١

ن وائیة م ة عش رت عین ارھم 100اختی ط أعم ان متوس كر وك ریض بالس xم 55 sبانحراف معیاري 20 فترة ثقة للمتوسط %95أوجد.

ثقةال ات فتر

μفترة ثقة لمتوسط المجتمع μor Population Mean Confidence Interval f

ع إلیجاد فترة ة لمتوسط المجتم ع μثق ن مجتم ارة م ة مخت ك تحت فرض أن العین وذل

ت ذا الفرض إذا كان ق ھ دم تحق ة nطبیعي أو، عند ع رة بدرجة كافی ك ، كبی ى ذل ار وعل نختم ن الحج وائیة م ة عش ع nعین ن المجتم ھ م ذي تباین ة 2ال ط العین وم ونحسب متوس xمعل

1)وذلك للحصول على α)100% فترة ثقة على الشكل:

2 2

x z x z ,n n

حیث 2

z تمثل قیمةz التي تكون المساحة على یمینھا تساوي2 ، الموضحھ فى الشكل

.التالى والمستخرجھ من جدول التوزیع الطبیعى القیاسي

ث ع أن حی ة ، ال نتوق ر طبیعی ات غی ن مجتمع ارة م غیرة المخت وائیة الص ات العش للعینم . درجة ثقتنا تكون مضبوطة ن الحج ات م ع n< 30للعین وبصرف النظر عن شكل المجتم

. ن نظریة المعاینة تؤمن لنا نتائج جیدةفإذا σنفترض أن μفترة ثقة للمعلمة )α1(100%لحساب وافر ھ ا ال یت ن عموم ة ولك معلوم

n< بشرط أن sري للعینة باالنحراف المعیا σالفرض ، في ھذه الحالة یمكن االستعاضة عن 30.

)مثال

٢

nاختیرت عینة عشوائیة من الحجم 50 اس فحصلنا من إنتاج آلة ما لتعبئة األرز في أكیxعلى البیانات التالیة 4.80 كجم وs 0.6 فترة ثقة للمتوسط %95أوجد . كجم.

ارھم 100رت عینة عشوائیة من اختی ان متوسط أعم xمریض بالسكر وك 55 انحراف بsمعیاري 20 فترة ثقة للمتوسط %99أوجد .

:لــالحوحیث أن حجم العینة كبیر ، فإن االنحراف المعیاري x=55ھو μالتقدیر بنقطة للمعلمة

%95یتم الحصول على .s=20یمكن االستعاضة عنھ باالنحراف المعیاري للعینة σللمجتمع :من الصیغة التالیھ فترة ثقة

. ns

z+x<μ<ns

zx 025.0025.0

0.025التي على یمینھا مساحة قدرھا zفإن قیمة باستخدام جدول التوزیع الطبیعي القیاسي فترة ثقة سوف %95وعلى ذلك فإن . z.025=1.96ھي 0.975وعلى یسارھا مساحة قدرھا

:على الشكل تكون

.( )( ) ( )( )

100+55<μ<

1002096.1

552096.1

:والتي تختزل إلى

. 92.58<μ<08.51

مثال

:لــالحاري x=8.4ھو التقدیر بنقطة للمعلمة إن االنحراف المعی ر ، ف ة كبی م العین وحیث أن حج

ع ة σ للمجتم اري للعین االنحراف المعی ھ ب ة عن ن االستعاض s یمك 0.6 ى تم الحصول عل ی :من الصیغة التالیة فترة ثقة 95%

0.025 0.025s sx z x zn n

0.025قدرھا التي على یمینھا مساحة zفإن قیمة باستخدام جدول التوزیع الطبیعي القیاسي z.025=1.96ھي 0.975وعلى یسارھا مساحة قدرھا

:فترة ثقة سوف تكون على الشكل %95وعلى ذلك فإن

.( )( ) ( )( )

506.096.1

+8.4<μ<50

6.096.18.4

:والتي تختزل إلى4.63368 4.96631.

مثال

٣

دیره nیرغب صاحب مصنع في تقدیر حجم العینة ن أن تق م وال معق دا د تأك ھ التأك حتى یمكن بأك 0.95وباحتمال اري 5ثر من لن یكون مخطئا م أن االنحراف المعی وحدات معینة إذا عل

.أوجد حجم العینة التي تحقق الشروط التي وضعھا صاحب المصنع. وحدة 20یساوى

:لــالحو التقدیر بنقطة للمعلمة xھ 55 اري إن االنحراف المعی ر ، ف ة كبی م العین ث أن حج وحی

s یمكن االستعاضة عنھ باالنحراف المعیاري للعینة σللمجتمع 20 ى %95یتم الحصول عل :من الصیغة التالیة فترة ثقة

.0.025 0.025s sx z x zn n

0.005التي على یمینھا مساحة قدرھا zفإن قیمة توزیع الطبیعي القیاسي باستخدام جدول ال z.005=2. 575ھي 0.995وعلى یسارھا مساحة قدرھا

:فترة ثقة سوف تكون على الشكل %99وعلى ذلك فإن

.( )( ) ( )( )

10020575.2

+55<μ<100

20575.255

:والتي تختزل إلى .15.60<μ<85.49

1)فإن یكون لدینا كتقدیر للمعلمة xإذا استخدمت :یةنظر )100% ثقة أن

2

2z n

e

ألي μالصیغة السابقة تمكن المرء في تحدید مدي كبر العینة التي یحتاج إلیھا كي یقدر أما . معلومة σدرجة یرغبھا من درجات الدقة قبل أخذ أي عینة واحدة شریطة أن تكون قیمة

،كي یحصل على n< 30بد من أخذ عینة مبدئیة ، ، فال σإذا لم یكن المرء على علم بقیمة .الواجب nیمكن استخدامھ في الصیغة السابقة لتحدید مدي كبر σتقدیر للمعلمة مثال

:لــالح.0.025e 5 , = 20 , z 1.96.

. 21.96 20n 61

5

وم ر معل این غی في معظم األحیان یكون المطلوب تقدیر متوسط المجتمع عندما یكون التب

ن ل م ة أق م العین امال مح30 وحج الیف ع ون التك د تك ة، فق م العین كل . ددا لحج ان ش ا ك طالم

٤

ا(المجتمع دما تكون ) تقریب ة عن رات الثق ن حساب فت ھ یمك م 2σناقوسى فإن ة وحج ر معلوم غی العینة صغیر

.XT Sn

اد ة إیج 1)طریق )100% ة المتبع ھا الطریق ي نفس ة ھ ذه الحال ي ھ ة ف رة ثق ي فت ة ف

.بدال من التوزیع الطبیعي القیاسي tحالة العینات الكبیرة فیما عدا استخدام توزیع م ن الحج ة م ة خاص ط nلعین ب المتوس اري x، یحس راف المعی تم sواالنح وی

1)الحصول على )100% فترة ثقة كما یأتي:

.2 2

s sx t x tn n

حیث

2

t ھي قیمةt بدرجة حریة(n 1) ساوي والتي تكون المساحة على یمینھا ت

2α

ونظرا لخاصیة التماثل لتوزیع tالموضحھ فى الشكل التالى وتستخرج من جدول توزیع و

t فإن مساحة مساویة قدرھا2α

تقع على یسار القیمة 2αt - .

مثال

٥

نفرض إن مفتشا یرغب في إجراء مراجعة سریعة على وزن الخبز الذي ینتجھ احد المخابز ن ن إن 15ما فیأخذ عینة عشوائیة م ا م ز رغیف اج المخب ف .ت نفرض أن متوسط وزن الرغی

x 15.8 اج %95أوجد .رطل 0.3وأن االنحراف المعیاري ھو فترة ثقة لمتوسط وزن أنت .المخبز بأكملھ وذلك تحت فرض أن المجتمع تقریبا طبیعي

كل طوانیة الش ة أس ة قطع معدنی تج آل ا النات.تن ت أقطارھ ع قطع وكان ن تس ة م ذت عین ة أخ ج :يبالسنتیمتر كاآلت

1.01,0.97,1.03,1.04,0.99,0.98,0.99,1.01,1.03. اد وب إیج أن %95المطل ا ب ة مفترض ذه اآلل ع أنتجت بھ ن قط ط م ر المتوس ة للقط رة ثق فت

.المجتمع تقریبا طبیعیا

:لــالح

x:متوسط العینة واالنحراف المعیاري للبیانات المعطاة ھما 10.5 , s 2.881 . باستخدامn-1=6-1 5 حریةوذلك عند درجات t0.025 = 2.571فإن tجدول توزیع . وعلى ذلك

:ھي μفترة ثقة للمعلمة 95%

.6

)881.2)(571.2(+5.10<μ<

6)881.2)(571.2(

5.10

:التي تختزل إلى 7.476 13.524 .

مثال

:لــالحاة ات المعط اري للبیان ة واالنحراف المعی ط العین ا متوس x:ھم 15.8 , s 0.3 . تخدام باس

ھ t0.025 = 2.145فإن ) ٤(في ملحق tجدول توزیع د درجات حری 14وذلك عن . ى وعل :ھي فترة ثقة للمعلمة %95ذلك

.( )( ) ( )( )

153.0145.2

+8.15<μ<15

3.0145.28.15

:والتي تختزل إلى.97.15<μ<63.15

مثال

ع ذي استغرقھ تجمی 6في اختبار للزمن الذي یستغرقھ تجمیع ماكینة معینة وجد أن الزمن الوالي ى الت دقائق مق( 12 ,10 ,5 ,11 ,13 ,12: ماكینات ھو عل د ). اسھ بال رة %95أوج فت

) في ھذا المثال ( وذلك تحت فرض أن الزمن ثقة لمتوسط المجتمع طبیعیا .یتبع توزیعا

٦

:لــالحا اة ھم ات المعط اري للبیان راف المعی ة واالنح ط العین . s,006.1=x=025.0:متوس

ع إن tباستخدام جدول توزی ھ t0.025 = 2.306ف د درجات حری ك عن 8=وذل ك . ى ذل وعل :ھي فترة ثقة للمعلمة 95%

.( )( ) ( )( )

9025.0306.2

+006.1<μ<9

025.0306.2006.1

:والتي تختزل إلى.025.1<μ<987.0

21سطي مجتمعین فترة ثقة للفرق بین متو μμ Confidence Interval for the Difference Between two Populations Means

ھ متوسط این 1μإذا كان لدینا مجتمعان ، المجتمع األول ل 2وتب1σ ھ متوسط اني ل ع الث والمجتم

2μ این 2وتب2 . ة ة للمعلم دیر بنقط ى تق ول عل ك ، للحص ى ذل 21وعل ن د م ال ب

م ن الحج وائیة م ة عش ار عین م n1اختی ن الحج وائیة م ة عش ع األول وعین ن المجتم ن n2م مین ال رق ب ي وحساب الف 21متوسطین المجتمع الثاني ومستقلة عن العینة األول xx . بفرض

ك الفرض وافر ذل دم ت ة ع أن العینتین المستقلین تم اختیارھما من مجتمعین طبیعیین ، أو في حالن ن أو یساوي n2و n1، إذا كان كال م ر م ھ 30أكب ن إیجاد فإن 1)یمك )100% ة رة ثق فت

:كاآلتي 2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 2 1 21 2 1 22 2

(x x ) z (x x ) z .n n n n

للمجتمعات الغیر . جة الثقة تكون مضبوطة عندما تختار العینات من مجتمعات طبیعیةدر

تزید عن n2 , n1طبیعیة یمكن الحصول على فترات ثقة تقریبیة والتي تكون جیدة جدا عندما 2إذا كانت . 30

122 σ,σ استبدال مجھولتین والعینات المختارة كبیرة بدرجة كافیة ، فإنھ یمكن

21

22 σ,σ 2بـ

122 s,s على التوالي بدون التأثیر على فترة الثقة.

مثال

:لــالح

ى أعطى اخ ادة اإلحصاء إل ي م ار ف ة و 75تب 50طالب ا ن . طالب اط م ان متوسط النق إذا ك فات ة الطالب 1xعین 80 اري انحراف معی 1s ب 7 . ة ة الطلب اط لعین ط النق ان متوس وك

2x 70 2بانحراف معیاريs 6 . 1فترة ثقة لـ %95أوجد 2 .

٧

ـ دیر بنقطة ل 21التق μμ و 21 10=70-80=ھ xx . ن ث أن كال م ھ n1 , n2وحی رة فإن كبی

تخدام ن اس ن s1=7یمك دال م ن s2=6و 1σب دال م تخدام . 2σب إن α=05.0باس ف

0.025z 1.96 ـ %95وبالتعویض في . وذلك من جدول التوزیع الطبیعي ة ل رة ثق 21فت μμ :التالیة

2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 2 1 21 2 1 22 2

(x x ) z (x x ) z .n n n n

:فترة ثقة على الشكل %95نحصل على

.506

+757

96.110<μμ<506

+757

96.11022

21

22

:أو

.297.12<μμ<703.7 21

مثال

:الحــل0.6=s,80=x,50=n 111

5.6=s,5.77=x,50=n 222 1إلیجاد فترة ثقة لـ 2 1سوف نستخدم التقدیر بنقطة 2x x 80 77.5 2.5 وحیث

2n 1أن كال من , n 0.6فإنھ یمكن استخدام) 30أكبر من (كبیرة=s1 1بدال منσو2s 6.5 2بدال منσ. 0.05باستخدام 0.025فإنz 1.96ك من جدول التوزیع وذل

1فترة ثقة لـ %95بالتعویض في الطبیعي القیاسي 2 التالیة:

.2 21 2

1 21 22

(x x ) zn n

:فترة ثقة على الشكل %95نحصل على

.505.6

+50

0.696.1+5.2<μμ<

505.6

+50

0.696.15.2

22

21

22

ل ن قب تج م ي تن وط الت ن الخی وعین م د لن وة الش ة ق نع بدراس ین المص د مھندس ف أح كلارھم تحت ظرو 50أخذت عینات تضم كل منھم .المصنع ف متشابھة أشارت قطعة وتم اختب

وع ن ن اري 80 ھي Aالنتائج بأن متوسط مقاومة الشد للخیط م و جرام وانحراف معی كیلوط ماكیلو جرام بین 6.0 ن الخی اني م وع الث داره B الن ھ متوسط مق ان ل و جرام 77.5فك كیل

ین %95أوجد .كیلو جرام 6.5وانحراف معیاري ین متوسطي المجتمع رق ب ة للف ،فترة ثق .تحت فرض أن المجتمعین یتبعان التوزیع الطبیعي وذلك

٨

ن ى م ب ، األول ذاء 13اختیرت مجموعتان من األران ت الغ وأعطی ا ن Aأرنب ة م والثانی وأعطیت الغذاء 15 :ترة معینة ھي وكانت الزیادة في الوزن بعد ف Bأرنبا

A: 35, 30, 30, 23, 21, 12, 24, 23, 33, 27, 29, 25, 21. B: 20, 17, 34, 31, 29, 39, 30, 46, 7, 21, 33, 43, 21, 34, 20.

ین %95أوجد ك تحت فرض أن المجتمع ین ، وذل ین متوسطي المجتمع فترة ثقة للفرق ب یتبعان التوزیع الطبیعي حیث 2 تقریبا 2

1 2 .

:والتي تختزل إلى.1 20.048 4.952

1) الیجاد )100% 1فترة ثقة لـ 2 2تستخدم الطریقة السابقة إذا كان 22 1 ,

فسوف تستخدم إذا كانت أحجام العینات صغیرة ، . معلومتان أو یمكن تقدیرھما من عینات كبیرة تتبع للحصول على فترات ثقة والتي تكون صحیحة عندما تكون المجتمصیغة اخرى عات تقریبا

.التوزیع الطبیعي2بفرض أن 2 2

1 2 2فإنھ یمكن استخدامps 2كتقدیر للتباین العامσ . حیث:

2 22 1 1 2 2p

1 2

(n 1)s (n 1)ss n n 2

من مجتمعین طبیعیین فإن یتم اختیارھما n2 , n1ألي عینتین عشوائیتین مستقلتین من الحجم 1الفرق بین متوسطي العینتین ، 2x x 2، والتباین العام للعینة

ps یتم حسابھما واستخدامھما1)في إیجاد )100% 1فترة ثقة لـ 2 على الشكل:

1 2 p 1 2 1 2 p1 2 1 22 2

1 1 1 1(x x ) t s (x x ) t s .n n n n

مثال

:لــالح ,05.6=s,62.25=x,13=n 111 ,58.10=s,33.28=x,15=n 222

21إلیجاد فترة ثقة لـ μμ 2.71-=28.33-25.62=سوف نستخدم التقدیر بنقطة 21 xx .

2 التباین العام ps :ھو

2 2 2 22 1 1 2 2p

1 2

(n 1)s (n 1)s (12)(6.05) (14)(10.58)s 77.1669.n n 2 13 15 2

٩

=.025باستخدام . sp=8.784لجذر التربیعي للتباین العام فإن بأخذ ا2α فإنt.025=2.056

26 = 2– 15 + 13عند درجات حریة tتستخرج من جدول توزیع . بالتعویض في :الصیغة التالیة

1 2 p 1 21 22

1 1(x x )t sn n

1 2 p1 22

1 1(x x )t s ,n n

1فترة ثقة لـ %95فإن 2 ھي:

: إلىوالتي یمكن اختزالھا -4.133 < 21 μμ <9.553.

1تفترض الطریقة السابقة للحصول على فترات ثقة لـ 2 أن المجتمعین طبیعیین2وأن 2

1 2 . 2یمكن الحصول على نتائج جیدة إذا كانت أیضا 21 2 تحت شرط وذلك

1أن المجتمعین طبیعیین و 2n n .

مثال

:لــالح

21 فإن A : الشركة 1n 10, 13.7, s 3.16x 22 فإن B :وللشركة 2n 10, 18.4, s 3.6x

اد رة ث %95إلیج ـفت ة ل 1ق 2 ة دیر بنقط تخدم التق وف نس س

1 2x x 13.7 18.4 4.7 2والتباین العامps ھو:

.151

+131

)784.8)(056.2(+71.2

<μμ<151

+131

)784.8)(056.2(71.2 21

ابالت الم ان الك ات عینت ي بیان ا یل ة فیم ائن معین ار مك ة لقطع غی ن شركتین منتج أخوذة مدد ع وع ب القط ق طل ي تحقی ركة ف ل ش تغرقھا ك ي تس ام الت دد األی ات ع من البیان وتتض

الكابالت في عشرة Aشركة : 19,14,18,13,10,12,14,11,16,10

B شركة : 21,20,19,13,14,18,15,19,25,20د طي %95أوج ین متوس رق ب ة للف رة ثق ین مجتمالفت رض أن المجتمع ك تحت ف ین وذل ع

2تقریبا یتبعان التوزیع الطبیعي حیث 21 2 .

١٠

. 2 22 22 1 1 2 2

p1 2

9 3.16 9 3.6(n 1)s (n 1)ss 11.4921.n n 2 10 10 2

psبأخذالجذرالتربیعي للتباین العام فإن 3.39 025.0وباستخدام=2α

t=101.2فإن 025.0

10عند درجات حریة tنستخرج من جدول التوزیع 10 2 18 :بالتعویض في الصیغة التالیة

1 2 p1 22

1 1(x x ) t s ,n n 1 2 p 1 2

1 22

1 1(x x ) t sn n

1 فترة ثقة لـ %95 فإن 2 ھي:

( )( ) ( )( )101

+101

39.3101.2+)7.4(<μμ<101

+101

39.3101.2)7.4( 21

:لھا إلىوالتي یمكن اختزا.1 27.8852 1.5148

مثالین ي كلیت ین األجور ف رق ب ن Bو Aفي دراسة لتقدیر الف ة عشوائیة م 1n أ أخذت عین 25

تاذ ة أس ن الكلی الل Aم ر خ ط األج د أن متوس و 9ووج ھور ھ انحراف 10000ش دوالر بن الحجم كما أخذت عینة . دوالر 1100معیاري 2nعشوائیة أخرى م 20 ة ن الكلی أستاذ م

B الل ر خ ط األج د أن متوس ھور 9ووج اري 13000ش انحراف معی . دوالر 1120دوالر بد ـ %95أوج ة ل رة ثق 1فت 2 رض ت ف 2أن تح 2

1 2 ن ا م م اختیارھم ین ت وأن العینت .وزیعین طبیعیینت

:لــالح1100=s,10000=x,25=n 111 1120=s,13000=x,20=n 222

1فترة ثقة لـ 95% 2 تحسب من الصیغة التالیة:

1 2 p 1 2 1 2 p1 2 1 22 2

1 1 1 1(x x ) t s (x x ) t s ,n n n n

1 2( ) 10000 13000 3000,x x

١١

.2 2

2 1 1 2 2p

1 2

(n 1)s (n 1)ssn n 2

.( )( ) ( )( )

605.1229618=43

112019+110024=

22

.88.1108=sp

=025.0باستخدام 2α

0.025tفإن 2.021 . نستخرج من جدول التوزیعt ة عند درجات حری

43=ν 43وبما أن=ν د ى ذل ν=40غیر موجودة فسوف نأخذھا عن رة %95ك وعل فت1ثقة لـ 2 ھي:

1 21 1 1 13000 2.021 1108.88 3000 2.021 1108.8825 20 25 20

:والتي تختزل إلى1 23672.313 2327.6861

اد ي إیج ة ف د الرغب ـ )α1(100%اآلن وعن ة ل رة ثق 21فت μμ ات ة العین ي حال ف

2الصغیرة عندما تكون 21 2 إن یةوعند صعوبة الحصول على عینات ذات أحجام متساو ف

:تحسب من الصیغة التالیة رجات الحریة د

1n

)ns

(+

1n

)ns

(

ns

+ns

=ν

2

2

1

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

ما تكون عدد صحیح ، فإننا نقربھا νوبما أن یمكن الحصول . أقرب رقم صحیح إلىنادرا1فترة ثقة لـ على 2 كالتالي:

2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 2 1 21 2 1 22 2

s s s s(x x ) t (x x ) tn n n n

مثال

%100)α1(

ة 20خالل ي المنطق ا خالل شھر Aسنة ماضیة كان متوسط سقوط المطر ف ي قطر م فایر اري 1.8ین انحراف معی ة ب ة 0.4بوص ي . بوص ر ف قوط المط ط س ان متوس ا ك بینم

انحراف 1.03سنة ماضیة 15لقطر خالل من نفس ا Bالمنطقة . بوصة 0.25بوصة ب1فترة ثقة لـ %95أوجد 2 ین ن مجتمع أخوذة م ردات م وذلك تحت فرض أن المف

2طبیعیین حیث 21 2 .

١٢

:لــالحs,8.1=x,20=n=4.0, فإن Aلمنطقة ل 111

s,03.1=x,15=n=25.0, فإن Bللمنطقة و 222 ك ى ذل ـ %95وعل ة ل رة ثق 1فت 2 ث 2حی 2

1 2 1و 2n n ا ول علیھ ن الحص یمك :كاآلتي

1n

)ns

(+

1n

)ns

(

ns

+ns

=ν

2

2

1

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

.32≈11.32=

141525.

+19204.

1525.

+204.

= 2222

222

ك ى ذل xx=03.18.1=77.0وعل رض أن 21 ت ف دول α=05.0وتح ن الج إن وم فt0.025 = 2.042 32بدرجات حریة .ي الصیغة التالیة وبالتعویض ف:

212

22

1

21

2α21 μμ<

ns

+ns

t)xx(

.ns

+ns

t+)xx(<2

22

1

21

2α21

:كالتالي ) تقریبیة ( فترة ثقة %95یمكن إیجاد

.1525.

+204.

042.2+77.0<μμ<1525.

+204.

042.277.022

21

22

:والتي تختزل إلى

0.545 < 21 μμ < 0.995 .

١٣

مثال

رار اذ ق یارات اتخ أجیر الس اول شركة لت ن ولحتح ة شراء إطارات م أطاراتأو A ماركث استخدمت ماركتینلتقدیر الفرق بین ال. لسیارتھم B ماركة ة حی ن تإطارا 10أجرت تجرب م

ىثم Bإطارات من ماركة A , 8 ماركةكل ت جربت اإلطارات حت ف وكان ى التل وصولھا إل يالنتائج كاآلت

A :1ماركة 1x 38.5 , s 4 B :2ماركة 2x 36.0 , s 5

1فترة ثقة لـ %95 مطلوب إیجاد ال 2 حیث بافتراض أن المفردات مأخوذة من مجتمعین2 21 2

:لــالح

,4=s,5.38=x,10=n 111 2 2 2n 8, x 36.0, s 5,

ك ى ذل ـ %95وعل ة ل رة ثق 1فت 2 ث 2حی 21 2 1و 2n n ا ول علیھ ن الحص یمك

:بدرجة حریة تحسب كاآلتي tباالعتماد على توزیع

1n

)ns

(+

1n

)ns

(

ns

+ns

=ν

2

2

1

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

22 2

2 22 2

4 510 8 16.81 13.2 13

0.2844 0.6944 5( ) ( )10 8

9 7

ك ى ذل xــx=0.365.38=5.2وعل ن α=05.0وتحت فرض أن 21 إوم = t0.025ن ف13بدرجات حریة 2.16 . وبالتعویض في الصیغة التالیة:

١٤

.ns

+ns

t+)xx(<2

22

1

21

2α21 21

2

22

1

21

2α21 μμ<

ns

+ns

t)xx(

:ي كالتال) تقریبیة ( فترة ثقة %95یمكن إیجاد

.1 216 25 16 25(3.85 36) 2.16 (3.85 36) 2.1610 8 10 8

:والتي تختزل إلى 1 22.1952 7.1952

ین ون العینت سوف نناقش في ھذا البند طریقة تقدیر الفرق بین متوسطین عندما تك وأخیرا

تقلین ر مس م . غی ا ث راءات لمفرداتھ ى ق ة واحدة ونحصل عل دما تأخذ عین ال عن ى سبیل المث فعلراءتین نضع ھذه العی ة مجموعتي الق ا ، وبمقارن راءات أخري لھ ذ ق ود ونأخ ؤثر ونع ة تحت م ن

ؤثر ذا العامل أو الم أثیر ھ أثیر . لنفس المفردات یمكننا استنتاج ت ة ت د معرف ا نری ثال أنن لنفرض مدم لكل 10دواء على قراءات ضغط الدم المرتفع وأخذنا لذلك عینة من ا ضغط ال وقرأن شخصا

راءات مرة منھما ثم أعطین ذ الق دنا أخ ع وأع دم المرتف ى ضغط ال أثیر عل ھ ت ا كل شخص دواء لرى زدوجتین . أخ ین م تقلین أو عینت ر مس ین غی ام عینت ا أم ول أنن ة نق ذه الحال ي ھ pairedف

samples .ون وف تك اھدات س )yx(),...,yx(),yx( أزواج المش nn2211 روق الفو ألزواج yx(=d),...,yx(=d),yx(=d( نالمشاھدات سوف تك nnn222111 ذه ھ

ع . Dالفروق تمثل قیم للمتغیر العشوائي دیر بنقطة لمتوسط المجتم 21Dالتق μμ=μ یعطىة dمن ي العین روق ف ا أن . والذي یساوى متوسط الف ة لإلحصاء dوبم ل قیم ا أن Dتمث كم

2 التباین للفروق ھوds حیث:

n 2in2 2 i 1

d ii 1

( d )1s dn 1 n

:من الصیغة التالیة Dلـ فترة ثقة )α1(100%لحصول على یمكن ا

ن ازواج المشاھدات و م nھما المتوسط واالنحراف المعیاري للفروق لعدد sdو dحیث

2αt ھي قیمة لتوزیعt بدرجات حریةn 1 والتي تكون المساحة على یمینھا تساوى

2α

.tوالمستخرجة من جدول توزیع

مثال

d dD

2 2

s sd t d tn n

١٥

تالمیذ من إحدى المدارس ودونت أوزانھم ثم أعطي كل منھم 10ئیة من أخذت عینة عشوا وذلك لمدة ثالثة شھور متتالیة وآخر ظھرا من اللبن صباحا ثم دونت أوزانھم فكانت . كوبا

:كاآلتى النتائج

D فترة ثقة للفرق الحقیقى %99المطلوب إیجاد 1 2 .

ل ــالح2التباین . d=7.1ھو Dμالتقدیر بنقطة لـ

ds لفروق العینة ھو:

344.3=10

)17(59

91

=2

2وبأخذ الجذر التربیعي للمقدار

ds فإنds 1.829. 01.0باستخدام=α إن 005t.ف 3.25 ع ن جدول توزی ة tوالمستخرجة م د درجات حری ي الصیغة . 1n=ν=9عن التعویض ف وب

:التالیة

.n

st+d<μ<

ns

td d

2αD

d

2α

:فترة ثقة كالتالي %99نحصل على

.D(1.829) (1.829)1.7 (3.25) 1.7 (3.25)

10 10

:والتي تختزل الى - 3.58 < Dμ < 0.18.

مثال

Bاو اطارات ماركة Aتحاول شركة سیارات أجراء اتخاذ قرار حول شراء اطارات ماركة ى نفس لسیاراتھم لتقدیر الفروق بین الماركتین أھتم الباحث بتجریب اطار كل ماركة تجاریة عل

سیارات لھذا الفرق والمسافات التالیة بوحدة االلف كیلو 9سیارة االجرة وقد اخذت عینة من %95طبیعیا والمطلوب إیجاد متر ثم تسجیلھا مفترض بإن الفروق بین المسافات تتبع توزیعا

Dفترة ثقة لـ 1 2 .

n)dΣ(

d1n

1=s

2i2

i2d

∑

الوزن قبل تعاطى اللبن 129 124 126 139 133 136 139 135 137 140

الوزن بعد تعاطي اللبن 141 138 140 141 134 136 140 129 126 130

سیارة أجرة 9 8 7 6 5 4 3 2 1

١٦

:الحــل2التباین . d=8.4ھو Dالتقدیر بنقطة لـ

ds لفروق العینة ھو: 2

2 2 iid

1 ( d )s dn 1 n

. 275.61 2412.42 222.17258 9

دار ي للمق ذر التربیع ذ الج 2وبأخds إن تخدا. =sd 14.905 ف 0.05 م باس =α إن ف

t0.025=2.306 والمستخرجة من جدول توزیعt 1=8عند درجات حریةn=ν . :وبالتعویض في الصیغة التالیة

.n

st+d<μ<

ns

td d

2αD

d

2α

:فترة ثقة كالتالي %95نحصل على

.9

)905.14()306.2(+8.4<μ<

9)905.14(

)306.2(8.4 D

: إلىتي تختزل وال-3.0569 < D <19.8569.

مثال

شركة تنتج مقیاسین للمقاومة الكھربائیة ورغبت الشركة في معرفة كفاءة الجھازین في القیاس نماذج من األسالك الكھربائیة وتم قیاس مقاومتھم باالوم بالمقیاسین وتم الحصول 10أخذت

ds: الیةعلى النتائج الت 0.037 , d 0.018 Dفترة ثقة للفرق الحقیقى %95المطلوب إیجاد 1 2 .

: الحــل

s=037.0 واالنحراف المعیاري لفروق العینة ھو .d=0.018ھو Dالتقدیر بنقطة لـ d إن α= 0.05 باستخدام ع t0.025=2.262 ف ن جدول توزی ي tوالمستخرجة م د درجات ف عن

nحریة 1 9 . وبالتعویض في الصیغة التالیة:

.n

st+d<μ<

ns

td d

2αD

d

2α

:فترة ثقة كالتالي %95نحصل على

Aماركة 33.5 31.5 38.9 36.4 47.8 31.1 73.7 46.8 36.4

Bماركة 32.5 30.1 38.1 32.8 48.4 32 36.7 45.5 4.4

١٧

.10

)037.0()262.2(+0.018<μ<

10)037.0(

)262.2(0.018 D

:لتي تختزل الى وا -0.00847 < D < 0.04447.

onfidence Interval for ProportionC فترة ثقة للنسبة

دیرأن الخامس أوضحنا في الفصل ي مجال اإلحص x التق وب ف ا المطل یس دائم ي . اءل ففل نسبة المصابین ا مث بعض األحیان یكون االھتمام بمعرفة نسبة وجود صفة معینة في مجتمع م

ذا ابة وھك ات المص بة النبات نان أو نس وس األس ة . بتس بة العین إن نس ك ، ف ى ذل xpوعلn

ة د . pسوف تستخدم كتقدیر بنقطة للمعلم ا لقواع ا ذكرن Cochranتبع ي الفصل كم الخامس ا ف

ة بة العین ب نس نحسnx

=p ى ول عل تم الحص 1)وی ) 100% ة ة للمعلم رة ثق ن pفت م

:الصیغة التالیة

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆpq pqˆ ˆp z p p zn n

مثال

:لــالح=2.0ھو pالتقدیر بنقطة للمعلمة

20040

=p .ع الطبیعي باستخدام جدول ال إن توزی =z0.025ف

:بالتعویض في الصیغة التالیة 1.96

.nqp

z+p<p<nqp

zp2α

2α

:فترة ثقة كالتالي %95یمكن الحصول على

200)8.0)(2.0(

96.1+2.0<p<200

)8.0)(2.0(96.12.0

: إلىوالتي یمكن اختزالھا

0.145 < p < 0.255 . در pفترة الثقة ، فإن )α1(100%عند مركز pإذا وقعت دون أخطاء pسوف تق . ب

وال ، م األح ي معظ اوي pف ین pال تس رق ب اك ف ون ھن ك یك ى ذل ل pو pوعل ذي یمث وال

ي ي المصنع ف ئول ف ودة ویرغب المس ن الج ة م ة عالی ى درج تج عل اج من وم مصنع بإنت یقة ن . تقدیر نسبة الوحدات المنتجة التالف ة عشوائیة م رت عین إذا اختی د أن 200ف وحدة ووج

.pفترة ثقة للمعلمة %95وحدة تالفة ، أوجد 40بینھم

١٨

ة pھذا الخطأ یصل الى أقصاه عندما تكون . الخطأ ك .قریبة من إحدى حدي الثق ى ذل pوعل

بقیمة أقل من pسوف تختلف عن nqp

z2α التالى شكل الكما یتضح من.

دیر بنق pإذا استخدمت : نظریة ة كتق دینا pطة للمعلم ھ یكون ل ة )α1(100%فإن ثق

:عندما یحسب حجم العینة من الصیغة التالیة eأن الخطأ سوف یكون أقل من قیمة معینة

.2

2

2α

e

qpz=n

ث أن ار pوحی ن اختی د م ذلك الب ة ، ل ن عین در م د أن تق ابقة ال ب ي الصیغة الس ة ف ة مبدئی عین .منھا pكبیرة وحساب نسبة العینة

مثال

:لــالح

ة ) أ( و pالتقدیر بنقطة للمعلم =54.0ھ500270

=nx

=p . ع الطبیعي باستخدام جدول التوزی

:وبالتعویض في الصیغة التالیة z0.025 = 1.96فإن القیاسي

.nqp

z+p<p<nqp

zp2α

2α

:فترة ثقة كالتالي %95یمكن الحصول على

500)46.0)(54.0(

96.1+54.0<p<500

)46.0)(54.0(96.154.0

:والتي تختزل إلى

نھم 500في عینة عشوائیة من د م ون 270مواطن في مجتمع سكاني ما ، وج یحب ا مواطن :المطلوب . أن یضاف الى میاھم قلیل من الفلور

.فترة ثقة لنسبة المجتمع الذین یحبذون إضافة الفلور %95إیجاد ) أ( .0.05من أن الخطأ ال یتجاوز %95باحتمال تقدیر حجم العینة التي یمكننا التأكد منھا ) ب(

١٩

طالب یمكنھم الجري لمدة میل في 400طالب من 240في مباراة ریاضیة للجرى وجد أن .pفترة ثقة للنسبة %95أوجد . دقائق 7أقل من

0.496 < p < 0.584. 0.54=یمثلون عینة عشوائیة مبدئیة حیث أن 500باعتبار األشخاص الذین عددھم ) ب( p

:فإن ) ٤-٦( وباستخدام نظریة

70.381=)05.0(

)46.0)(54.0()96.1(=n 2

2

.382≈

مثال

: الحــل.240=x,400=n

.0.025x 240ˆ ˆ ˆp .6, q 1 p .4 , z 1.96n 400

:كالتالي pفترة ثقة للمعلمة %95یمكن الحصول على

.( )( ) ( )( )

4004.06.0

96.1+6.0<p<400

4.06.096.16.0

:والتي تختزل إلى. 648.0<p<552.0

Confidence Interval for the ین نسبتینفترة ثقة للفرق ب

e Between Two ProportionsDifferenc

ـ ة ل دیر بنقط ى تق ول عل 21للحص pp م ن الحج تقلتین م وائیتین مس ین عش ار عینت وف تخت س

12 n,n ، وحساب النسبة للصفة موضع الدراسة في كل عینة2

22

1

11 n

x=p,

nx

=p حیث ،x2 ,

x1 واليیمثالن عدد المفردات ا ى الت ین عل ي العینت ام ف ذین یملكون الصفة موضع االھتم تم . ل ی21حساب الفرق pp ..

1)وبالتالي یمكن الحصول على ) 100% فترة ثقة للفرق بین نسبتین كالتالي :

)pp(<nqp

+nqp

z)pp( 212

22

1

11

2α21

٢٠

5000من الرجال و 2000في عینة من ا یومی ا تلیفزیونی ا من النساء الذین یشاھدن برنامجامج 2300من الرجال و 1100وجد أن ذا البرن ن النساء یفضلون ھ د . م رة %95أوج فت

ذین اء ال ن النس ل م بة ك ال ونس ن الرج ل م بة ك ین نس رق ب ة للف امج ثق ذا البرن اھدون ھ یش . ویفضلونھ

.nqp

+nqp

z+)pp(<2

22

1

11

2α21

مثال

:ل ــالح21بفرض أن pp النسبتین الحقیقتین وعلى ذلك

.55.0=20001100

=p,46.0=50002300

=p 12

ـ ة ل دیر بنقط ك التق ى ذل 21وعل pp و 21 09.=0.46 – 0.55=ھ pp. دول تخدام ج باس :لتعویض في الصیغة التالیة وبا z0.025 = 1.96فإن التوزیع الطبیعي القیاسي

212

22

1

11

2α21 pp<

nqp

+nqp

z)pp(

.nqp

+nqp

z+)pp(<2

22

1

11

2α21

:فإن

21 pp<5000

)54.0)(46.0(+

2000)45.0)(55.0(

96.109.0

,5000

)54.0)(46.0(+

2000)45.0)(55.0(

96.1+09.0<

:والتي تختزل الى 0.0642 < 21 pp < 0.1158.

تلكن غسالة بمجف د ان في دراسة لنسبة ربات البیوت الالتي یم ن 55ف وج ي 100م سیدة فة ف Aالمدین الة بمجف تلكن غس ة ، یم ي المدین ا ف د ان Bبینم ن 45وج تلكن 150م یدة یم س

.غسالة بمخفف1فترة ثقة لـ %95أوجد 2P P

الحــل

٢١

, 55=x,100=n 11 , 45=x,150=n 22

, 45.0=55.01=p1=q,55.0=10055

=nx

=p 111

11

, 7.0=3.01=p1=q,3.0=15045

=nx

=p 222

22

, 1 2 0.025ˆ ˆp p 0.55 0.3 0.25 , z 1.96

1فترة ثقة للمعلمة %95یمكن الحصول على 2p p كالتالي:

212

22

1

11

2α21 pp<

nqp

+nqp

z)pp( .nqp

+nqp

z+)pp(<2

22

1

11

2α21

21وعلى ذلك فترة ثقة لـ pp ھي:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )150

7.03.0+

10045.055.0

96.1+25.0<pp<150

7.03.0+

10045.055.0

96.125.0 21

:والتي تختزل إلى1 20.128 p p 0.372

ثال م

. مرة 49مرة وأصاب على الھدف 54مرة أصاب أحمد 100في رمي السھام على ھدف 1فترة ثقة لـ %95أوجد 2P P

:الحــل 1 2 0.025ˆ ˆp 0.45, p 0.49 , z 1.96

21فترة ثقة لـ %95 وعلى ذلك pp ي الیمكن الحصول علیھا كالت :

1 2

0.54 0.46 0.49 0.51 0.54 0.46 0.49 0.51.05 1.96 p p .05 1.96

100 100 100 100

:والتي تختزل إلى1 20.08835 p p 0.18835

Confidence Interval for the Variance فترة ثقة للتباین

یحسب ویمكن الحصول على s2، فإن تباین العینة nوائیة خاصة من الحجم لعینة عش %100)α1( 2فترة ثقة للمعلمةσ من الصیغة التالیة :

٢٢

م د وت تسلم أحد التجار كمیة كبیرة من بطاریات السیارات المنتجة بواسطة مصنع جدیا ت أعمارھ ا فكان اختیار عینة عشوائیة من البطاریات التي تسلمھا التاجر وتمت تجربتھ

:بالشھر ھي 26.9 28.5 33.6 28.0 23.9 28.7 29.3 29.1 35.9 35.2

فترة ثقة للمعلمة %99أوجد 2σ

2 22

2 21

2 2

(n 1)s (n 1)s

ث 2حی

2 2و

12 ع ان لتوزی ا قیمت درجات حری 2ھم n ةب 1 ین ي یم احة عل ى المس والت

2

2 تساوى

2 2على یمین ، والمساحة

12 1تساوى

2

ى الشكل الى كما ھو موضح ف الت

:

مثال

لــالح :وھو s2أوال نحصل على تباین العینة

n 2 2in2 2 i 1

ii 1

( x )1s xn 1 n

٢٣

.53.14=10

)1.299(87.9076

91

=2

:فإن 1n=ν=9بدرجات حریة 2باستخدام جدول توزیع 587.23=χ,735.1=χ 22

005.0995.0 :صیغة التالیة بالتعویض في ال

2

2α

1

22

2

2α

2

χs)1n(

<σ<χ

s)1n(

:یمكن الحصول على فترة ثقة كالتالي

735.1)53.14)(9(

<σ<587.23

)53.14)(9( 2

والتي یمكن اختزالھا الى 5.544 < 2σ < 75.372.

مثال

:الحــل :وھو s2أوال نحصل على تباین العینة

n 2 2in2 2 i 1

ii 1

( x )1s xn 1 n

.8095.5=]7

)36(220[

61

=2

:فإن 1n=ν=6بدرجات حریة 2باستخدام جدول توزیع .0.995 0.005

2 2.676 , 18.548 :بالتعویض في الصیغة التالیة

.2

2α

1

22

2

2α

2

χs)1n(

<σ<χ

s)1n(

:یمكن الحصول على فترة ثقة كالتالي 2(6)(5.8095) (6)(5.8095)

18.548 0.676

م nبفرض أن لدینا عینة عشوائیة من الحج 7 داتھا ھي یم وح 2,3,7,5,9,6,4وأن قفترة ثقة للمعلمة %99أوجد . والمختار من مجتمع طبیعي

2σ.

٢٤

ع ادة اإلحصاء یتب ي م ات ف ات بإحدى الجامع إذا كانت درجات كل من الطالب والطالب طبیعیا ت . توزیعا ات فكان ین الطالب ن ب ین الطالب وأخرى م ن ب ة عشوائیة م اختیر عین

:ي درجاتھم كما یل الطالب: 81 44 69 83 88 49 73 79 59

الطالبات: 89 79 69 82 59 49 79 742فترة ثقة للنسبة %90أوجد 2

1 2/ .

:إلىوالتي یمكن اختزالھا 1.879 < 2 < 51.5636

فترة ثقة لنسبة تباینینConfidence Interval for the Ratio of two variances

ین ، ایني مجتمع بة تب ة لنس دیر بنقط 2التق2

21 σ/σ ن النس ھ م ول علی ن الحص بة ، ، یمك

22

21 s/s ، ث حی

2

1 2 1 212

f ( , ) , f ( , ) ع ان لتوزی ا قیمت ة Fھم درجات حری 21ب ν,ν

1التالى مع العلم أن شكل الكما یتضح من (على التوالي 21 1 222

1f ( , )f ( , )

م 12ألي عینتین عشوائیتین مستقلتین من الحج n,n ، ین ین طبیعی ن مجتمع أخوذتین م م

بة إن النس 2ف2

21 s/s ى ول عل تم الحص ة )α1(100%تحسب وی رة ثق ـ فت ل

2122

یغة ن الص م

: التالیة

.2 1

1 2 22

2 2 21 1 1

( , )2 2 2( , )2 2 2

s 1 s ffs s

مثال

٢٥

:لــالح

.07.13=s,8=n,57.15=s,9=n 2211 f.05(7,8)=3.5 , f.05(8,7) = 3.73 المستخرجتان من جدول توزیعF بدرجات حریة

7=ν,8=ν ν,7=ν=8للعینة األولي ودرجات حریة 21 یمكن . للعینة الثانیة 212فترة ثقة للنسبة %90الحصول على

221 σ/σ التالیة وذلك بالتعویض في الصیغة.

.2 1

1 2 22

2 2 21 1 1

( , )2 2 2( , )2 2 2

s 1 s ffs s

:أي أن

.2 2 2

12 2 2

2

(15.57) (15.57 )(3.5)(13.07) (3.73) (13.07)

:والتي تختزل إلى 2122

0.3805 4.967.

مثال

:الحــل .2.194=s,10=n,9.77=s,6=n 2211

f.05(9,5) = 4.77 , f.05(5,9) = 3.48 المستخرجتان من جدول توزیعF بدرجات حریة9=ν,5=ν 1ودرجات حریة للعینة األولي 21 29 , 5 یمكن للعینة الثانیة

2فترة ثقة للنسبة %90الحصول على 2

21 σ/σ وذلك بالتعویض في الصیغة التالیة:

.)ν,ν(22

21

22

21

)ν,ν(22

21

122α

212α

fss

<σσ

<f

1ss

:أي أن

.22 21

2 2 22

(77.9) (77.9) (4.77)(194.2) (3.48) (194.2)

:والتي تختزل إلى

ا ة حجمھ ذت عین 1nأخ 6 اري ا المعی 1sوانحرافھ 77.9 ة ي وعین ع طبیع ن مجتم م2nاخرى مستقلةعن حجمھا 10 اري ا المعی 2sوانحرافھ 194.2 ن ع طبیعى م مجتم

2فترة ثقة لـ %90 أوجد. ایضا 21 2/ .

٢٦

.2122

0.046 0.7675