一、 值域与核的概念
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一、一、值域与核的概念值域与核的概念二、值域与核的有关性质二、值域与核的有关性质
§7.6 §7.6 线性变换的值域与核 线性变换的值域与核
三、例题讲析三、例题讲析
四、练习四、练习
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一、值域与核的概念一、值域与核的概念1 、定义 1 设 是线性空间 V 的一个线性变换,
集合 ( ) ( ) |V V
称为线性变换 的值域,也记作 或 Im , .V
集合 1(0) | , ( ) 0V
称为线性变换 的核,也记作 ker .
2 、 皆为 V 的子空间 .1( ), (0)V
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事实上, 且对 ( ) , ( ) ,V V V
( ), ( ) ( ),V k P
有 ( ) ( ) ( ) ( )V
( ) ( ) ( )k k V
即 对于 V 的加法与数量乘法封闭 .( )V
( )V 为 V 的子空间 .
再看 1(0). 1(0) , (0) 0,V 首先,
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又对 有 从而 1, (0), ( ) 0, ( ) 0
( ) ( ) ( ) 0.
( ) ( ) 0 0,k k k k P
即 1 1(0), (0),k
故 为 V 的子空间 .1(0)
1 10 (0), (0) .
1(0) 对于 V 的加法与数量乘法封闭 .
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2 、定义 2 线性变换 的值域 的维数称为 ( )V
的秩; 的核 的维数称为 的零度 . 1(0)
例 1 、在线性空间 中,令[ ]nP x
( ) ( )D f x f x
则 1[ ] [ ] ,n nD P x P x
1(0)D P
所以 D 的秩为 n - 1 , D 的零度为 1.
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1. ( 定理 10) 设 是 n 维线性空间 V 的线性变换,
是 V 的一组基, 在这组基下的矩阵是 A ,1 2, , , n
则
1 ) 的值域 是由基象组生成的子空间,即 ( )V
1 2( ) ( ), ( ), , ( )nV L
2 ) 的秩= A 的秩 .
二、有关性质二、有关性质
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1 2( ), ( ), , ( )nL
即 1 2( ) ( ), ( ), , ( )nV L
又对 1 1 2 2( ) ( ) ( )n nx x x
1 1 2 2( ... ) ( )n nx x x V
证: 1 ) 设 ,V 1 1 2 2 ,n nx x x
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )n nx x x 于是
有 1 1 2 2( ) ( ) ( )n nx x x
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1 2( ), ( ), , ( ) ( ).nL V
因此, 1 2( ) ( ), ( ), , ( ) .nV L
的秩,又
1 2 1 2 ,( ), ( ), , ( ) ( , , , ) .n n A
∴ 秩 =秩( ) ( ).A
等于矩阵 A 的秩 .
2 )由 1 ), 的秩等于基象组 1 2( ), ( ), , ( )n
由第六章 §5 的结论 3 知, 的秩1 2( ), ( ), , ( )n
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2. (定理 11) 设 为 n 维线性空间 V 的线性变换,则
的秩+ 的零度= n
即 1dim ( ) dim (0) .V n
证明:设 的零度等于 r ,在核 中取一组基 1(0)
1 2, , , r
并把它扩充为 V 的一组基: 1 2, , , , ,r n
生成的 .
由定理 10 , 是由基象组( )V1 2( ), ( ), , ( )n
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但 ( ) 0, 1,2, , .i i r
1( ) ( ), , ( )r nV L
设 1 1( ) ( ) 0r r n nk k
则有 1 1 0r r n nk k
11 1 (0)r r n nk k
下证 为 的一组基,即证它们1( ), , ( )r n ( )V
即 可被 线性表出 . 1 2, , , r
线性无关 .
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设 1 1 2 2 r rk k k
于是有 1 1 2 2 , 1 1 0r r r r n nk k k k k
由于为 V 的基 . 1 2, , , n
1 2 0nk k k
的秩= n - r .
因此, 的秩+ 的零度= n.
故 线 性无关,即它为 的一组基 . 1( ), , ( )r n ( )V
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虽然 与 的维数之和等于 n ,但是( )V 1(0)
未必等于 V. 1( ) (0)V
如在例 1 中 ,
11[ ] 0 [ ] [ ]n n nD P x D P x P x
注意:注意:
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ⅰ) 是满射 ( )V V
证明:ⅰ ) 显然 .
ⅱ) 因为 若 为单射,则 0 0, 1(0) 0 .
3. (性质 1) 设 为 n 维线性空间 V 的线性变换,则
ⅱ) 是单射 1(0) 0
反之 ,若 任取 若 1(0) 0 , ,V 、
( ) ( ), 则 ( ) ( ) ( ) 0,
即 . = 故 是单射 . 1(0) 0 , 从而
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是单射 是满射 .
证明: 是单射
1(0) 0
dim ( )V n
4. (性质 2) 设 为 n 维线性空间 V 的线性变换,则
1dim (0) 0
是满射 .
( )V V
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例 2 、设 A 是一个 n 阶方阵, 证明: A 相似于2 ,A A
证:设 A 是 n 维线性空间 V 的一个线性变换 在一
组基 下的矩阵,即 1 2, , , n
1 2 , 1 2 ,, , , ( , , , )n n A
一个对角矩阵 1
1
0
0
三、例题讲析
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由 知 2 ,A A 2 .
任取 设 ( ),V ( ), ,V
则 2( ) ( ( )) ( ) ( )
故有 当且仅当 ( ), ( ) 0V 0.
因此有 1( ) (0) 0V
又 1dim ( ) dim (0)V n
所以有 1( ) (0).V V
从而 是直和 .1( ) (0)V
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在 中取一组基: 1(0) 1 , ,r n
则 就是 V 的一组基 . 1 2 1, , , , ,r r n
显然有,
1 1 2 2, , , ,r r
1 20, 0, , 0.r r n
在 中取一组基 : 1 2, , r ( )V
用矩阵表示即
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1 2 1 2
1
1( , , ) ( , , )
0
0
n n
所以, A 相似于矩阵
1
1.
0
0
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1 0 2 1
1 2 1 3
1 2 5 5
2 2 1 2
A
线性变换 在此基下的矩阵为
1) 求 及 1(0). ( )V
2) 在 中选一组基,把它扩充为 V 的一组基, 1(0)
并求 在这组基下的矩阵 .
并求 在这组基下的矩阵 .
3) 在 中选一组基,把它扩充为 V 的一组基,( )V
例 3 、设 是线性空间 V 的一组基,已知1 2 3 4, , ,
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解: 1 )先求 设 它在1(0). 1(0), 1 2 3 4, , ,
下的坐标为 1 2 3 4( , , , ).x x x x
0,0,0,0 .
故
1
2
3
4
1 0 2 1 0
1 2 1 3 0
1 2 5 5 0
2 2 1 2 0
x
x
x
x
由于 有 在 下的坐标为 ( ) 0, 1 2 3 4, , , ( )
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解此齐次线性方程组,得它的一个基础解系:
2 2/ 3 1 0 , 1 2 0 1
从而 1 1 2 32 2/ 3 ,
是 的一组基 . 1(0) 1
1 2(0) , .L
由于 的零度为 2 ,所以 的秩为 2 ,
又由矩阵 A ,有
2 1 2 42
即 为 2 维的 .( )V
再求 ( ).V
1 1 2 3 4( ) 2
2 2 3 4( ) 2 2 2
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1 2 3 4( ) ( ), ( ), ( ), ( )V L
2 )因为
1 2 1 2 1 2 3 4
1 0 2 1
0 1 2/ 3 2, , , , , ,
0 0 1 0
0 0 0 1
从而有所以, 线性无关,1 2( ), ( )
1 2( ), ( )L
就是 的一组基 . 1 2( ), ( ) ( )V
1 2 3 4 1( , , , )D
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而
1 0 2 1
0 1 2/ 3 21 0,
0 0 1 0
0 0 0 1
1D 可逆 .
从而 , 线性无关,即为 V 的一组基 . 1 2 1 2, , ,
在基 下的矩阵为 1 2 1 2, , ,
11 1
5 2 0 0
9/ 2 1 0 0.
1 2 0 0
2 2 0 0
D AD
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3 )因为
1 2 3 4 1 2 3 4
1 0 0 0
1 2 0 0( ), ( ), , , , ,
1 2 1 0
2 2 0 1
1 2 3 4 2( , , , )D
可逆 .2D
1 0 0 0
1 2 0 02 0,
1 2 1 0
2 2 0 1
而
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从而 线性无关,即为 V 的一组基 . 1 2 3 4( ), ( ), ,
在这组基下的矩阵为
12 2
5 2 2 1
9/ 2 1 3/ 2 2.
0 0 0 0
0 0 0 0
D AD
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四、练习V F
4 6 0
3 5 0
3 6 1
A
: X AX
Ker Im
设 是数域 所有 3维列向量构成的线性空间 ,
. 定义 的映射
.
(1)证明 是线性变换 ;
的核 和值域 的维数 ;
的特征值和对应的特征向量 .
V .
(2) 求
(3) 求