو
٢ ا لـو٣
٢ ا لـو٢
٣٢
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٩٣
١= ا بلو × ب ا حیث لو= ب ا لـو: خاصیة المعكوس الضربى -٧
١= × ٧ ٣لـو = ٣ ٧لـو × ٧ ٣لـو: فمثال
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٣ ــ لـو ٣٠لـو ) ٣ "٢٤٣؟ ٧ ٣لـو) ٢ "١٢٥؟ ٤ ٥لـو) ١أوجد فى أبسط صورة : مثال
= ٥ ٥لـو ) = ٥ ( ٥لــو ) = ٣ ٥ ( ٥لـو = "١٢٥؟ ٤ ٥لـو) ١: الحل
= ٣ ٣لـو ) = ٣ ( ٣لـو ) = ٥ ٣ ( ٣لـو = "٢٤٣؟ ٧ ٣لـو) ٢
١ = ١٠لـو = لـو = ٣ ــ لـو ٣٠لـو ) ٣
١.٤٦٥ T ٥ ٣ فى أبسط صورة إذا كان لـو١٥ ٣أوجد قیمة لـو: مثال
٢.٤٦٥ = ١ + ١.٤٦٥ = ٣ ٣لـو + ٥ ٣لـو = ٣ × ٥ ٣لـو = ١٥ ٣لـو: الحل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٣٠ لو – ٣ لو ٢( + ) + لو + ٢٥ لو ٢: اختصر البسط صورة : مثال
٣٠ ــ لو ٢ ٣لو + لو + ٢)٢٥(لو = المقدار : الحل
١٠٠لو = × ٩ × × ٢)٢٥(لو =
٢ = ١٠ لو ٢ =
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٩ ٧لو × ٨ ٩لو × ٥ ٨لو × ٤٩ ٥لو: اختصر: مثال
٢= = = × × × = المقدار : الحل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٣ = أثبت أن : مثال
١ ا ب لـو
١ ٧ ٣ لـو
١٤
٣٣ ٤
٤ ٣٤
١٥ ٧
٧
٥٥ ٧
٧ ٣٠
٣
١٣
١٥
٨ ١٥
٨ ١٥
١ ٣٠
٤٩ لـو ٥ لـو
٥ لـو ٨ لـو
٨ لـو ٩ لـو
٩ لـو ٧ لـو
٤٩لـو ٧ لـو
٧لـو٢ ٧ لـو
٦٤ ــ لو ٧٢٩ لـو
٤ ــ لو ٩ لـو
نجعل الطرف األیمن "ــو ل" بھ
واحد فقط باستخدام القوانین
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٩٤
٢ ( )لو ÷ ٦( ) لو = لو ÷ لو = االیمن : الحل
االیسر = ٣= لو ٢÷ لو ٦ =
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
) ٣ـو ل + ۲ـو لـ ( ۲ = ۲ــو س ص ل– لــو ص ٤+ لــو س ٣: إذا كان : مثال ]بنفس المعطى فى سؤال أخر یطلب قیمة س ص [ ٦= س ص : اثبت أن
:الحل ٣ــو ل۲ + ۲ــو ل۲ = ۲و س ص ـ لـ– لــو ص ٤+ لــو س ٣
۲ )٣( ــول + ۲)۲( ـولــ = ۲ــو س ص لـ– ٤لــو ص + ٣ــو سل
٩ × ٤ــو لـ = ٩لـــــو + ٤لــــو = ـــــــــــــــــ ــو ـــــلــ
٦= س ص B ٣٦ = ۲ ص۲س B ٣٦ـو لــ = ۲ ص۲ـــو سـل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
لو ص+ لو س + ١) = ص+س( لو ٢ س ص أثبت أن ٨ = ٢ص + ٢إذا كان س: مثال
س ص للطرفین٢ س ص باضافة ٨ = ٢ص + ٢ سA: الحل
Bس ص ٢+ س ص ٨ = ٢ص+ س ص ٢ + ٢ س
B ) س ص بأخذ لوغاریتم الطرفین ١٠ = ٢)ص + س
B س ص ١٠لو = ٢)ص + س ( لو
B لو ص + لو س + ١= لو ص + لو س + ١٠لو ) = ص + س ( لو ٢
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢ص ٣س ٢ لــو– ص ٢ لــو٤+ س ٢ لــو٥ أوجد قیمة المقدار ٢ ؟ ٤= إذا كان س ص : مثال :الحل
٢)س ص ( ٢لـــــو = ٢ ص٢ س٢لــــو= ـ ــــــــــــــــــــ٢لــــــو= المقدار
٥ = ١ × ٥ = ٢ ٢ لــــو٥ = ٥ ٢ ٢لــــو= ٣٢ ٢لــــو = ٢ )٢ ؟ ٤ ( ٢لــــو =
٧٢٩ ٦٤
٩ ٤
٣٢
٣٢
٣٢
٣٢
٤ص × ٣ س ۲ص × س
٢ص × ٣س ٤ص × ٥س
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٩٥
١ - = ٦٤ ٨ لــــــو٤ لـــــو٢ لــــو: إثبت أن :مثال
٨ ٨ـــو لــ٢ ٤ لــــــو٢لـــــو = ٢ ٨ ٨ لـــــو٤ لــــــو٢لـــــو= المقدار : الحل
٤ ٤ لـــو٢لــــو = ) ٤ (٤ لــــــو٢لــــو =
١ - = ٢ ٢لـــو١- = ١- ٢ ٢لــــو= ٢لــــــو = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــ= لــــو س أوجد قیمة س التى تحقق أن : مثال
: الحل A ــــــــــــــــــــــــــــــ= لــــو س B ــــــــــــــــــــــــــــ= لــــو س
B ــــــــــــــــــــــــــــــ= س لــــو B ٥لــــو = لــــو س B ٥= س
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :اللوغاریتمیة المعادالتحل *
: أوجد مجموعة الحل لكل من المعادالت اآلتیة :مثال ٠ ) = ٣+ س ٢( لـــو س ــ لـــو ٢) ١
٢ ٣ـو لـ٣ ) = ١+ س ( ٣ـو لـ ) + ١ –س ( ٣ــو ـل )٢
٤ = ٣ــو سل – ٢) ـو س لــ( ) ٣
٢ لو – ١ ) = ٢ –س ( لو ) + ٢+ س ( لو ) ٤
٢ = ٣ سلو+ س ٣لو) ٥
:الحل ١ ( A لـــو س ــ لـــو ٢ )٠ ) = ٣+ س ٢
B ٣+ س ٢( لــو = لــو س ٢ (
B٣+ س ٢( لــو = ٢ لــو س (
B ٣+ س ٢ = ٢ س
:مالحظة بالتعویض
عادلة األصلیة عن قیمة س فى الملمعرفة ما إذا كان یمكن قبول ھذا
العدد أم رفضھ حیث ال یوجد لوغاریتم لعدد سالب
١ ١ ٢
١ ٢ ٢
١٢٥ لو– ٢)٥لو( ٠.٠٠٥لو
٣ ٥ لو– ٢)٥لو( ١٠٠٠ لو – ٥لو
٥ لو٣ – ٢)٥لو( ٣ – ٥لو
٣ – ٥لو ]٣ – ٥لو [ ٥لو
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٩٦
B ٠ = ٣ – س ٢ – ٢ س B ) ٠ ) = ١+ س ) ( ٣ –س
B مرفوض ١ -= ، س ٣= س B ٣{= ح . م {
٢ ٣ـو لـ٣ ) = ١+ س ( ٣ـو لـ ) + ١ –س ( ٣ــو ـل )٢
B٣ ٢ ٣لــو ) = ١+ س )( ١ –س ( ٣ لــو B٨ ٣لــو ) = ١ ــ ٢س ( ٣ لــو B٨ = ١ – ٢ س B٩ = ٢ س B مرفوض٣ -= ، س ٣= س B ٣{ = ح . م {
٣ (A ) ٤ = ٣ــو سل – ٢) ـو س لــ
B )٠ = ٤ – ـو س لـ٣ – ٢) ـو س لـ B )٠ ) = ١+ ـو س لـ ) ( ٤ –ــو س ل B ١٠= منھا س ٤= لــو س
٤ =١٠٠٠٠
١٠= منھا س ١ –= ـو س لـ، ٠.١ = ١ــ
B ٠.١ ، ١٠٠٠٠{ = مجموعة الحل {
٤ (A لو ) ٢لو – ١ ) = ٢ –س ( لو ) + ٢+ س
B ٢ ــ لــو ١٠لــو ) = ٢س ــ ) ( ٢+ س ( لــو
B ٥لــو = لــو ) = ٤ ــ ٢س( لــو B٥ = ٤ ــ ٢ س B٩ = ٢ س
B مرفوض ٣ -= ، س ٣= س B ٣{ = ح . م {
٥ (A ٢ = ٣ سلو+ س ٣ لو Bس٣ بالضرب فى لو٢+ = س ٣ لو
B ) س ٣لو (س ٣ لو٢ = ١ + ٢ B ) ٠ = ١+ لوس ٢ ــ ٢) س ٣لو B ) ٠ ) = ١ ــ س٣ لو ) ( ١ س ــ ٣لو B ١= س ٣ لو B ٣= س g المجال B ٣{ = ح . م {
تذكر دائما أننا نجعل كل طرفواحد لنتمكن من " لــو " بھ
" لــو " الحل و ھنا نتخلص من بالتحویل الى الصورة األسیة
٢)لوغاریتم ( إذا وجدنا دائماتذكر اعلم أننا سوف نستخدم التحلیل
لنتمكن من حل السؤال
١٠ ٢
١ س٣ لـو
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٩٧
٢لــو= " ٢" -" س؟ ٣لــو + "١- " س٣ ؟ ٣لو حل المعادلة : مثال : الحل
B ٢ لو ) =" ٢ "– "س")( "١" - "س" ٣ ( ؟ ٣ لــــو
B )بالتكعیب ٢ ) = ٢ –س ) ( ١ – س ٣
B )٨ ) = ٢ –س ) ( ١ – س ٣ B ٨ = ٢+ س ٧ – ٢س٣
B ٠ = ٦ – س ٧ – ٢ س٣ B )٠ ) = ٣ –س ) ( ٢+س ٣
B ٣= س ، = س
B ٣، { = ح . م {
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:حل المعادالت األسیة باستخدام اللوغاریتمات*
٩ فاوجد قیمة المقدار ٣ـو لـ ÷ ٥لـــو = إذا كانت س : مثال س
– ٣ ٢+ ١ +س
:الحل A ـــــــــــــ = س B ٥لـــو = ٣ س لــو B ٣ لــو
س٣ B ٥لــو =
س =٥
B ٩= المقدارس – ٣
) ٢ ٣ = (٢+ ١+ س س – ٣
٢ + ٣ × س
) = ٣س
( ٣ – ٢ ١٢ = ٢ + ١٥ – ٢٥ = ٢ + ٣ × ٥ – ٢)٥= (٢ + ٣ × س
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٠.٠٠٧٥ –= لو س : أوجد قیمة س إذا كان : مثال :الحل
shift log ( 10 ( – = 5 7 0 0 . 0 : خطوات اآللة x
٠ . ٩۲٨٩= س : نجد أن
١ ٣
١ ٣
-٢ ٣
-٢ ٣
٥ـو لــ ٣ــو لـ
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٩٨
) ٨: (اوجد مجموعة حل المعادلة : مثال+ س
١
) = ٩ (–س
۲ :الحل
بأخذ اللوغاریتم للطرفین نجد أن) ٨(لـــــــــــو
+ س
١) ٩(لــــــــــــو =
–س ۲
٩لـــــــــو ) ۲ –س = ( ٨لــــــــــــو ) ١+ س ( ٩ــو ـلـ۲ – ٩ــو س لــــ = ٨لـــــــو + ٨س لــــــــــو
٩ــو لــ۲ – ٨ـــو لــــ– = ٩ س لــــــو – ٨ـــو س لــــ ٩ـو لــ۲ – ٨ــــو ل– ) = ٩ لـــو – ٨لــــو ( س
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = س
٥٤.٩٦٤٥= س B :دام اآللة الحاسبة من الیسار إلى الیمین كاآلتي باستخ
( - 2 log 9 – log 8 ) ÷ ( - log 8 – log 9 ) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٥ ×۲: إذا كان : مثالص
فاوجد قیمة ص ألقرب رقم عشرى۲+ ص ۲ × ٥ = : الحل
: بأخذ اللوغاریتم للطرفین نجد أن ٥ ×۲( لــــــــــو
ص ) ۲+ ص ۲ × ٥(لـــــــــو ) =
٥لــــــــــو + ۲ لـــــــــوص
۲+ ص ۲لـــــــــو + ٥ــــو لـــــــ = ۲لــــــــو ) ۲+ ص + ( ٥لـــــــــو = ٥ص لـــــــــو + ۲ لــــــــو ۲لــــــــو ۲ + ۲ص لــــــــو + ٥لــــــــو = ٥ص لــــــــو + ۲ لــــــــو
۲ــــــو لــ– ۲لــــــــو ۲ + ٥لــــــــو = ۲ ص لــــــــو – ٥ص لــــــــو ۲لــــــــو + ٥لــــــــو ) = ۲لــــــــو – ٥لــــــــو ( ص
۲ . ٥= ص B ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ص
٩لـــــــــو ۲ – ٨ لــــــــــو –
٩ لــــــــــو – ٨لــــــــــو
۲لــــــــو + ٥ لــــــــو
۲ ــ لــــــــو ٥ لــــــــو
"لــو " تذكر دائما أننا نأخذ الطرفین فى المعادالت التى
یصعب أن نجعل فیھا األساس= األساس
و المعادالت االسیة
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
٩٩
٢+ س٣ × ٧= ١+س ٢ ٥أوجد قیمة س حیث : مثال :الحل
بأخذ لوغاریتم الطرفین A ٢+ س٣ × ٧ـو لـــ= ١+س ٢ ٥لــو B ٢+ س٣لــو + ٧لــو = ١+س ٢ ٥لـــو
B )٣لو)٢+س + (٧لو = ٥لو)١+س٢ B ٣لو٢ + ٣س لو + ٧لو = ٥لو+ ٥س لو٢
٥لو – ٣ لو ٢ +٧لو ) = ٣ لو – ٥لو٢(س B ٥ لو– ٣لو٢ +٧لو = ٣ س لو– ٥س لو٢
١.١٩= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = س
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢٧ = ٢+ س ٩× ١+س ٢ ٨ : أوجد قیمة س التى تحقق أن : مثال
:الحل بأخذ لوغاریتم الطرفین
B ٢٧لـــو = ٢+ س ٩× ١+س ٢ ٨لــو B ٢٧لو = ٢+ س ٩لـو + ١+س ٢ ٨ لـــو
B )٢٧لو = ٩لو) ٢+س +(٨لو) ١+س٢ B٢٧لو = ٩لو٢+٩س لو +٨لو + ٨س لو٢
B ٨ لو– ٩لو٢ – ٢٧لو = ٩س لو + ٨س لو ٢
B ٨ لو– ٩لو٢ – ٢٧لو ) = ٩لو + ٨لو٢( س
B ٠.٥ -= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــ= س
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠ = ١٥ + س٢ × ٨ – س٢ ٢ :أوجد قیمة س التى تحقق أن : مثال ٠ ) = ٥ – س٢ ) ( ٣ – س٢ ( :الحل
٥ = س٢ ٣ = س٢
بأخذ لو الطرفین بأخذ لو الطرفین
٥لو = س٢ لو٣لو = س٢لــــو
٥لو = ٢ س لو٣لو = ٢س لو
ــــــــــــ= ـــــــــــ س = س
= ٢.٣ = ١.٦
٥ لو– ٣ لو٢ + ٧لو ٣ لو– ٥لو٢
٨ لو– ٩ لو٢ – ٢٧لو ٩لو + ٨ لو٢
٣لــو ٢لــو
٥لــو ٢لــو
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
١٠٠
تمارین على خواص اللوغاریتمات
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
١٠١
٢ص ٣س ٢ لــو– ص ٢ لــو٤+ س ٢ لــو٥ أوجد قیمة المقدار ٢ ؟ ٤= إذا كان س ص ) ٩( ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:تمارین متنوعة على اللوغاریتمات
ــ: أوجد قیمــة كل من ] ١[
١٠ ٥لو + ١٦ ٥لو – ٤٠ ٥لو) ١
۲٤ ٤لو + ٤۲ ٤ لو – ٥٦ ٤لو+ ۲ ٤لو) ٢
٧٣ لـو - لـو ٤ - لـو ٢ - لـو ٣) ٣
٢٥ ٥ لــــــو٤لـــــو ٢لــــو )٤ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــ: إثبــت أن ] ٢[
٢٧ ٣لـو = لـو + ٢و لـ- ٢لـو ) ١
٣٦ ٦وـ ل =٠.٣وـل ۲ – ١۲وـل + ٠.٧٥و ـل) ٢
٢) = ٣
١ ٢
٥ ٣
٥ ٧
١ ٣
٧ ١٢
٤٠ ١٣
٩١ ٦٠
٤٥ لو – ۲لو + ١ ١٥ لو – ١
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
١٠٢
)٣وـل + ٢وـل ( ٢ =٢ ص٥س وـل –وص ـ ل٤+وسـل ٧إذا كان = س ) ٤
س ص لو:ثم إثبت أن س صلو = ۲س وـل ) ٥ ٣
س۲ص لو + ٦
سص لو ٦ = ص
٢ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:أوجد قیمــة س فیما یلى ] ٣[ ١٧٥وـ ل + ١۲٥وـ ل –٣٥وـ ل =٤.٩وـل+ وس ـل) ١ ٠.٣ لـو ٢ - ١٢لـو + لـو = س ٢لـو ) ٢
٨لو ) = ١+ س ( و ـل ) + ١ –س ( وـل )٣ ١) = س٩ + ۲س( و ـل) ٤ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :ادالت اآلتیة عأوجـد مجمـوعة حل الم] ٤[
٨= س ۲وـ ل۲ + ۲ ) س۲وـل () ٢ ٣) = ٢-س ( ٢لـــــو+ س ٢لـــو) ١ ٤= ــــــــــــــ + س ۲لو) ٤ ٤لـــــو س = ٣)لــــو س( ) ٣
٣٢ = ٦٤ × ٢) ٦ ٢ = | ١+ س | ٣وـل) ٥
٠ = ١٥ + س٢ × ٨ – س٢ ٢) ٨ ٤+ س ٣ = ٣ – س ٢ ٥) ٧ ١ ) = ١٧ – ٢س ( ٢لـو ٣لـو) ١٠ ) ظا (٣لو= س ) ٩
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :أوجد قیمة س ألقرب رقمین عشریین فى كل مما یأتى ] ٥[
٧.١٢ = ٥ – س ٣ )١٨(إذا كان ) ٢ ١٧ = س ٥إذا كان ) ١
) ٣٦ ÷ س ٦ = (١ –س ٥) ٤ ٢ –س ٩ = ١+ س ٨إذا كان ) ٣
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :بإستخدام حاسبة الجیب أوجد قیم س مقربا الناتج لرقم عشرى ] ٦[
١ (۲ ۲ × ١٠ – س ۲
س + ۲٠= ٤
٦ ص
٣ ٤
٣ س ۲لو
)لــوس ( ٢)لــوس (
ط ٣
)ادبى ( الصف الثانى الثانوى )جبر ( الریاضیات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ معلم خبیر ریاضیات ت خالد المنفلوطى / اعداد االستاذ
١٠٣
٥ × ٣) ٢ ١+ س ۲
=۲٩ × ٥ ١+ س
٢ لـــــو٣ – ٧ لــــو ٢= س ) ٣
٢٠٠) = ٢ –س ( د) + س( د، س ٣) = س(إذا كان د) ٤ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
نق ط ٣؛$ = إذا كان حجم الكرة ] ٧[٣
٣ سم٩٠٤.٣۲ = أوجد طول نصف قطر الكرة التى حجمھا
لقرب سم ٣.١٤= متخذا ط ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــ أوجد قیمتى س ، ص= ــــــــــــــ = إذا كان ــــــــــــ ] ٨[
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
لـــو س ٥لـــو
٩لـــو ٣لـــو
٤٩لـــو لــــوص