١

صغرى فى االنحدار الخطى البسیطلطریقة المربعات ا مقدمة فى

ادالت ك المع تخدم تل دار، تس ات باالنح ادالت لبیان ق مع ة لتوفی مى أي طریق تسل ى األق ین عل ات: لغرض وة العالق ى ق م عل ؤات والحك ل التنب رق . عم وألن ط

رى رات أخ ا بمتغی ر م ا متغی أثر بھ ي یت ة الت دنا بالكیفی دار تم بحت االنح ا أص فإنھھ ، ھ ، الفیزیائی ضروریة في معظم مجاالت الدراسة التي تشتمل على العلوم الحیوی

.الخ... العلوم االجتماعیة ، الصناعة ، اإلقتصاد ،الطب أساسیه مفاهیم )١-١( ر مى المتغی ة، یس ع الدراس ر موض ین متغی ة ب دار بالعالق ل االنح تم تحلی یھ

وواحد أو أكثر من متغیرات أخرى response variable التابع أو متغیر استجابة تقلة رات مس مى متغی ره independent variablesتس رات مفس أو متغیexplanatory variables تنبؤ تأو متغیراpredictor variables .

-أمثله سنوات 10أختار باحث تغذیھ أربعة نساء عشوائیا من كل شریحة عمریھ من .١

العمر دأ ب العمر 40تب ي ب ابع 79وتنتھ ر الت ان المتغی ة Yوك اس كتل و قی ھالمتغیر المستقل فكان العمر االعضلة، أم x.

ابع .٢ ر الت ان المتغی ھ ك ي مؤسسھ علمی ت ف ي دراسة أجری ف Y ب ھو الرواتدم ط ومتق توى متوس ن مس یات م ي الریاض احثین ف نویة لب آالف Y( الس ب

دوالرات ي ) ال ر عن النجاح ف م قیاسي یعب ت رق رات المستقلة فكان ا المتغی أمالحصول على دعم منحھ 1x عدد سنوات الخبرةو 2x.

ابع من المعلومات عن المتغیر الت ؤ ب ي التنب غالبا ما یستخدم تحلیل االنحدار ففى االنحدار البسیط یعتمد المتغیر التابع على . واحد أو أكثر من المتغیرات المستقلة

ى متغیرین مستقلین وفي االنحدار المتعدد یعتمد المتغیر التابع عل.متغیر مستقل واحدر ارة. أو أكث در اإلش هنــــا إن كلمـــة االنحـــدار اســــتخدمت ألول مـــرة بصــــیغتها وتج

اني السیرالحاضـرة مــن قبـل عــالم الوراثـة التون فرانسیس البریط Sir Francis)(كGaleton ان واحد من أول ث ك ة أو حی املوا مع موضوع دراس ذین تع احثین ال الب

رات ر من المتغی د درس. وصف متغیر واحد باالعتماد على واحد أو أكث التون فق كة واضحة وھي العالقة بین أطوال األبناء مقارنھ بأطوال آبائھم فالحظ وجود عالق

ائھم وال آب ط ألط و المتوس اء نح وال األبن ل أط ة یمیل. می ار القام اء قص ون فاآلبى اء متوسط أطوالھم أعل ائھم(إلنجاب أبن ي ). أطول من آب ا العكس صحیح ف بینم

ر أن. حالة اإلباء طوال القامة بشكل غیر اعتیادي أطوال لذلك فإن العالم كالتون ذك

٢

ا رأبناء آلباء طوال أو قصا دو وكأنھ د" تب نحو المتوسط (regress)أو تنحدر " ترتة ة االنح للمجموع رت كلم ذلك ظھ ذه regression.دار ول رت ھ د نش ة وق النتیج

ام ي ع یة ف وان 1885الدراس ت عن regression toward mediocrity in"، تحhereditary stature" .كلمة االنحدار قد طورت إلى المعنى الذي إنمن تلك البدایة ف

ات ل البیان ر م یشمل تحلی ین أو أكث ى اثن وي عل ي تحت دما یكون نالت رات عن المتغی .ھدف ھو اكتشاف طبیعة ھذه العالقة وبعد ذلك اعتمادھا في قضایا البحث العلميال

تابع ومتغیر مستقل متغیر بین العالقة )٢-١( Relation between dependent and independent variable

ابع ر ت ین متغی ة ب د دراسة العالق ر مستقل و Y عن د xمتغی یكون من المفی .التمییز بین العالقة الدالیة والعالقة اإلحصائیة

الدالیة العالقة )١-٢-١( Functional relation

دیر ا تق ون فیھ ي یك ات الت ات عن Yالعالق ن المعلوم ك م د وذل تسمى xوحی .الدالیةالعالقات

ة مضبوطة x ومتغیر مستقل Y العالقة الدالیة بین متغیر تابع :تعریف ل عالق تمثexact قیمة حیث Y التي تقدر تكون وحیده عندما تحدد قیمھ للمتغیرx.

أمثلة كھربائي یرتبط بعدد ساعات تأجیره رلموتو) بالدوالر (Yاإلیجار .١ x كما یأتي :

x32Y

٣

لكل ساعة إیجار 3 $قیمة ثابتة على الفاتورة و 2 $حیث مضافا . تمثل مبلغاده لإلیجار ة وحی الشكل الیوضح . وعلى ذلك ألي عدد من الساعات ھناك قیم ى الت

ة ط العالق x32Yخ أجیر ة لت الغ مدفوع ة مب اھدات لثالث ا المش 1,3,5وأیض .(5,17) ,(3,11) ,(1,5)النقاط على الرسم سوف تكون . ساعات على التوالي

تكون وحیده وكل المشاھدات تقع على خط x التي تقدر من Yوعلى ذلك قیمة

.العالقة ت -٢ رعةإذا كان ي الس زئ ھ ة لج ل a توإذا كان 0vاألولی ت التعجی و ثاب ھ

:تحسب من المعادلة التالیة (Y)فإن المسافة المقطوعة ) اإلسراع(2

0 ax21xvY

. تمثل الزمن xحیث دارھا -٣ ة مق ة ثابت مضافا 50إذا كانت قیمة التذكرة بالطائرة تحدد على أساس قیم

ت 0.10لھ مبلغا مقداره ر من المسافة المقطوعة وإذا كان Yدوالر لكل كیلو متین xھي قیمة التذكرة بالطائرة و ة ب إن العالق ھي عدد الكیلومترات المقطوعة ف

x , Y تحددھا المعادلة التالیة: x 1.050Y

:كم فإن قیمة التذكرة بالطائرة ھي 300فعندما تكون مسافة الرحلة ھي 803001.050Y

:قیمة التذكرة بالطائرة ھي فإنكم 1000مسافة الرحلة نوعندما تكو 15010001.050Y

٤

x 1.050Yالعالقة طخ التالىشكل الیوضح .

دن -٤ ن مع ة م واح المربع احة األل ھ Y) (cm2مس ول جانبی رتبط بط م x(ت ) سھ 2xYبعالقة دالی . الى شكلالیوضح ة وأیضا مشاھدات الت ى العالق منحن

.سم على التوالي 40 ,30 ,10 ,8ألربعة ألواح جوانبھا ھي

٥

العالقة اإلحصائیة) ٢-٢-١(

Statistical relation إفي ة، ف اب نكثیر من الدراسات التطبیقی ر الت ة المتغی د Y عقیم ة رال تق بقیم

ر المستقل ة خاصة للمتغی د . xوحیدة وذلك عندما تحدد قیم ال، عن ى سبیل المث فعلدراسة العالقة بین دخل األسرة وإنفاقھا على الطعام، فإننا نجد أسر لھا نفس مستوى

سبب الرئیسي لذلك ھو وجود عوامل أخرى الدخل تختلف في إنفاقھا على الطعام، ال ، مثل حجم األسرة ونظام المعیشة . الخ...غیر دخل األسرة تلعب دورا

ابع ر الت دیر المتغی ا تق ون فیھ ي یك ات الت ن Yالعالق ك م د وذل یس وحی ل .تسمى عالقات إحصائیة xالمعلومات عن المتغیر المستقل

ابع :تعریف ر مستقل Y العالقات اإلحصائیة بین متغیر ت ر xومتغی ة غی ل عالق تمثـ inexact relationمضبوطة ة ل دیر قیم ث تق دما Yحی دة عن ال تكون وحی

. x تحدد قیمة لـ

ة ا عالق رین بینھم رض متغی ائیة إ بف ھحص ن فإن ة م ة ثابت ة xلقیم ان القیم فر وائیة Yللمتغی ون عش وائي Yأن ي، أrandomسوف تك ر عش بیل . متغی ى س فعل

ل نالمثال إذا كا ر الطف ین عم ي (x)االھتمام بدراسة العالقة ب ردات الت م المف وحجره خمس سنوات (Y)یتعلمھا ل عم ار لطف ان حجم x=5وبفرض أننا أجرینا اختب ف

ر عشوائي ل متغی ار تمث ل إجراء االختب د ولكن .المفردات التي یتعلمھا الطفل قب بعا عد تسجیلاختبار طفل عمره خمس سنوات و ي تعلمھ ل الت د تكونفد الجم ثال ق م

ـ. 2000 اھدة ل ة المش ول أن القیم ة نق ذه الحال ي ھ ھ Yف ة بقیم ي x=5والمرتبط ھY=2000. ر ة إحصائیة، وبف ي األبحاث ضكمثال أخر لعالق ا تستخدم ف ادة م أن م

ا ل منھ وي ك ك في صنادیق تحت الحیویة والطبیة تشحن إلى المستخدمین جوا وذلث أ 1000 ت عشر شحنات، حی ا تناول م جمعھ ي ت ات الت ل عدد xنبوبة، والبیان تمث

Yیحول فیھا الصندوق من طائرة إلى أخرى خالل خط سیر الشحنة و المرات التي د وصولھامكسورة نبوبات التي وجدت عدد األ تمثل ان. عن ى ك ي الشحنة األول ففx=1 وy=16 ى الر ع عل د وعلى ذلك النقطة لھذه الشحنة توق ا ھو (1,16)سم عن كم

یتضح من . النقاط األخرى توقع على الرسم بنفس الشكل. التالى شكلالموضح في د الرسم أن عدد األنبوبات التي وجدت مكسورة دوصولھا عن ا زادت عدد تزی كلم

ى أخرىال ا . مرات التي یحول فیھا الصندوق من طائرة إل ذا االتجاه فإنن لوصف ھال ر خ تقیم یم ط مس یم خ كلنق س الش ي نف ح ف و موض ا ھ اط كم . ل النق ة إذا العالق

٦

ة ة من Yإحصائیة وذلك ألن قیم س القیم ف عن نف ا . xتختل ة اإلحصائیة ھن العالق .خطیة أي تتبع خط مستقیم

ة ة لدراسة فاعلی ي تجرب ر(اآلن ف یض استھالك ) جی ي تخف د ف ي جدی تجریبر 12 الجازولین في ذا الجی زة بھ ة مجھ ل خفیف ة نق ا عرب ي . محاولة استخدمت فیھ ف

ي (ة بتالثا ةلسرعاھو xھذه التجربة كان المتغیر المستقل ل ف ة ) الساعةبالمی لعربشكل االنتشار . ھنا ھو عدد األمیال المقطوعة لكل جالون Yاالختبار والمتغیر التابع

العالقة ھنا إحصائیة وعلى شكل حیث التالىشكل اللبیانات ھذه التجربة موضح في .منحنى

x

y

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

٧

: تتضح من المثالین السابقین خاصیتین للعالقة اإلحصائیة

ر المستقل Yیتجھ المتغیر التابع -١ ع المتغی ذي xللتغیر بنظام معین م وال .یوصف بالخطي أو بالمنحنى

ع -٢ ائیة یرج ة اإلحص ى للعالق ط أو المنحن ول الخ اھدات ح ار المش انتشتقل ر المس أثیر المتغی ر ت ل أخرى غی ى عوام ا إل ر xجزئی ى المتغی عل

.Yالتابع

طریقة المربعات الصغرىThe method of least squares

درة من بالرغم من وجود العدید من الطرق للحصول على معادلة االنحدار المقترجع ھذه الطریقة . أفضل ھذه الطرق ھي طریقة المربعات الصغرى فان نات البیا

. Carl Friedrich Gaussإلى عالم الریاضیات األلماني كارل فریدریكس جاوسوبما أن الخط المطلوب یكون ألغراض التنبؤ لذلك من المناسب أن یكون الخط من

نا بأخطاء التقدیر الفروق بین والمقصود ھ. الدقة بحیث تكون أخطاء التقدیر صغیرةاظرة iyالقیم المشاھدة یم المن واقي( iyوالق ى الخط المستقیم)الب أي أن أخطاء . عل

)n1,2,...,i, )y - yالتقدیر ھي ii . ١(أخطاء التقدیر موضحھ في شكل(a وشكل)١(b النقطة الواقعة . بأجزاء الخطوط الراسیة التي تصل بین النقاط والخط المستقیم

. موجب والنقطة الواقعة تحت الخط تعطي خطأ سالب) باقي(فوق الخط تعطي خطأ واحد من الطرق لتقلیل األخطاء ھو جعل

n

1iii yy ل أقل ما یمكن ، ولكن جع

x

y

18

22

26

30

34

38

42

46

32 38 44 50 56 62

٨

n

1iii yyداقل ما یم ي شكل. كن ال یعني الحصول على توفیق جی ة a)١(فف ثالث

أخطاء واحد موجب واآلخرین سالبین حیث 0yyn

1iii

في ھذه الحالة بتقلیل .

. الخطأ فإننا حصلنا على توفیق یبدو جید

)١(شكل

ل b)١(اآلن بالنظر إلى شكل فإن خط االنحدار أدى إلى جع 0yyn

1ii

ق ردئ ح أن التوفی ك یتض ن ذل الرغم م ارة . وب ال اإلش د إھم دث عن اذا یح اآلن موإیجاد الخط المقدر الذي یجعل

n

1iii yy أقل ما یمكن ؟ مرة أخرى لم نضمن أن

ي )a(یتضح أن الخط في ) ٢(في شكل. الخط یمثل أفضل توفیق أفضل من الخط ف)b ( بالرغم من أن الخط في)b (جعل

n

1iii yy أقل من)a(

٩

)٢(شكل

یة ة الریاض ي المعالج ف با یس مناس ة ل یم المطلق تخدام الق د أن اس ك نج ى ذل وعلولذلك فإن ھذه الصعوبة یمكن تالفیھا بأن نطلب أن یكون مجموع مربعات األخطاء

ان بقدر اإلمك ات . صغیرا ى أقصى حد مجموع مربع ل إل ي تقل ذه الت الم ھ یم المع قة نظر األخطاء تحدد ما یعرف بأفضل خط مستقیم یوف اط المشاھدة من جھ ق النق

ق . المربعات الصغرى ومما یجدر اإلشارة إلیھ أن طریقة المربعات الصغرى لتوفییم ت ق ا سواء كان اط یمكن تطبیقھ أو xخط مستقیم لمجموعھ من النق بقا حددت مس

ثالن ابع یم ر الت تقل والمتغی ر المس ان المتغی وائي، أي إذا ك ر عش یم لمتغی ل ق تمثرات ع وائیةمتغی ق . ش غرى إذا تحق ات الص ة المربع ق طریق ة تطب ذه الحال ي ھ وف

-:الشرطان التالیان ة .١ رات التابع رطیة للمتغی ات الش أن iYالتوزیع ا ب ل ixعلم اة تمث معط

i10توزیعات طبیعیة مستقلة لھا متوسط شرطي x 2وتباین شرطي.

الي iXالمتغیرات .٢ ھي متغیرات عشوائیة مستقلة وتوزیعھا االحتم ixg ال10یحتوي على المعالم

2 , , .

: اآلن سوف نوضح مفھوم المربعات الصغرى بالمثال التالي

مثال

أجریت تجربة لدراسة العالقة بین التسمید ومحصول الذرة، والبیانات التي تم .التالىجدول الالحصول علیھا معطاة في

١٠

xy 2x y x

ي اة ف ات المعط ار للبیان كل االنتش دول الش ابقج كل الس ي ش ح ف ). ٣(موض

تقترب من خط مستقیم وھذا " لیس بالضبط"أن النقاط عموما a)٣(یتضح في شكل ي"یجعلنا نقترح أن العالقة بین المتغیرین یمكن وصفھا ب أول ة خط " كتقری بمعادل

x156yالخط المقدر . مستقیم المسافات الراسیة أو. موضح على نفس الرسم . a)٣(للمشاھدات عن الخط المقدر موضحھ في شكل "deviations"االنحرافات

10y , 3.0xعلى سبیل المثال للحالة األولى حیث 11 :فان القیمة المقدرة ھي

6+15(0.3) =10.5 =1y

: واالنحراف الرأسي ھو

5.0yy 11

)٣(شكل

ق رداءة التوفی ر مؤشرا ل در تعتب ات الرأسیة عن الخط المق ادة االنحراف إن . زیك من مجموع ق للخط المستقیم وذل یس جودة التوفی ات الصغرى تق طریقة المربع

0.3 10 0.09 30.6 15 0.36 90.9 30 0.81 271.2 35 1.44 421.5 25 2.25 37.51.8 30 3.24 542.1 50 4.41 1052.4 45 5.76 108

385.518.3624010.8

١١

ات ات االنحراف 2مربعii )yy( . ات ات االنحراف وع مربع ز لمجم وف نرم س

: ھي SSEیمة فان ق a)٣(للخط الموفق في شكل . SSEبالرمز

. 4184245...15155.1010SSE 222

: وھو b)٣(أفضل خط مقدر ھو الموضح في شكل x16.2698 8.03571 y

:لھذا الخط المقدر فإن ناتج مجموع مربعات االنحرافات ھو

. 405.2990833.4745...7976.17159167.1210SSE 222

ي شكل إن الخط ف ات b)٣(في الحقیقة ف ل مجموع مربع ھ أق ذي ل ھو الخط الاھدات ة المش ن فئ درة م وط المق ل الخط ین ك ات ب ات . لالنحراف ة المربع إن طریق

. أقل ما یمكن SSEالصغرى تعتبر الطریقة التي تعطي أفضل خط مقدر بحیث أن وعلى ذلك

. x16.2698 8.03571 y

ث غرى حی ات الص ة المربع دار لطریق ط االنح و خ دیر (8.03571)ھ و تق ھ . 1ھو تقدیر للمعلمة (16.2698)و 0للمعلمة

دیرین ى التق ول عل غرى الحص ات الص ة المربع ب طریق 10تتطل b,b ك وذلات األخطاء ,10للمعلمتین ذین یجعالن مجموع مربع والي الل ى الت واقي(عل ) الب

SSE واقي، اقل ما یمكن ات الب ة الصغرى لمجموع مربع ان النھای ، أي اللذین یحقق :حیث یعرف مجموع مربعات البواقي كاآلتي

. xbby yye SSEn

1i

2i10i

n

1i

n

1i

2ii

2i

10بالنسبة لكل من SSEبإجراء التفاضل الجزئي لـ b,b نحصل على :

)٢ ( xbby2b

SSE n

1ii10i

0

)٣ ( . xxbby2b

SSEi

n

1ii10i

1

: بالصفر نحصل على ) ٢(بمساواة المعادلة

١٢

. 0xbbyn

1ii10i

: أي

)٤ ( . xbnbyn

1ii1

n

1i0i

:المعادلة نحصل على بالصفر وإعادة تنظیم ) ٣(وبمساواة المعادلة

)٥ ( . xbxbyxn

1i

2i1

n

1ii0

n

1iii

10یتم الحصول على التقدیرین b,b ٥(و) ٤(بحل المعادلتین الطبیعیتین( .آنیا

: ویمكن توضیح ذلك في المثال اآلتي

مثال

ا ین مصاریف اإلعالن لسلعة م ة ب م دراسة العالق x(000£)نفرض أنھ ت . التالىجدول الوالبیانات موضحة في Y(m£)والمبیعات للسلعة

x y 2x y x

10یمكن حساب قیمة السابقجدول الومن b,b كالتالي :

10 b1322b1578

100 9 10000 900105 8 11025 84090 5 8100 45080 2 6400 16080 4 6400 32085 6 7225 51087 4 7569 34892 7 8464 64490 6 8100 54095 7 9025 66593 5 8649 46585 5 7225 42585 4 7225 34070 3 4900 21085 3 7225 255

7072117532781322

١٣

.b117532b13227072 10

: نحصل على) في المعادلة الثانیة 0bمعامل ( 1322بضرب المعادلة األولى في

.b1747684b19830103116 10

: نحصل على ) في المعادلة األولى 0bمعامل( 15اآلن بضرب المعادلة الثانیة في

.b1762980b19830106080 10

ل ث معام ة حی ادالت اآلنی ن المع دینا زوج م ون ل ي 0bاآلن سوف یك د ف واح : 0bبطرح المعادلتین نحصل على معادلة ال تحتوي على الحد . االثنین

10 b1762980b19830106080

10 b1747684b19830103116

1b152962964

. 193776.0b1

ك إلیجاد 1bاآلن بعد الحصول على قیمة ى وذل ة األول نعوض عنھا في المعادل : 0bقیمة

1322193776.0b1578 0

1721.256b1578 0

0b151721.178

. 8781.11b0

:وعلى ذلك معادلة االنحدار المقدرة سوف تكون x19378.08781.11y

..أو بصورة بسیطة

.x19.09.11y

١٤

في . مع شكل االنتشار التالىشكل الوالموضحة بیانیا

ل درة بح دار المق ة االنح اب معادل ة حس ابق أن طریق ال الس ي المث ح ف یتضل ك یمكن إیجاد الصیغ الحسابیة لك ى ذل عملیة صعبة وعل المعادالت الطبیعیة آنیا

10من b,b ي ) ٤(بضرب المعادلة : كالتالي ) ٥(، )٤(طبیعیة من المعادالت ال ف

n

1iix ، في ) ٥(وضرب المعادلةn نحصل على :

)٦ ( ,xbxnbyx2n

1ii1

n

1ii0

n

1ii

n

1ii

)٧ ( .xnbxnbyxnn

1i

n

1i

2i1

n

1ii0ii

: نحصل على ) ٧(من المعادلة ) ٦(وبطرح المعادلة

2n

1i

n

1ii

2i1

n

1i

n

1i

n

1i

2n

1ii1

n

1i

2i1iiii

xxnb

xbxnbxyyxn

:وعلیھ فإن

)٨ (

. xx

)yy)(xx(

xxn

yxyxnb n

1i

2i

n

1iii

2n

1ii

n

1i

2i

n

1i

n

1i

n

1iiiii

1

:نحصل على nعلى ) ٤(وبقسمة طرفي المعادلة )٩ ( . xbyb 10

١٥

Yوالمتغیر التابع xیرمزان للوسط الحسابي للعینة للمتغیر المستقل y,xحیث والي ى الت دیرین. عل ك التق ى ذل 10وعل b,b اد ا بإیج ول علیھم ن الحص یمك

ات حول المتوسط االنحراف xx,yy ii ة م حساب الكمی ة ث لمشاھدات العین

n

1iii yy xxو

n

1i

2i xx ى) ٨(وبالتعویض عنھما في 1bنحصل عل

).٩(فنحصل علیھا من المعادلة 0bأما

ال ات المث ابقلبیان ة الس اب قیم وب حس اة المطل ة 1bوالمعط ن المعادل ) ٨(م .ثم إیجاد معادلة االنحدار المقدرة ) ٩(من المعادلة 0bوقیمة

الحل

. التالىجدول النحصل على السابقجدول المن

2xx yy xx yy xx y x 140.818 284.484 3.48444 66.1511 66.1511 9.81778 1.28444 14.9511 3.48444 47.1511 23.6844 9.81778 9.81778 328.818 9.81778

45.0933 47.2267

-0.373333 26.0267

9.76 -2.50667

1.36 6.96

1.49333 12.36

-0.973333 0.626667

3.76 39.8933 6.89333

3.8 2.8 -0.2 -3.2 -1.2 0.8 -1.2 1.8 0.8 1.8 -0.2 -0.2 -1.2 -2.2 -2.2

11.8667 16.8667 1.86667 -8.13333 -8.13333 -3.13333 -1.3333

3.866667 1.86667 6.86667 4.86667 -3.13333 -3.13333 -18.1333 -3.13333

9 8 5 2 4 6 4 7 6 7 5 5 4 3 3

100 105 90 80 80 85 87 92 90 95 93 85 85 70 85

1019.73 197.6 78 1322

: نحصل على السابقجدول المن

.20.51578

n

yy , 133.88

151322

n

xx

n

1ii

n

1ii

:االنحرافات عن متوسط المشاھدة األولى ھو . 8.320.59yy , 8667.11133.88100xx 11

١٦

االنحرافات للمشاھدات األخرى تحسب بنفس الطریقة المعطاة في العمود الثالث ن ار م ى الیس ع عل دول الوالراب ابقج اب .الس ة لحس یغ الالزم ب الص اآلن نحس

10 b,b:

, 6.971

2.213333.3...8.28667.168.38667.11yyxxn

1iii

n

1i

2222i . 73.10191333.3...8667.168667.11xx

: نحصل على ) ٩(،) ٨(اآلن بالتعویض عن تلك القیم في الصیغتین

.193776.073.10196.197

xx

yyxxb n

1i

2i

n

1iii

1

8781.11133.88193776.05.2 .xbyb 10

: ھي ,10وعلى ذلك تقدیرات المربعات الصغرى للمعلمتین .193776.0b , 8781.11b 10

:االنحدار المقدرة سوف تكونمعادلة . x193776.08781.11y

یغة ة للص ة مكافئ یغة جبری اك ص اب ) ٨(ھن ك لحس ى 1bوذل تمل عل التش :انحرافات حول المتوسط ومناسبة الستخدام اآللة الحاسبة وھي

)١٠ ( SXXSXYb1

:حیث

.n

yxyxSXY

, nxxSXX

iiii

2i2

i

١٧

الكمیة 2ix تسمى مجموع المربعات الغیر مصححةuncorrected sum of

squares یم و xلق n/x 2i ا یسمى رق بینھم حیح للمتوسط والف تسمى التص

یم حح لق ات المص وع المربع ث ixمجم n,...,2,1iحی ا ، أیض iiyx مى یسر المصحح و uncorrected sum of productsمجموع حاصل الضرب غی

n/yx ii حیح للمتوسطات وع حاصل . یسمى التص ا یسمى مجم رق بینھم الفiiلقیم corrected sum of productsالضرب المصحح y,x وn,...,2,1i .

ال ي بالمث اة ف اھدات المعط ابق للمش تخدام الس درة باس دار المق ة االنح د معادل أوج :سوف نحسب القیم التالیة. 0bلحساب ) ٩(والصیغة 1bلحساب ) ١٠(الصیغة

n

yxyxSXY ii

ii

, 6.197

157813227072

nxxSXX

2i2

i

, 73.1019

151322117532

2

.8781.111333.88193776.02.5xbyb

,193776.073.10196.197

SXXSXYb

10

1

ا نفس ) ٩(من المعادلة 0bو ) ١٠(من المعادلة 1bیتضح من حساب قیمة أنھ ولكن ) ٥(و) ٤( القیم التي تم الحصول علیھما باستخدام حل المعادالت في آنیا

. الطریقة األخیرة تعتبر األسھل

: تكون على الشكل التالي السابقوعلى ذلك معادلة االنحدار المقدرة للمثال

.x193776.08781.11y

١٨

دار ة انح مى معادل ى yوتس ق xعل دما ننف ك عن ى ذل ى £ 75000وعل علاأللف( x=75لك بوضع اإلعالن فإننا نرغب في التنبؤ بالمبیعات وذ ة ) ب ي معادل ف

:االنحدار أي أن

. 2656900 £6569.21938.0758781.11y

75000ماذا یعني ھذا التنبؤ ؟ من الواضح أن ھذا ال یعني أنة في كل مرة ننفق ات 2656900£ على اإلعالن سوف نبیع بالضبط £ دیر للمبیع ان التق ة ف في الحقیق

xعندما یتم إیجاد معادلة االنحدار المقدرة من القیم المشاھدة لـ . یمثل قیمة متوسطةثم نستخدم المعادلة المقدرة في حساب £ 105000و 70.000 £والتي تتراوح بین

ا ات قیمتھ اق إعالن ن إنف اتج م ات الن ان. 75000£مستوى المبیع ة ف ذه الحال ي ھ فالقیمة للمتغیر المستقل في ھذه الحالة تقع في مدى القیم المشاھدة وتسمى العملیة في

ین ع ب ة تق اذا (.placing between)او interpolation ھذه الحال السؤال اآلن م :£ 120000عن القیم المقدرة لمبیعات من إنفاق على اإلعالنات یساوي

. 11377900 1201938.08781.11y

ة . خارج مدى القیم المشاھدة xمة لـ ھنا استخدمنا قی ذه الحال تسمى العملیة في ھع خارج( دیرین یتعرضان . extrapolated)أو placing outside تق كال التق

لخطأ ولكن التقدیر الذي یقع خارج مدى القیم المشاھدة یكون أقل كفاءة من الذي یقع اھدة یم المش دى الق دى ا. داخل م ذا یرجع ألن داخل م ن ھ اھدة م یم المش ا xلق فإنن

أما خارج مدى المشاھدات ، نعرف سلوك البیانات وكیف یمكن توفیق الخط المستقیمفال نعرف سلوك البیانات وفي ھذه الحالة قد ال یكون الخط المستقیم توفیق جید لتلك

والذي یجعلنا نتخذ الحذر عند لتالىشكالالوالمثال على ذلك موضح في . xالقیم من . x ول على تقدیرات خارج المدى لقیم الحص

١٩

-y. yوالبواقي y والقیم التوفیقیة y القیم المشاھدة التالى جدولالیوضح

yy y y x

100 9 7.49948 1.50052105 8 8.46836 - 0.46835890 5 5.56172 - 0.56171580 2 3.62395 - 1.6239580 4 3.62395 0.37604685 6 4.59283 1.4071787 4 4.98039 - 0.98038792 7 5.94927 1.0507390 6 5.56172 0.43828595 7 6.5306 0.46940493 5 6.14304 - 1.1430485 5 4.59283 0.40716585 4 4.59283 - 0.59283570 3 1.68619 1.3138185 3 4.59283 - 1.59283

6.03961´ 10-1478781322