수질관리 및 모델링 - 기말

수질관리 및 모델링 - 기말

환경공학20041430

문재언

Midterm 참조

1. Make the Excel Based Model of MFEMWASP 1) Understand the algorithm of MFEMWASP in detail.

Make the Model "MFEMWASP-Excel".

2) Understand the input data and output result of MFEMWASP.

2. Study the hydraulic model DYNHYD5 and develop the excel based model DYNDYD-Excel. (midterm 참고 )

수리학적 모형인 DYNHYD5 는 Potomac 연안 모형이었던 DYNHYD2를 확장한 모형 지류 및 수체에 합류점 (channel-junction (link- node)), 계산망 (computational network) 을 구성하여 연속방정식과 운동방정식을 해석하여 수심 및 유속을 계산하는 모형 시간에 따라 변하는 유동이나 수심의 경계조건을 입력 . 수리모델링은 수질모델링 보다 작은 시간 간격을 필요로 하기 때문에 , 수리모델링 결과인 유속 및 수심을 수질모델의 입력자료로 활용하기 위해서는 수질모델링의 시간간격에 대하여 수리모델링 결과를 평균화

3. Study and explain the Groundwater Management Model PM5, which includes groundwater flow model MODFLOW, groundwater quality model MOC3D, and parameter estimation model.

(1) MODFLOW 모형의 이론

지하수 유동의 지배방정식을 유도하기 위해서는 지하대수층의 저류특성과 Darcy 의 유량의 물질평형을 연결

지하대수층의 저류능은 대수층을 구성하는 토양 구조의 특성과 지하수 특성 ( 압축성 및 탄성 ) 에 따라 결정

토양의 압축도는 Terzaghi 의 압축이론을 사용하여 유도

이러한 대수층의 저류능에 대하여 다음과 같이 비저류계수 (Ss : Specific Storativity) 를 정의 (L-1).

여기서 , 는 늘어나거나 줄어든 지하수량을 , 는 전체 대수층부피를 , 는 Piezometric Head 를 의미 즉 , 비저류계수는 단위 지하수의 수두 변화에 의한 지하수 부피의 변화율을 의미 비저류계수를 정의한 것과 유사한 방법을 사용하여 대수층의 저류계수를 정의할 수 있음

피압지하수의 경우 다음의 식으로 정의 ( 단위는 무차원 ). 이러한 경우 , 수평방향의 흐름만 주로 고려하기 때문에 대수층의 주 파라미터는 투수도 T(Transmissivity=KB) 와 저류능 S

비저류계수는 일반적인 3 차원 유동에 대하여 정의되었기 때문에 S 를 S0B 로 평가하는 데 주의가 필요 피압대수층의 저류의 주원인은 물과 토양의 압축도


< 그림 3.1-1> 피압대수층에서의 저류능 및 지하수두


자유수표면 지하수의 경우 다음의 식으로 저류능을 정의 저류나 배수의 주 원인 지하수위의 상승이나 하강 지하수위의 하강에

의해 대수층이 지하수를 방출하므로 비생산계수 (Sy : Specific Yield) 라 정의

< 그림 3.1-2> 자유수표면대수층에서의 저류능 및 지하수위


배수가 완전히 진행된 후에 대수층에 남아있는 지하수에 의한 저류능을 비보유계수 (Specific Retention) 라 정의따라서 , 비생산계수와 비보유계수의 합은 다음과 같이 공극율 따라서 , 비생산계수를 유효공극율 (Effective Porosity) 이라 정의


지하 공극을 통한 일정한 밀도의 지하수의 삼차원 유동은 위에 언 급한 지하대수층의 저류 특성에 연속방정식과 운동방정식 (Darcy 의 유속 ) 을 결합하여 지배식을 유도

2 차원 지하수유동에 대한 유도 과정 강우나 충진정등 모든 지하수의 생성원인은 Dirac delta 함수를 이용하여 다음과 같이 표현


아래의 그림을 참조로 하여 대수층의 저류능을 고려한 물수지 방정식은 다음과 같다 .

배수에 의한 방출이 물이나 토양의 압축도에 의한 방출보다 훨씬 크다는 가정하에 (Sy>>Soh), 비저류계수대신에 비생산계수를 사용

Q' 를 로 바꾸고 , 양변을 로 나눈 다음 , 로 가정하면 비균질 등방성의 대수층 K=K(x,y) 에서 , 다음과 같은 지하수유동식을 얻음


대수층이 균일한 경우 위의 식은 다음과 같은 Boussinesq 식이 됨


< 그림 3.1-4> 자유수표면 지하수의 저류능과 물수지


3 차원 지하수유동식은 다음과 같다 . 여기서 , 비저류계수를 사용하는 것을 주의하여야 함

여기서 , , , 는 x, y, z 좌표축의 수리전도도 ( ), h 는 지하수위(L), W 는 지하수 충진량 ( )

일반적으로 , , , 는 대수층의 특성에 따라 공간에 대해서 변하는 함수이고 ( = (x,y,z), = (x,y,z)), W 는 공간과 시간 W=W(t,x,y,z) 의 함수 . 다음에 토양특성별 수리전도도의 범위를 나타냄


< 표 3.1-1> 토양별 수리전도도 및 고유투과도의 범위


1)MODFLOW 격자망의 구성

< 그림 3.1.1-1> 는 본 모형의 격자망을 나타냄 . 이러한 격자망은 row, column, layer 로 설명 . 이러한 공간을 지칭하기 위하여 i(row), j(column), k(layer) 의 지수를 사용 . <그림 3.1.1-1> 는 nrow=5, ncol=9, nlay=5 를 가진 격자망 . 이러한 지수의 증가는 격자망을 세분화하는 것을 의미 . 모델링은 이러한 지수를 사용하여 진행

< 그림 3.1.1-1> MODFLOW 의 3 차원 격자망


행의 폭은 로 , 열의 폭은 로 , 층 k 의 두께는 로 지정 . 따라서 좌표 (i,j,k)=(4,8,3) 를 가진셀은 의 부피를 가짐

< 그림 3.1.1-2> 요소 중심 격자망과 절점 중심 격자망


지하수 유동에 있어서 , 격자로의 유입 또는 유출의 합은 격자내의 저장량의 변화비율과 동일해야 함 . 지하수의 밀도가 일정하다는 가정하에 각 격자내의 연속방정식은 다음과 같음

여기서 , 는 격자로의 유입유량 ( ), SS 는 비저류계수 , 는 격

자내의 시간간격 t 동안의 수위 변화 , v 는 격자의 부피이다 . 위의 우변은 시간간격 동안 저류된 물의 부피이다 .


< 그림 3.1.2-1> 격자망간의 유량 < 그림 3.1.2-2> 3 차원 유입 유량


< 그림 3.1.2-2> 은 I, j, k 격자에 인접한 격자를 나타냄 . I, j, k 격자로 유입되는 유량은 양의 값으로 나타냄 . I, j-1, k 격자로부터 I, j, k 격자로의 유량은 다음과 같이 Darcy 의 법칙을 사용하여 평가할 수 있음 .

여기서 , 는 I, j, k 절점에서의 수위이고 , 는 I, j-1, k 절점에서의 수위를 , 는 유량 , 는 투수계수 , 단면적 , 는 절점사이의 거리를 나타낸다 .


나머지 다섯 면에 대해서도 유사하게 유량을 해석할 수 있음 .


위의 식을 간단히 표현하기 위하여 다음과 같은 계수를 정의

여기서 , 는 수리전도도 (hydraulic conductance)( ).


위의 계수를 사용하여 다음과 같이 Darcy 의 유량을 표현 .


대수층 외부의 유량의 생성원인 하천 , 수로 , 재충진 , 증발산 , 양수 정 등을 설명하기 위해서 다음과 같은 추가적인 파라미터가 필요

여기서 , 은 n번째 외부수원으로부터 I, j, k 격자로의 유동을 나타냄 . 그리고 ( ) 과 ( ) 은 각각 상수

우물을 통한 재충진이나 하상을 통한 침투로 대수층으로 지표수 가 유입이 되는 경우는 다음의 식을 적용


하천과 대수층이 연결된 경우는 다음의 식으로 해석

여기서 는 하천의 수위 ( 지하수 불투수층 기준 ), 는 하천으로부터 I, j, k 격자에 유입되는 유입계수 (hydraulic conductnace of river bed) 이다 . < 그림 3.1.2-3> 에 나타난 바와 같이 CRIV는 하상의 수직적 수리전도 . 위의 식은 다음과 같이 정리


< 그림 3.1.2-3> 하천 경계 조건인 경우의 수위차에 의한 지표수 유입


하나의 격자에 영향을 미치는 N개의 외부수원이 존재한다면 , 외부수원에 의한 지표수 유입은 다음과 같이 표현 .

여기서 , 이고 , .

위 식은 다음과 같이 정리 .

6개의 인접한 격자와 외부 생성원으로부터의 유입을 고려한 전체 지하수 유동은 다음과 같이 나타낼 수 있음 .


여기서 , 는 수위의 시간미분항을 유한차분법으로 표현한 것

는 격자내 비저류계수 , 는 격자의 부피

위의 식에 대하여 수위에 대한 유한차분 알고리즘을 적용하면 다음과 같음


< 그림 3.1.2-4> 은 i, j, k 절점의 수위를 나타낸 것

후방차분법을 사용하여 지하수 유동식을 나타내면 다음과 같음

+ + +


위의 식의 초기 시간 단계에서의 계산은 다음과 같음


< 그림 3.1.2-4> i, j, k 격자에 대한 지하수위


(2) MOC3D 모형의 이론 1) 지하수 유동 방정식 - 본 모형은 다음과 같은 지배식을 가지고 있는 지하수 유동 모형 인 MODFLOW 와 연계되어 지하수 유속 및 지하수위를 구함


여기서 , 는 투수계수 , 는 비저류능 계수 , 는 지하수위 , 는 지하수 공급원이다 . 위의 지배식은 다음과 같이 표현 .

x, y, z, 방향에 대한 Darcy 의 단위 유량은 다음과 같다 .

유속은 다음과 같이 단위유량을 공극율로 나누어서 구할 수 있다 .

여기서 , 는 i 방향에 대한 공극내 유속 , 는 공극율이다 .


2) 수치해석 가 ) 격자망의 구성 < 그림 3.2.2-1> 및 < 그림

3.2.2-2> 에 MOC3D 모형에 사용되는 유한차분 격자망의 구성을 나타냄

< 그림 3.2.2-1> Notation used to finite-difference grid of MOC3D


< 그림 3.2.2-2> Representative three-dimensional grid of MOC3D


나 ) 평균 간극 유속 이류 이송 및 수리학적 분산은 모두 지하수 유동 속도에 의존하 기 때문에 , 이송 방정식의 해는 유속장의 지식을 필요

그러므로 , 주어진 시간 간격 또는 정상상태 유동조건에 대해 수두 분포가 계산된 후에 , 이송 하부격자망내의 각 유한차분 격자의 각 면을 가로지르는 단위유량이 계산됨 .

단위유량은 Darcy 식의 유한 차분 형태를 사용해 각 면에 대해 계산됨 . 예를 들어 , 와 격자 사이의 블록 경계에서 x

방향의 수평면에서의 단위 유량은 다음과 같다 (McDonald and Harbaugh, 1988).


여기서 , 은 격자의 전방 x 방향의 블록간의 투수계수이며 , 수리경사도는 인접한 절점에서 계산된 수두로 구할 수 있음 .

유한차분 격자의 절점에서 유속 벡터의 x, y, z 성분은 단일 위치

에서의 모든 세 방향 성분들에 대해 동일한 정확도로 계산될 수 있음 .


예를 들어 , 절점 에서 x 방향의 유속은 다음과 같이 계산수

있음


( 다 ) 특성법 (Method of Characteristics)

쌍곡선 미분방정식을 해석하기 위해 개발

이 방법의 장점은 수치해석적 발산을 최소화한다는 것

Lagrange 형태의 방정식을 직접 해석하는 것이 아니라 , 상미분 방정식 체제를 해석하기 위한 것 .


Lagrange 형태의 방정식은 다음과 같이 재배열될 수 있다 .

시간에 관한 농도의 전미분함수 는 , 유속에 의해 이동하는 물질의 농도 변화를 서술한다 . 3 차원 구성은 다음과 같다 .


오른쪽의 마지막 세 항은 x, y, z 방향에서 유속에 의해 규정되는 위치의 전미분함수를 포함 . 이는 다음과 같음 .

그리고 , 지연속도 로 이동하는 참조 지점의 농도에 대한 지배 식의 간단한 형태는 다음과 같이 구할 수 있음


본 농도는 공간에서 이동한 지점의 농도이지만 편이상 C 로 표현

상기 식들을 포함하는 방정식의 해는 , , 로 주어지며 물질이동식의 특성화선이라

함 .

로 표현되는 평균 농도는 다음과 같이 계산

여기서 , 는 이류 유송만을 고려한 새로운 시간에서의 농도


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