第九章 正弦稳态电路的分析 第九章 正弦稳态电路的分析

内容： 阻抗和导纳及其串、并联

电路的相量图 正弦稳态电路的分析 正弦稳态电路的功率（包括复功率）

串联和并联谐振电路

9. 1 阻抗和导纳9. 1 阻抗和导纳1. 阻抗和导纳

正弦激励下，稳定状态时，端口电压和电流同频率I

ZU+

-

无源线性

I

U+

-

XRφZI

UZ j||

复阻抗|Z|

R

X

阻抗三角形

iu 单位：

I

UZ 阻抗模

阻抗角

电阻

电抗

复导纳 Y

)'( '||j ui ΨΨφφYBGUIY

|Y|

G

B

导纳三角形ZY

YZ

1 ,

1对同一二端网络 :

2. R 、 L 、 C 元件的阻抗和导纳

（ 1 ） R ： GRYRZ RR 1,

（ 2 ） L ：L

jLj

Y,LjZ LL

11

（ 3 ） C ： CjYCjC

jZ CC

,11

单位：S

导纳模

导纳角

电导 电纳

感抗 XL

容纳 B

C

感纳 BL= L

1

容抗 XC=C

1

9. 2 阻抗（导纳）的串联和并联9. 2 阻抗（导纳）的串联和并联1. 串联

由 KVL ：

CLR

. U

. U

. U

. U

I)]XX(jR[

I)]C

L(jR[

CL

1

IjXR )(

.

I j LR

+

-

+

-

+ -.

U

LU.

CU.

Cωj

1

jXRC

jLjRZ

1

jXRC

jLjRZ

1

neq ZZZZ 21n,,,k,U

Z

ZU

.

eq

k.

k 21

R 、 L 、 C 串联电路的性质：

Z=R+j(L-1/C)=|Z|∠

（（（ L > 1/C 时， X>0 ， >0 ，电路为感性，电压领先电流；

（（（ L<1/C 时 ， X<0 ， <0 ，电路为容性，电压落后电流；

（（（ L=1/C 时 ， X=0 ， =0 ，电路为电阻性，电压与 电流同相。

2. 并联由 KCL ：

CLR IIII. . . .

.

I

j L.

U

LI.

CI.

Cωj

1R

+

-

RI.

. j

. j

. UCU

LUG

1

. jj UC

LG )

1(

. j( UBBG CL )[

. j UBG )(

jBG

CjL

jGY

1

jBG

CjL

jGY

1

neq YYYY 21n,,,k,I

Y

YI

.

eq

k.

k 21

R 、 L 、 C 并联电路的性质：

Y=G+j(C-1/L)=|Y|∠

（（（ C > 1/L 时， B>0 ， >0 ，电路为容性，电流领先电压；

（（（ C<1/L 时 ， B<0 ， <0 ，电路为感性，电流落后电压；

（（（ C=1/L 时 ， B=0 ， =0 ，电路为电阻性，电压与 电流同相。

例：已知 Z1=10+j6.28, Z2=20-j31.9 , Z3=15+j15.7 。

ZZZZZZ

ZZ 321

213ab

Z1Z2

Z3

a

b

求 Zab 。

9.312028.610)9.3120)(28.610(

21

21

jjjj

ZZ

ZZZ

o

oo

5.4045.39

61.5765.3713.3281.11

86.289.10 j

Ω j

jjo

ab

6.359.3156.1889.25

86.289.107.15153

ZZZ

9. 3 电路的相量图9. 3 电路的相量图

作用：直观显示各相量之间的关系，用来辅助电路的分析和

做法：并联时，以电压相量为参考，确定各并联支路的电流

作图依据：平行四边形法则

计算。

相量与电压相量之间的夹角；串联时，以电流相量为参考，确定有关电压相量与电流相量之间的夹角。

例 . L

C

R

u

uL

uC

i

+

-

+

-

+ -已知： R=15, L=0.3mH, C=0.2F,

. Hz103 ),60sin(25 4 ftωu

求 i, uR , uL , uC .

解： 其相量模型为.

I j LR

+

-

+

-

+ -.

U

LU.

CU.

Cωj

1

V

605

U

CLRZ

1jj

Ωjjj 5.56103.01032 34 L

Ωjπ

j1

j 5.26102.01032

164

C

5.265.5615 jj Ω o4.6354.33

A oo

o

4.3149.04.6354.33

605

Z

UI

则 A ω o )4.3(sin2149.0 ti

UL=8.42>U=5 ，分电压大于总电压。

U

LUCU

IRU

-3.4°

相量图

V oo

4.3235.24.3149.015

IRU R

V j ooo

4.8642.84.3149.0905.56

ILU L

V C

1j ooo

4.9395.34.3149.0905.26

IU C

V o )4.3sin(2235.2 tωuR

V o )6.86sin(242.8 tωuL

V o )4.93sin(295.3 tωuC

并联：选电压为参考向量 (C < 1/L ， <0 )

2222 )( CLGBG IIIIII

U

GI.

LI.

I

'

CI.

0u

RLC 并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象RLC 并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象

CLG IIII

.

I

j L.

U

LI.

CI.

Cωj

1R

+

-

RI.

9. 4 正弦稳态电路的分析9. 4 正弦稳态电路的分析

电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较：

GuiRiu

u

i

:

0 :KVL

0 :KCL

:

或元件约束关系

电阻电路

:

0 :KVL

0 :KCL

:

UYI

IZU

U

I

或

元件约束关系

正弦电路相量分析

可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广应用于正弦稳态的相量分析中。

例 1: 已知 :

,/314,100

,10,500,10,1000 21

sradVU

FCmHLRR

求 : 各支路电流。

Z1Z2

R2+

_ L

i1

i2

i3

R1

C

u UR2+

_

R1

1I2I

3IC

j

1

Lj

解：画出电路的相量模型

13.28911.923.7245.303

7.175.1049

901047.318

47.3181000

)47.318(10001

)1( 3

1

1

1

j

j

j

CjRCjR

Z

1571022 jLjRZ

Z1Z2U

R2+

_

R1

1I2I

3IC

j

1

Lj

3.5299.166

13.13211.102

1571013.28911.92 21

j

jj

ZZZ

AZ

UI

3.526.0

3.5299.166

01001

Aj

I

CjR

CjI

20181.03.526.0

7.175.1049

47.3181

1

1

1

2

AI

CjR

RI

7057.03.526.0

7.175.1049

10001 1

1

13

Ati )3.52314sin(26.01

AZ

UI

3.526.0

3.5299.166

01001

Aj

I

CjR

CjI

20181.03.526.0

7.175.1049

47.3181

1

1

1

2

AI

CjR

RI

7057.03.526.0

7.175.1049

10001 1

1

13

Ati )20314sin(2181.02

Ati )70314sin(257.03

瞬时值表达式为：

解毕！

列写电路的回路电流方程和节点电压方程例 2.

解：

+_ su

siL R1

R2

R3R4

C SI

+_

R1

R2

R3R4

Lj

cj1

SU

1I

2I

4I3I

回路法 :

SUIRILjRILjRR 3221121 )()(

0)()( 33112431 IRILjRILjRRR

01

)1

( 42312332 IC

jIRIRIC

jRR

SII 4

SI

+_

R1

R2

R3R4

Lj

cj1

SU1nU

2nU

3nU节点法 :

Sn UU 1

011

)111

( 33

12

2321

nnn U

RU

RU

RRLjR

Snnn IUCjUR

UCjRR

123

343

1)

11(

.

45 , 30 30j , A904

3

21o

S

I

ZZZZI

求：

已知：ΩΩ

Ω

方法一：电源变换

15153030

)30(30// 31 j

j

jZZ

解：

例 3.Z2

SI Z1 ZZ3

I

S31 )//( IZZ

Z2

Z1Z3

Z

I

+

-

ZZZZZZI

I

231

31

//)//(S

45301515

)1515(4

jjjj

o

o

36.9-5455.657

A o9.8113.1

方法二：戴维宁等效变换

V4586.84

)//(o

310

ZZIU S

Z0

Z0

U

I

+

-

Z2

SI Z1 Z3 0U

求开路电压： 求等效电阻：

Ωj 4515

// 2310

ZZZZ

A9.8113.1454515

4586.84 o

0

0

jZZU

I

例 4. 用叠加定理计算电流 2

IZ2

SI

Z1

Z3

2I

S

U

+

-

. Ω ,Ω

A, V, oo

oS

o

S

30503050

0445100:

331

ZZZ

IU已知

解： :)( )1( SS

短路单独作用

UI

Z2

SI

Z1

Z3

'2I 32

3S2

'

ZZ

ZII

oo

oo

30503050

305004

A3031.2350

30200 o

o

Z2Z1

Z3

''2I

S

U

+

-

:)( )2( SS

开路单独作用

IU

.. I I I oo

''' 135155130312222

A135155.1350

45100 o

o

j0.817)0.817(j1.155)(2

A.. j0.3381.183 o915231

32

S 2

'' ZZ

UI

:)( )1( SS

短路单独作用

UI

'I2 A. o30312

已知平衡电桥 Z1=R1 , Z2=R2 , Z3=R3+jL3 。

求： Zx=Rx+jLx 。由平衡条件： Z1 Z3= Z2 Zx 得

R1(R3+jL3)=R2(Rx+j Lx)

∴ Rx=R1R3 /R2 , Lx=L3 R1/R2

例 5.

解：Z1 Z2

Zx Z3

* |Z1|1 •|Z3|3 = |Z2|2 •|Zx|x

|Z1| |Z3| = |Z2| |Zx|

1 +3 = 2 +x

已知： Z=10+j50, Z1=400+j1000 （

?90o1 相位差和等于多少时，问： SUIβ

11111S )1( IZIβZIZIZU

例 6.

解：

I

1

I1

Iβ

Z

Z1

+

_S

U.90 ,

o

11

相位差为实部为零

，关系：和分析：找出

转

转

Z

IZUUI SS

)10005050(j10410)1( 11

S ββZZβI

U

41 010410 ββ ，令

.90 1000j o

1

S 故电流领先电压I

U

已知： U=115V , U1=55.4V , U2=80V ,

R1=32, f=50Hz

求： 线圈的电阻 R2 和电感 L2 。

画相量图进行定性分析。

例 7.

解：

R1

R2

L2

+

_

1U

U 2U

+

_

+ _

I

1U

2LU

I2RU

2U

U

cos2 2122

21

2 UUUUU

A73.132/4.55/ 11 RUI

22121 LR UUUUUU

1.1154237.0cos 9.641802

H133.0)2/(

8.41sin ||

6.19cos ||

2.4673.1/80/||

2

222

222

22

fXL

θZX

ZR

IUZ

π

Ω

Ω

Ω

H133.0)2/(

8.41sin ||

6.19cos ||

2.4673.1/80/||

2

222

222

22

fXL

θZX

ZR

IUZ

π

Ω

Ω

Ω

VUU L 45.729.64sin80sin 222

VUU R 9.339.64cos80cos 222

6.1973.19.3322 IUR R

HL

IUL L

133.031488.41

88.4173.145.722

用相量图分析

oo 0~180 为移相角，移相范围θ

例 8. 移相桥电路。当 R2 由 0时， ?ab

如何变化

U

解： 1U U

CU

CI

CU

CI

; ,2

1 , , ab2 相位改变不变改变当由相量图可知 UUR

当 R2=0 ，（（ R2，（

º ºa b

1U

2U CU

CI

R2R1

R1

+

_U

abU

+

-+

-

+

-

2RU

2U

2RU2RU

12

2

2121 2

UUU

UUU

UUU,UUU

Rab

CR

abU

abU

9. 5 正弦稳态电路的功率9. 5 正弦稳态电路的功率

无源一端口网络吸收的功率 ( u, i 关联 )

iu ΨΨφiuφ

φtωIti

tωUtu

)sin(2)(

sin2)(

的相位差和为

1. 瞬时功率 (instantaneous power)

tωφUItωφUI

φtωφUI

φtωItωUuitp

2sinsin)2cos1(cos

)]2cos([cos

)sin(2sin2)(

无源

+u

i

_

两种分解方法。

第一种分解方法：

tO

UIcos (1-cos2 t)

- UIsin sin2 t

第二种分解方法：

p 有时为正 , 有时为负；

p>0, 电路吸收功率： p<0 ，电路发出功率；

UIcos (1-cos2 t) 为不可逆分量。

UIsin sin2 t 为可逆分量。

t i

O

u

p

UIcos

- UIcos(2 t )

)]2cos([cos )( φtφUItp

tUItφUItp 2sinsin)2cos1(cos)(

瞬时功率实用意义不大，也不便于测量。一般讨论所说的功率指一个周期平均值。

2. 平均功率 (average power)P ：—有功功率

T

tpT

P0

d1

=u-i ：功率因数角。对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。

cos ：功率因数。用 λ 表示

P 的单位： W （瓦）

T

ttUIUIT 0

d)]cos(cos[1

φUI cos

一般地 , 有 0cos1

X>0, >0 , 感性， 滞后功率因数X<0, <0 , 容性， 超前功率因数

例： cos=0.5 ( 滞后 ) ， 则 =60o ( 电压领先电流 60o) 。

cos 1, 纯电阻0 ， 纯电抗

平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有功功率。表示电路实际消耗的功率，它不仅与电压电流有效值有关，而且与 cos 有关，这是交流和直流的很大区别 , 主要由于电压、电流存在相位差。

4. 视在功率 ( 表观功率 )S

反映电气设备的容量。

3. 无功功率 (reactive power) Q

φUIQ sindef

表示交换功率的最大值，单位： var (乏 )。

Q>0 ，表示网络吸收无功功率；Q<0 ，表示网络发出无功功率。

Q 的大小反映网络与外电路交换功率的大小。是由储能元件 L 、 C 的性质决定的

)( VA : def

伏安单位UIS

5. R 、 L 、 C 元件的有功功率和无功功率

u

i

R+

-

PR =UIcos =UIcos0 =UI=I2R=U2/R

QR =UIsin =UIsin0 =0

对电阻， u, i 同相，故 Q=0 ，即电阻只吸收( 消耗 ) 功率，不发出功率。

i

u L+

-

PL=UIcos =UIcos90 =0

QL =UIsin =UIsin90 =UI=LI2=U2/(L)

对电感， u 领先 i 90°, 故 PL=0 ，即电感不消耗功率。由于 QL>0 ，故电感吸收无功功率。

i

u C+

-

PC=UIcos =Uicos(-90)=0

QC =UIsin =UIsin (-90)= -UI

=-I2/(C)=-CU2

对电容， i 领先 u 90°, 故 PC=0 ，即电容不消耗功率。由于 QC<0 ，故电容发出无功功率。

L

C

R

u

uL

uC

i

+

-

+

-

+ -

6. RLC 串联电路的有功功率和无功功率

)R

Xarctan()

CL(jRZ

1

22 RIcosI|Z|cosUIP

CL QQ

I)C

L(sinI|Z|sinUIQ

22 1

22 QPS

例 . 三表法测线圈参数。

已知 f=50Hz ，且测得 U=5

0V ， I=1A ， P=30W 。求R, L 值

H127.0314

403050

1||

1

)(||

Ω501

50||

Ω301

30

2222

22

222

314RZ

ωL

LωRZ

I

UZ

I

PRRIP解：

R

L

+

_

U

I

ZV

A W*

*

另：

cosUIP

5

3

UI

Pcos

30 cos|Z|R

40 sin|Z|L

9. 6 复功率9. 6 复功率1. 复功率

”功率“来计算功率，引入 复和为了用相量 IU

)eeRe(

]Re[)cos(

,

jj

)j(

iu

iu

IU

eUIΨΨUIP

ΨIIΨUU

iu

iu

U *I

]Re[ *IUP ]Re[ *IUP

))Var( , sin( j sinjcos

)( VA , *

乏单位无功功率其中

则单位为复功率记

φUIQQPφUIφUI

φSφUIΨΨUISIUS

iu

U

I

负载

+

_

的共轭复数

.

I

复功率是一个辅助计算的复数，将正弦电路的三个功率和功率因数统一起来。本身没有意义，不代表正弦量。

有功功率 : P=UIcos （（（W

无功功率 : P=UIsin （（（ var视在功率 : S=UI （（（

VA复功率 : 单位： VA

jQPS

)(*

* :

*2***

2*

YUYUUYUUIUS

ZIIIZIUSS

也可以表示为以下式子复功率

U

I

无源

+

_

ee jXRZ

ee*

ee

jBGY

jBGY

复功率守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零。

可以证明：有功功率和无功功率也守恒，但视在功率不守恒。

2121

21

SS*IU*IU

*I)UU(*IUS

+

_

+ _+

_U

1U2U

I

21 UUU

UIS

jQPS

)QQ(j)PP(jQP 2121

21

21

QQQ

PPP

视在功率不守恒21 SSS

已知如图，求各支路的复功率。

VA 3345j1113

VA 1920j768)2510

1(236

VA 1424j1882010)1.37(236 V )1.37(236

)]15j5//()2510[(010

*2

22

*2*1

21

oo

o

o

YUS

jYUS

S

jU

吸

吸

发

例 1.

+

_U10 0∠ o A

10

j25

5

-j15

1I2I

解一：

VA 1423j1885 )25j10)(3.105(77.810

VA 3348j1116)15j5(94.14

VA 1923j769)25j10(77.8

A5.3494.14

A)3.105(77.815j525j10

15j5010

o11

*

22

222

21

211

o12

oo1

ZIIS

ZIS

ZIS

III

I

S

S

发

吸

吸

+

_U10 0∠ o A

10

j25

5

-j15

1I2I

解二：

已知： f=50Hz, U=380V, P=20kW, cos1=0.6( 滞后 ) 。要使功率因数提高到 0.9 , 求并联电容 C 。

o11 13.53 6.0cos φφ 得由

例 2.

P=20kW cos1=0.6

+

_

CUL

RCU

I

LI

CI

+

_

解：o

22 84.25 9.0cos φφ 得由 UI

LICI

1 2

F 375

)84.25tg13.53tg(380314

1020

)tgtg(

2

3

212

φφU

PC

补偿容量也可以用功率三角形确定：

12

P

QC

QL

Q)φtgφtg(

ωUPC

ωCUQ

)φtgφtg(PQQQ

C

LC

212

2

21

单纯从提高 cos看是可以，但是负载上电压改变了。在电网与电网连接上有用这种方法的，一般用户采用并联电容。

思考：能否用串联电容提高 cos?

并电容后，电容无功补偿了电感的无功，减少了电源的无功，提高了功率因数。

(1) 设备不能充分利用，电流到了额定值，但功率容量还有； (2) 当输出相同的有功功率时，线路上电流大 I=P/(Ucos

) ，线路压降损耗大。

功率因数低带来的问题：

解决办法：并联电容，提高功率因数 (改进自身设备 ) 。

分析 :U

I

LICI

1 2

L

RCU

I

LI

CI

+

_

用率，减少了线损。。提高了电源设备的利的功率因数提高了电源端、电压不变原感性负载取用的电流并电容后

φcos

, ,

9. 7 最大功率传输9. 7 最大功率传输

讨论正弦电流电路中负载获得最大功率 Pmax 的条件。

S

UZL

Zi

I

+

-

Zi= Ri + jXi ， ZL= RL + jXL

2Li

2Li

S

Li

S

)()( ,

XXRR

UI

ZZ

UI

如果 ZL= RL + jXL 可任意改变

2Li

2Li

2SL2

L )()(

XXRR

URIRP

有功功率

此时获得的最大功率为

i

2S

max4R

UP

可得负载上获得最大功率的条件是：

ZL= Zi* ，即

RL= Ri

XL =-Xi

P 分别对 XL 、 RL 求偏导：

电阻电路：

最大功率条件：

RL= Ri

最大功率：

i

Smax

R

UP

4

2

用诺顿等效电路时，负载获得最大功率条件 YL= Yi*

例 9-12 ， 209页

9. 8 串联电路的谐振9. 8 串联电路的谐振

谐振 (resonance) 是正弦电路在特定条件下所产生的一种特殊物理现象。主要分析谐振电路的特点。

含有 L 、 C 的电路，当电路中端口电压、电流同相时，称电路发生了谐振。

一、 谐振的定义

R,L,C电路U

I

相，电路发生谐振。纯电阻。电压、电流同为时当入端阻抗 RZXjXRZ ,0,

XR

XXRωC

ωLRZ CL

j

)(j)1(j

I R

j L+

_Cωj

1

U

二、 RLC 串联电路的谐振

1 、谐振条件：（谐振角频率）

谐振角频率 (resonant angular frequency)LC

ω 10

LCω 1

0

谐振频率 (resonant frequency) LC

fπ2

10

LCf

π21

0

谐振周期 (resonant period)LCfT π2/1 00 LCfT π2/1 00

时，电路发生谐振。当C

Lω0

01

固有

频率

2 、使 RLC 串联电路发生谐振的条件

（ 1 ） . L C 不变，改变 。

（ 2 ） . 电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变 C ) 。

0 由电路本身的参数决定，一个 R L C 串联电路只能有一个对应的 0 , 当外加频率等于谐振频率时，电路发生谐振。

通常收音机选台，即选择不同频率的信号，就采用改变 C使电路达到谐振。

3 、 RLC 串联电路谐振时的特点. ).1(

同相与

IU

根据这个特征来判断电路是否发生了串联谐振。

(2). 入端阻抗 Z 为纯电阻，即 Z=R 。电路中阻抗值 |Z| 最小。 |Z|

R

(3). 电流 I 达到最大值 I0=U/R (U 一定 ) 。

I R

j L

+

_ Cωj

1

U

+ +

+

_

_

_

RU

LU

CU

相当于短路。LCUU CL ,0

(4). LC 上串联总电压为零，即

。上，电源电压全部加在电阻 UU R

串联谐振时，电感上的电压和电容上的电压大小相等，方向相反，相互抵消，因此串联谐振又称电压谐振。

LU

CU

RU

I

谐振时的相量图谐振时的相量图

当 0L=1/(0C )>>R 时， U

L= UC >>U 。

(5). 功率P=RI0

2=U2/R ，电阻功率达到最大。功率因数 λ=1

即 L 与 C 交换能量，与电源间无能量交换。

20

0

200

1 , ,0 I

CωQLIωQQQQ CLCL

三、特性阻抗和品质因数

1. 特性阻抗 (characteristic impedance)

单位：

与谐振频率无关，仅由电路参数决定。CL

CL

00

1

CL

CL

00

1

2. 品质因数 (quality factor)Q

它是说明谐振电路性能的一个指标，同样仅由电路的参数决定。

无量纲C

L

RRCωR

Lω

RQ

11

0

0

C

L

RRCωR

Lω

RQ

11

0

0

谐振时的感抗或容抗

(a) 电压关系：

RIUU R

0

UQIRR

LILU L j

jj 0

000

UQIRCRC

IUC j

1j

j0

00

0

品质因数的意义：

U

U

U

U

RI

LIω

R

LωQ CL 00

0

000 U

U

U

U

RI

LIω

R

LωQ CL 00

0

000

即 UL0 = UC0=QU

谐振时电感电压 UL0(或电容电压 UC0) 与电源电压之比。

表明谐振时的电压放大倍数。

UL0 和 UC0 是外施电压 Q倍，如 0L=1/(0C )>>R ，则 Q 很高， L 和 C 上出现高电压 , 这一方面可以利用，另一方面要加以避免。例：某收音机 C=150pF ， L=250mH ， R=20

但是在电力系统中，由于电源电压本身比较高，一旦发生谐振，会因过电压而击穿绝缘损坏设备。应尽量避免。

如信号电压 10mV , 电感上电压 650mV 这是所要的。

65R

Q

Ω 1290CL

(b) 功率关系：

电源发出功率：无功

电源不向电路输送无功。电感中的无功与电容中的无功大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。

200 cos RIUIP

0sin0 UIQ有功

+

_ P

Q

L C

R

)(

|| 0020

2000

功率谐振时电阻消耗的有功中无功功率的绝对值或电容谐振时电感

P

Q

P

Q

RI

LI

R

LQ CL

)(

|| 0020

2000

功率谐振时电阻消耗的有功中无功功率的绝对值或电容谐振时电感

P

Q

P

Q

RI

LI

R

LQ CL

(c) 能量关系：

2

21

CC Cuw 2

21 LiwL 电场能量 磁场能量

电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等 WLm=WCm 。

总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值。

常数总 2220

20 2

121 UCQCULIwww mCmCL 常数总 222

02

0 21

21 UCQCULIwww mCmCL

谐振时，电路不从外部吸收无功，但内部的电感和电容之间周期性地进行电场能量和磁场能量的交换。

品质因数越大，总的能量就越大。 Q 是反映谐振回路中电磁振荡程度的量。

由 Q 的定义：

谐振时电路消耗的能量总储能谐振时电路中电磁场的

）（

0

00

20

00

0

0

)(2 P

W

RI

LIR

LQ

谐振时电路消耗的能量总储能谐振时电路中电磁场的

）（

0

00

20

00

0

0

)(2 P

W

RI

LIR

LQ

从这个定义，可以对品质因数的本质有更进一步的了解：

维持一定量的振荡所消耗的能量愈小，则振荡电路的“品质”愈好。

I R

j L+

_Cωj

1

U

例：如图，正弦电压 U=10V ， R=10Ω ， L=20mH ，当电容 C=200pF 时，电流 I=1A 。求正弦电压

u 的，电压 UL 、 UC 和 Q 。

解：

100010200

1020

10

1112

3

C

L

RQ

110

010010

00

jXjXR

UU

..

则有令

电路处于串联谐振状态

S/radLC

5

123105

102001020

11

CL UQUU 10000101000

9. 9 并联谐振电路9. 9 并联谐振电路

一、简单 G 、 C 、 L 并联电路

对偶： R L C 串联 G C L 并联

LCω 1

0

)1(jωC

ωLRZ )1(jωL

ωCGY

+

_S

I G C L

U

LCω 1

0

GCL 并联电路谐振时的特点. ).1(

同相与

IU

根据这个特征来判断电路是否发生了并联谐振。

(2). 入端导纳 Y 为纯电导，即 Y=G 。电路中导纳值 |Y| 最小。 |Y|

G

(3). 端电压 U 达到最大值 U=RIS (IS 一定 ) 。

0

CL

II

(4). LC 上并联总电流为零，即

S

.

R

.

II 上，电源电流全部加在电阻

+

_S

I G C L

U

并联谐振时，电感上的电流和电容上的电流大小相等，方向相反，相互抵消，因此串联谐振又称电流谐振。

谐振时的相量图谐振时的相量图(5). 功率

P=RIS2 ，电阻功率达到最大。功率因数 λ=1

即 L 与 C 交换能量，与电源间无能量交换。

20

2

0

10 CUωQ ,U

LωQ ,QQQ CLCL

CI

LI

SG II

U

品质因数：

LC

GGLωGCω

Q 110

0

IL(0) =IC(0) =QIS

常数总 2220

20 2

121 UCQCULIwww mCmCL 常数总 222

02

0 21

21 UCQCULIwww mCmCL

CL

RRCωRLω

Q 110

0

R L C 串联

UL(0)=UC (0)=QU

常数总 2220

20 2

121

SmCmCL ILQCULIwww 常数总 2220

20 2

121

SmCmCL ILQCULIwww

二 、电感线圈与电容并联 上面讨论的电流谐振现象实际上是不可能得到的，因为电感线圈总是存在电阻的，于是电路就变成了混联，谐振现象也就较为复杂。

BG j

LωRCωY

j1j

))(

(j)( 2222 LωR

LωCωLωR

R

谐振时 B=0 ，即 0)( 2

02

00

LωR

LωCω

由电路参数决定。求得 20 )(1

LR

LCω 2

0 )(1LR

LCω

CL

R

此电路参数发生谐振是有条件的，参数不合适可能不会发生谐振。

当电路发生谐振时，电路相当于一个电阻：

RCL

RLωR

RωZ

2

02

00

)()(

RCL

RLωR

RωZ

2

02

00

)()(

可以发生谐振时即当 , ,)(1

2

C

LR

L

R

LC

. , , 0是虚数因不会发生谐振时当 ωC

LR

。或 , CR

LR

L

CRG ee 谐振时：

可以证明：谐振时输入导纳不是最小值，端电压也

不是最大值。只有当 时，发生谐振的特点

才与 GLC 纯并联谐振电路接近。

C

LR