1

בס"ד

דפי עזר –מערכות ספרתיות

חיסור בעזרת משלימים

r משלים ל

Nשל rספרות. המשלים ל nשהחלק השלם בעל rלפי בסיס Nבהנתן מספר חיובי הגדרה:

-Nהינו n

r. המשלים ל r 0הינו 0של.

rחיסור על ידי משלים ל

N-M לחישוב ספרות כל אחד.n לי בע r נתונים שני מספרים חיוביים הנתונים לפי בסיס

.Nשל r למשלים ל Mחבר את .1

בדוק את הנשא הסופי של החיבור: .2

א. אם יש נשא התעלם ממנו.

.של תוצאת החיבור r ב. אם אין נשא שים סימן מינוס לפני המשלים ל

r -1 משלים ל

ספרות. mספרות ושבר בעל nשהחלק השלם בעל rלפי בסיס Nיובי הגדרה: בהנתן מספר ח

- Nהינו Nשל r- 1המשלים ל m-

r – n

r.

r-1חיסור על ידי משלים ל

N-M לחישוב ספרות כל אחד. n בעלי r נתונים שני מספרים חיוביים הנתונים לפי בסיס

.Nשל r - 1למשלים ל Mחבר את .3

חיבור:בדוק את הנשא הסופי של ה .4

.לספרה הימנית ביותר של התוצאה ) נשא מעגלי( 1הוסף א. אם יש נשא

.של תוצאת החיבורr-1 ב. אם אין נשא שים סימן מינוס לפני המשלים ל

האופרטורים של שני משתנים

[1] Or nand x y xor eq y' x' and nor [0] Y X

1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0

1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0

1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1

1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1

11 14 13 12 11 10 9 8 7 6 1 4 3 2 1 0

2

קודים

ספרה BCDקוד Gray 2 - 4 -2 - 1 Excess-3 מספר

0 0000 0000 0011 0000 0

1 0001 0001 0100 0001 1

2 0011 0010 0101 0010 2

3 0010 0011 0110 0011 3

4 0110 0100 0111 0100 4

1 0111 1011 1000 0101 1

6 0101 1100 1001 0110 6

7 0100 1101 1010 0111 7

8 1100 1110 1011 1000 8

9 1101 1111 1100 1001 9

10 1111

11 1110

12 1010

13 1011

14 1001

11 1000

:תבוליאנינוסחאות שימושיות באלגברה

x * 1 = x x + 0 = x

x*x' = 0 x + x' = 1

x*x = x x + x = x

x*0 = 0 x + 1 = 1

xy = yx x + y = y +x

x(yz) = (xy)z x + (y +z)= (x+y) +z

x + yz = (x+y)(x+z) x( y + z) = xy + xz

x( x + y) = x x + xy = x

(xy)' = x' + y' (x +y)' = x'y'

3

מכפלות סטנדרטיות

Z Y X מכפלה סימון

m0 X'Y'Z' 0 0 0

m1 X'Y'Z 1 0 0

m2 X'YZ' 0 1 0

m3 X'YZ 1 1 0

m4 XY'Z' 0 0 1

m5 XY'Z 1 0 1

m6 XYZ' 0 1 1

m7 XYZ 1 1 1

סכומים סטנדרטים

Z Y X הסכום סימון

M0 X+Y+Z 0 0 0

M1 X+Y+Z' 1 0 0

M2 X+Y'+Z 0 1 0

M3 X+Y'+Z' 1 1 0

M4 X'+Y+Z 0 0 1

M5 X'+Y+Z' 1 0 1

M6 X'+Y'+Z 0 1 1

M7 X'+Y'+Z' 1 1 1

מפות קרנו

מפת קרנו לשני משתנים :

1 0 1 0 X \ y

m1 m0 0 x'y x'y' 0

m3 m2 1 xy xy' 1

מפת קרנו לשלושה משתנים :

10 11 01 00 10 11 01 00 X \ yz

m2 m3 m1 m0 0 x'yz' x'yz x'y'z x'y'z' 0

m6 m7 m5 m4 1 xyz' xyz xy'z xy'z' 1

4

מפת קרנו לארבעה משתנים:

10 11 01 00 10 11 01 00 wx\yz

m2 m3 m1 m0 00 w'x'yz' w'x'yz w'x'y'z w'x'y'z' 00

m6 m7 m5 m4 01 w'xyz' w'xyz w'xy'z w'xy'z' 01

m14 m15 m13 m12 11 wxyz' wxyz wxy'z wxy'z' 11

m10 m11 m9 m8 10 wx'yz' wx'yz wx'y'z wx'y'z' 10

משתנים: 1מפת קרנו של

100 101 111 110 010 011 001 000 wx\yzv

4 5 7 6 2 3 1 0 00

12 13 15 14 10 11 9 8 01

28 29 31 30 26 27 25 24 11

20 21 23 22 18 19 17 16 10

72, 23, 29, 30, 11שכן של המינטרמים הבאים: 31מו לב שמינטרם שי

מפת קרנו של שישה משתנים:

100 101 111 110 010 011 001 000 abc\def

4 5 7 6 2 3 1 0 000

12 13 15 14 10 11 9 8 001

28 29 31 30 26 27 21 24 011

20 21 23 22 18 19 17 16 010

12 13 11 14 10 11 49 48 110

60 61 63 62 18 19 17 16 111

44 41 47 46 42 43 41 40 101

36 37 39 38 34 31 33 32 100

72,72, , 23, 29, 30, 11שכן של המינטרמים הבאים: 31שימו לב שמינטרם

1

ע"י שיטת הטבלה: )פישוט( מינימיזציה

בוצות לפי מספר האחדים . הרישום מתבצע בק1רושמים את ערכי הצירופים שנותנים .1

שבהם.

נצרף שתי מכפלות ששונות במשתנה יחיד ובכך ננטרל משתנה yx+yx' = yלפי הכלל ש .2

זה. את התוצאה נרשום בטור חדש. מסמנים מכפלות שמהן יצרנו מכפלות קטנות יותר.

. על הטור החדש שיצרנו, כלומר מחפשים זוגות מכפלות ששונות 2חוזרים על שלב .3

חיד והמשתנה שנוטרל בשלב קודם זהה אצלן.במשתנה י

הם , כלומר לא נלקחו בחשבון ע"י גורם פשוט יותר, הגורמים בטבלה שלא סומנו .4

המפושטת. ציה הרכיבים הראשוניים. סכומם יוצר את הפונק

לאחר הפישוט בשיטה זו יש למצוא גורמים ראשונים חיוניים.

NANDו NOR מימוש על ידי שערי

בלבד: NANDוש פונקציה ע"י שערי מימ

מפשטים הפונקציה לסכום מכפלות. .1

.ORולפני שער ה ANDמוסיפים שלילה אחרי כל שער .2

יחיד. NAND, הופכים אותו למותג ע"י שער ORמשתנה שנכנס ללא מכפלה לשער ה .3

בלבד: NORמימוש פונקציה ע"י שערי

מפשטים הפונקציה למכפלת סכומים. .4

.ANDולפני שער ה ORה אחרי כל שער מוסיפים שליל .1

יחיד. NOR, הופכים אותו למותג ע"י שער ANDמשתנה שנכנס ללא סכום לשער ה .6

מרובי רמות( NOR /NANDשיטת המלבנים ) מעגלי

AND OR NOTנשרטט דיאגרמה לוגית של הפונקציה הכוללת שערי .1

.NANDאו NORכל שער בדיאגרמה הלוגית יוחלף בשקול לו בשערי .2

שני מהפכים צמודים מתבטלים. .3

משתנה שנכנס עם מהפך, יוכנס באופן מותג. .4

:NANDשקלויות שערי

a

b

a

b

a

b

a

b

a a

6

םצירופיימעגלים

תכנון מעגל צירופי

יש להבין מהו הצורך שהמעגל יממש. .1 הגדרת משתני כניסה ויציאה, מספרם ותפקידם. .2

בניית טבלת אמת העונה לדרישות הבעיה. .3

של כל יציאה בנפרד. תט הפונקציה הבוליאניפישו .4

סרטוט המעגל בדיאגרמה לוגית. .1

חצי מחבר

מחבר מלא

וצר נשא צפוי מראשי

3

2

Y

X S

C

Z

C3

C2

4

6

1

G1

G2

P2

P1

C1

1

G3

C4 P3

Y

X S

C

7

סטנדרטים םרכיבים צירופיי

ROM 22*3

8

n-1קווי ברירה ו n-1ע"י מרבב עם משתנים nבעלת f תמימוש פונקציה בוליאני כניסות: 2

שלבי העבודה:

.1מקבלת fנמצא את המכפלות הקנוניות סטנדרטיות שעבורן .1

, כקווי ברירה של המרבב, לפי xנחבר את כל המשתנים פרט לראשון משמאל, שנקרא לו .2

הסדר שהופיעו בפונקציה.

2נבנה טבלה של .3n-1 ת סטנדרטיות הן מייצגות.הכניסות ואיזו מכפלות קנוניו

משתנים 3למשל עבור

I3 I2 I1 I0

m3 m2 m1 m0 X=0

m7 m6 m5 m4 X=1

.1מקבלת fונסמן בטבלה את המכפלות הקנוניות סטנדרטיות שעבורן

לכל כניסה של המרבב: 'x/ x/ 1/ 0לפי המסומן בטבלה נכניס .4

, בכל מקרה 1או 0הוא xלעובדה שכלשהי כל הטור מסומן, איו משמעות Iאם בכניסה .א

.1, ולכן נכניס לכניסה זו 1כששאר המשתנים מפנים לכניסה זו נרצה לקבל

, בכל 1או 0הוא xמסומן, איו משמעות לעובדה ש אינו כלשהי כל הטור Iאם בכניסה .ב

.0, ולכן נכניס לכניסה זו 0מקרה כששאר המשתנים מפנים לכניסה זו נרצה לקבל

, משמע שכששאר המשתנים מפנים X=0רק מכפלה אחת מסומנת בשורה Iאם בטור .ג

.'xולכן נכניס לכניסה זו 0ואחרת נרצה להחזיר 1נרצה להחזיר X=0לכניסה זו, אם

, משמע שכששאר המשתנים מפנים X=1רק מכפלה אחת מסומנת בשורה Iאם בטור .ד

.xולכן נכניס לכניסה זו 0 ואחרת נרצה להחזיר 1נרצה להחזיר X=1לכניסה זו, אם

MUX 4 *1

9

PLA 3*5*4

10

מעגלים סדרתיים

דלגלגים

RSדלגלג

עירור טבלת דלגלג טבלת

Qi+1 R S R S Qi+1 Qi

Qi 0 0 x 0 0 0

0 1 0 0 1 1 0

1 0 1 1 0 0 1

x 1 1 0 1 1 אסור

Dדלגלג

עירור טבלת דלגלג טבלת

Qi+1 D D Qi+1 Qi

0 0 0 0 0

1 1 1 1 0

0 0 1

1 1 1

Q

Q'

c

p

D

Q'

Q

c

p

R

S

11

JKדלגלג

עירור טבלת דלגלג טבלת

Qi+1 K J K J Qi+1 Qi

Qi 0 0 x 0 0 0

0 1 0 x 1 1 0

1 0 1 1 x 0 1

Qi' 1 1 0 x 1 1

Tדלגלג

עירור טבלת דלגלג טבלת

Qi+1 T D Qi+1 Qi

Qi 0 0 0 0

Qi' 1 1 1 0

1 0 1

0 1 1

Q

Q'

Q'

Q

c

p

K

J

cp

T

12

מעגל סדרתי: שלבי תכנון

נגדיר דרישות המעגל על ידי דיאגרמת מצבים. .1 נבנה טבלת מצבים של המעגל. .2

ננסה לצמצם את מספר המצבים. .3

נקבע את מספר הדלגלגים הדרוש. .4

נקבע את סוג הדלגלגים הדרושים )אם אין דרישה ספציפית(. .1

נקבל טבלאות עירור של המעגל מטבלת המצבים. .6

המעגל וכניסה של הדלגלגים בצורה מפושטת. נמצא את פונקצית היציאה של .7

נשרטט דיאגרמה לוגית של המעגל. .8

צמצום מצבים : נתונה טבלת מצבים של מערכת. צמצם את המצבים השקולים

מצב יציאה

הבא

מצב קלט

נוכחי

מצב יציאה

הבא

מצב xקלט

נוכחי

0 a 0 a 0 a 0 a

0 b 1 a 0 b 1 a

0 c 0 b 0 c 0 b

0 d 1 b 0 d 1 b

0 a 0 c 0 a 0 c

0 d 1 c 0 d 1 c

0 e 0 d 0 e 0 d

1 d 1 d 1 f 1 d

0 a 0 e 0 a 0 e

1 d 1 e 1 f 1 e

0 g 0 f

1 f 1 f

0 a 0 g

1 f 1 g

13

טבלת מצבים וערור עבור דוגמא מההרצאה:

מצב נוכחי כניסה מצב הבא כניסות הדלגלגים יציאה

Z RC SC RB SB RA SA C B A x C B A

0 0 x x 0 x 0 1 0 0 0 1 0 0 a

0 1 0 0 1 x 0 0 1 0 1 1 0 0

0 0 1 0 x x 0 1 1 0 0 0 1 0 b

0 x 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0

0 0 x 1 0 x 0 1 0 0 0 1 1 0 c

0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0

0 0 1 x 0 0 x 1 0 1 0 0 0 1 d

1 x 0 x 0 0 x 0 0 1 1 0 0 1

0 0 x x 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 e

1 1 0 x 0 0 x 0 0 1 1 1 0 1

RA 10 11 01 00 AB/CX SA 10 11 01 00 AB/CX

x x x 00 x x 00

x x 01 1 1 01

x x x x 11 x X x x 11

1 10 x x x 10

RA = CX' SA = BX

RB 10 11 01 00 AB/CX SB 10 11 01 00 AB/CX

x x 00 1 x x 00

1 1 1 01 x 01

x x x x 11 x X x x 11

x x x x 10 10

RB = BC +Bx SB = A'B'x

RC 10 11 01 00 AB/CX SC 10 11 01 00 AB/CX

1 x x 00 x x x 00

1 x 01 x 1 01

x x x x 11 x X x x 11

1 x 10 x 1 10

RC = X SC = x'