Алгебра логики.
description
Transcript of Алгебра логики.
Алгебра логики.
ЛогикаЛогика – это наука о формах и
способах мышления. Основные формы мышления – понятие, высказывание,умозаключение.
Алгебра логикиАлгебра логики появилась в середине
XIX века в трудах английского математика Джорджа Буля. Он начал решать логические задачи алгебраическими методами.
Алгебра логики — это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания.
Логические высказывания Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.
Логические высказывания Истинным будет высказывание, в
котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей.
Ложным будет высказывание, если оно противоречит реальной действительности.
Например:«3х3 = 9» - истинное высказывание. «Борак Обама– студент КБК 6» - ложное.
Логические высказывания Не всякое предложение является
логическим высказыванием. -Пример: 6- четное число следует считать высказыванием, т.к. оно истинное
-Пример: Рим – столица Франции
Тоже высказывание, только ложное.
Логические высказывания -Пример: Заходите завтра не является логическим высказыванием
Приведите примеры истинных, ложных логических высказываний и примеры, не являющиеся логическими высказываниями
Простые и составные высказывания
Логические высказывания делятся на простые (элементарные) и составные.
Составные высказывания получаются из простых с помощью логических связок «и», «или», «не», «если, то», «тогда и только тогда» и др.
Простые и составные высказывания
Пример: «Петров - врач» , «Петров - шахматист».
При помощи связки «и» получаем составное высказывание «Петров – врач и шахматист»
При помощи связки «не» получаем составное высказывание «Петров – не врач»
Логические переменныеВ алгебре логики суждениям (простым высказываниям) ставятся в соответствие логические переменные, обозначаемые прописными буквами латинского алфавита.
Логические переменныеПример: А=«Петров - врач» В= «Петров - пожарный». Тогда С= А или В С=«Петров – врач или пожарный» D= А и не В D=«Петров – врач и не пожарный»
Логические переменныеЛогические переменные могут принимать только два значения 1 и 0.
Если высказывание, определяющее логическую переменную – истинно, то переменная равна 1, если ложно, то 0.
Логические переменныеА = «Два умножить на два равно четырем».
В = «Два умножить на два равно пяти».
В нашем случае первое высказывание истинно (А = 1), а второе ложно (В = 0).
Логические операцииВ алгебре логики над высказываниями можно производить определенные логические операции и записывать логические формулы, в результате которых получаются новые, составные высказывания.
Операция конъюнкцииЛогическая связка ИОбозначение &, ^, •F = A ^ B В языках программирования and;Название: Логическое умножение.Значение функции F истинно тогда и только тогда, когда истинны и А и В.
Операция конъюнкцииТаблица истинности для операции логического умножения
A B F=A^B0 0 00 1 01 0 01 1 1
Операция дизъюнкцииЛогическая связка ИЛИОбозначение vF = A v B В языках программирования or;Название: Логическое сложение.Значение функции F ложно тогда и только тогда, когда ложны и А и В.
Операция дизъюнкцииТаблица истинности для операции логического сложения
A B F=AvB0 0 00 1 11 0 11 1 1
Операция инверсииЛогическая связка НЕОбозначениеF = AНазвание: Логическое отрицание.Значение функции F ложно, когда А истинно, и истинно, когда А ложно.
Операция инверсииТаблица истинности для операции логического отрицания
A F=A0 11 0
Операция импликацииЛогическая связка ЕСЛИ, ТООбозначение F = A B Название: Логическое следование.Значение функции F ложно тогда и только тогда, когда А – истинно, а В - ложно.
Операция импликацииТаблица истинности для операции логического следования
A B F=AB0 0 10 1 11 0 01 1 1
Операция эквивалентностьЛогическая связка ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДАОбозначение F = A B Название: Логическое тождество.Значение функции F истинно тогда и только тогда, когда ложны А и В оба истинны или А и В оба ложны.
Операция ЭКВИВАЛЕНТНОСТИТаблица истинности
A B F=AB0 0 10 1 01 0 01 1 1
Таблица истинностиРешать логические формулы удобно при помощи таблицы истинности.Таблица истинности логической формулы выражает соответствие между всевозможными наборами значений переменных и значениями формулы.
Таблица истинностиАлгоритм построения таблицы истинности
1. Количество строк в таблице = 2N, где N – количество переменных.
2. Количество столбцов = количество переменных + количество логических операций.
Таблица истинностиАлгоритм построения таблицы
истинности3. Установить последовательность выполнения логических операций.
4.Построить таблицу, указывая названия столбцов и возможные наборы значений исходных логических переменных.
5. Заполнить таблицу 1 и 0.
Порядок выполнения логических операций
Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками.
Но для уменьшения числа скобок договорились о приоритетах.
1.отрицание2.умножение3.сложение4.следование
Пример
X Y Y F=X ^ Y
0 0 1 00 1 0 01 0 1 11 1 0 0
построить таблицу истинности для выражения F=X ^ Y
Пример построить таблицу истинности для выражения F= ^
x x v yy
Пример построить таблицу истинности для выражения F=
yx z
^
^ ^z
Пример построить таблицу истинности для выражения CBAF
A B С0 0 0 0 1 1 10 0 1 0 1 0 10 1 0 1 0 1 10 1 1 1 0 0 01 0 0 1 0 1 11 0 1 1 0 0 01 1 0 1 0 1 11 1 1 1 0 0 0
AvB BA C CBA
Пример построить таблицу истинности для выражения F=
yx z
^
^ ^z
Самостоятельно построить таблицы истинности для выражений
CBAF
BAF
CDAF
DAF
A B неА неВ 3*4 не5
0 0 1 1 1 0
0 1 1 0 0 1
1 0 0 1 0 1
1 1 0 0 0 1
A D Не А 2+3 Не 4
0 0 1 1 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 1 0 1 0
A B C Не B 4*3 Не 5 1*6
0 0 0 1 0 1 00 0 1 1 1 0 00 1 0 0 0 1 00 1 1 0 0 1 01 0 0 1 0 1 11 0 1 1 1 0 01 1 0 0 0 1 11 1 1 0 0 1 1
A D C Не A
Не D 4+5 Не 6 7+3
0 0 0 1 1 1 0 00 0 1 1 1 1 0 10 1 0 1 0 1 0 00 1 1 1 0 1 0 11 0 0 0 1 1 0 01 0 1 0 1 1 0 11 1 0 0 0 0 1 11 1 1 0 0 0 1 1