Графически способ за решаване на системи уравнения
description
Transcript of Графически способ за решаване на системи уравнения
Графически способ за решаване на системи уравнения
Скъпи приятели!
Тази презентация ще Ви помогне да се научие да решавате системи уравнения с две променливи по
един от най – простите и нагледни способи – графическия.
Но този способ е свързан с построението на графиката на уравненията, влизащи в една или
друга система, затова за начало ще бъде полезно да си припомним, как изглеждат графиките на основните известни елементарни функции.
И така…
Напред
0
х
у
Вие, разбира се, помните, че графика на функция се нарича
множеството от всички точки в координатната равнина,
абсцисите на които са равни на значенията на аргумента, а
ординатите – на съответствуващите значения
на функцията.
у = f(х)
Напред
Вие вече познавате някои важни видове функции
0
х
у
Графиката на тази функция се
явява права
Линейна функция се задава с уравнение от вида
вхkу където k и в – са някакви числа
Напред
0
х
у
Графиката на тази функция се
нарича хипербола
Функция с обратна пропорционалност
хk
у , k 0
Напред
0
х
уДа разгледаме функцията
222 )()( rвуах където а, в и r – са някакви числа
Графиката на тази функция се
явява окръжност с радиус r и център в т. А (а;в)
А
а
в
r
Напред
0
х
у
Графиката на тази функция се
явява парабола
Квадратна функция
схвхау 2
където а,в,с – някакви числа и а 0
ав2
Напред
Графиките на уравнения с две променливи се наричат, както вие знаете, множество от точки в
координатната равнина, координатите на които обръщат уравнението във вярно
равенство.
Затова понякога уравненията могат да бъдат достатъчно сложни, а графиките на такива уравнения – много необичайни по форма.
Нека разгледаме няколко примера на такива уравнения, използвани във висшата математика.
Напред
0
у
Графиката на това уравнение ще бъде крива, наричана
строфоида
Да разгледаме, например, уравнението
)()( 22 хаххау
Напред
0
х
у
Графиката на това уравнение се
нарича леминискат на Бернули
А сега уравнението
)()( 22222 ухаух
Напред
0
х
у
Графиката на това уравнение се
нарича астроида
А на това уравнение
3
2
3
2
3
2
аух
Напред
0
х
у
Тази крива се нарича
кардиоида
Следващ пример:
)(4)2( 222222 ухаахух
Напред
А сега на работа – да се научим да решаваме системи уравнения с две променливи
графически!! !
Уравнение 1,
Уравнение 2; ??Напред
Нека трябва да решим системата уравнения:
х2 + у2 = 25,
у = -х2 + 2х + 5;Да построим в една координатна система графиките на уравнениятах2 + у2 = 25 и у = -х2 + 2х + 5
Координатите на произволна точка от окръжноста се явяват решение на уравнението х2 + у2 = 25, а координатите на произволна точка от параболата се явяват решение на уравнението у = -х2 + 2х + 5.Значи, координатите на всяка от точките на пресичане на окръжноста и параболата удоволетворяват както първото уравнение на системата, така и второто, т.е. явяват се решение на системата.Намираме по рисунката значението на координатите на точките на пресичане на графиката : А(-2,2;-4,5), В(0;5),С(2,2;4,5), D(4;-3). Тогава системата има 4 решения
х1 -2,2, у1 -4,5 х2 0, у2 5
х3 2,2, у3 4,5 х4 4, у4 -3Второто и четвъртото от тези решения са точни, а първото и третото – приближени. Напред
Нека направим изводи от разгледания пример.
Запомнете две неща !
1. Ако точки на пресичане на графиките няма, то системата няма решение;
2. Координатите на точките на пресичане се определят приблизително, затова и решенията могат да се получат приблизителни;
За да проверите точността на получените решения, е нужно да ги поставите в уравненията на системата!
За да решите система с две уравнения с две неизвестни, е необходимо :
Да построите в една координатна система графиките на уравненията, влизащи в системата ; Да определите координатите на всички точки на пресичане на графиките (ако има такива); Координатите на тези точки ще бъдат решения на системата.
Напред
0
х
у
11
Задача 1Решаваме системата :
;03
,3
ух
ху
Преобразуваме системата уравнения :
;3
,3
хух
у
ху
3
ху 3
Напред
Строим в една координатна система графиките на
уравненията от системата
А сега самостоятелно определете решението на
системата.
0
х
у
11
Задача 2Решаваме системата :
;02
,02
ух
ху
Преобразуваме системата уравнения :
;2
,2
ху
ху
2ху
2ху
Строим в една координатна система графиките на
уравненията от системата
А сега самостоятелно определете решението на
системата.
Напред
0
х
у
11
Задача 3
х-у=1
3х+2у=18
Напред
Пред Вас са графиките на две уравнения. Запишете
системата, определена от тези уравнения, и нейното
решение.
0
х
у
11 х
у2
ху 2
Напред
Задача 4
Пред Вас са графиките на две уравнения. Запишете
системата, определена от тези уравнения, и нейното
решение.
0х
у
11
Задача 5
Напред
922 ух
3 ху
Пред Вас са графиките на две уравнения. Запишете
системата, определена от тези уравнения, и нейното
решение.
0
х
у
11
Пред Вас са графиките на две уравнения. Запишете
системата, определена от тези уравнения, и нейното
решение.
Напред
22 ху
42 ху
Задача 6
0
у