稳定性是系统本身的性质之一，与激励信号无关。 稳§3.6 LTI系统的稳定性

是单位冲激响应绝对可积：系统就是不稳定的。 LTI 系统 BIBO 稳定的充分必要条件称 BIBO ）的系统。如果对有界激励，系统的响应无界，普遍采用的稳定系统定义：有界输入产生有界输出（简几种不同的提法，但是没有实质性的差别。 这里给出定系统也是一般系统设计的目标之一。稳定性的概念有

Mdtth

将系统稳定性分为三类。

上式中M

tht lim以既可由

0lim

tht

sH

为一有界的实数。满足此式的，一定是随时间衰减的函数，即 。 LTI 系统的系统函数与单位冲激响应集中表征了系统特性，稳定性也必在其中。所

的不同情况，也可由 的极点分布，

一、系统稳定性分类1 稳定由 §3.6 零、极点分析可知， 若的全部极点在的左半平面（不含虚轴），单位冲激响应满足

0lim

tht 系统稳定

1、系统稳定性分类(1) 稳定由 §3.6 零、极点分析可知， 若的全部极点在的左半平面（不含虚轴），单位冲激响应满足

0lim

tht 系统稳定

(2) 不稳定

系统不稳定。若 sH 有极点落在右半平面，或者 j 轴、原点处有二阶以上重极点，则单位冲激响应

thtlim

(3) 边（临）界稳定

，但

为使分类简化，可将其归为非稳定系统。

若 sH j在原点或 轴上有一阶极点，虽然单位冲激响应 0lim

th

t Mth t0

其单位冲激响应为无阻尼（等幅）的正弦振荡。因为3 是处于 1 、 2 两种情况之间，故称边（临）界稳定。

例如纯网络，

二、稳定系统与系统函数分母多项式系数的关系

设：

根，对应因式为

系统函数 sDsNsH /

011

1 asasasasD nn

nn

稳定系统的极点应位于平面的左半平面，因此 sD 根的实部应为负值。它的根一般有下面两种情况：一是实数

as

0a

二是共轭复根，对应因式为 jsjs

22 s

cbssss 2222 2

b c

b sD

as cbss 2 a

c

上式表明复数根只能共轭成对出现，否则不能保证 b 、c 0为实数。又因为复数根的实部应为负值，因此 ，

所以 、 必为正值。综上所述，将 分解后，只有、 两种情况，且 、 、 均为正值。

这两类因式相乘后，得到的多项式系数必然为正值，并

sD

sD 的系数关系：稳定系统与分母多项式且系数为零值的可能性也受到了限制。由此我们可得到

(1)

(2) 多项式从最高次方项排列至最低次项无缺项。 的系数 ia 全部为正实数。

以上是系统稳定的必要条件。

判断。当系统为一阶、二阶系统时，系数如果给定 sH

系统稳定的充分必要条件。0ia

表示式，由此可对系统稳定性作出初步

例 3-24 已知系统的

(3)

sH 如下，试判断是否为稳定系统？

(2)

(1) 234

1223

2

1

sss

sssH

9722

3

23

2

ssssssH

823

2423

2

3

sss

sssH

就是

解 1 分母有负系数所以为非稳定系统解 2

解 3 满足稳定系统的必要条件，是否稳定还需进一步进行分解

定系统。

中缺项，所以不是稳定系统。 sD

分解检验。对 sD

432823 223 sssssssD

可见 sD 有一对正实部的共轭复根，所以系统 3 为非稳

系统稳定性变化。

解

整理上式，得

例 3-24 如图 3-28 所示反馈系统，讨论当k 从零增长时 12

1

ss

sG

k

sY sF sV

sGsVsY

skYsFsV

sGskYsGsFsGskYsFsY

将 代入上式，得

sGsFskGsY 1

由此得到：

其中：

代入具体值讨论：

skG

sGsFsYsH

1 121

121

sskss

21

121

2

ksskss

kp 49

21

1

kp 49

21

2

21

1psps

，

，系统不稳定；

界稳定；

为具有负实部的共轭复根，系统稳定。

代入具体值讨论：0k 11 p

22 p

2k 01 p 12 p

49k 2121 pp

49k 1p 2p

时，反馈支路开路，系统无负反馈，极点为 ，

时，系统加大了反馈，极点为 ，

， 、系统稳定；

时，系统进一步加大了反馈，极点为

系统临

推得一般结论：系统加负反馈可以增加系统的稳定性。以上分析可知 2k 2k系统稳定， 系统不稳定。可以

系统稳定的相同结论。2k由二阶系统稳定的充分必要条件 0ia ，亦可得到

例 3-25 系统具有反馈环路，也称闭环系统。若断开系统中的反馈支路，则系统为开环系统。通过以上分析知道，当 k 变化时，闭环系统特征方程的特征根（极点）会随着变化，系统的稳定性也会发生改变。随着闭环系统函

移动的路径称根轨迹，如图3-29 就是例 3-25 系统

k数参数 变化，其特征方程

-2 -0.5

j

0 1

的根轨迹图。

的特征根（极点）在 s 平面

MATLAB 的程序，可以很方便的利用开环系统函数，由系统的根轨迹研究系统的稳定性，有独到之处。但对有若干极点的复杂系统，作根轨迹图并非易事。借助

如下作出闭环系统的根轨迹。例 3-25 根轨迹的 MATLAB 程序

a=[1 1 -2];% 开环分母多项式系数b=[0 0 1]; % 开环分子多项式系数rlocus(b,a);% 根轨迹

title(' 例 3.6-2 根轨迹 ')

例 3-25 的根轨迹如图 3-30 所示。

-3 -2 -1 0 1 2-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Real Axis

Imag

Axi

s

3.6-2例 根轨迹

四、罗斯稳定性准则

确值，只要知道系统是否有正实部或零实部的特征根就

sH由上面的讨论，已知 满足稳定系统必要条件时，

项工作往往很繁，尤其求高阶系统的特征根不容易。实 sD为判断极点具体位置，需要求分母多项式 的根。这

际上为了判断系统稳定性，不需要解出方程全部根的准

否稳定。只判别具有正实部根数目的方法，可以用来判断系统是

可以。 1877年罗斯提出一种不计算代数方程根的具体值，

列数字符号相同。“罗斯阵列”排写如下：

若 011

1 asasasasD nn

nn

sD则 方程式的根全部位于 s 左半平面的充分必要条件是多项式的全部系数大于零；无缺项；罗斯阵列中第一

罗斯准则（判据）为

“罗斯阵列”排写如下：第一行第二行第三行第四行第五行

第 n+1 行

na 2na 4na

1na 3na 5na

1nb 3nb 5nb

1nc 3nc 5nc

1nd 3nd5nd

1nx 0 0

排在第二行。第三行以后的系数按以下规律计算： sD其中罗斯阵列前两行由 多项式的系数构成。第一行

由最高次项系数 na 及逐次递减二阶的系数得到的。其余

31

2

11

1

nn

nn

nn aa

aaa

b

；

51

4

13

1

nn

nn

nn aa

aaa

b

31

31

11

1

nn

nn

nn bb

aab

c51

51

11

1

nn

nn

nn bb

aab

c

31

31

11

1

nn

nn

nn cc

bbc

d51

51

13

1

nn

nn

nn cc

bbc

d

31

31

11

1

nn

nn

nn dd

ccd

e51

51

13

1

nn

nn

nn dd

ccd

e

31

31

11

1

nn

nn

nn cc

bbc

d51

51

13

1

nn

nn

nn cc

bbc

d

31

31

11

1

nn

nn

nn dd

ccd

e51

51

13

1

nn

nn

nn dd

ccd

e

依次类推，直至最后一行只剩下一项不为零，共得 n+1

行。即 n 阶系统，罗斯阵列就有 n+1 行。

有符号不相同，则符号改变的次数就是具有正实部根的数目。

例 3-26 用罗斯准则判断下列方程是否具有正实部的根。 28122 234 sssssD

解：全部系数大于零，无缺项。n=4 ，排出 n+1=5 行。

如果第一列 11111 nnnnnn edcbaa 、、、、、 各元素数字

罗斯阵列为

第一行 2 12 2

第二行 1 8 0

第三行第四行第五行

0

0

481

122 2

0122

5.82481

41

00401

41

0 0205.824

5.81

有两个正实部的根，为非稳定系统第一列数字两次改变符号（从 41 5.84 ； ），所以

借助MATLAB 程序，求出极点并作出系统函数的极点分

的 MATLAB 程序及结果如下布图，可以验证上面的结论。例 3-26 系统的零、极点图

a=[2 1 12 8 2];% 多项式系数r=roots(a)% 极点pzmap(1,a)% 极点图

-0.3385 + 0.2311i

答案

由答案及图 3-31 可见确实有两个实部大于零的极点。

r =0.0885 + 2.4380i 0.0885 - 2.4380i

-0.3385 - 0.2311i

-0.35 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Real Axis

Imag

Axi

sPole zero map

§3.7 连续时间系统的模拟及流图表示在实际工作中，除了在理论上对线性系统进行数学分析

实效。

对系统的影响。这种方法往往比繁冗的数学运算更具有进行观察，以直观了解各种激励对响应的影响以及参数外，往往还通过计算机模拟（仿真）对系统的特性进行

1 、连续时间系统的模拟（仿真）用系统的观点来分析问题时，我们可以把系统看做一个

输入、输出之间的转换关系，如图 3.-32 所示。“黑盒子”，不管它们内部的具体结构、参数，关心的是

ty tf

T

通过实例说明，不同的结构和参数的系统可以具有相同输入、输出关系。

+

-

+

-

+

-

+

- tf tf tuR tuC

H11

1

F1

例 3-27 分别求如图 3-32、 3-33 所示 RL 、 RC电路的系统函数。

解 1

11

sRsL

RsH

1

1/1

/12

ssCR

sCsH

这是两个结构、参数不同的一阶系统，但由于它们传输

型都是一阶微分方程函数相同，因此它们的输入输出关系完全相同，数学模

tftyty

n 阶 LTI 系统微分方程的一般形式为 tyaty

dtdaty

dtdaty

dtd

n

n

nn

n

011

1

1

tfbtfdtdbtf

dtdbtf

dtdb m

m

mm

m

m 011

1

1

其系统函数为

011

1

011

1

asasasbsbsbsb

sFsYsH n

nn

mm

mm

要对连续 LTI 系统进行模拟 , 就要对它的系统传输函数或

为此可以选择实际上容易实现的结构进行模拟入输出关系的系统，系统实现的结构、参数不是唯一的，微、积分方程进行模拟。从上面的例子知道具有相同输

用三种基本运算，就可对 LTI 系统微分方程式的运算关系

基本运算的模拟开始。程描述 , 亦可由基本运算器组成的模拟图描述。下面先从器、积分器。描述系统的输入、输出关系既可用数学方

它们对应着三种基本模拟运算器件：加法器、标量乘法作系统模拟。这三种基本运算是加法、标量乘法与积分。

加法器如图 3-34 所示。

1、加法运算关系 txtxty 21 sXsXsY 21

txtxty 21

tx2

tx1

sXsXsY 21

sX 2

sX1

2、标量乘法运算关系

标量乘法器如图 3-35 所示 taxty saXsY

taxty a tx

a saXsY sX

3、积分运算关系

积分器如图 3-36 所示

dxtyt

0

sXs

sY 1

ty tx

s/1 sY sX

2、系统模拟的直接形式 (微分方程形式 )

(1) 全极点系统模拟的直接形式一阶系统的微分方程及系统函数表示

txtyaty 0 0

1as

sH

将一阶线性线性系统的微分方程改写为 tyatxty 0

ty

与复频域模拟图，如图 3-37 所示将 做为积分器输入，得到用基本运算器组成的时域

ty tx 0a

sY sX s/1

0a

0

1as

sH

一阶系统模拟的方法可推广至全极点的二阶系统模拟，其微分方程及系统函数为

txtyatyaty 01

01

2

1asas

sH

改写微分方程 tyatyatxty 01

如图 3.-38 所示。积分器的输入为， ty ty ty、 经两次积分得到 ，其模拟

ty tx 1a

0a

sY sX

1a

0a

s/1 s/1

01

2

1asas

sH

n由二阶系统模拟可推广至全极点及系统函数为

txtyatyatyaty nn

n 01

11

01

11

1asasas

sH nn

n

阶系统，其微分方程

n阶系统模拟如图 3-39 所示。 sY

sX

1a

0a

s/1 s/1 s/1

1 na

2、一般系统模拟的直接形式以上模拟实现了系统的极点，实际系统除了极点之外，

将上式改写为

式 3.7-8 的模拟如图 3-40 所示

一般还有零点。例如一般二阶系统的系统函数为

012

012

2

asasbsbsbsH

20

11

20

112

1

sasasbsbbsH

sY sX

1a

0a

s/1 s/1 0b

2b

1b

由一般二阶系统的模拟不难推广到的模拟如图 3-41 所示

阶系统，n n 阶系统

一般阶系统模拟有 n个积分器。

sX sY

1a

0a

s/1 s/1 s/1

1 na

0b

2b

1b

mb

在系统模拟图中， 0 ji ba 1 ji ba

时，实际为短路。时，实际为开路；

3、其他形式的模拟复杂系统往往由多个子系统组成，常见的组合形式有

通常用方框图表示子系统与系统的关系。可以简化复杂系统的表示，突出系统的输入输出关系，子系统的级联、并联、混联、反馈等。由于用方框图

(1) 级联形式级联模拟实现方法是将分解为子系统（基本节）相乘。

是的子系统。也有将级联形式称为串联形式。上式表明级联的系统函数是各子系统函数的乘积，子

sHsHsH

pspspszszszsbsH nn

mm

2121

21

sH i

n

i

1

sH i式中系统的级联如图 3-42 所示。

sH1 sH n sH 2 sY sF

子系统模拟的基本形式有两种，一是实单极点的一阶模

将各子系统串联起来 , 可得系统模拟图，称为级联模拟图。则是系统内所有参数为实数。利用基本形式的模拟，再拟，二是共轭极点组成的二阶模拟，子系统模拟构成原

213

ssssH例 3-28 已知某系统函数为

级联模拟图。，画出其

解 21

13

213

sss

ssssH

子系统的级联的一种形式如图 3-28 所示。

-1

3-2

s/1 s/1 sX sY

23

11

ss

s

2、并联模拟并联模拟实现方法是对 部分分式展开

是的子系统。子系统模拟的基本形式同级联模拟。整个系统可以看个子系统的迭加 ( 并联 ), 其中每个子系统可按上面

n

n

psk

psk

psksH

2

2

1

1

sH i

n

i

1

sHsHsH n 21

sH i式中

成 n

的子系统模拟 , 这种形式称为并联形式。子系统的并联图如图 3-44 所示。

┇

sH n

sH 2 sY sF

sH1

例 3-29 已知某系统函数为同例 3-28 ，画出其并联模拟图。解 21

3

ssssH 2

11

2

ss

213

ssssH

21

12

ss

例 3-29 系统的并联式如图 3-45 所示。

-1

2

-2

-1s/1

s/1

sX sY

3 、混联混联系统的系统函数计算要根据具体情况具体对待。如

图 (b) 的系统函数为

图 (a)

图 3.-46(a) 、 (b) 所示系统。

图 (a) 的系统函数为

sH1 sH3

sH 2 sY sF sH3 sH 2

sY sF sH1

图 (b)

sHsHsHsH 321

sHsHsHsH 321

4 、反馈系统由子系统组合的反馈系统方框图如图 3-47 所示。

各种模拟方法的实现不同，调整的参数有所不同。例如，微分方程 (直接形式 ) 可调整的是微分方程的系数、； 级联形式可调整系统的极点与零点；并联形式可调整系统的极点与留数。 在实际工作中可根据各种因素 ,适当选择模拟方式达到较好的系统设计效果。

其系统函数为 sH 2

sY sF sH1-

sHsH

sHsH21

1

1

各种模拟方法的实现不同，调整的参数有所不同。例如，ia jb

统的极点与留数。 在实际工作中可根据各种因素 ,适当选

微分方程 (直接形式 ) 可调整的是微分方程的系数 ；、级联形式可调整系统的极点与零点；并联形式可调整系

择模拟方式达到较好的系统设计效果。

4、连续系统的信号流图表示在方框图中，系统函数可以由各子系统与连接方式决定。

可以将方框图与模拟图再加以简化。定。方框图和模拟图表示还不是最简表示，用信号流图在模拟图中，系统函数可以由各基本器件与连接方式决

统的具体处理方法是：用带箭头的有向线段代替模拟图

个节点的，表示相加或相减（传递系数有负号）。传递系数直接标在箭头旁；有两个以上有向线段指向一与输出；线段箭头的方向是信号传输的方向，原方框的中的方框；线段的两个端点是节点，表示原方框的输入

信号流图是用节点与有向支路描述系统。用流图表示系

前面的方框图与模拟图都可以用流图表示，例如 二阶系统的流图如图 3-48 所示。

sY sX

1a

0a

s/1 s/1

0b

2b 1b

n 阶系统模拟的流图如图 3.-49 所示

sY sX

1a

0a

s/1 s/1 s/1

1 na 0b

2b1b

mb

例 3-28 的流图如图 3-51 所示。s/1 s/1 sX sY3

-1 -2

例 3-29 系统的级联流图如图 3-53 所示。

s/1

s/1

sX sY

-1

-2

-1

2