土木工程力学 (本 )

期末总复习

第一部分 力法一．基本概念1．超静定结构的基本概念⑴ 由静力平衡方面分析 : 静定结构：通过静力平衡条件能求出结构的全部反力及内力的结构。 超静定结构：通过静力平衡条件不能求出结构的全部反力及内力的结构 (需增加变形协调条件 ) 。

⑵ 由几何组成方面分析 : 静定结构：无多余约束的几何不变体。 超静定结构：具有多余约束的几何不变体。

2．判定超静定次数的方法：去掉多余约束使之成为静定结构。 超静定次数 =多余约束的个数 去掉多余联系的个数及方法（掌握）： ⑴ 去掉一根链杆支座或切开一根链杆 = 去掉一个约束。 ⑵ 去掉一个铰支座或单铰 = 去掉二个约束。 ⑶ 去掉一个固定端或切断连续杆 = 去掉三个约束。 ⑷ 去掉一个定向支座 = 去掉二个约束。 ⑸ 把刚性联接或固定端换成一个铰联接 = 去掉一个约束。

静定结构的基本形式

简支梁式

悬臂梁式

三铰刚架式

3 ．力法典型方程的形式，力法方程的物理意义，各符号的含义。

)0(

)0(

22222121

11212111

p

p

xx

xx

)0(11111 px一次超静定结构

两次超静定结构

力法方程的物理意义： 基本结构在荷载和多余约束力共同作用下，在多余约束处的变形和原结构在多余约束处的变形是相等的。

——实质是多余约束处的变形协调条件（位移条件）

应明确以下几点

⑴ 基本未知量 xi 是广义多余力，每个方程是与多余约束相应的位移条件。

⑵ 力法的基本结构是去掉多余约束后的静定结构。 ⑶ 力法方程中：

—基本结构单独承受外荷载作用时，在 xi 作用点，沿 xi 方向的位移。 (自由项）

i

iP

ij

—与多余约束相应的原结构的已知位移，一般为零。

—基本结构由于 xj=1 作用，在 xi 作用点，沿 xi 方向的位移。（柔度影响系数）

4 ．在外荷载作用下，超静定梁和刚架的内力与各杆的 EI 的相对值有关，而与其绝对值无关。（ 的分母中都有 EI ，计算未知力时， EI 可约简）

ij iP

5. 求iPij 实质上是计算静定结构的位移，对梁和刚架可采用“图乘法”计算。

图乘法计算公式 EI

y0

iM 图自乘，恒为正。

iM 图与 jM 图图乘，有正、负、零的可能。

iM 图与 PM 图图乘，有正、负、零的可能。

jiij

应掌握图乘法的注意事项：

⑴ ω— 一个弯矩图的面积。 y0— 与取面积的图形形心对应的另一个弯矩图的纵标值。

⑵ 两个弯矩图中，至少有一个是直线图形。 y0 取自直线图形。（折线应分段）

⑶ 必须是等截面的直杆。（变截面应分段）⑷ 常用的图乘结果：

dsEI

M iii

2

主系数

dsEI

MM jiij副系数

基线同侧图乘为正，反之为负。

dsEI

MM PiiP

自由项

基线同侧积为正，反之为负。

⑸ 记住几种常用图形的形心位置、面积计算公式。

h

2l

hl3

2

2l l8

3l8

5

h

hl3

2

h

l4

3l

4

1

hl3

1

h

l3

2l

3

1

hl2

1

c

l

d

b

2

8

1qlh

a

)22(60 bcadbdacl

y

两个梯形图乘 :

a

l

b

c

l

d

曲线图形与直线图形图乘 :

)22(60 bcadbdacl

y

a

l

l

b

a

l

l

b

两个三角形图乘 :

ably3

10 ably

6

10

(1/3 高高底） (1/6 高高底） (1/6 杆长乘 2倍同侧积加 1倍异侧积） )(2

1

3

2dchl

举例： 1.指出以下结构的超静定次数。

⑴ 静定结构的内力计算，可不考虑变形条件。（ ）

复铰

2. 判断或选择

　⑶ 力法典型方程的物理意义是： （ ）A. 结构的平衡条件 B. 结点的平衡条件 C. 结构的变形协调条件 D. 结构的平衡条件及变形协调条件

⑵ 力法只能用于线形变形体系。 （ ）

通过静力平衡条件能求出静定结构的全部反力及内力。

dxEI

MM ji

ij 由力法方程的系数 可知， EI应为常数且不能均为无穷大。

只有线性变形体满足此条。

4次

6次 4

次

√

√

C

组合结构举例： 杆 1、杆 2、杆 3、杆 4、杆 5均为只有轴力的二力杆，仅考虑轴向变形。

杆 6为梁式杆件，应主要考虑弯曲变形。

1

2

34 5

6

A. 梁 B. 桁架 C. 横梁刚度为无限大的排架 D. 组合结构

•⑷ 　在超静定结构计算中，一部份杆件考虑弯曲变形，另一部份杆件考虑轴向变形， 则此结构为 ( ) 。 D

3. 分别说出下面几种基本结构中，力法方程的具体意义及 11 P1 的具体含义，

并用图形表示。

原结构

P

P

1x

P

1x

1x

1x

基本结构⑴ 基本结构⑵ 基本结构⑶A

B C

01111 px

P

1x

基本结构⑴

P

1x

基本结构⑵

1x

1x

基本结构⑶

01111 px

基本结构在竖向力 x1

和荷载 P 共同作用下在 C 处的竖向线位移

原结构在 C 处的竖向线位移

11 x

11P

P1

01111 px

基本结构在力偶 x1 和荷载 P 共同作用下在A 处的转角位移

原结构在 A处的角位移

11 x

11

01111 px

基本结构在一对力偶x1 和荷载 P 共同作用下在 B 处的相对角位移

原结构在 B 处的相对角位移 11 x

11 x

11

P PP1

P1

P

A

B C

A

B C

A

B C

用力法计算并绘图示结构的 M 图

A

BC

0M

EI

EI2

l

l解 : 1) 取基本结构，确定基本未知量

3)绘 和 pM 图1M

01111 px2) 列力法方程

EI

llll

EIlll

EI 6

5)(

2

1)

3

1(

1 3

11

EI

lMllM

EIP 2)(

2

1 20

01

4) 求系数和自由项

11 xl

l

l 图1M

0M0M

0M 图pM

5) 把系数和自由项代入力法方程求未知量：

l

M

l

EI

EI

lMx p

5

3

5

6

20

3

20

11

11

6) 作结构的 M 图。（将解得的基本未知量直接作用于 B 支座处，利用截面法计算即可）

0M

5

2 0M5

3 0M

0 CM

B

A

C

0M

EI

EI21x

基本结构

1x

图M

二 .力法解超静定结构的计算步骤 （以 02级试题为例， 25分）

原结构

5

2 0M

5

3 0M

5

2 0Ml

Mx

5

3 01

0M

三 .对称性的利用 （重点掌握半刚架法）

1。对称结构的概念（几何尺寸、支座、刚度均对称）

2EI

EI

L/2L/2

EI

EI

LL

EI

2EI 2EI

EI

L/2L/2

2EI EIEI

2EI 2EI

对称结构

非对称结构

非对称结构

b. 偶数跨 — 取半边结构时，对称轴截面处视为固定端。

L/2L/2L/2

简化为

2。简化方法

⑴ 对称结构在对称荷载作用下（特点： M 、 N 图对称， Q 图反对称）

a. 奇数跨 — 取半边结构时，对称轴截面处视为定向支座。

M0 M0 M0

简化为

⑵ 对称结构在反对称荷载作用下（特点： M 、 N 图为反对称， Q 图为对称）

M0 M0

a. 奇数跨 — 取半边结构时，对称轴截面处视为与杆件垂直的可动铰支座。

M0

简化为

b. 偶数跨 — 取半边结构时，对称轴通过的杆件，弯曲刚度取一半。

L/2L/2

简化为

L/2

EIEI EI EI EI/2

⑶ 对称结构上作用一般荷载时，可将荷载分解为正对称与反对称两种情况之后在于以简化。（例如，作业 1 第四题：略）

另：简化时，应充分利用局部平衡的特殊性，以简化计算。

反对称荷载

P/2 P/2

（ b）

P/2

简化

例如：P

P/2 P/2 P/2 P/2

（ a） （ b）对称荷载 反对称荷载

（局部平衡，各杆弯矩为 0）

（ 03级试题） （ 15 分）用力法求图示结构 M 图 , EI= 常数 ， M0=45kN.m 。

M0 M0

2.5m2.5m3m

3m

4m

M0

MP 图

45

X1

M0

基本结构

X1=1

M1 图

2.5

M0

2.5m3m简化的半结构

EIEIp

5.112)

3

3455.2(

11

EIEI

46.11)

3

5.25.25.2

3

35.25.2(

111

解： 1.利用对称结构在反对称荷载作用下取左半跨结构进行计算， 取基本结构 , 列力法方程 01111 PX

3. 求 X

1

82.911

11

Px

4.绘 M 图。

2. 绘 M1 MP 图，求系数和自由项，

PMxMM 11

MkNM BA 45.204582.95.2

MkNM BD 55.2482.95.2

082.90 BCM

20.45

24.55 20.45

24.55

M 图（ kN.m ）

A B

C

D

往届试题举例 :

A B

C

D

请思考：若此题若改为对称荷载，结构又应该如何简化？

（ 20 分）图 b 为图 a 的基本体系。已知 12

711

lEI 012 EI

4

322

lEI

16

2

1

PlEI P 求结构的 M 图 . (EI= 常数 )02 PEI

3l

x1

x1P

x2

说 明 也可不画单位弯矩图和荷载弯矩图，求出基本未知量后，直接利用 AC段弯矩图是斜直线的特点由比例关系求出 A截面的弯矩值：

Pl

l

lPlM AC

56

3

32

3

28

3

P

2/lA

B

l

2/l

C

图 a

图 b

P

Pl56

11

图M

Pl28

3

Pl56

3

解 :１．列力法方程　　　　　　　　２．将已知条件代入方程求基本未知量

　 ３．利用叠加法求Ｍ图

0

0

222221

1212111

pi

p

xx

xx

02 x

，外侧受拉）即28

3(

28

3

7

12

16

2

11

11

PlMMpl

l

Plx CBCA

P

PAC MXMXMM 221156

3

2

1

28

3 plpl （右侧受拉）

1

0.5

X1=1

1

1M

X2 =11

1.5 2M

P

4/Pl

PM

（ 01级试题）

（此方法简便）

用力法计算图示结构，并绘出 M 图。 EI= 常数。（ 20分）

EIEI 3

64)444

3

1(

111

EIEI 3

256)444444

3

1(

122

EIEI

32)444

2

1(

12112

EIEIP 3

2002

3

22220

2

1(

11

EIEIP

80)4220

2

1(

12

4) 求系数和自由项

0

0

222221

1212111

pi

p

xx

xx

3)绘 2M 和 pM 图1M

2) 列力法方程解 : 1) 选 取基本结构，确定基本未知量 x1 、 x2 。

10KN

4m

2m

2m

（ 01级试题）（同作业 1 第三题3 ）

5) 把系数代入方程，求基本未知量0

3

20032

3

6421 XX

0803

25632 21 XX

93.314

551 X

536.028

152 X

6) 利用叠加法 绘 M 图

6.42

2.14

2.14

5.71

M 图 (kN.m)

Pik MXMXMM 2211

mkNM CB .42.6)20()536.0(493.34 如：

（右侧受拉）

10

20

10KN

pM

11 X

41M

12 X4

42M

1X

2X 10KN

基本结构2

（ 15 分）图 b 为图 a 的基本体系，求 Δ1P 。 E= 常数。

X1

30kN

图 b

（ 02级试题）

20

10

MP 图2.求系数 Δ1P(提示：变截面杆应分段图乘）

EIEIEIp 27

140)2

3

110

3

1(

1)]

3

2

3

1

3

1(420

2

1[

3

11

解： 1.绘 M1 MP 图X1=1

1

1/3

M1 图

5/9

EIEIEIp 27

140)2

3

110

3

1(

1)]120

3

1202(

6

4[

3

11 或

55

4m

2m

3I I

30kN

图 a

（ 15 分）用力法计算并绘图示结构 M 图。 EI= 常数。

A=3I/2l2

l

l

q

基本结构

q 1x11 x

M1 图l

4. 求系数和自由项。

EI

qlll

ql

EIp 84

3

23

11 42

1 EI

l 3

11

5. 求 X

1

88 3

2

11

11

ql

l

EI

EI

qlx P

6. 绘 M 图。

解； 1. 选取基本结构，确定基本未知量 1x01111 Px2.列出力法方程

3.绘 M1 MP 图。

2

2ql

MP 图

828

222 qlqll

qlM AB 0BAM

8

3 2ql

M 图

8

2ql

A B

8qlN BC

C

（ 03级试题）

第二部分 位移法一．基本概念

判断位移法基本未知量数目的方法：⑴ 刚结点数目 = 角位移数目 （不含固定端）⑵ 用直观法或换铰法确定独立结点线位移的数目。直观法：由两个不动点引出的两个不共线直杆的交点也为不动点。换铰法：将结构所有的刚性联结均变为铰接后（含固定端），组成的可变铰接体系的自由度数目，即为独立线位移数目。（注意角位移、线位移图形符号与约束力、力矩图形符号的区别。注意角位移、线位移正、负方向的规定。）

2. 位移法的基本结构 —由若干个单个超静定杆件构成的组合体。 为使结构中各杆变为超静定直杆：

BA BBA B A B A

B

1. 位移法的基本未知量： 刚结点的角位移与独立的结点线位移 (Δ1 、 Δ2 、 ····)

结点的角位移符号： 结点的线位移符号： （图示方向为正）

在结构上需施加附加约束 :(1)附加刚臂 (在刚结点处增设 ),符号 ,其作用是只限制结点的转动，不限制结点的移动。(2)附加链杆 (在结点线位移方向增设 ) ，符号为 其作用是只限制结点的线位移。

1. 梁和刚架一般均忽略杆件的轴向变形。 2. 位移法的基本结构一般应是固定形式。3. 位移法既用于计算超静定结构，也能计算静定结构。

注意

1. 2.

举例：判断下列结构位移法的基本未知量的个数 n，并画出基本结构图。（作业 2 第一题）

（铰结体系有一个自由度可判断有 1 个独立线位移）

原结构无刚结点，故没有角位移。用换铰法分析线位移：

（一个独立线位移）

Δ1

n=1

基本结构图（ 6 个独立角位移和

2 个独立线位移）

Δ1 Δ2 Δ3

Δ4

Δ5Δ6

Δ7

Δ8

n=6+2

Δ8

基本结构图

（铰结体系有两个自由度可判断有 2 个独立线位移）

原结构有 6 个刚结点，故有 6 个角位移。用换铰法分析线位移：

3. ：

Δ1

Δ2

Δ3

Δ4Δ5

n=3+2（ 3 个独立角位移和 2 个独立线位移）

基本结构图：

n=2+1（ 2 个独立角位移和1 个独立线位移）

Δ1

Δ2

Δ3

基本结构图可简化：

铰结体系有两个自由度

静定部分

举例（ 03级试题）

EIΔ1注意：当横梁刚度为∞时 , 右图无角位

移， 只有线位移。

解：取基本结构如下图所示：基本未知量 n=7

1EIa

EAb

EA1EI

1EI

1

23

4

6

5 7

1EIaEA

EA1EI

1EI

b2EI

4EI

2EI

4EI

EIEI

2EI

4EI

原结构

1 2 是独立结点角位移

3 7至 是独立结点线位移是附加刚臂

是附加链杆统称附加约束

1. 试确定图示结构位移法的基本未知量和基本结构，链杆 a,b 需考虑轴向变形。（ 15 分）

3. 位移法基本方程的形式及其物理意义。

0

0

2222121

1212111

P

P

Fkk

Fkk

一个结点位移 01111 PFk

两个结点位移

位移法方程的物理意义： 基本结构在基本未知量 Δ1 、 Δ2　…及荷载共同作用下，每个附加约束处的反力之和等于零。 ——实质是静力平衡条件

2111 kk 、 刚度系数，分别表示基本结构在结点位移 Δ1=1 单独作用 (Δ2=0) 时 , 其附加约束 1 和附加约束 2 中产生的约束力 ( 或力矩 ) 。（在 M1 图之中）

2212 kk 、 刚度系数，分别表示基本结构在结点位移 Δ2=1 单独作用 (Δ1=0) 时 ,其附加约束 1和附加约束 2中产生的约束力 (或力矩 )。（在 M2 图之中）PP FF 21 、 自由项，分别表示基本结构在荷载单独作用时 ,其附加约束 1和附加约束 2中产生的约束力 (或力矩 )。（在 MP 图之中）

4. 附加刚臂处的约束力矩与附加链杆处的约束力的计算方法： 计算附加刚臂处的约束力矩，应取相应刚结点为隔离体，由力矩平衡条件求出； 计算附加链杆处的约束力，应用截面切取附加链杆所在的结构一部分为隔离体，由截面剪力平衡条件求出。

01111 PRZr

0

0

2222121

1212111

P

P

RZrZr

RZrZr

旧版本：

5. 单跨梁的形常数： (是位移法绘 图的依据 ,是力矩分配法中计算转动刚度的依据 )

B

θBBi2

Bi4

2 ）一端固定另一端铰支的单跨梁

AθA

AAB iM 3

B

3 ）一端固定另一端定向支座的单跨梁 A

B

ΔθA

AAB iM ABA iM

AAB iM A当 A端产生角位移 时有：

ABA iM

BAΔ

l

iM AB

6

l

iM BA

6

l

iiiM BAAB

624

l

iiiM ABBA

624

当 A端产生角位移 ,B端产生角位移 且 AB杆的 B端产生竖向位移 时有：

A B

BA BθAB

Ai4

Ai2

Δ

l

iM AB

3A

B

iM

l

iiM AAB

33

当 A端产生角位移 , 且 AB杆的 B端产生竖向位移 时有：ΔA

1) 两端固定的单跨梁： ( 图中虚线为变形曲线）

0BAM

6. 单跨梁的载常数 (固端弯矩 )： 可直接查表 3-2 ,是位移法绘 图的依据 . (考试时一般给出 ) (查表时 ,应注意灵活运用 )

fAbM f

BAM

PM

附 : ⑴ 杆端力正负号的规定 : 梁端弯矩： 对杆端而言弯矩绕杆端顺时针方向为正 , 逆时针方向为负 ; 对结点或支座而言 ,则顺时针方向为负 , 逆时针方向为正 .如图 梁端剪力：使杆件有顺时针方向转的趋势为正 ,反之为负 .( 与前面规定相同 )

BA B A B

M>0 M<0杆端结点或支座

⑵　杆端位移 (结点位移 )正负号的规定 角位移： 设顺时针方向为正 ,反之为负。杆端相对线位移： 设使杆件沿顺时针方向转时为正 ,反之为负。

7. 掌握对称性的利用（半刚架法）：同力法复习部分 .（例如：作业 2 第三题）8.会由已知的结点位移 ,求结构的 M 图（利用转角位移方程）9. 复习位移法与力法的比较表（见教材第 65页表 3-3 ）

A B

q

12

2qlM f

AB 12

2qlM f

BA

A B

p

8

plM f

AB 8

plM f

BA

AB

q

8

2qlM f

AB 0fBAM

A B

p

16

3plM f

AB 0fBAM

（本题 15 分）用位移法计算图示对称刚架，并作 M 图。各杆　 EI ＝常数。

A B

C D

E F

l2

ql

l

1M

11k ３ i

３ i i

PF1

pM

3

2ql

6

2ql

q

1

l

基本结构

（半刚架）

iiiik 73311 3

2

1

qlF P

４．求基本未知量

i

ql

i

ql

217

1

3

22

1

pik MMM 11５．利用叠加法求Ｍ图

3．作　　　　　图，求系数和自由项。1M pM

１．利用对称性按半刚架法简化并取基本结构如上图，解：01111 pFk2. 列位移法方程

11k３ i

３ ii

PF13

2ql

ECEA Mql

i

qliM

7213

222

22

7

2

321ql

ql

i

qliM EF

二 .位移法解题步骤 ( 以 01级试题为例 )

M

2

3.52

11

)7

(2ql

11

三 .小结注意事项：1.确定基本未知量时，不要忽视组合结点处的角位移。而杆件自由端和滑动支承端的线位移，铰结端的角位移不作为基本未知量。2.在有侧移的刚架中，注意分清无侧移杆与有侧移杆，列截面剪力平衡条件时，所取截面应截断相应的有侧移杆。3.计算固端弯矩时，注意杆件的铰结端或滑动端所在的方位，以判断固端弯矩的正负号。4.列结点平衡条件时，注意杆端弯矩反作用与结点上，应以逆时针为正。结点上的力偶荷载及约束力矩则应以顺时针为正。

计算图示结构位移法典型方程式中系数 r11 和自由项 R ２ p 。． EI ＝常数。（ 18

分）

ll

l

p Z1

Z2

plm 2

D

A

CB2EI 2EI

EI

l

EIiiir

10108211

解：１ . 确定各杆线刚度：设 il

EIiBA

则 il

EIii CBCD 2

2

D

A

C Bi8

i2

（ Z1＝１）图1M

i411r

12r

1M 图中，由结点 C的力矩平衡条件可得到：在

2. 作　　　　 图PM1M

plR P 22

在 PM 图中，由结点 B的力矩平衡条件可得到：

3. 求系数 PR211r

A

plm 2pPR1

PR2

图PM

2Pl

2Pl

B

四 .往届试题举例 :（ 01级试题）

用位移法作图示结构的 M 图。（ 20 分）

Δ1

q

EA

EI

EI2l

l

l

4 ．求系数和自由项

22211

963

l

i

l

i

l

iK

１．取基本结构，确定基本未知量 Δ1解：

8

31

qlF p

il

EI令3 ．作　　　　图1M pM

01111 pFk2. 列位移法方程

1

基本结构

q l

i6

l

i3

截面 1-1

图1M

11k

11k2

6

l

i

2

3

l

i

qlQ fAB 8

5

A

q

B

2

8

1qlM f

AB 0fBAM

qlQ fBA 8

3

pF1

截面 2-2

图PM

8

2ql

pF18

3ql

0

A

B

C

D

2

8

3ql

2

8

1ql

图M

A

BC

D

5 ．求基本未知量

i

ql

i

lql

2498

3 32

1

pik MMM 116 ．利用叠加法求 M图

08

3912

ql

l

i

223

8

3

8

1

24

6qlql

i

ql

l

iM AB （左侧受拉） 2

3

8

1̀

24

3ql

i

ql

l

iM DC （左侧受拉）

（ 02级试题）

用位移法计算图示结构，并作 M 图。 AB 、 BC 杆弯矩图不画。（ 20分）

1EI

10kN A B C

EI EI EI

1EI

8m 8m

6m

1

基本结构

10kN

k11

6

EI

6

EI

6

EI

6

EI

6

EI

6

EI 1M

F1P

0 0 0

10kN

10 10 10

101010

M 图（ KN.m)

A

B

解： 1) 取基本结构，确定基本未知量 Δ1 。

2) 列位移法方程

3) 绘出 图

4) 计算系数和自由项 .

5)代入方程求未知量

6) 绘 M 图。

1M PM

636

2311

EIEIk

101 PF

EIk

F P 60

11

11

01111 PFk

mkNEI

EIMM BAAB 10

60)

6(

k11

66

2

EI

66

2

EI

66

2

EI

（ 03级试题）

F1P10kN

PM

Ι Ι

第三部分 力矩分配法一。基本概念1. 应用范围：仅有结点角位移的刚架和连续梁。2. 正负号规定：同位移法。3. 基本参数：⑴　转动刚度 S ：使杆端发生单位转角时（其他位移分量为 0 ）需在该端（近端）施加的杆端力矩。（其值与杆件的线刚度、远端支承情况有关）

BA

BθA=1 B

ABAB iS 4

i2

A BBB

ABi4

ABi2

A

ABi3

BA

θA=1

ABAB iS 3

B

0

A B

ABi ABi

A B

ABAB iS θA=1

i

远端固定

远端铰支

远端定向（滑动）

远端自由0ABS

BθA=1

⑵ 传递系数 C ：当杆端（近端）有转角时，远端弯矩与近端弯矩之比

远端固定：

远端铰支：

远端定向（滑动）：

C = 1/2

C = 0

C =－ 1

⑶ 力矩分配系数 μ

)(iik

ikik S

S

其值为小于 1 的正数，而

1)(

i

ik

ik 杆的转动刚度

汇交于 i 结点处各杆转动刚

度之和

ik 杆分配系数

4 。 结点的不平衡力矩及其“反号分配”的概念： 不平衡力矩是指将刚结点视为固定端后产生的约束力矩。其等于汇交于该结点的所有杆端的固端弯矩之和。而它在实际结构中是不存在的。 为了消除这个不平衡力矩，需在该结点处再施加一个与它等值反向的外力偶并按分配系数将其分配到各杆端，即“反号分配”。

1. 判断（ 01级试题）： 用力矩分配法计算结构时，汇交于每一个结点各杆端力矩分配

系数总和为 1 ，则表明力矩分配系数的计算绝对无错误 。 ( )

ACADAB

3

1

141414

14

2. 选择（ 01级试题）： 图示结构 E= 常数，正确的杆端弯矩（顺时针为正）是 ( ）。

1l

EIiAB 1

l

EIiAD 1

2

2

l

EIiAC

24

MM

MMM ACADAB

MMMMM ACADAB 2.04.0

3

2

3

MM

MMM ACADAB

3

MMMM ACADAB

A.

B.

C.

D.

AB

C D

I

l I

2l

2I

l M

分析：

)(iik

ikik S

S计算 除满足 1

)(

i

ik 外，还必须保证转动刚度计算正确。

概念举例 :

X

B

C

D

AB

I

I2I

8KN

6m

3m 3m 3mA结点

解： 1. 求各杆的转动刚度，设 EI=1

3. 计算固端弯矩

2

1

3

1

3

21

1

ADACAB

ABAB SSS

S

16

23

EIS AB

2. 计算分配系数：3

2

64 EI

S AC 3

1

3

EIS AD

3

1

3

1

3

21

3

2

ADACAB

ACAC SSS

S

6

1

3

1

3

21

3

1

ADACAB

ADAD SSS

S

mkNPl

M AB

916

683

16

3

二 . 力矩分配法的计算步骤：1.单结点力矩分配 ( 一次分配、传递即可结束运算）

举例：（ 02级试题） (15 分）用力矩分配法计算并做出图示结构 M 图。 EI= 常数

AB

P16

3Pl

8KN

AB

9kN.m

C

DB

4.5

1.5

3

1.5

12A

弯矩图（ kN.m ）

-4.5 -1.5 -3 -1.51.50分配传递

ik 1/2 1/6 1/3fikM

4.5 -1.5 1.5 -3 -1.5最后弯矩 0

A ADB C

计算框图：

8kN

90 0 0 00

（ 01级试题）用力矩分配法求Ｍ图（给出分配系数和固端弯矩值）。（ 10分）

1 ．分配与传递（见框图）

2 ．叠加计算最后杆端弯矩，

2.多结点力矩分配（多轮分配与传递 ,一般 2～ 3轮）（举例说明）

Ｍ图（ kN.m)30.97

A B C D E

61.9456.13

14.32

100

9040

19.1

Ｂ结点25.0

4

24

64

64

EIEI

EI

BA

75.0

4

24

6

24

4

24

EIEI

EI

BC

Ｃ结点

5.0

3

23

4

24

4

24

EIEI

EI

CB

5.0

3

23

4

24

3

23

EIEI

EI

CD

3. 绘Ｍ图。

0.25 0.75 0.5 0.5

-60 60 -26.67 26.67 50 100 -100

-19.17 -38.34 -38.34 0

-1.77 -3.54 -10.62 -5.31

1.33 2.66 2.66 0

-0.17 -0.33 -1.0

-61.94 56.13 -56.13 -14.32 14.32 100 -100

分配系数

最后弯矩

固端弯矩

分配传递

A EI B 2EI C 2EI D E

q=20kN/m 100kN.m

6m 4m 3m 2m

100kN.m

三 . 注意事项 1. 力矩分配应从不平衡力矩最大的结点开始（递减快），分配时一定要反号，传递不变号。 2. 刚结点处 , 最后一轮分配时 , 只向支座传递 ,不再向远端的刚结点传递。(否则结点处不平衡 ) 3. 计算精确度：一般进行 2～ 3轮即可。 4. 结点处的已知外力偶以顺时针为正，其处理方法有：方法⑴ 求出固点反力矩后与杆端的固端弯矩相加，再反号分配到各杆端。（注意：固点反力矩与外力偶方向相反） (见教材 74页例 4-1)方法⑵ 外力偶按原方向（不变号）单独进行第一轮分配，分配结果与该结点处的其它分配弯矩相加，向远端传递即可。 (见作业 4 第一题 2答案 )5. 连续梁和刚架中带伸臂端杆件的处理方法。

4 kN8kNm

4KNm

4 kN

A C

2mB D E

8 kN.m A

4 kN

B C D

4 kN8kNm

4 kN

A B C D

E

1DC

0DE

(01级试题 ) 用力矩分配法计算图示结构 , 并作 M 图 . 。 EI= 常数。（ 12分）

3l/4

A B

P

C

2l

2l plM f

BA 8

1

BA

2l

2l

plM fAB 8

1

P

解：１ . 计算分配系数：

２．固端弯矩

３．分配与传递 ４．最后弯矩，绘Ｍ图

Ｂ结点： 5.044

4

l

EI

l

EIl

EI

SS

S

BCBA

BABA

5.044

4

l

EI

l

EIl

EI

SS

S

BCBA

BCBC

l

EI

l

EIiS BCBC

4

4333

l

EIiS ABBA

44

plM AB 8

1 plM BA 8

1

A

分配系数 0.5 0.5

最后弯矩

固端弯矩

分配传递

B

C

8

Pl

8

Pl

16

Pl

32

Pl 0

32

5Pl

16

Pl

P

16

Pl

16

Pl

0

32

5Pl

16

Pl

64

9Pl16

Pl

Ｍ图

用力矩分配法计算图示结构 , 并作 M 图。 EI= 常数。（ 10分）

C D

45kN.m解： 1. 简化悬臂端如图（ a）所示，视 BC段为左端固定右端铰支。

3．计算固端弯矩

mkNql

M AB 156

2

mkN

MqlM BC

25.11

5.2225.1128

2

mkNql

M BA 303

2

mkNM CB 45 mkNM CD 45

D

q=10KN/M

3m 3m 3m

A

EIEI EIB C

2. 计算分配系数：设Ｂ结点

25.01311

11

BCBA

BABA SS

S

75.01311

13

BCBA

BCBC SS

S

13

EIii BBAB

4 ．力矩分配与传递5 ．计算最后弯矩，绘Ｍ图

（见计算框图）

45kN.m

30kN

图 (a)0.25 0.75

11.253015 45 -45

-10.31 -30.9410.31 0分配与传递

固端弯矩分配系数

× （ -1 ）×0

25.31 19.69-19.69 45 -45最后弯矩

mkNM fB 25.4125.1130不平衡力矩

45

11.25

11.2511.25

19.69

25.31 Ｍ图 (kN.m)

(02级试题 )

(15 分）用力矩分配法计算图示结构 M 图。已知375.0BA 625.0BC

CAB

80KN

6m 4m 4m

30KN 2

8

3PlM f

AB

A B

l/2

P

l/2

2

8

1PlM f

BA

A B

l

q

2

12

1qlM f

AB 2

12

1qlM f

BA

计算固端弯矩：

mkNqlM fAB 90630

12

1

12

1 22

mkNqlM fBA 90

12

1 2

mkNPlM fBC 240880

8

3

8

3

mkNPlM fCB 80880

8

1

8

1

分配与传递

最后弯矩

0.3750.625

146.25

-90 90 -240 -80

-61.875 -146.25 -173.75

28.125 56.2593.75 -93.75

固端弯矩分配系数

(03级试题 )

C135

BA

173.75 173.75

61.875

146.25

160弯矩图 (kN.m)

C A B

P= 40kN

4m 4m

4m

D E

由图示，可知 BE 杆 B 端的固端弯矩值为 (-160)kN.m ( 外侧受拉 )

分配与传递

固端弯矩

-35.5680

-160

A B

E分配系数

最后弯矩

AC1/9 4/9 4/9 1 0

000000

D

160 0

0

-35.56-17.78-8.898.89-17.7817.78 08.89

-3.95 -3.95-1.98-0.990.99

0

0

9.88 -9.88 -19.76 -39.51 49.38 160

-160 0

19.76C A B

D EP= 40kN

160

1609.88

9.88

39.51 49.38

M 图 (kN.m)

(15 分）用力矩分配法计算图示结构 M 图。（计算二轮）1BA .0BE94AB 91AD94AC已知分配系数

(03级试题 )

请思考：此题若简化 B 结点处为铰支端，分配系数与固端弯矩有什么变化？第三部分结束

第四部分 结构的动力计算

一 .基本概念及计算理论、公式 1.弹性体系的振动自由度 (动力自由度 )的确定 自由度 :结构运动时 ,确定结构上全部质点位置的独立坐标数。 确定振动自由度应考虑弹性变形 (或支座具有弹性变形 ),不能将结构视为刚片系 , 这与结构几何组成分析中的自由度概念有区别。其数目与超静定次数无关，和质点的数目也无一定的关系。 确定的方法： “直观法”和“附加支杆法”。 固定体系中全部质点的位置所需附加支杆的最低数目 = 体系的振动自由度 （应注意：忽略杆件的轴向变形，认为弯曲变形是微小的）

1 个自由度

m

2 个自由度

m m

m m

2 个自由度 2个自由度

EI=∞

弹簧

m1 m2

a a a

m1

m2m3

2 个自由度

1 个自由度

例：（ 01级试题）

判断：图示体系有５个质点，其动力自由度为５。 （ ）（设忽略直杆轴向变形影响）

EI

EA=∞

自由度为 3

或

（ 02级试题）

判断：设直杆的轴向变形不计，图示体系的动力自由度为 4 。 （ ）

m1

m2m3

判断：在动力计算中，以下两图所示结构的动力自由度相同（各杆均为无重弹性杆）。 （ ）

m1

m2m4

m1 m2

m3

自由度为 2 自由度为 4

Ｘ

√ X

２．单自由度体系无阻尼自由振动

11k 刚度系数

11 柔度系数

y 动位移

1111

1

k

)sin()( tAty （简谐周期振动）（ 7—24 ）

⑵ 任一时刻质点的位移（微分方程的解）

圆频率（自振频率） ;

A — 自由振动时最大的位移，称为“振幅”；初相角

— 2π秒内质点自由振动的次数。 ⑶ 自振频率

（单位：弧度 /秒） 1/sst

g

W

g

mm

k

1111

11 1

2

T

11Wst ( 沿振动方向作用一数值为 W 的力时，质点的静位移）

W

Δst

Δst的图示

11

2k

m 112 mgst

2

质点完成一次自由振动所需要的时间。⑷ 自振周期 T —

（单位：秒） s

（质点的重量）mgW

有初始干扰，起振后外力撤消

011 ykym （刚度法）

ymy 11 （柔度法）⑴ 运动微分方程：

分析 ω, k, δ, T 之间的关系 :

1 ） ω （或 T ）只与刚度系数 k11 ，柔度系数 δ11 和质量 m 有关，而与初干扰力 P(t)

及位移 y(t) 无关。 2 ）当 k11 不变时， m 越大，则 T 越大（ ω小）。即质量大，周期越长。

3 ）当 m 不变时， k11 越大（ δ11越小），则 T 越小（ ω大） 。即刚度大（柔

度小），周期越短。

TW

g

mm

k

21

1111

11

注意： ω （或 T ）是结构固有的动力特征，只与质量分布及刚度（或柔度）有关，而与动荷载及初始干扰无关。从表达式中能分析出 ω （ T ）与 k （ δ ）之关系。

（ 01级试题）判断：外界干扰力只影响振幅，不影响自振频率． （ ）

自振频率是体系的动力特征与外干扰力无关。

举例：

311 12

ml

EI

m

k

B

mA

l

Psinθt

ω与干扰力无关。 m 和l 不变时，若 EI 增大，刚度 k11也增大，由ω计算式可知ω也增大。

Ｏ

C选择：在图示结构中，若要使其自振频率 ω 增大，可以 ( )

A. 增大 P B. 增大 m C. 增大 EI D. 增大

（ 02级试题）

l

（ 01级试题）选择： 图示单自由度动力体系自振周期的关系为： （ ）　　Ａ．（ a)=(b) 　 B. (a)=(c) 　 C. (b)=(c) 　 D. 都不等

mEI

2l

2l

（ a ）

2l

2m

2EI

2l

（ b ）

l l

2m

2EI

（ c ）

112 mT 由 分析：

EI

mllll

EImTa 48

2)22443

11(2

3

ab T

EI

lmT

)48(222

3

图1M

P=1

1/4

Ａ

3 ．单自由度体系的无阻尼强迫振动（重点）

⑴ 运动微分方程：)(11 tPykym

)(1111 tPymy

)(111 tPymy P

刚度法

柔度法

或

（干扰力方向与质点振动方向共线）

（干扰力方向与质点振动方向不共线）

⑵ 简谐荷载 tPtP sin)( 作用下，平稳阶段的振幅（即最大动位移）

ss AAtyA

)1(

1)(

2

2max

PS PA 1

（ P 与质点振动方向共线时）

（ P 与质点振动方向不共线时）

11PAS

动荷载幅值 P 作为静力作用，使质体沿振动方向产生的静位移。SA

动力系数 — 最大动位移与荷载幅值产生的静位移之比。

（无阻尼时）2

2

1

1

计算式：

干扰外力不撤消

SA

A

干扰力的频率

体系的自振频率

位移是双向的

⑶ 简谐荷载 tPtP sin)( 作用下，动内力幅值的计算

方法 2. 动荷载与惯性力共线时的比例计算方法（较简便）

MPtM D max)(

D —动力系数。

P — 动荷载幅值；M — 单位力沿质体振动方向作用时的弯矩；

方法 1. 一般方法（较繁 ,略）

但对于某些超静定刚架可直接利用内力—位移关系式求内力幅值。

当水平位移等于 1时柱端的内力值，然后将其扩大 A 倍，便得到内力幅值。

tP sin若已知在动荷载 作用下，横梁位移幅值为 A ，则只要算出

AMtM max)]([

( 可参考作业 4 第四题及课上有关补充例题 )

(补充 )

( 可参考作业 4 第三题及教材书中有关例题 )

4. 阻尼对振动的影响 ⑴ 考虑阻尼时 , 体系的自振频率为

阻尼比02 c

c

m

c

c 阻尼系数临界阻尼系数0c

21 )( TT

对一般结构， ξ< 0.2 ，可取 )( TT

⑵ 小阻尼时（ ξ< 1 ），自由振动的振幅是一个随时间单调衰减的曲线， 最后质体停止在静力平衡位置上，不再振动。 大阻尼时（ ξ> 1 ），质体不产生振动。 ξ= 1 (c=2mω) 时， 称为“临界阻尼状态”。

⑶ 利用有阻尼振动时振幅衰减的特征，可以用实验方法测定体系的阻尼比 :

其计算公式：kn

n

y

y

k

ln2

1

kn

n

y

y

ln — 经过 k个周期后，振幅的对数递减量。

其中： ny kny 和 表示两个相隔 k个周期的振幅；

（补充）

（计算例题参考作业 4 第五题）

⑷ 在强迫振动中，阻尼起着减小动力系数的作用。简谐荷载作用下，有阻尼振动的动力系数为

2

222

2

2 4)1(

1

D

在共振区内，即当 1 时，阻尼对降低动力系数的作用最显著。

25.175.0

2

1D当 时，取

在非振区内，忽略阻尼的影响，偏安全。

011 ykycym

单自由度体系有阻尼的自由振动的动力平衡方程

单自由度体系有阻尼的强迫振动动力平衡方程tPykycym sin11

一般了解

tm

Pyyy sin2 2

m

c

2

5. 两个自由度体系的自由振动⑴ n个自由度体系应具有 n个自振频率（或 n个自振周期），有 n个主振型。主振型：当体系（即所有质点）按某一自振频率作自由振动时，任一时刻各 质点位移之间的比值保持不变，这种特殊的振动形式称为主振型。⑵ 两个自由度体系自振频率的计算公式 （掌握柔度法）

111m

222m

122 m

211 m= 0

λ称为“频率参数”

2

1

频率方程

2112221121

222211122211121 4

2

1 mmmmmm、

上式中 11 22、 2112 、 与力法方程中的系数的含义相同。

对于静定结构，采用静力法绘出 1M 图、 2M 图，用图乘法计算出。

11

1

11 2 T 21

21 TT 2

2

1

22 2 T

1

1T —第一主振型自振周期，亦称“基本周期”。

—第一主振型自振频率，亦称“基本频率”，简称“基频”。

⑶ 主振型的计算公式 (只能求两个质点振幅的比值，不能计算出确切的值 )

11

2 1

122

1111

1

1

m

m

A

A

）（）（

第一主振型（结构按ω1振动） 第二主振型（结构按ω2振动）

11

2 2

122

1112

2

2

m

m

A

A

）（）（

⑷ 主振型正交性验算公式：

当ω1≠ ω2 时 恒有

02211 212211 AAmAAm

⑸ 量纲复习（附加）： 国际单位制中 质量用“千克（ kq ）”或“吨（ t ）” 力用 “牛顿（ N ）”或“千牛顿（ kN ）” 力矩用 “ N·m”“kN·m”

211

smkgN

211

smtkN

310"" k 610"" M 910"" G重力加速度 28.9s

mg

抗弯刚度 EI 用“ kN·m2” 或“ N·cm2” 或“ N·mm2”

压强，弹性模量用“帕（ Pa ）”

211mm

NPa 22

6/11011 mN

mmNMPa

EI

llll

EIp

3

1 )2

42

1(

1

分析：

ll

P=1

1M l

P=1

PM

往届概念试题举例：判断题：对为 O ，错为 X 。

1. 对于弱阻尼情况，阻尼越大，结构的振动频率越小。 ( )

2. 不计杆件质量和阻尼影响，图示体系（ EI= 常数）的运动方程为：)()( 111 tPymy p

其中EI

lp

3

1 ( )tP sinl

l2 l2

m

（ 01级试题）

3. 动力位移总是要比静力位移大些。 （ ）

O

O

X

tAty S sin)(

1sin t t sin 不一定大于 1。分析：在动力位移表达式 中

)(ty 不一定大于静力位移故动力位移 SA 。

（ 01级试题） 1. 单自由度体系运动方程为 , 其中未考虑质体重力 , 这是因为：mtPyyy /)(2 2 ( C )

A. 重力在弹性力内考虑了。

B. 重力与其它力相比 , 可略去不计。

P=1

l

EI

l

3

3

11 3

4

3

94

3

3

11

P

EIlEIPl

yF mas

F3

4Pl分析：

（ 02 、 03级试题）2. 图示体系不计阻尼的稳态最大动位移 ymax=4Pl3/9EI, 其最大动弯矩为： ( )

A.7Pl/3 B.4Pl/3

C.Pl D. Pl/3

Psinθtm

EI

l

选择题：

C. 以重力作用时的静平衡位置为 y 座标零点。

D. 重力是静力 , 不在动平衡方程中考虑。

3. 单自由度体系如图，若 μ 为动力系数， M st 为荷载幅值作为静力所产生的静力弯矩，则弯矩幅值可表示为 M =μM st 的体系为 ( )

A. m

)sin( tp

B. m

)sin( tp

C.m

)sin( tp D.

m

)sin( tM

计算式 M =μM st 的适用条件是： 动力荷载的方向与质点振动方向共线。

B

B

二 .计算题类型分析：㈠ 求单自由度体系的自振频率（或周期）方法：首先根据结构的特点求出与质体振动方向相应的柔度系数或刚度系数，然后用公式计算。

11

11

k

T （可参考教材第 157 页例 7.3 和例 7.4 ）

TW

g

mm

k

21

1111

11 刚度系数 k11 ( 可用位移法求 )；

柔度系数 δ11 ( 可用力法去求） .

2)

EI=∞

EI EI

L

h

m

3211

2424

l

EI

l

ik

k11 Δ=1 Δ=1

h

i6

h

i6

h

i6

h

i6

如：

EI

L L/21)

EI

lllll

ll

EI 8)

2223

1

223

1(

1 3

11

m

P=1

δ11

2

l

c4

911

m

c

m

c

m 3

2

9

41

11

解 : 因为梁的刚度为无穷大，所以当质点处作用单位力时，弹簧支座的位移 Δ与质点的位移 δ11 有比例关系：

有 llc2

3

3

211

所以

0 AM2

3lPlR 有由

113

2

cR 113

2由此可得

得

（补充）：要会计算具有有弹簧支座的单自由度体系的自振频率。

求图示体系的自振频率。已知弹簧刚度为 C ，不计梁的自重。（ 15 分）

EI =∞c

2

ll

mA B

例 1（ 02级试题）：

p=1

cR 113

2113

2

11

变形图：

1p将 cR 113

2 代入上式，

选择：在图示体系的自振频率为： （ ）

A. B.

C. D. mEI

l

3

3

3

3

ml

EImk

l

EI)

3(

3

ml

EIk )

3(

3

m

l

EIk

P=1l

图M

3

31

l

EIk

EI

l

3

3

kl

EIkkk

311

3mk

l

EI

m

k)

3(

311

例 2（ 03级试题）：

分析：

EI

kkk 11

k —悬臂杆件的刚度系数

11k —原体系的刚度系数

k —弹簧的刚度系数

Δ=1

B

㈡ 计算单自由度体系在简谐荷载作用下，强迫运动平稳阶段的最大动位移（振幅）和最大动内力 M(t)max 、 Q(t)max 。

⑵ 计算自振频率

EIEI

8)

3

222

3

422(

111

)1

(5.24820

106.98.9 3

11 sW

g

cmm

PA

3029.1013029.0106.9

85127.3

3

11

127.368.01

1

5.24

201

1

1

1

2

2

2

2

例 1(03级试题 )

求图示体系质点处最大动位移和最大动弯矩（ ymax\Mmax)

E=2×104kN/cm2 ， I=4800cm4,θ=20s-1 , W=20kN ， P=5kN （ 25

分）4m 2m

)sin( tp

EI

W

EI= 2×104 kN/cm2×4800cm4 =9.6×103 kN.m2

2. 计算动力系数

3.计算质点处最大动位移 A

4. 计算最大动弯矩

mkNMPtM .27.3125127.3)( max

( 分析 :此题属于静定结构且振动荷载与惯性力共线，可采用简化的比例算法 )

M1

2P=1解 : 1. 计算体系自振频率

⑴　绘M1 图，求柔度

系数。

此题与作业 4 第三题类同，复习时注意区别最大位移（或弯矩）与最大动位移（或动弯矩）的区别

试求图示体系稳态阶段动力弯矩幅值图。 θ=0.5ω(ω 为自振频率 ) ，不计阻尼。（ 20分）

例 2(01级试题 )

EI

l

K 24

1 3

1111

3) 计算振幅 A

EI

Pl

EI

lppA

18243

4 33

11

311

24

l

EIK

4) 计算柱端弯矩幅值 单位位移作用下柱端弯矩 2

6

l

EIM

3)

18(

6 3

2

pl

EI

pl

l

EIAMM

解： 1) 绘 图， 11K1M 计算

2)计算动力系数 5.0:

3

4

5.01

1

1

12

2

2

已知

分析 : 此题同作业 4 第四题 ,属于“超静定刚架利用内力与位移的比例关系计算动弯矩幅值”类型 .

注意 : 若此类型题给出的已知条件是动荷载的频率 θ，而不是频率比，则需先计算自振频率ω。

60

2 n 每分钟转数

EI

EIEI=∞

mPsin(θt)

l

l

3

pl

3

pl

3

pl

3

pl

3

pl

动弯矩幅值图

11K

2

6

l

EI

2

6

l

EI

2

6

l

EI

2

6

l

EI

M

Δ=1

㈢ 计算两个自由度体系的自振频率和主振型（两种类型： 1. 单质点双自由度 2. 双质点双自由度 )

例 1(作业 4 第二题 3)

a a

a求：图示体系自振频率和主振型

解：⑴ 绘 1M 2M、 图，求 ij

EI

a

6

3

11 EI

a

2

3

22 02112

1P

2/a 图1M

1P

2/a

2/a

a

图2M⑵ 求自振频率 1 2、

2

1222112

2211221121 42

m、

3

1

3

2

2

3

EI

ma

EI

ma

2

3

1 EI

ma

6

3

2

31

1

21

ma

EI

32

2

61

ma

EI

22

1

m

11

1

m(水平振

动 )(竖向振动 )

⑶ 求主振型

第一主振型

第二主振型

（单质点双自由度）

例 2 （作业 4 第二题 1 ） . 求图示体系的自振周期和主振型，并绘出主振型的形状。1P

4

l

1M

解：⑴ .绘 1M 2M、 图，求 ij EI

l

48

3

22 EI

l

3

2 3

11

l

l/2

m

l/2

EI

EI

EI

l

16

3

2112

⑵. 求自振频率 1 2、

2112221121

222211122211121 4

2

1 mmmmmm、 本体系 mmm 21

16

1

16

1

3

2

48

14

3

2

48

1

3

2

48

1

2

23

21 EI

lm、 6578.06875.0

2

3

EI

ml

（单质点双自由度）

1Pl

l

2M

EI

ml 3

1 67266.0

EI

ml 3

2 01485.03

22 2061.8

1

ml

EI

31

1 2193.11

ml

EI

⑶. 求主振型

12

111

1

11

)1(

)2(

1

m

m

A

A

1

4.10

16

4867266.0

3

33

EI

mlEI

ml

EI

ml

12

112

2

22

)1(

)2(

1

m

m

A

A

4.10

1

1

096.0

16

4801485.0

3

33

EI

mlEI

ml

EI

ml10.4

10.4

1

-1

⑷验算主振型的正交性

第一主振型

第二主振型

02211 212211 AAmAAm

0)096.0(4.1011 mm 满足验算公式 。

本题应注意的问题：① 由于结构只有单个质点，容易误认为是单自由度体系。也容易误认为体系按竖向和水平方向振动，从而由竖向柔度 求出竖向振动频率，由水平柔度 求出水平振动频率。这是不正确的。② 虽然两个主振型的振动方向既不是水平的，也不是竖向的，但可以验证两个方向是互相垂直的。（即具有正交性）

1122

例 2（ 01级试题）（与教材 173页例 7.9雷同 ).求图示梁的自振频率及主振型，并画出主振型图形。杆件分布质量不计。 (25 分 )

)(4)()(

2

1 212221121

22221112221112,1 mmmmmm

mmm 21

P=1a

2M

aP=1

1M

解：１．作　　　　图．1M 2M 求柔度系数　　

EI

a

3

2 3

2211 EI

a

6

3

2112

21 、2 ．求

EI

ma

6

5 3

1 EI

ma

2

3

2

31

1 0954.11

ma

EI

3

22 414.1

1

ma

EI

3 ．求主振型1

1

6

13

2

6

5

)1(

)2(

12

111

1

1

m

m

A

A

1

1

6

13

2

2

1

)1(

)2(

12

112

2

2

m

m

A

A

第一主振型

１ １

１

１第二主振型

m m

a aa

(EI= 常数 )1 2

12112,1

例 2（ 02 、 03级试题）（与作业 4 第二题 2雷同 ).

求图示结构的自振频率 EI=9600×104kN.cm2 ， m=2kg 。（ 25分）

EI

l

EI

l

3

8

3

)2( 33

11 EI

l

3

3

22

EI

lllll

l

EI 6

5)22(

6

1 3

2112

)1

(160274584.042

1010109600584.0584.0

3

434

31 sml

EI

)1

(1064274884.3884.332 sml

EI

解； 1.绘M1 ， M2 图 求系数柔度

)(4)()(

2

1 212221121

22221112221112,1 mmmmmm

21,2) 求自振频率 （采用频率参数）

4m2 1

m m

4m

P=1

2ll

M1

P=1

l

l=4m M2

21mm 且 则有 )86744.23(

2

3

2,1 EI

ml

EI

ml31 934.2

EI

ml 3

2 0663.0

3) 求主振型

13.12

第一主振型

1

1

0.32

第二主振型

1

12.3

6

53

1934.2

)1(

)2(

12

111

1

1

m

m

A

A

1

32.0

6

53

10663.0

)1(

)2(

12

112

2

2

m

m

A

A

4) 正交性验算

02211 212211 AAmAAm

0)32.0(12.311 mm

满足

第五部分 影 响 线

P=1

LＡ Ｂ

ＲＡ ＲＢ

x一 .基本概念1.影响线定义：当方向不变的单位集中荷载Ｐ＝１沿结当方向不变的单位集中荷载Ｐ＝１沿结构移动时，表示结构某指定处的某一量值（反力，弯矩，构移动时，表示结构某指定处的某一量值（反力，弯矩，剪力）变化规律的图形剪力）变化规律的图形。

2.影响线与弯矩图的区别

Ｐ =1( 移动 )Ｃ Ｄ

Ｍ C 的影响线

Ａ Ｂ⊕yC ⊕ yD

Ｐ作用在 C 处时的Ｍ图

Ｐ ( 固定 )

Ｃ Ｄ

yCyD

yC ： P=1 移至 C 截面时， C 截面的弯矩值；yD ： P=1 移至 D 截面时， C 截面的弯矩

值。

yC ： P 在 C 截面时， C 截面的弯矩值；

yD ： P 在 C 截面时， D 截面的弯矩值。

3. 静定梁的影响线是直线或折线图形，可求出具体的纵标值； 而超静定梁的影响线是曲线，只能用机动法绘出其影响线的轮廓。

4.临界荷载 Pk（ Pcr ）的概念 :

指能使量值 S发生极值的荷载。（有时临界荷载不止一个）

二 . 熟记简支梁影响线的画法 (最基本的 )

BＰ =1( 移动 )

ＣA

a b

l

⊕1

⊕1

⊕

1

l

ab

1 l

b

l

a

⊕-

RA 影响线

RB 影响线

MC 影响线

QC 影响线注意 :1. 影响线中正、负号及纵标值的标注 ; 2. 掌握右面四种图的特点。

　 三 . 会用机动法绘制静定梁影响线（可参考教材例题 5.2) 1. 机动法的原理 : 虚位移原理 . 2.　机动法绘制静定结构某量值 X 影响线的步骤 :

⑴　去掉与所求量值 X 相应的约束，以 X代之，使体系转为具有一个自由度的机构； ⑵　使所得的机构沿 X 的正方向发生相应单位虚位移（ δX=1 ）； ⑶　 由此得到的刚体虚位移图 (δP 图）即为所求的影响线，　　　若位移图在基线上侧，则影响线的竖标取正号，反之取负号。　 　 (要理解“相应”的含义 )举例：用机动法作图示结构中 RA 和 QC 的影响线 A B

8m

P=1

D

6m

C

2m

AB D

RA

δX=1 C

1

1/4

RA 的影响线

⊕

DδX=1

AB

QC

QC

AC D

QC 的影响线

1

⊕

几何不变部分

1 ．判断：图示结构ＱＥ影响线的ＡＣ段，纵标不为０． （ ）　

A

P=1

B C

ED

A B C E D

ＱＥ影响线的形状

往届试题举例 :

Ｘ

AMC

δX=1

2. 选择：根据影响线的定义 , 图示悬臂梁 C截面的弯矩影响线在 C 点的纵标为： ( )

2m 3m

P=1

AC

A. 0 B. -3m

C.-2m D.-1m

几何不变部分

分析：

虚位移图

A

CA 3m

MC 影响线

-

(01级试题 )

（ 02级试题）判断：用机动法做得图 a 所示结构 RB 影响线如 图 b 。 （ ）

B

图 a

B

1

RB 图 b

B

1

RB

正确图

（ 03级试题）选择 ；机动法作静定梁影响线应用原理为； （ ）

A. 变形条件 B. 平衡条件 C.虚功原理 D.叠加原理

C

X

四 . 掌握荷载的不利布置，临界荷载的判别及内力极大、极小值的计算

1. 均布断续活荷 q 的不利布置 qSmax

qSmin

2. 在行列移动荷载作用下，利用影响线求某截面最大、最小弯矩值（或剪力值） 步骤：⑴ 绘出所求量值的影响线； ⑵ 判断临界荷载，找出最不利荷载位置 直观判断与试算或用判别式（仅限三角形影响线）相结合 ⑶ 利用 ii yPS 计算该荷载位置下的该量值。

设 PK 为临界荷载，当其位于影响线顶点时，应满足下式：

附：三角形影响线临界荷载的判别式

Δx

Δx

b

P

a

PP K 右左

b

PP

a

P K 右左

（求极大值）

q布满影响线正号部分，有最大值 Smax ：

q布满影响线负号部分，有最小值 Smin 。

q

03级试题 :

判断： 1. 图示简支梁在移动荷载作用下，使 C截面产生弯矩最大值的临界荷载是： （ ）A . 7KN B. 3KN C. 10KN D. 5KN

C6m 6m

7KN 3KN 5KN

4m 4m5m

10KN

1. 将 10KN 置于影响线的顶点

mKN

M

5.36

5.03153101

显然

310.5

5KN10KN3KN

4m 4m5m

7KN

4m 4m5m

5KN10KN3KN7KN

31 0.5

绘出 MC 的影响线。

初步判定 7KN 、 5KN 不是临界荷载。

2. 将 3KN 置于影响线的顶点

mKN

M

5.17

5.07335.0102

21 MM

所以 C. 10KN 是临界荷载。

MC 的影响线

MC 的影响线

C

2. 图示梁在所示移动荷载作用下截面K的最大弯矩值是 15kN.m （ ）

k12m 4m

5KN4m 4m

5KN5KN

MKmax=5×3+5×2+5×1=30kN.m

k

21

5KN4m 4m

5KN5KN

3

影响线KM

316

412

l

ab

×

五 . 利用影响线，求固定荷载下，某量值 S的大小。

qyPS ii

CR 影响线

543

4

2

12

2

1)

3

41(

1. 求 的值CR

ω

)(14020540

)3

2

3

1(40

KN

qRC 1

2/31/3

4/3

+

分析：应分别绘出所求量值的影响线（多跨静定梁的影响线宜采用机动法绘制）， 然后计算出有关纵标值，再由公式 qyPS ii 计算各量值。

举例（作业 3 第四题） :

40kN 40kN

2m 2m 2m 2m 4m

20kN/mA B

C DE FCR EM

左CQ

利用影响线求图示结构中的

之值。

集中荷载

与集中荷载对应的影响线中的纵标值

均布荷载均布荷载覆盖下的影响线的面积

40kN 40kN 20kN/m

解：

2. 求 的值EM

)3

26

2

1(20)

3

2

3

4(40 EM

).(404040 mkN

（下侧受拉）

3. 求 的值左CQ

EM 影响线

4/3

2/3

2/3

-+

)(60

)3

16

2

1(20)

3

2

3

1(40

KN

Qc

左

左CQ 影响线

1/32/3

1

1/3

- -

40kN 40kN 20kN/m

40kN 40kN 20kN/m

习题 5. 9 试求图示简支梁在吊车荷载作用下 C 截面的最大弯矩、最大正剪力和最大负剪力。

A BC

3m 9m

5. 2 5 m

1.45m

4..8mP1P1= P2 = 478.5kN

P3= P4 = 324.5kN

解： 1. 计算 C 截面的最大弯矩 先作 MC 影响线如图所示。 再判别临界荷载 : 初步判断 P1 和 P4 不是临界荷载。 再利用临界荷载判别式： ⑴ 将 P2 置于影响线顶点：

⑵ 将 P3 置于影响线顶点：

9/4m

⊕MC 影响线

5. 2 5 m1.45m

4..8mP1

P2

P3 P4

6

25.324

3

5.478

6

25.5324.478

3

0

∴P2 为一临界荷载。

9/4m

⊕MC 影响线

5. 2 5 m1.45m

4..8mP1

P2

P3 P4

6

5.324

3

5.324

6

5.324

3

5.3245.478

∴P3 不是临界荷载。

P2 P3 P4（补充作业）

9/4m

MC 影响线

5.2 5 m1.45m

4..8m

P1 P2P

3 P4

y3 y4y2

945.1923 yy

98.445.1924 yy

8875.19

55.725.23

y

6875.09

75.225.24

y

当 P2 作用于 C 点时：

443322max ypyPyPM C

mkN.2.1912

)6875.08875.1(5.32425.25.478

⊕

2. 计算 C 截面的最大剪力 ( 采用试算法） 临界荷载判别式在这里不适用

0.310.19

5.25m1.45m

4..8mP1 P2 P3 P4

1/4

3/4

⊕

QC 影响线

将 P1 移至 C 截面处：

75.01 右y

31.09

75.375.02

y 19..0

9

3.275.03

y

25.01 左y

kNQC 87.56819.05.324)31.075.0(5.4781

019.05.324)31.025.0(5.4781 CQ

QCmax最不利荷载位置1/4

3/4

⊕0.63

0.23

5.25m1.45m

4..8mP1 P2 P3 P4 将 P2 移至 C 截面处： 75.02 右y 25.02 左y

63..09

55.775.03

y 23..0

9

75.275.04

y

kNQC 95.637)23.063.0(5.32475.05.4782

0)23.063.0(5.324)25.0(5.4782 CQ

3/4

⊕

5.25m1.45m

4..8mP1 P2 P3 P4

1/4

将 P3 移至 C 截面处：75.03 右y 25.03 左y

35.09

2.475.04

y

13.03

55.125.02

y

0.35

0.13

kNQC 75.294)35.075.0(5.324)13.0(5.4783

kNQC 76.29)35.025.0(5.324)13.0(5.4783

QCmin最不利荷载位置

1/4

3/4

⊕

5.25m1.45m

4..8mP1 P2 P3 P4

将 P4 移至 C 截面处：75.04 右y 25.04 左y

kNQC 38.24375.05.3244

kNQC 13.81)25.0(5.3244

结论：P2 移至 C 截面处时为 QCmax最不利荷载位置 kNQC 95.637max

P4 移至 C 截面处时为 QCmax最不利荷载位置 kNQC 13.81max

h

补充 1 梁的极限荷载

1. 定义 : 整个梁截面达到塑性流动状态时所能承受的最大弯矩值，称为梁截面 的极限弯矩。

MuMu

弹性状态 弹塑状态 塑性状态

y y

中性轴

塑性状态

y １y ２

by

A2

A1

一 . 极限弯矩 Mu

极限状态时中性轴将截面面积分成两个相等的部分．

2. 极限弯矩（ M u ）的计算方法

y2

y1

横截面 极限状态应力

A1σy

A2σy

中性轴（等面积轴）

设 A1 为受拉区面积， A2 为受压区面积， A 为全截面面积。由静力平衡条件可得：

221

AAA

22112211 yAyAyAyAM yyyu

)(2 21 yyA

M yu

)( 21 SSy

又由于

所以

矩）对中性轴的静矩（面积和是、 2121 AASS

O1

O2

二 . 塑性铰的概念（见图 8-4 ） 1. 梁达到极限弯矩 Mu 时，两个相邻截面由于纵向纤维呈现缩短或伸长的流动产生有限的转角，相当于在此处形成一个铰，称为“塑性铰”。 形成塑性铰后，梁变为一个机构，这时的状态为“塑性极限状态”。 2. 塑性铰与普通铰的区别： ⑴ 塑性铰的两端承受大小为 Mu 的极限弯矩，而普通铰不能承受弯矩； ⑵ 在结构未破坏之前，塑性铰具有暂时性，若此时卸载塑性铰会消失，而普通铰无此性质； ⑶ 普通铰是双向铰，而塑性铰是单向的，其转动方向与极限弯矩转向一致。

三 . 破坏机构 1. 定义 : 结构构件形成塑性铰（一个或几个）后，原结构就要变成几何可变体系，失去继续承载的能力，该体系称为该原结构的破坏机构。 形成破坏机构瞬时所对应的结构变形状态，称为结构的极限状态，此时的荷载即为极限荷载，写为 pu 、 qu 。 （如 图 8-4所示）（在极限状态下，对结构的内力进行分析，按平衡条件即可求出极限荷载—称为“极限平衡法”） 2. 形成破坏机构的原则

破坏机构： uP

uM

静定梁只要有一处截面出现塑性铰即为可变体系。

P

2

l

2

l

P uM

uM

uM

P5.1P（图 8-9 ）

破坏机构

uP（图 8-8 ）

单跨超静定梁破坏机构的形成规则是：⑴ 塑性铰的位置只能在固定端、集中荷载作用点及均布荷载中剪力为零处。⑵ 当梁上荷载均向下时，负塑性铰只能在支座处，跨中不可能出现负塑性铰。

P P5.1

破坏机构二

不可能负塑性铰

P P5.1

破坏机构一

（超静定梁形成破坏机构应有足够的塑性铰出现）。

多跨连续梁破坏机构的形成规则是： 当作用在梁上的荷载均向下时，连续梁只能在各跨内独立形成破坏机构，即塑性铰只能在各跨内独立形成，且应遵守单跨梁的两条规则。

举例：P P2

PP2

不可能

P P2

破坏机构一

P P2

破坏机构二

（图 8-12 ）

2. 有一对称轴的截面的极限弯矩的为 ，其中 A 为截面面积， a 为受拉区

和受压区面积形心之间的距离， 为材料的屈服极限。 （ ）2

AaM yu

y

)(2 21 SSAa

M yyu 2. 因为这里

(往届试题举例 ) ．是非题（每小题 5 分）１．结构某截面完全进入塑性状态后，该截面就象铰一样不能承受内力，处于这样情况下的截面称为塑性铰。　　　　　　　　 （ ）1.塑性铰承受弯矩 Mu

3. 静定结构只要产生一个塑性铰即发生破坏， n次超静定结构一定要产生 n+1 个塑性铰才产生破坏。 （ ）

3. 后半句不正确。 n次超静定结构不一定要产生 n+1 个塑性铰才产生破坏。

如： 6 次超静定

P P2

破坏机构(产生 6 个塑性铰 )

破坏机构

再如： P P2

2 次超静定

(产生 2 个塑性铰 )

O

Ｘ

Ｘ

四 . 确定极限荷载 以“上限定理”为依据，找出结构所有可能的破坏机构。 破坏荷载中最小的是极限荷载。 1 。机动法（或称机构法） 步骤： ⑴ 先假定出所有可能的破坏机构，使结构产生任意微小的虚位移； ⑵ 利用虚位移原理，建立虚功方程，由此分别计算出与各破坏机构相应的破坏荷载； ⑶ 取这些破坏荷载中的最小值，定为极限荷载 Pu 。

2 。静力法步骤：⑴ 对所有可能的破坏机构绘出极限状态的弯矩图； ⑵ 利用平衡条件，分别计算出各种极限状态的破坏荷载； ⑶ 取这些破坏荷载的最小值，即使极限荷载。

（具体例题详见网上第 8章课件）

(02级试题 ) （ 15 分 ) 求图示两跨连续梁的极限荷载。设两跨截面的极限荷载弯矩均为Mu

l l

CA B

q

uq

设极限荷载为 qu 解：

1.画出可能的破坏机构，仅有一种。

2.塑性铰 D 处的剪力为 0 。设 BD 的距离为 x

分别取 BD 与 DC 段为隔离体：DA B

uM

uM uMx

C

DC 段：

BD 段：

0∑ CM

02-2

1 2 uMqxu

u

q

Mx 20 BM

0)-(2

1 2 uu Mxlq

2)-(2

xl

Mq uu

2266.11

)22(

2

l

M

lll

Mq uuu

lx )22(

把u

u

q

Mx 2

2

)(2

)(

22

2

2

xl

xl

MM

xu

u

再把2)-(

2xl

Mq uu

lx )22(

得

代入

代入

(此题采用的是静力法 )

p p 1.2pq=2p/a

a a a a a2a

22.1 uu MMap

uu MMapap 32

232 uu MMapap

uuu MMM

aa

a

p2

2

22

a

Mp u5.2

a

Mp u2

a

Mp u33.1

a

Mp u67.1

1) θ

2θ 3θ

1.2pp pq=2p/a

2) θ

2θ3θ

q=2p/ap p 1.2p

3)θ θ

2θ

1.2pp p q=2p/a

4)θ θ

2θ

p p q=2p/a1.2p

自我练习： 分析图示连续梁有哪几种可能的破坏机构形式，并用机动法找出其极限荷载 Pu 。

答：四种破坏机构，其中机构⑴　　　　　

a

Mp u33.1 为最小，

即极限荷载a

Mp uu 33.1

acrP b

crP

ll(a) (b)

A. = B. = C. = D. = acrP

acrP

acrP

acrP

bcrP2

1 bcrP2 b

crP4bcrP

2EI EI

补充 2 ．压杆的稳定

１．临界荷载：压杆保持稳定平衡所能承受的最大的压力．记做

2. 临界荷载的计算公式（欧拉公式）

l

2

2

)7.0( l

EIpcr

2

2

l

EIpcr

2

2

)2( l

EIpcr

2

2

)5.0( l

EIpcr

crp

2

2

)( l

EIpcr

l —计算长度—长度系数

1 2 5.0 5.0 7.0

Pcr与杆件的抗弯刚度 E I成正比，与计算长度 μl 的平方成反比。

举例（ 01级试题）设 和 分别表示图 a,b 所示两结构的临界荷载 , 则应有关系式：（ ）acrP

bcrP Ｃ