اسرة الرياضيات

حسن حسن سعيد سعيد الطالب الطالب دليل دليل

التعليميه الزقازيق غرب التعليميه أدارة الزقازيق غرب أدارةالرياضيات الرياضيات أسرة أسرة

بنات ث مبارك سوزان بنات مدرسة ث مبارك سوزان مدرسةالمنتجه المنتجه الوحده الوحده

حسن حسن سعيد سعيد الطالب الطالب دليل دليل لى خـروجتـا تراجـع

الحمد لله والصالة والسالم على رسول الله

(114طه) :

تعالى : الله تعالى :قال الله قال


بسم الله الرحمن الرحيمأهداء

ماما ،على،على الشكرالشكر وموفوروموفور الحمدالحمد جزيلجزيل لكلك اللهماللهم عليناعلينا اصبغتاصبغت وماوما التوفيقالتوفيق نعمةنعمة منمن بهبه حبوتناحبوتنا الصعابالصعاب لنالنا وذللتوذللت السبيلالسبيل لنالنا أنارتأنارت هدايههدايه

به انان علىعلى وأعنتتناوأعنتتنا نستكمل البرنامج هذا به نخرج نستكمل البرنامج هذا نخرجبالمدرسه الرياضيات أسرة أنشطة بالمدرسه سلسلة الرياضيات أسرة أنشطة سلسلة

مدرسىمدرسى وزمألىوزمألى تذتىتذتى أساأسا لىلى أأ البرنامجالبرنامج هذاهذا أهدىأهدى ألىألى وو بناتبنات ثث مباركمبارك سوزانسوزان مدرسةمدرسة رياضياترياضيات

بهبه ينفعهمينفعهم أنأن وجلوجل عزعز اللهالله داعياداعيا الطلبهالطلبه أبنائىأبنائىالموفقالموفق واللهوالله الصعابالصعاب بعضبعض لهملهم ويذللويذلل

حسن سعيد

بسم الله الرحمن الرحيمأهداء

ماما ،على،على الشكرالشكر وموفوروموفور الحمدالحمد جزيلجزيل لكلك اللهماللهم عليناعلينا اصبغتاصبغت وماوما التوفيقالتوفيق نعمةنعمة منمن بهبه حبوتناحبوتنا الصعابالصعاب لنالنا وذللتوذللت السبيلالسبيل لنالنا أنارتأنارت هدايههدايه

به انان علىعلى وأعنتتناوأعنتتنا نستكمل البرنامج هذا به نخرج نستكمل البرنامج هذا نخرجبالمدرسه الرياضيات أسرة أنشطة بالمدرسه سلسلة الرياضيات أسرة أنشطة سلسلة

مدرسىمدرسى وزمألىوزمألى تذتىتذتى أساأسا لىلى أأ البرنامجالبرنامج هذاهذا أهدىأهدى ألىألى وو بناتبنات ثث مباركمبارك سوزانسوزان مدرسةمدرسة رياضياترياضيات

بهبه ينفعهمينفعهم أنأن وجلوجل عزعز اللهالله داعياداعيا الطلبهالطلبه أبنائىأبنائىالموفقالموفق واللهوالله الصعابالصعاب بعضبعض لهملهم ويذللويذلل

حسن سعيد لى خـروجتـا تراجـع


أختر الموضوعأختر الموضوعالطالب دليل

التفاضلالتفاضل الدائرهالدائره المسنقيم المسنقيم الخط الخط المثلثيه المثلثيه الدوال الدوال المجسماتالمجسمات الهندسية الهندسية األشكال األشكال

الثى القوانين لبعض تجميع عن عباره البرنامج الثى هذا القوانين لبعض تجميع عن عباره البرنامج هذافى الطالب وتفيد العمليه حياتنا فى كملمين فى تفيدنا الطالب وتفيد العمليه حياتنا فى كملمين تفيدنا

الدراسيه الدراسيه حياته حياته

الموفق , 00 الله بها ينفعنا أن وجل عز الله الموفق , راجيا الله بها ينفعنا أن وجل عز الله راجيا

سعيدحسنسعيدحسن

الثى القوانين لبعض تجميع عن عباره البرنامج الثى هذا القوانين لبعض تجميع عن عباره البرنامج هذافى الطالب وتفيد العمليه حياتنا فى كملمين فى تفيدنا الطالب وتفيد العمليه حياتنا فى كملمين تفيدنا

الدراسيه الدراسيه حياته حياته

الموفق , 00 الله بها ينفعنا أن وجل عز الله الموفق , راجيا الله بها ينفعنا أن وجل عز الله راجيا

سعيدحسنسعيدحسن


المستويه األشكال المستويه أوآل األشكال أوآل

المعينالمعين األضالع متوازى من خاصه حاله هو األضالع المعين متوازى من خاصه حاله هو المعين

متساويان المتجاوران متساويان ضلعاه المتجاوران ضلعاه منهما كل وينصف متعامدان منهما قطراه كل وينصف متعامدان قطراه

اآلخراآلخر الواصل الرئس زاوية ينصف الواصل القطر الرئس زاوية ينصف القطر

بينهمابينهما

= القاعده طول المعين القاعده = مساحة طول المعين مساحةألرتفاعاألرتفاعا××

=القطرين ضرب حاصل القطرين= نصف ضرب حاصل نصف× = الضلع طول الضلع = ×المحيط طول 44المحيط

المعينالمعين األضالع متوازى من خاصه حاله هو األضالع المعين متوازى من خاصه حاله هو المعين

متساويان المتجاوران متساويان ضلعاه المتجاوران ضلعاه منهما كل وينصف متعامدان منهما قطراه كل وينصف متعامدان قطراه

اآلخراآلخر الواصل الرئس زاوية ينصف الواصل القطر الرئس زاوية ينصف القطر

بينهمابينهما

= القاعده طول المعين القاعده = مساحة طول المعين مساحةألرتفاعاألرتفاعا××

=القطرين ضرب حاصل القطرين= نصف ضرب حاصل نصف× = الضلع طول الضلع = ×المحيط طول 44المحيط

لى عوده سابقخـروجتـا


المربعالمربعل ضلعه طول ل امربع ضلعه طول امربع

ل = × = نفسه الضلع طول ل = × = المساحه نفسه الضلع طول مربعه 22المساحه مربعه وحده وحدهالضلع × × 44المحيط =المحيط = الضلع طول طول

ل ل 44 = = مالحظات مالحظات

ا = سطحه لمساحة التربيعى الجزر المربع ضلع ا = طول سطحه لمساحة التربيعى الجزر المربع ضلع طولالمحيط = ÷ المربع ضلع المحيط = ÷طول المربع ضلع 44 طول

المربع = قطر المربع = طول قطر الضلع × 22طول الضلع × طول أ أ طولد د

الطول فى متساويان المربع الطول قطرا فى متساويان المربع قطرابينهما الواصت الرأس زاوية ينصف المربع بينهما قطر الواصت الرأس زاوية ينصف المربع قطر

متعامدان المربع متعامدان قطرا المربع قطرااألخر منهما كل ينصف المربع األخر قطرا منهما كل ينصف المربع ب ب قطرا

جـ جـ

ل ضلعه طول ل امربع ضلعه طول امربعل = × = نفسه الضلع طول ل = × = المساحه نفسه الضلع طول مربعه 22المساحه مربعه وحده وحده

الضلع × × 44المحيط =المحيط = الضلع طول طولل ل 44 = =

مالحظات مالحظات ا = سطحه لمساحة التربيعى الجزر المربع ضلع ا = طول سطحه لمساحة التربيعى الجزر المربع ضلع طول

المحيط = ÷ المربع ضلع المحيط = ÷طول المربع ضلع 44 طولالمربع = قطر المربع = طول قطر الضلع × 22طول الضلع × طول أ أ طول

د د الطول فى متساويان المربع الطول قطرا فى متساويان المربع قطرا

بينهما الواصت الرأس زاوية ينصف المربع بينهما قطر الواصت الرأس زاوية ينصف المربع قطرمتعامدان المربع متعامدان قطرا المربع قطرا

األخر منهما كل ينصف المربع األخر قطرا منهما كل ينصف المربع ب ب قطراجـ جـ

لى عوده سابقخـروجتـا

هو هو المربع المربعقطراه قطراه متوازىأضالع متوازىأضالع

متساويان متساويان ومتعامدانومتعامدان

قطراه مسنطيل قطراه هو مسنطيل هومتعامدانمتعامدان

قطراه معين قطراه هو معين هوفى فى متساويان متساويان

الطولالطول


ضلعان فيه رباعى شكل هو المنحرف شبهمتساويان وغير متوازيان متقابالن

المتوسطه = × القاعده المنحرف شبه مساحةأ د األرتتتفاع

×) األرتفاع = ) القاعدتين مجموع

القاعده زاويتى الساقين المتساوى المنحرف شبهجـ القياس فى متساويتين

أضالعه = أطوال مجموع المنحرف شبه محيط

) + ( + + جـ = قتا ب قتا ع جـ ب أد

ضلعان فيه رباعى شكل هو المنحرف شبهمتساويان وغير متوازيان متقابالن

المتوسطه = × القاعده المنحرف شبه مساحةأ د األرتتتفاع

×) األرتفاع = ) القاعدتين مجموع

القاعده زاويتى الساقين المتساوى المنحرف شبهجـ القياس فى متساويتين

أضالعه = أطوال مجموع المنحرف شبه محيط

) + ( + + جـ = قتا ب قتا ع جـ ب أد

12

لى عوده خـروجتـا لى سابقتـا


األضالع األضالع متوازى األضالع متوازى األضالع متوازى متوازى متساويان متقابالن ضلعان كل فيه رباعى شكل متساويان هو متقابالن ضلعان كل فيه رباعى شكل هو

ومتوازيانومتوازيان القياس فى متساويتان متقايلتان زاويتان القياس كل فى متساويتان متقايلتان زاويتان كل د أ األخر منهما كل ينصف د القطران أ األخر منهما كل ينصف القطران متطابقين مثلثين الى يقسمه متطابقين القطر مثلثين الى يقسمه القطر جـ ب الضالع متوازى سطح جـ مساحة ب الضالع متوازى سطح مساحة × هـ × = هـ د جـ ب األرتفاع × القاعده هـ × = هـ د جـ ب األرتفاع القاعده) ( × =) جـ × ) ب أ جا جـ ب أب بينهم الزاويه جـا ضلعين ضرب (حاصل ( × =) جـ × ) ب أ جا جـ ب أب بينهم الزاويه جـا ضلعين ضرب حاصل ( × =) أ × × ) ب جا أجـ ب أ بينهم الزاويه جـا قطر ضلع ضرب ) حاصل × =) أ × × ) ب جا أجـ ب أ بينهم الزاويه جـا قطر ضلع ضرب حاصل

جـ( جـ( × = ) جا½ × ) د ب أجـ بينهم الزاويه جا القطرين ضرب × حاصل = ) جا½ × ) د ب أجـ بينهم الزاويه جا القطرين ضرب حاصل

) ب) م (أ ب) م أ

متساويان متقابالن ضلعان كل فيه رباعى شكل متساويان هو متقابالن ضلعان كل فيه رباعى شكل هوومتوازيانومتوازيان

القياس فى متساويتان متقايلتان زاويتان القياس كل فى متساويتان متقايلتان زاويتان كل د أ األخر منهما كل ينصف د القطران أ األخر منهما كل ينصف القطران متطابقين مثلثين الى يقسمه متطابقين القطر مثلثين الى يقسمه القطر جـ ب الضالع متوازى سطح جـ مساحة ب الضالع متوازى سطح مساحة × هـ × = هـ د جـ ب األرتفاع × القاعده هـ × = هـ د جـ ب األرتفاع القاعده) ( × =) جـ × ) ب أ جا جـ ب أب بينهم الزاويه جـا ضلعين ضرب (حاصل ( × =) جـ × ) ب أ جا جـ ب أب بينهم الزاويه جـا ضلعين ضرب حاصل ( × =) أ × × ) ب جا أجـ ب أ بينهم الزاويه جـا قطر ضلع ضرب ) حاصل × =) أ × × ) ب جا أجـ ب أ بينهم الزاويه جـا قطر ضلع ضرب حاصل

جـ( جـ( × = ) جا½ × ) د ب أجـ بينهم الزاويه جا القطرين ضرب × حاصل = ) جا½ × ) د ب أجـ بينهم الزاويه جا القطرين ضرب حاصل

) ب) م (أ ب) م أ

12

خـروجعوده لى سابقتـا


ع وأرتفاعه جـ ب aaaaaته قاعد المثلث

المثلث أ مساحة) ( بينهم=½ × الزاويه جا ضلعين ضرب حاصل

) ( × =) ( ع = × أجـ ب جا أجـ أب جـ اب جا جـ ب أب

) ( × أ جـ ب جا ا جـ جـ ب

ب= × = × ع جـ ب األرتفاع القاعده

)/ – ()/ – ()/ - جـ= ) ح ب ح أ ح ح

)/ +/ +/ ( = جـ = ب أ المثلث محيط نصف ح حيث

× 2نق2= × الدائره× قطر نصف طول نق حيث جاجـ جاب أ جابرؤسه الماره

/ / / جـ= ب أ

نق4

ع وأرتفاعه جـ ب aaaaaته قاعد المثلث

المثلث أ مساحة) ( بينهم=½ × الزاويه جا ضلعين ضرب حاصل

) ( × =) ( ع = × أجـ ب جا أجـ أب جـ اب جا جـ ب أب

) ( × أ جـ ب جا ا جـ جـ ب

ب= × = × ع جـ ب األرتفاع القاعده

)/ – ()/ – ()/ - جـ= ) ح ب ح أ ح ح

)/ +/ +/ ( = جـ = ب أ المثلث محيط نصف ح حيث

× 2نق2= × الدائره× قطر نصف طول نق حيث جاجـ جاب أ جابرؤسه الماره

/ / / جـ= ب أ

نق4

12

12

12

12

12

12



نصف قطر دائره مرسومه داخل نصف قطر دائره مرسومه داخل مثلثمثلث

)“ - ()“ - ()“ - ( جـ = ح ب ح أ ح ح “(نق - ()“ - ()“ - ( جـ = ح ب ح أ ح ح نقحح

نصف قطر دائره مرسومه داخل نصف قطر دائره مرسومه داخل مثلثمثلث

)“ - ()“ - ()“ - ( جـ = ح ب ح أ ح ح “(نق - ()“ - ()“ - ( جـ = ح ب ح أ ح ح نقحح نصف قطر دائره مرسومه خارج مثلثنصف قطر دائره مرسومه خارج مثلث

“ × “ جـ“× ب “أ × “ جـ“× ب أ 44)“ - ()“ - ()“ - ( جـ× ح ب ح أ ح “(ح - ()“ - ()“ - ( جـ× ح ب ح أ ح ح المثلث محيط نصف ح المثلث حيث محيط نصف ح حيث دائره داخل مرسوم منتظم دائره مضلع داخل مرسوم منتظم مضلع11 × نق- ½ ن × المساحه نق- ½ ن جاجا22المساحه** = جا× 22المحيط = المحيط نق جا× ن نق ن

نصف قطر دائره مرسومه خارج مثلثنصف قطر دائره مرسومه خارج مثلث “ × “ جـ“× ب “أ × “ جـ“× ب أ 44)“ - ()“ - ()“ - ( جـ× ح ب ح أ ح “(ح - ()“ - ()“ - ( جـ× ح ب ح أ ح ح المثلث محيط نصف ح المثلث حيث محيط نصف ح حيث دائره داخل مرسوم منتظم دائره مضلع داخل مرسوم منتظم مضلع11 × نق- ½ ن × المساحه نق- ½ ن جاجا22المساحه** = جا× 22المحيط = المحيط نق جا× ن نق ن

طن

= نق

عوده

ط2ن

خـروج لى تراجـعتـا



ط2

ن

ط

ن

سابق


مضلع منتظم مرسوم داخل دائرهمضلع منتظم مرسوم داخل دائرهمضلع منتظم مرسوم داخل دائرهمضلع منتظم مرسوم داخل دائره

× نق = ن × المساحه نق = ن عدداألضالع 22المساحه ،ن عدداألضالع جا ،ن جا = جا× 22المحيط = المحيط نق جا× ن نق ن

بين القطعه الدائريهالقطعه الدائريه محصور الدائره من جزء هى بين ؛ محصور الدائره من جزء هى ؛ووتر ووتر قوس قوس

نق = القطعه نق = مساحة القطعه ( 22مساحة – “ نق) جاهـ ( هـ – “ نق) جاهـ هـ “ للزاويهالمركزيه الدائرى التقدير هـ “ حيث للزاويهالمركزيه الدائرى التقدير هـ حيث

12

ط2نطن

1

2



المنتظم الهندسى المنتظم الشكل الهندسى المنتظم الشكل الهندسى المنتظم الشكل الهندسى الشكل11 -الطول فى متساويه الطول- أضالعه فى متساويه أضالعه22 -القياس فى متساويه القياس- زوياه فى متساويه زوياه33- ( = ن- زوياه -مجموع ( = ن- زوياه األضالع 180180(×(×22مجموع عدد ن األضالع حيث عدد ن حيث

44 = - زوياه من زاويه كل زوياه - = قياس من زاويه كل قياس

–55 × ل- = ن سطحه × مساحة ل- = ن سطحه ظتا ظتا 22مساحة

الضلع = × – طول ل حيث ل ن الضلع = × المحيط طول ل حيث ل ن المحيط–

- 180(×2ن)ن

14

خـروجعوده لى تـا

طن

سابق


المثلث القائمالمثلث القائمالمثلث القائمالمثلث القائم11) (اجـ- ) (22اجـ- ) (أب=) (22أب=) جـ+) (ب جـ+) 22ب

22) (أب- ) (22أب- ) (أجـ=) (22أجـ=) جـ- ) (ب جـ- ) 22ب

33) (أب- ) أجـ= ×22أب- ) أجـ= ×أد أد44) جـ- = × )> جا أجـ (أب جـ- = × )> جا أجـ أب55( -( - د د ب جـ= × 22((ب د جـ= × أد د أد66 - -بب ) <( أ = × جا أب ( د <( أ = × جا أب د77 - -جـ = × بب ب أب جـ = × د ب أب د جـ جـ أ أ88 × = -جـ ب ب أ سطحه جـ- = × مساحة ب ب أ سطحه مساحة

11) (اجـ- ) (22اجـ- ) (أب=) (22أب=) جـ+) (ب جـ+) 22ب

22) (أب- ) (22أب- ) (أجـ=) (22أجـ=) جـ- ) (ب جـ- ) 22ب

33) (أب- ) أجـ= ×22أب- ) أجـ= ×أد أد44) جـ- = × )> جا أجـ (أب جـ- = × )> جا أجـ أب55( -( - د د ب جـ= × 22((ب د جـ= × أد د أد66 - -بب ) <( أ = × جا أب ( د <( أ = × جا أب د77 - -جـ = × بب ب أب جـ = × د ب أب د جـ جـ أ أ88 × = -جـ ب ب أ سطحه جـ- = × مساحة ب ب أ سطحه 1مساحة

2



الدائرى الدائرى القطاع الدائرى القطاع الدائرى القطاع القطاع

قطرين نصفى بين محصور الدائره من جزء قطرين هو نصفى بين محصور الدائره من جزء هو) ل ) (وقوس ل ) وقوس

11 -القطاع القطاع- مساحة ؛ ؛ مساحة × نق- = ل × أ نق- = ل أ

- هـ - ب هـ 22نق× نق× ““ب

× × - نق ط هـ - × ×جـ نق ط هـ الستينى 22جـ التقدير هـ الستينى ؛ التقدير هـ ؛

180180 “ الدائرى التفدير “ هـ الدائرى التفدير هـ

القطاع = * * القطاع = محيط ل + 22محيط ل + نق نق

قطرين نصفى بين محصور الدائره من جزء قطرين هو نصفى بين محصور الدائره من جزء هو) ل ) (وقوس ل ) وقوس

11 -القطاع القطاع- مساحة ؛ ؛ مساحة × نق- = ل × أ نق- = ل أ

- هـ - ب هـ 22نق× نق× ““ب

× × - نق ط هـ - × ×جـ نق ط هـ الستينى 22جـ التقدير هـ الستينى ؛ التقدير هـ ؛

180180 “ الدائرى التفدير “ هـ الدائرى التفدير هـ

القطاع = * * القطاع = محيط ل + 22محيط ل + نق نق

1212


حسن حسن سعيد سعيد الطالب الطالب دليل دليلالرئيسيه للقائمه الرئيسيه عوده للقائمه عوده


المجسماتالمجسماتالمجسماتالمجسمات × = األرتفاع القاعده مساحة األرتفاع = × الحجم القاعده مساحة الحجم × = األرتفاع القاعده محيط الجانبيه األرتفاع = × المساحه القاعده محيط الجانبيه المساحه + = مساحة الجانبيه المساحه الكليه مساحة = + المساحه الجانبيه المساحه الكليه المساحه

القاعدتينالقاعدتين11 -ع، ،ص س أبعاده المستطيالت ،ع- متوازى ،ص س أبعاده المستطيالت متوازى× × = ع ص س ع = × ×حجمه ص س حجمه = الجانبيه الجانبيه = المساحه ( × 22المساحه ع) + ص ( × س ع) + ص س+ ) ( الجانبيه = م الكليه ( +المساخه ( الجانبيه = م الكليه ص ×22المساخه ص ×س س = = 22× ×س) ( س) × + × ع+ ص ع س (ص × + × ع+ ص ع س ص = س القطر س = مربع القطر 22ع + ع + 22ص+ ص+ 22مربع

× = األرتفاع القاعده مساحة األرتفاع = × الحجم القاعده مساحة الحجم × = األرتفاع القاعده محيط الجانبيه األرتفاع = × المساحه القاعده محيط الجانبيه المساحه + = مساحة الجانبيه المساحه الكليه مساحة = + المساحه الجانبيه المساحه الكليه المساحه

القاعدتينالقاعدتين11 -ع، ،ص س أبعاده المستطيالت ،ع- متوازى ،ص س أبعاده المستطيالت متوازى× × = ع ص س ع = × ×حجمه ص س حجمه = الجانبيه الجانبيه = المساحه ( × 22المساحه ع) + ص ( × س ع) + ص س+ ) ( الجانبيه = م الكليه ( +المساخه ( الجانبيه = م الكليه ص ×22المساخه ص ×س س = = 22× ×س) ( س) × + × ع+ ص ع س (ص × + × ع+ ص ع س ص = س القطر س = مربع القطر 22ع + ع + 22ص+ ص+ 22مربع



المكعبالمكعبالمكعبالمكعب أضالعه مستطيالت متوازى هو أضالعه المكعب مستطيالت متوازى هو المكعب

الطول فى الطول متساويه فى متساويه = ل ضلعه طول مكعب ل = حجمه ضلعه طول مكعب 33حجمه

22ل ل 44الجانبيه = الجانبيه = ههالمساحالمساح

= الكليه الكليه =المساحه 22ل ل 66المساحه

= القطر القطر = مربع 22لل33مربع



القائمه الدائريه القائمه أألسطوانه الدائريه أألسطوانه

= نق ط نق = الحجم ط عع22الحجم= الجانبيه الجانبيه =المساحه ع 22المساحه نق ع ط نق ط= الكليه الكليه =المساحه ع + 22المساحه نق ع + ط نق نق 22ط نق ط 22ط

= = 22) نق ) + ع نق (ط نق ) + ع نق ط

مائله دائريه مائله أسطوانه دائريه أسطوانه = نق ط نق = الحجم ط نق = 22الحجم ط نق = ع ط هـ 22ع جا هـ ل جا ل= الجانبيه الجانبيه =المساحه ل = 22المساحه نق ل = ط نق ع 22ط نق ع ط نق ط

قتاهـ قتاهـ

= نق ط نق = الحجم ط عع22الحجم= الجانبيه الجانبيه =المساحه ع 22المساحه نق ع ط نق ط= الكليه الكليه =المساحه ع + 22المساحه نق ع + ط نق نق 22ط نق ط 22ط

= = 22) نق ) + ع نق (ط نق ) + ع نق ط

مائله دائريه مائله أسطوانه دائريه أسطوانه = نق ط نق = الحجم ط نق = 22الحجم ط نق = ع ط هـ 22ع جا هـ ل جا ل= الجانبيه الجانبيه =المساحه ل = 22المساحه نق ل = ط نق ع 22ط نق ع ط نق ط

قتاهـ قتاهـ خـروجعوده لى سابقتـا


المنتطم الثالثى األربعه : الهرم أوجهه هرم هومتساويه مثلثات بين ) األضالع سطوح النسبه

كنسبه أرتفاعه طول الى حرفه طول

3 : 2

أألرتفاع = × القاعده مساحة الهرم حجم

الهرم القائم

جميع ؛ منتظم مضلع قاعديه هرم هو؛ الطول فى متساويه الجانبيه أحرفه

من الساقط العمود موقع القاعده مركزعليها الهرم راس

الهرم القائم

جميع ؛ منتظم مضلع قاعديه هرم هو؛ الطول فى متساويه الجانبيه أحرفه

من الساقط العمود موقع القاعده مركزعليها الهرم راس

13



= نق قطرها نصف نق = الكره قطرها نصف الكره × نق = ط الكره × حجم نق = ط الكره 33حجم

= السطحيه السطحيه =المساحه ×44المساحه نق ×ط نق 22ط

نق قطردائرتها نصف نق التى قطردائرتها نصف التىع- ع-وأرتافعها وأرتافعها

× = ) ع ) ط المظلل الجزء ( = ×الحجم ع ) ط المظلل الجزء (33))22الحجم ع- (نق ع- نق = السطحيه السطحيه = المساحه ع 22المساحه نق ع ط نق ط

43

13



الفائم الدائرى الفائم المخروط الدائرى الفائم المخروط الدائرى الفائم المخروط الدائرى المخروط

ع وأرتفاعه نق قطرقاعدته نصف قائم دائرى ع مخروط وأرتفاعه نق قطرقاعدته نصف قائم دائرى مخروطل راسمه ل وطول راسمه وطول

األرتفاع = × القاعده مساحة األرتفاع = ×الحجم القاعده مساحة الحجمنق = نق = ط ع ×ع ×22ط

ل = × نق ط الجانبيه ل = × المساحه نق ط الجانبيه المساحه

أ؛ب قاعدتيه قطرى ناقص قائم دائرى أ؛ب مخروط قاعدتيه قطرى ناقص قائم دائرى مخروطع ع وأرتفاعه وأرتفاعه

( أ = ع ط )الحجم أ = ع ط + 22الحجم ب+ + اب ب+ ((22ابط = × الجانبيه ط = ×المساحه الجانبيه أ) + المساحه أ) +ل ب(ب( ل

ع وأرتفاعه نق قطرقاعدته نصف قائم دائرى ع مخروط وأرتفاعه نق قطرقاعدته نصف قائم دائرى مخروطل راسمه ل وطول راسمه وطول

األرتفاع = × القاعده مساحة األرتفاع = ×الحجم القاعده مساحة الحجمنق = نق = ط ع ×ع ×22ط

ل = × نق ط الجانبيه ل = × المساحه نق ط الجانبيه المساحه

أ؛ب قاعدتيه قطرى ناقص قائم دائرى أ؛ب مخروط قاعدتيه قطرى ناقص قائم دائرى مخروطع ع وأرتفاعه وأرتفاعه

( أ = ع ط )الحجم أ = ع ط + 22الحجم ب+ + اب ب+ ((22ابط = × الجانبيه ط = ×المساحه الجانبيه أ) + المساحه أ) +ل ب(ب( ل

131

3

13


حسن حسن سعيد سعيد الطالب الطالب دليل دليلالرئيسيه للقائمه الرئيسيه عوده للقائمه الرئيسيه عوده للقائمه الرئيسيه عوده للقائمه عوده


= = أْ = = جا أْ جا

= = = = أ قا أ أ = = = = جتا قا أ جتا

= = مالحظات أ مالحظات = = ظا أ ظا 11 = × -أ قتا أ أ- × = جا قتا أ 11جا = = أ = = ظتا أ أ- × = 22ظتا قا أ أ- × = جتا قا أ 11جتا 33 = × – أ ظتا أ أ – × = ظا ظتا أ 11ظا = = أ أ = = قتا قتا

المقابل

الوتر

جـ ب

أجـالمجاور

الوتر

أب

أجـ

المقابل

المجاور

جـ ب

ب أ

المجاور

المقابل

ب أ

جـ ب

الوتر

المقابل

جـ أ

جـ ب

الوتر

المجاور

جـ أ

ب أ



+ = ) + ب ) جا أ جتا جتاب جاأ ب أ ( = + جا + ب ) جا أ جتا جتاب جاأ ب أ جا - = ) ب) – جا أ جتا جتاب جاأ ب أ ( = - جا ب) – جا أ جتا جتاب جاأ ب أ جا - = ) جاب) + أ جا جتاب جتاأ ب أ ( = - جتا جاب) + أ جا جتاب جتاأ ب أ جتا + = ) جاب ) – جاأ جتاب جتاأ ب أ ( = + جتا جاب ) – جاأ جتاب جتاأ ب أ جتا

=) – ( = ) + ب ) أ ظا ب أ (=ظا – ( = ) + ب ) أ ظا ب أ ظا

+ = ) + ب ) جا أ جتا جتاب جاأ ب أ ( = + جا + ب ) جا أ جتا جتاب جاأ ب أ جا - = ) ب) – جا أ جتا جتاب جاأ ب أ ( = - جا ب) – جا أ جتا جتاب جاأ ب أ جا - = ) جاب) + أ جا جتاب جتاأ ب أ ( = - جتا جاب) + أ جا جتاب جتاأ ب أ جتا + = ) جاب ) – جاأ جتاب جتاأ ب أ ( = + جتا جاب ) – جاأ جتاب جتاأ ب أ جتا

=) – ( = ) + ب ) أ ظا ب أ (=ظا – ( = ) + ب ) أ ظا ب أ ظاظاب + أ ظا

ظاب- 1 أ ظاظاب - أ ظا

ظاب+ 1 أ ظا



لضعف المثلثية لضعف الدوال المثلثية الدوالالزاويهالزاويه

هـ 22هـ = هـ = 22جـا جـا جتا هـ هـ جا جتا هـ جتا 22)) جا هـ جتا جانصف هـ جانصفهـ ( هـ (نصف نصف

جتا = 22جتا جتا جتا = هـ جـا - 22هـ جـا - هـ هـ - 22جتا)جتا) هـهـ22هـ هـ - نصف نصف(22جاجا هـ (نصف هـ نصف

= =22هـ - 22جتاجتا22) ) 11 هـ -هـ -22جتاجتا هـ - نصف ( (11نصف = =11 - -22 هـ (22جاجا22 – – 11) ) هـهـ22جـا جـا هـ (نصف نصف

هـ =هـ =22ظا ظا ) () (

هـ 22هـ = هـ = 22جـا جـا جتا هـ هـ جا جتا هـ جتا 22)) جا هـ جتا جانصف هـ جانصفهـ ( هـ (نصف نصف

جتا = 22جتا جتا جتا = هـ جـا - 22هـ جـا - هـ هـ - 22جتا)جتا) هـهـ22هـ هـ - نصف نصف(22جاجا هـ (نصف هـ نصف

= =22هـ - 22جتاجتا22) ) 11 هـ -هـ -22جتاجتا هـ - نصف ( (11نصف = =11 - -22 هـ (22جاجا22 – – 11) ) هـهـ22جـا جـا هـ (نصف نصف

هـ =هـ =22ظا ظا ) () (

هـ 2 ظا

1 – هـ2ظا

هـ 2 نصف ظاهـ 2ظا- 1 نصف



هـ3جـا4جـاهـ - 3هـ = 3جـا

هـ 3هـ - 3جتا 4هـ = 3جتا جتا

3 ظا - هـ3ظاهـ

1 – 3 هـ2ظا هـ3ظا =

جتا +2جا( 1:)تذكرأن 1هـ = 2هـ جتا 2جتا- 1هـ = 2جا ؛ هـ2جا- 1هـ = 2هـ

هـ2قا = 1هـ +2ظا )2( هـ2قتا = 1هـ +2ظتا )3(



لنصف المثلثيه لنصف الدوال المثلثيه الدوالالزاويهالزاويه

= هـ هـ = جا جا

هـ هـ جتا = = جتا

= هـ هـ = ظا ظا آمون عنخ آمون توت عنخ توت

- = = هـ ظتا هـ هـ = = - قتا ظتا هـ قتا

= هـ هـ = جا جا

هـ هـ جتا = = جتا

= هـ هـ = ظا ظا آمون عنخ آمون توت عنخ توت

- = = هـ ظتا هـ هـ = = - قتا ظتا هـ قتا

12

هـ -1 جتا2

12

هـ +1 جتا2

12

هـ -1 جتاهـ +1 جتا

هـ جاهـ +1 جتا

هـ -1 جتاهـ جا



قوى الدوال المثلثيهقوى الدوال المثلثيهقوى الدوال المثلثيهقوى الدوال المثلثيه جتا = - 22جا جا جتا = - هـ هـ هـ 22هـ

جتا = + 22جتا جتا جتا = + هـ هـهـ22هـ

جا = - 33 جاجا جا = - هـ هـهـ33هـ

جتا = + 33جتا جتا جتاهـ جتا = + هـ جتاهـ هـ هـ 33هـ

جتا = - 22جا جا جتا = - هـ هـ هـ 22هـ

جتا = + 22جتا جتا جتا = + هـ هـهـ22هـ

جا = - 33 جاجا جا = - هـ هـهـ33هـ

جتا = + 33جتا جتا جتاهـ جتا = + هـ جتاهـ هـ هـ 33هـ

1

2

1

21

2

1

23

4

1

43

4

1

4خـروجعوده لى سابقتـا


الى وفرق مجموع الى تحويل وفرق مجموع تحويلضرب ضرب حاصل حاصل

الى وفرق مجموع الى تحويل وفرق مجموع تحويلضرب ضرب حاصل حاصل

جاب + = - - 11 هـ جاب + = جا هـ (22جا - ( ) + ب ) هـ جتا ب هـ (جا - ( ) + ب ) هـ جتا ب هـ جاجاب- - =22 جاب- - =جاهـ ( 22جاهـ - ( ) ب ) + هـ جا ب هـ ( جتا - ( ) ب ) + هـ جا ب هـ جتاجتاب- + = 33 جتاب- + = جتاهـ ( 22جتاهـ - ( ) ب ) + هـ جتا ب هـ ( جتا - ( ) ب ) + هـ جتا ب هـ جتا

جتاب- - = 44 جتاب- - = جتاهـ (22جتاهـ - ( ) ب ) + هـ جا ب هـ (جا - ( ) ب ) + هـ جا ب هـ جاتحويل الضرب الى مجموع أو فرقتحويل الضرب الى مجموع أو فرق11) + ( + ) - ( ب- = هـ جا ب هـ جا ب جتا (جاهـ + ( + ) - ( ب- = هـ جا ب هـ جا ب جتا جاهـ22) + ( – ) - ( ب- = هـ جتا ب هـ جتا جاب (جاهـ + ( – ) - ( ب- = هـ جتا ب هـ جتا جاب جاهـ33 ) + ( + ) - ( ب- = هـ جتا ب هـ جتا جتاب ( جتاهـ + ( + ) - ( ب- = هـ جتا ب هـ جتا جتاب جتاهـ

جاب + = - - 11 هـ جاب + = جا هـ (22جا - ( ) + ب ) هـ جتا ب هـ (جا - ( ) + ب ) هـ جتا ب هـ جاجاب- - =22 جاب- - =جاهـ ( 22جاهـ - ( ) ب ) + هـ جا ب هـ ( جتا - ( ) ب ) + هـ جا ب هـ جتاجتاب- + = 33 جتاب- + = جتاهـ ( 22جتاهـ - ( ) ب ) + هـ جتا ب هـ ( جتا - ( ) ب ) + هـ جتا ب هـ جتا

جتاب- - = 44 جتاب- - = جتاهـ (22جتاهـ - ( ) ب ) + هـ جا ب هـ (جا - ( ) ب ) + هـ جا ب هـ جاتحويل الضرب الى مجموع أو فرقتحويل الضرب الى مجموع أو فرق11) + ( + ) - ( ب- = هـ جا ب هـ جا ب جتا (جاهـ + ( + ) - ( ب- = هـ جا ب هـ جا ب جتا جاهـ22) + ( – ) - ( ب- = هـ جتا ب هـ جتا جاب (جاهـ + ( – ) - ( ب- = هـ جتا ب هـ جتا جاب جاهـ33 ) + ( + ) - ( ب- = هـ جتا ب هـ جتا جتاب ( جتاهـ + ( + ) - ( ب- = هـ جتا ب هـ جتا جتاب جتاهـ

12

12

12

12

12

12

12

12

1212

12

1212

12



العالقه بين أضالع المثلث العالقه بين أضالع المثلث وزواياهوزواياه

العالقه بين أضالع المثلث العالقه بين أضالع المثلث وزواياهوزواياه

: :قاعدة الجيبقاعدة الجيب–

جيوب مع المثلث أضالع تتناسب مثلث أى جيوب فى مع المثلث أضالع تتناسب مثلث أى فى لها المقابله لها الزوايا المقابله الزوايا

= = = = = =22 الدائره قطر نصف نق ؛ الدائره نق قطر نصف نق ؛ نقالمثلث المارهالماره المثلث برؤس برؤس

= جـ = نق = نق جـ = ب p × = 22ب أ جا pا جا p × = نق أ جا pا جا نق

= = ب أ ب = = نق أ ب × = 22نق جا جـ جا ب × = نق جا جـ جا نق

ب جـأ ْ جا

جـ أ pب جا

ب أجْـ جا

جـ ب2 p جاأ

جـ أ2 Nجاب

ب أجأ 2جـ

جـ = بp × 2أ جا نق

جـ بنق 2

جـ أنق2

جـ جا = ب أ

نق2خـروجعوده لى سابقتـا


التمام جيب التمام قاعدة جيب التمام قاعدة جيب التمام قاعدة جيب قاعدة11 -زاويه وقياس ضلعين طوال زاويه- أذاعلم وقياس ضلعين طوال أذاعلم = مجموع معلومه لزاويه المقابل الضلع = مربع مجموع معلومه لزاويه المقابل الضلع مربع

األخرين – الضلعين األخرين – مربعى الضلعين ضربهم× 22مربعى ضربهم× حاصل حاصلبينهم× المحصوره الزاويه بينهم× جتا المحصوره الزاويه جتا

) (أب) (22أب) (أجـ= ) (22أجـ= ) جـ+ ) (ب جـ+ ) × 22- - 22ب × جتاجْـ× جـ ب × أب × جتاجْـ× جـ ب أب) جـ) (ب جـ) (22ب (أب= ) (22أب= ) (أجـ+ ) × 22- - 22أجـ+ ) × ×p جتاا أجـ × أب × ×p جتاا أجـ أب) (أجـ) (22أجـ) (أب = ) (22أب = ) جـ+ ) (ب جـ+ ) × 22- - 22ب × ×pجتاب جـ ب × أب × ×pجتاب جـ ب أب



األضالع أطوال األضالع أذاعلم أطوال أذاعلم

= p أ p = جتا أ جتا

= pجتاب = pجتاب

= جتاجـ =جتاجـ

a2جَـ +2ب – a 2أ

2 جَـ× aب

2بa – 2جَـ +2أ

2a×جَـ

a2ب+ a 2جَـ – 2أ

2 ×aa ا aب

( = مالحظه ( + ) ( :pب ق جْـ ق أذاكانت180 1 = -pجاب جْـ - 2جا

= +pجتاب 0جتاجْـ

تذكرتفابل أكبرزاويه

ضلع أطول



تذكرأنتذكرأنتذكرأنتذكرأن= + جا جا + =جا × 22جا الفرق جتا المجموع × جا الفرق جتا المجموع جا= - جا جا - =جا الفرق × 22جا جا المجموع الفرق × جتا جا المجموع جتا = + جتا جتا + = جتا الفرق × 22جتا جتا المجموع الفرق × جتا جتا المجموع جتا = – جتا جتا – = جتا الفرق × 22جتا جا المجموع الفرق × جا جا المجموع جا) + ( = × الفرق حا المجموع جا جتا الفرق × = ) + (جا حا المجموع جا جتا جا) – ( = × الفرق جا المجموع جا جا الفرق × = ) – (جتا جا المجموع جا جا جتا) + ( = × الفرق جتا المجموع جتا جتا الفرق × = ) + (جتا جتا المجموع جتا جتا جتا ) - ( = × المجموع جتا الفرق جتا جا المجموع × = ) - ( جا جتا الفرق جتا جا جا

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

1212

خـروج لى تـا سابقعوده


تابع العالقه أضالع المثلث تابع العالقه أضالع المثلث وزوياهـوزوياهـ

= = جا جا = =جتا جتا


= = جا جا = = جتا جتا

المحيط نصف ح بان المحيط علما نصف ح بان علما

N أ2

) – ( O أ ح حجَـ Oب

Nب2

) – ( Oب ح حجَـ O ا

جْـ2

جَـ ) – ( ح ح Oب O ا

أ2

) – Oب ()ح حَـ – )حجَـ Oب

ب2

) – O أ ()ح جـ – )حجَـ أ

جـ2

) أ – ح – ()حOب(

Oب أ

























= جا جا = جتا جتا







المحيط نصف ح بان المحيط علما نصف ح بان علماخـروجعوده لى سابقتـا


تابعتابع = ظا = ظا

= ظا =ظا

= ظا = ظا زاويتين فرق نصف زاويتين ظل فرق نصف ظل

ظتاظتا = =

أ2

) – Oب () ح جَـ – ) ح) أ ) – ح ح

Nب2

) أ – () ح جَـ – ) ح) – ( Oب ح ح

جْـ2

أ – ( بO – () ح )ح) جَـ ) – ح ح

– pب أ2

ظ•ا

– aب aأa بa+ أ

جْـ2

= ظا = ظا

= ظا =ظا


ظتاظتا = =

أ2

= ظا = ظا

= ظا =ظا


ظتاظتا = =

أ2

= ظا = ظا

= ظا =ظا


ظتاظتا = =

أ2

= ظا = ظا

= ظا =ظا


ظتا= ظتا= خـروجعوده لى تـا

– pب أ2

= ظا = ظا

= ظا =ظا


ظتا= ظتا= سابق


= أ عليه نقطتان علمت اذا المستقيم = ميل أ عليه نقطتان علمت اذا المستقيم ميل؛( ؛( 11؛ص؛ص11س)س)

( = س س = )ب = = = =مم هو( هو( 22؛ص؛ص22ب

ظاهـظاهـ مع المستقيم ميل زاوية هى هْـ مع خيث المستقيم ميل زاوية هى هْـ خيث

السينات لمحور الموجب السينات األتجاه لمحور الموجب األتجاه هى ب أ المستقيم معادلة هى وتكون ب أ المستقيم معادلة وتكون

= =

1ص – 2ص

1س – 2س

Nهـص – 1ص

س – 1س

1ص – 2ص

1س – 2س



المستقيم الخط المستقيم تابع الخط تابع( س الماربنقطه المستقيم س )معادلة الماربنقطه المستقيم ص 11معادلة ص ؛ م( 11؛ م( وميله وميله

– ( ص ص ص ) – هى ص س( = ) – 11هى س س( = ) – م س ( ( 11م * * ) ( جـ وجزء ميله بممعلمية المستقيم جـ ) ( معادلة وجزء ميله بممعلمية المستقيم معادلة

م : = + ؛ جـ س م ص الصادات محور من م : = + مقطوع ؛ جـ س م ص الصادات محور من مقطوعالمستقيم المستقيم ميل ميل

**جزأين يقطع الذى المستقيم جزأين** معدلة يقطع الذى المستقيم معدلة األحداثيات محورى من جـ ؛ األحداثيات ب محورى من جـ ؛ جـجـب ب ب = + = + 11

سب

صجـ



المستقيم المستقيم تابع تابعص + – ب س أ هى المستقيم لمعدلة العامه ص + الصوره ب س أ هى المستقيم لمعدلة العامه الصوره

00جـ+ =جـ+ =

نتائجنتائج11 = -ص السينات محور ص- = معادلة السينات محور 00معادلة22 = -س الصادات محور س- = معادلة الصادات محور 00معادلة33 -وعلى السينات لمحور الموازى المستقيم وعلى- معادلة السينات لمحور الموازى المستقيم معادلة

) ( ك منه ) (بعد ك منه بعد = ك ص ك = هى ص هى44 -بعد وعلى الصادلت محور يوازى مستقيم بعد- معادلة وعلى الصادلت محور يوازى مستقيم معادلة

) ك ) (منه ك ) منه = ك س ك = هى س هى



المستقيم المستقيم تابع تابع ( = أ أ بنقطة المار المستقيم أ = ) معادلة أ بنقطة المار المستقيم أ 11معادلة أ ؛ ومتجه( ومتجه( 22؛

أنجاههأنجاهه( = ) ( = أ ر هى هـ ؛ د أ = ) ( = )ى ر هى هـ ؛ د أ 11ى أ ؛ (22؛ هـ( + ) د؛ (ك هـ( + ) د؛ ك هما الوسيطيتان المعادلتان هما وتكون الوسيطيتان المعادلتان وتكون = أ أ = س أ + × = 11س ص ؛ د أ + × = ك ص ؛ د هـ + × 22ك هـ + × ك ك أن أن ونستنتج ونستنتج

:د؛ = ) مالحظه: مالحظه ى المستقيم أتحاهه متجهه كان د؛ = ) أذا ى المستقيم أتحاهه متجهه كان أذاهـ( هـ(

= م الميل م =فأن الميل فأن

أ – 1س

دأ – 2ص

هـ=

هـد



تابع المستقيمتابع المستقيم ل مستقيمين نين ل العالقه مستقيمين نين ل 11العالقه ل ؛ 22؛

11 -م 22ل// ل// 11ل- ل م فأن ى 22م= م= 11فأن ى ؛ م 22ى = ى = 11؛ م حيث م 11حيث م ؛ 22؛

ميلى ميلى هما هما ى 11ى ى ،،المستقسمين المستقسمين ى ؛ اتجاه 22؛ اتجاه متحهى متحهى

المستقيمينالمستقيمين22 -م 22ل ┴ ل ┴ 11ل- ل م فأن ى 11 = - = - 22م × م × 11فأن ى ؛ 00 = = 22ى ى oo 11؛33 -هْـ زاويه وبينهم متقاطعان هْـ- المستقيمان زاويه وبينهم متقاطعان المستقيمان

فأنفأن

= هـ هـ =ظا ظا

2ى | o| 1ى || 2ى||×|| 1ى || هـ = جتا

2م – 1م

2م1م +1



تعين الميلتعين الميلتعين الميلتعين الميل11 = + + -جـ ص ب س أ صورة فى المستقيم كان جـ- + + = أذا ص ب س أ صورة فى المستقيم كان 00أذا

= = الميل أن أى م الميل الميل = = فأن أن أى م الميل فأن22 ( + ) ( = -؛ د ك ب ؛ أ ر المستقبم معادلة كانت ؛- = ) ( + ) أذا د ك ب ؛ أ ر المستقبم معادلة كانت أذا

هـ (هـ ( = ) م ) الميل ويكون هـ ؛ د هو األتجاه متجه ( = فأن م ) الميل ويكون هـ ؛ د هو األتجاه متجه فأن

33 × + = × + = -ك هـ ب ص ؛ ك د أ س المستقيم ك- = + × = + × أذا هـ ب ص ؛ ك د أ س المستقيم أذا ( ؛ د هو األتجاه متجه فأن الوسيطيه المعادله ؛ ) تسمى د هو األتجاه متجه فأن الوسيطيه المعادله تسمى

هـ( هـ( = م الميل ويكون ك م =معاملى الميل ويكون ك معاملى

أ -ب

س - معاملص معامل

هـد

هـد



نقطه من الساقط العمود نقطه طول من الساقط العمود طولالمستقيم المستقيم على على

س ) س ) النقطه ص 11النقطه ص ؛ + 22؛ جـ( + ص ب س أ + والمستقيم جـ( + ص ب س أ والمستقيم = =00

العمود = طول العمود = يكون طول يكون

أ- ) 22 أ- ) النقطه أ 11النقطه أ ؛ ب( = )22؛ ر ب( = )والمستقيم ر ب 11والمستقيم ب ؛ د( + ) 22؛ د( + ) ك ك) هـ (؛ هـ ؛

أ = = ) مـ حيث العمود طول أ = = )فأن مـ حيث العمود طول ؛؛11ب( – )ب( – )22؛أ؛أ11فأن((22بب

) د = )- ؛ هـ العمود متجهه (ن د = )- ؛ هـ العمود متجهه ن

س | ص + 1أ جـ + 1ب |

2 ب + 2أ

ن | ه | مـ ||ن ||



العمود طول العمود تابع طول العمود تابع طول العمود تابع طول تابع( األصل نقطة من الساقط العمود األصل )طول نقطة من الساقط العمود ( ( 00؛ ؛ 00طول

الستقيم الستقيم على على = + + جـ ص ب س جـ + + = أ ص ب س ل = ل = 00هو هو 00أ = *س م ص المستفيمان كان س* = أذا م ص المستفيمان كان ص = 11جـ +جـ +11أذا ص = ؛ ؛

س س م 22جـ+ جـ+ 22م

بينهم البعد فأن بينهم متوازيان البعد فأن متوازيان = هو = هو

جـ2ب + 2أ

1جـ – 2جـ1 + 2م



معادلة منصفى بين معادلة منصفى بين مستقيمين الزاويهمستقيمين الزاويه

المستقيمين بين الزاويه منصفى المستقيمين معادلة بين الزاويه منصفى معادلةب + 11أأ ب + س جـ + 11س جـ + ص أ 00 = =11ص أ ؛ ب + 22؛ ب + س جـ + 22س جـ + ص ص

22==00

= هى = هى

ب + 1أ ص 1س1جـ+

1أ 1ب + 2

2

ب + 1أ ص 1س1جـ+

1أ 1ب + 2

2

خـروجعوده لى تراجـعتـا


الرئيسيه للقائمه الرئيسيه عوده للقائمه الرئيسيه عوده للقائمه الرئيسيه عوده للقائمه عوده


الدائرهالدائره :بعد على تكون المستوى نقط من مجموعه هى بعد: الدائره على تكون المستوى نقط من مجموعه هى الدائره

ويكون الدائره مركز هى المستوى فى نقطه من ويكون ثابت الدائره مركز هى المستوى فى نقطه من ثابت ) نق ) له ويرمز الدائره قطر نصف طول الثابت ( البعد نق ) له ويرمز الدائره قطر نصف طول الثابت البعد

نق نق : مركز* بين واصله مستقيمه قطعه هو القطر : نصف مركز* بين واصله مستقيمه قطعه هو القطر نصف الدائره محيط على ونقطه الدائره الدائره محيط على ونقطه الدائره : *على نقطتين بين واصله مستفيمه قطعه هو على* : الوتر نقطتين بين واصله مستفيمه قطعه هو الوتر

الدئره الدئره محيط محيط : *الدائره بمركز مارا وتر هو الدائره* : القطر بمركز مارا وتر هو القطر *الى المستوى نقسم الى* الدائره المستوى نقسم الدائره- 11الدائره داخل الدائره- نقط داخل - - 22نقط

الدائره خارج الدائره نقط خارج نقط 33 -الدائره محيط على الدائره- نقط محيط على نقط



تابع الدائرهتابع الدائره الدائره الدائره سطح على : : سطح الواقعه النقط مجموعة على هو الواقعه النقط مجموعة هو

الدائره UUالدائره الدائره داخل الواقعه النقط الدائره مجموعة داخل الواقعه النقط مجموعة الدائره تماثل الدائره محور تماثل بمركز : : محور الماره المستقيمات بمركز كل الماره المستقيمات كل

الدائرهالدائره–: لدائره بالنسبه نقطه :موضع لدائره بالنسبه نقطه موضع

11( -الدائره الدائره- )خارج الدائره( )22خارج الدائره( )على الدائره( 33على الدائره( داخل داخل11( > -نق أ نق- < )م أ نق( = )22م ب نق( = )م ب نق( > 33م جـ نق( > م جـ م



دائره مع دائره دائره عالقة مع دائره عالقة نق قطريهما نصفى ن ؛ م نق دائرتان قطريهما نصفى ن ؛ م نق 11دائرتان نق ؛ وخط وخط 22؛

ن م ن المركزين م المركزين11 = ∩ -ن م متباعدتين ن ؛ ن- ∩ = م م متباعدتين ن ؛ ФФم > نق ن نق < م ن ن 22نق + نق + 11م ن م م

22 = ∩ -ب ؛ أ ن م متقاطعتان ن ؛ ب- ∩ = م ؛ أ ن م متقاطعتان ن ؛ منق> > 22نق – نق – 11نقنق ن نق> > م ن ن 22نق+ نق+ 11م ن م م

33 -الخارج من متماستان ن ؛ الخارج- م من متماستان ن ؛ م = نق ن نق = م ن ن 22نقنق + +11م ن م م *المماس على عمودى ن م المركزين المماس* خط على عمودى ن م المركزين خط

) ل ) (المشترك ل ) المشتركخـروجعوده لى تراجـعتـا


تابعتابع44 = -نق ن م الداخل مت متماستان ن ؛ نق- = م ن م الداخل مت متماستان ن ؛ م م 22نق- نق- 11م

نن) ل* ) المشترك المماس على عمودى ن (م ل* ) المشترك المماس على عمودى ن م55 < -نق ن م الداخل من متباعدتان ن ؛ نق- > م ن م الداخل من متباعدتان ن ؛ 22نق – نق – 11م

م م نن

= ∩ ن ن ∩ = م مم ФФم

66 = -ن م متحدتا ن- = دائرتان م متحدتا 00دائرتان **عموديا يكون متقاطعتين لدائرتين المركزين عموديا** خط يكون متقاطعتين لدائرتين المركزين خط

وينصفه الوترالمشترك وينصفه على الوترالمشترك على ┴ وينصفه ب أ ن وينصفه ┴ م ب أ ن خـروجعودهم لى تراجـعتـا


الدائره الدائره تابع الدائره تابع الدائره تابع تابع الدائره فى األوتار الدائره عالقة فى األوتار عالقة أبعاد على تكون الطول فى أبعاد األوتارالمتساويه على تكون الطول فى األوتارالمتساويه

المركز من المركز متساويه من متساويه

متساويه أقواس تقابل الطول فى متساويه األوتارالمتساويه أقواس تقابل الطول فى األوتارالمتساويه

فان = د جـ ب فان = أ د جـ ب د = أ جـ ب د = أ جـ ب أ متساويه أقواس بينهم تحصر المتوازيه متساويه األوتار أقواس بينهم تحصر المتوازيه أ أ األوتار

ب ب أوتارمتساويه تقابل المتساويه أوتارمتساويه األفواس تقابل المتساويه األفواس

د د جـ جـخـروجعوده لى تراجـعتـا


الزوايا واألقواسالزوايا واألقواسالزوايا واألقواسالزوايا واألقواس : أنصاف أضالعها ؛ الدائرة مركز رأسها المركزيه أنصاف : الزاوية أضالعها ؛ الدائرة مركز رأسها المركزيه الزاوية

أقطارأقطار أ لها المقابل القوس قياس يساوى أ قياسها لها المقابل القوس قياس يساوى قياسها : م أضالعها الدائرة على رأسها المحيطيه م : الزاوية أضالعها الدائرة على رأسها المحيطيه الزاوية = ب لها المقابل القوس قياسها ؛ الدائرة فى = أوتار ب لها المقابل القوس قياسها ؛ الدائرة فى أوتار

جـ جـ = المركزيه المركزيه = قياس معها 22قياس المشتركه المحيطيه معها قياس المشتركه المحيطيه قياس

القوس القوس فى فى ا قائمه دائرة نصف فى المرسومه المحيطيه ا الزاوية قائمه دائرة نصف فى المرسومه المحيطيه الزاوية جـ جـ ب ب

12



الماسية الماسية الزاوية الزاوية

نقطة من ووتر مماس اتحاد من ناتجة المماسيه نقطة الزاوية من ووتر مماس اتحاد من ناتجة المماسيه الزاوية ) مماسيه )> زاوية ب أ د ( التماس مماسيه )> زاوية ب أ د التماس

) <( = ) أ)> جـ ب ق ب أ د (ق <( = ) أ)> جـ ب ق ب أ د ق = ب أ ب = ق أ ق = فى معها المشتركه المحيطيه الزاوية المماسيه فى = الزاوية معها المشتركه المحيطيه الزاوية المماسيه الزاوية

القوسالقوس

القوس = فى المشتركه المركزيه الزاوية القوس = نصف فى المشتركه المركزيه الزاوية نصف

التماس = ووتر المماس بين المحصور القوس التماس = نصف ووتر المماس بين المحصور القوس نصف

للدائرة واحده نقطه من المرسومتان الماستان للدائرة القطعتان واحده نقطه من المرسومتان الماستان القطعتانالطول فى الطول متساويتان فى متساويتان

12



الدائرة الدائرة معادلة معادلة

نق قطرها ونصف األصل نقطة مركزها التى الدائرة نق معادلة قطرها ونصف األصل نقطة مركزها التى الدائرة معادلة22نق = نق = 22ص+ ص+ 22سس

) – ( ) ل ) س هى ك ؛ ل مركزها الدائرة (معادلة – ( ) ل ) س هى ك ؛ ل مركزها الدائرة (22معادلة ك+ ) – (ص ك+ ) – 22نقنق ==22ص

( = س ا ب أ قطرها التى = )الدائرة س ا ب أ قطرها التى س( = ) 11؛ص؛ص11الدائرة ب س( = ) ؛ ب ص 22؛ ص ؛ هى( هى( 22؛

س ) – س ) – س س11

س( ) – س( ) – س س22

ص( + ) – ص( + ) – ص ص11

ص( ) – ص( ) – ص ص22

= ) = )00

العامه العامه الصوره +22 + +22ص+ ص+ 22س س الصوره س +ل س جـ + 22ل ص جـ + ك ص ك==00

(22ك + ك + 22ل = ل = 22نق نق ك – = )- - ؛ ل م المركز ؛ (جـ ك – = )- - ؛ ل م المركز ؛ جـخـروجعوده لى تراجـعتـا


خاصة خاصة حاالت حاالتاألصل- 11 بنقطة المارة الدائرة األصل- معادلة بنقطة المارة الدائرة معادلة

00جـ = جـ = +22++22ص+ ص+ 22سس س +ل س ص =22ل ص =ك 00ك

على- 22 يقع مركزها الدائرة على- معادلة يقع مركزها الدائرة معادلةالسينات السينات محور محور

+ =22 + +22ص+ ص+ 22سس جـ س + =ل جـ س =00ل =ك ) ((00ك )على- 33 يقع مركزها الدائرة على- معادلة يقع مركزها الدائرة معادلة

الصادات الصادات محور محورجـ + =22+ + 22ص+ ص+ 22سس ص جـ + =ك ص = 00ك = ل ) ((00ل )

محور- 44 تمس التى الدائرة محور- معادلة تمس التى الدائرة معادلة)| ك) =| نق |(السينات ك) =| نق السينات

س +22 + + 22ص+ ص+ 22سس س +ل ل +22ل ص ل +ك ص 00 = =22كمحور- 55 تمس التى الدائرة محور- معادلة تمس التى الدائرة معادلة

)| ل ) =| نق |(الصادات ل ) =| نق الصاداتس +22 + + 22ص+ ص+ 22سس س +ل ك + 22ل ص ك + ك ص 00= = 22ك

خاصة خاصة حاالت حاالتاألصل- 11 بنقطة المارة الدائرة األصل- معادلة بنقطة المارة الدائرة معادلة

00جـ = جـ = +22++22ص+ ص+ 22سس س +ل س ص =22ل ص =ك 00ك

على- 22 يقع مركزها الدائرة على- معادلة يقع مركزها الدائرة معادلةالسينات السينات محور محور

+ =22 + +22ص+ ص+ 22سس جـ س + =ل جـ س =00ل =ك ) ((00ك )على- 33 يقع مركزها الدائرة على- معادلة يقع مركزها الدائرة معادلة

الصادات الصادات محور محورجـ + =22+ + 22ص+ ص+ 22سس ص جـ + =ك ص = 00ك = ل ) ((00ل )

محور- 44 تمس التى الدائرة محور- معادلة تمس التى الدائرة معادلة)| ك) =| نق |(السينات ك) =| نق السينات

س +22 + + 22ص+ ص+ 22سس س +ل ل +22ل ص ل +ك ص 00 = =22كمحور- 55 تمس التى الدائرة محور- معادلة تمس التى الدائرة معادلة

)| ل ) =| نق |(الصادات ل ) =| نق الصاداتس +22 + + 22ص+ ص+ 22سس س +ل ك + 22ل ص ك + ك ص 00= = 22ك



الدالهالدالهالدالهالدالهحقيقين )الداله متغيرين بين عالقه ص هى ؛ ( س

عناصر من عتصر كل واحد س بحيث بعنصر يرتبطعناصر من صفقط

لها ص : ويرمز س مجموعة س وتسمى دو او ص المجال المقابل المجال ص) ( = مجموعة س د

:(ص) المدى : الداله قاعدة

كانت : أذا ح ح الحدود * د كثيرة الداله تكونح = المجال

* ح من جزء او ح مجالها يكون الحقيقيه الدوال

* = ) ( س د الداله ن مجالزوجى + √ عدد ن حيث ب س أ

المجال فان

= ب + ≤ س الجزر ≤ 0أ ماتحت أن 0اى

حقيقين )الداله متغيرين بين عالقه ص هى ؛ ( سعناصر من عتصر كل واحد س بحيث بعنصر يرتبط

عناصر من صفقط

لها ص : ويرمز س مجموعة س وتسمى دو او ص المجال المقابل المجال ص) ( = مجموعة س د

:(ص) المدى : الداله قاعدة

كانت : أذا ح ح الحدود * د كثيرة الداله تكونح = المجال

* ح من جزء او ح مجالها يكون الحقيقيه الدوال

* = ) ( س د الداله ن مجالزوجى + √ عدد ن حيث ب س أ

المجال فان

ب + ≤ = س الجزر ≤ 0أ ماتحت أن 0اى



تابعتابع

الحقبقبه– 1: األعداد األعداد مثل معرفه

2- ∞ - ∞ : ، ؛ ؛ مثل معرفه غير أأعداد حقيقى عدد

أ

0

؛ : ∞ - ∞ -3 ؛ معينه غير أعداد

• خط الجوار : على نقطه تمثله حقيقى عدد أ أذاكانهـ : < الفتره 0األعداد هـ[ – + ]فان أ ؛ هـ تسمى أ

له ويرمز أ العدد هـ ) ( جوار ؛ أ ج

هـ+ – • أ أ هـ أ

أ [ – + ] - • هـ أ ؛ هـ أ المثقوب الجوارأ + هـ أ

هـ – أ

أ • العدد جوار فى تقع س تعنى أ س

0

0

∞

∞



الحقيقيه الدوال الحقيقيه نهابة الدوال الحقيقيه نهابة الدوال الحقيقيه نهابة الدوال نهابةاذاكان: و < تعريف هـ < 0لكل يوجد

ان 0 بحيث

| حيث) ( – | < س لكل و ل س هـ > | – | > 0د أ س

س) ( – | ) ( ) ( | | ؛ و ، ل ج فى تقع س د تعنى ل س دأن– | تعنى أ

و ) ( ، أ المثقوب الجوار فى تقع س

(مالحظه ( س : د قاعدتين على معرفه الداله كانت اذا =

النهايه اذاكانت هـ س عند نهايه للداله تكوناليسرى = النهايه اليمنى

-2 ) ( التعويض بأستخدام أ س عند س د نـهـا أليجادس قيمة عن المباشر

العامل = حزف من البد معينه غيلر كميه كانت أذاأ ) – ( س الصفرى

اذاكان: و < تعريف هـ < 0لكل يوجدان 0 بحيث

حيث) ( – | < | س لكل و ل س هـ > | – | > 0د أ س

س) ( – | ) ( ) ( | | ؛ و ، ل ج فى تقع س د تعنى ل س دأن– | تعنى أ

و ) ( ، أ المثقوب الجوار فى تقع س

(مالحظه ( س : د قاعدتين على معرفه الداله كانت اذا =

النهايه اذاكانت هـ س عند نهايه للداله تكوناليسرى = النهايه اليمنى

2- ) ( التعويض بأستخدام أ س عند س د نـهـا أليجادس قيمة عن المباشر

العامل = حزف من البد معينه غيلر كميه كانت أذاأ ) – ( س الصفرى

) ( س د نـــهــال=

أ س

هـ < س ؛ س أ < هـ س ؛ س ب



النهايات فى األساسيه النهايات القواعد فى األساسيه النهايات القواعد فى األساسيه النهايات القواعد فى األساسيه القواعدعدد 1ن- أ ن × = 1نظريه ن حيث

≠حقيقى

م – أ نتيجه = ن

أ × نـهـا = 2 10ن- ن

0 هـ

س ) ( ∞ عند س د نـهـا أليجاد نظريهألكبر مرفوعه س على والمقام البسط نقسم

المقدار فى أو المقام فى 0أس

عدد 1ن- أ ن × = 1نظريه ن حيث ≠ حقيقى

م – أ نتيجه = ن

أ × نـهـا = 2 10ن- ن

0 هـ

س ) ( ∞ عند س د نـهـا أليجاد نظريهألكبر مرفوعه س على والمقام البسط نقسم

المقدار فى أو المقام فى 0أس

سنـهـا ن

ن أ –

أ – س أ س

سنـهـا ن

ن أ –

أ – س أ س

سنـهـا أ – ن

ن

س أ سم

أ – م

ن

م

هـ + ( ن أ – ن ) أ

هـ

أ

∞

=0خـروجعوده لى تراجـعتـا


تابعتابعالدوال -1 نهاية

المثلثيه

س جـا نـها

س 0س

ظـا 1 = نـهاس

0س س

= 1

أ جـا نـهاس

ب 0س س

أ

بظـا = نـها

أس

س 0س ب

أ

ب=


س = أ جتــا نــهـا1

0 0س


شتقاقشتقاقااالال شتقاقشتقاقااالالس = ) ( إذا من تتغير س وكانت س د ص كانت

هـ + س ألى

س ) ( = ) + ( – ) ( د هـ س د هـ ت التغير دالة فان

هـ ) ( م التغير متويط = دالة

التغير معدل

نــهـا

0 هـ

؛ ” للداله األولى المشتقه التغير معدل وبسمىنقطه أى عند الداله لمنحنى المماس ميل

المماس التىيصنعها الزاويه ظل عليه؛ واقعهالسينات لمحور الموجب األتجاه 0مع

د) + ( – هـ س دس) (

هـ س) + ( – ) ( د هـ س د

هـ



األشتقاق األشتقاق قواعد قواعدس = -1 × ن ص س = ن aص

1ن-

أ = = -2 aص أس ص

3- = = aص ا 0ص س = -1 جـا س- = 2ص جتـا ظـا- = 3ص صس

قــا = = - = aص س جـا aص س جـتا a2ص س

س = -4 ظتـا س – = 5ص قـا قتـا- = 6ص صس

قتـا = - a2ص - = = aص ظـاس قـاس yaص سظتـاس قتـاس

ص * نمشتقة

ص = × 1ن- نaص



تابعتابع 11 ) + ( = ب- أس جـا ( ص + ( = ب- أس جـا (22ص ب- = ) + أس جنا (ص ب- = ) + أس جنا ص

) + ( - = ) + ( ب = أس جـا أ aص ب أس جتا أ aص) + ( - = ) + ( ب = أس جـا أ aص ب أس جتا أ aص33 ) ب- = ) + أس ظـا ( ص ب- = ) + أس ظـا أس- = 44ص قـا أس- = ص قـا ص = قا أ aقا = ص أ a22 ص = ) ظـاأس ) + أس قا أ aص ب ( = أس ظـاأس ) + أس قا أ aص ب أس55 ) ب- = ) + أس ظتا ( ص ب- = ) + أس ظتا أس- = 66ص قتا أس- = ص قتا ص - = قتا أ aقتا = - ص أ a22 ص - = ) أس ) + ظتا أس قتا أ aص ب ( = - أس أس ) + ظتا أس قتا أ aص ب أس

جـا = : مالحظه ص ( = ) م أذاكانت جأ) ص أسمأس (

جـا = م aص قوس مشتقة (× 1م-تعامل جتا ) أ أس) أس)



تابعتابع) ( = ) ( إذا س = د ع ؛ ع د ص كانت

× = فان

الثانيه = × + -2 مشتقة األولى دالتين ضرب حاصل مشتقةاألولى × مشتقة الثانيه

دالتين -3 قسمة = مشتقة

على = -4 الجزر تحت ما مشتقة التربيغى الجزر × 2مشتقة الجزر

لألس = × -5 مرفوع القوس األس ألس مرفوع قوس مشتقةالقوي × 1– مابداخل مشتقة

ص د

س د

ص د

دع

دع

س د

مشتقة × – المقام البسط مشتقةالبسط× المقام

المفام مربع



هـ = طبيعي ≈ س ص أساس هـ حيث2.71828182

هـ = aسص

هـ = * ( ص س) هـ = ) ( فاند س َaد aسص

مشتقة = س فى داله األس اذاكان أىالداله × األس

أ = * أ> > ∞ ≠ 0حيث س ص ؛ 1أ

أ = aلو ) هـلو × سص لو = جـ أ س ÷ هـ سجـ هـلو • = = aص س لو صa = = ص س لو ص

• × ) ( = ) ( س = aد aص س د لو ( × ص ( = ) ( س = aد aص س د لو ص

الداله= = • مشتفة س فى داله لو الداله= = ص مشتفة س فى داله لو صالداله 11×× الداله على على

1

س1

س) د)



الهنا الهنا حمام حمام

اسرة الرياضيات

Documents

Transcript of اسرة الرياضيات