第六章 常微分方程 yxfy 求已知 ,)( — 不定积分问题

yy 求及其若干阶导数的方程已知含 ,

— 微分方程问题

推广

6.1 微分方程的基本概念 6.2 一阶微分方程 6.3 二阶微分方程6.4 用 Matlab 软件解二阶常系数 非齐次微分方程

6.1 微分方程的基本概念

微分方程的基本概念

引例 几何问题

物理问题

解 : 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式 :

xxy

2dd ①

(C为任意常数 )

由 ② 得 C = 1, .12 xy因此所求曲线方程为

21xy ②

由 ① 得

例 1 一曲线通过点 (1,2), 且在该曲线上任意点 处的切线斜率为 2x，求这曲线的方程。),( yxM

例 2 质量为 m 的物体从空中自由下落，若略去空气阻力．求物体下落的距离 s 与时间 t的函数关系 s(t) 。

解； 未知函数 s(t)应满足方程mg

dt

sdm

2

2

, 即 gdt

sd

2

2

两边积分得

再积分一次，得 此外，设运动开始时，物体的初始速度和初

始位移为零，得

常微分方程

偏微分方程

1. 含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程 .

2. 微分方程中所含未知函数的导数（或微分）的最高阶数叫做微分方程的阶 .

( 本章内容 )

微分方程的基本概念

分类

例如 为二阶微分方程

3. 代入微分方程后，能使之成为恒等式的函数称为微分方程的解 .

4. 用来确定通解中任意常数的条件称为初始条件 .

微分方程的基本概念

特解

通解

( 不含任意常数 )分类

5. 寻求微分方程的解的过程称为解微分方程 .

6.2 一阶微分方程

6.2.1 可分离变量的微分方程

6.2.2 一阶线性微分方程

6.2.1 可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程

转化

两边积分

xxf d)(

例 3 ( 细菌繁殖模型 )在一个理想的环境中，细胞的繁殖率与细菌的数目成正比，若 时细菌的数目为 ，求系统的细菌繁殖规律。

两边积分

0t

)0(x

解： 设 示在 时刻细菌数目，依题意有 )(tx t

即 (C 为任意常数 ) 又因， 0)( ttx 为已知 , 故特解为

ceCC 或0

)0(x

例 4（自然生长模型） 表示一种生物在时间 t时种群总数，开始时种群总数分别表示该总群的出生率和死亡率，实践证明

解：在 t到△ t 这段时间内种群总数改变量为

当 时

采用可分离变量后，积分得ny

cer ky

ttmyttnytytty )()()()(

0t )()()()(

lim0

tymnt

tytty

dt

dyt

)(tyy mnyy ,,)0( 0

,kyrmn 其中 r>0 ， k>0 ，试求该种群的自然生长规律。

由 确定常数 C ，则可得生物总群自然增长规律：

0

0

( )n

ry t

r kyk e

y

0)0( yy

此式称为 Logistic 方程，显然当其曲线图为 k

ryt 时，

例 5（肿瘤生长模型）设 是肿瘤体积。免疫系统非常脆弱时， V呈指数式增长，但 V长大到一定程度后，因获取的营养不足使其增长受限制。描述 V的一种数学模型是：

0ln , (0) ( 0)dV V

aV V V adt V

是肿瘤可能长到的最大体积，确定肿瘤生长规律

/0

k aV V e

)(tV

解：分离变量 ln ln

dVadt

V V V

两边积分

ln ln

dVadt

V V V

ln ln ln lnV V at C

由初始条件 ，可确定 ， 00V V0

lnV k

CV a

故特解是atk

ea

VV

e

即 (1 ) /0

atk e aV V e

此为贡柏茨方程

此为贡柏茨方程图形

二、可化为分离变量的某些方程 *

1. 齐次方程 形如

令 ,xy

u

代入原方程得 )(dd

uxu

xu

xx

uuu d)(

d

两边积分 , 得 x

xuu

u d)(

d

积分后再用 代替 u,便得原方程的通解 .

解法 :

分离变量 :

例 6. 解微分方程 .tanx

y

x

y

dx

dy

解 : ,xy

u 令 ,uxuy 则 代入原方程得

uuuxu tan

分离变量xx

uuu d

dsincos

两边积分 xx

uuu d

dsincos

得 ,lnlnsinln Cxu xCu sin即

故原方程的通解为 xCxy sin

( 当 C = 0 时 , y = 0 也是方程的解 )

( C 为任意常数 )

例 7. 解微分方程yx

yx

dx

dy

解：将右端函数的分子，分母同时除以自变量 x

1

1

ydy x

ydxx

此为齐次方程，令

yu

x

21 2

1

du u ux

dx u

分离变量，再两边积分

22 2

11 2u u

C x 将 u 带回得

2 2 2( 2 ) 1C x xy y

2. 型方程

作变换

例 8. 求方程 的通解

2)( yxdx

dy

解：令 则

得方程通解为

将 代回得原方程通解

6.2.2 一阶线性微分方程

一阶线性微分方程标准形式 : )()(dd

xQyxPxy

若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0,

称为非齐次方程 .

称为齐次方程 ;

定义 3 如果方程中未知函数的导数（微分）的最高阶数是一阶的，且所含未知函数及导数（微分）都是一次幂的，则称这种方程为一阶线性微分方程。

一、一阶线性微分方程

0)(dd yxP

xy

1. 解齐次方程

分离变量

两边积分得 CxxPy lnd)(ln 故通解为 xxPeCy d)(

这里 仅表示 p(x) 的一个原函数( ) dP x x

2. 解非齐次方程

)()(dd

xQyxPxy

( )( )

dy Q xdx P x dx

y y 改写为

两边积分 ( )ln ( )

Q xy dx P x dx

y

( )( )

Q xdx u x

y令 ( )( ) P x dxu xy e e

令 ( )( ) u xC x e ( )( )

P x dxy C x e

（ 1 ）

下面求 C （ x ），对（ 1 ）求导得( ) ( )

( ) ( ) ( )P x dx P x dx

y C x e P x C x e

代入标准方程得( )

( ) ( )P x dx

C x e Q x

齐次方程通解 非齐次方程特解

xxPCe

d)(

故原方程的通解

xexQexxPxxPd)(

d)(d)(

CxexQey

xxPxxPd)(

d)(d)(

y即

CxexQxCxxP

d)()(d)(两端积分得

1. 齐次方程 通解为：

0)(dd yxP

xy

xxPe

Cy

d)(

２ . 非齐次方程 　　通解为：

)()(dd

xQyxPxy

xxP

xxP

e

dxexQCy

d)(

d)()(

例 9 用常数变易法求一阶线性方程通解sincos xdy

y x edx

解：齐次方程通解：cos sinxdx xy Ce Ce

用常数变易法，令 sin( ) xy C x esin sin( ) cos ( )x xy C x e x C x e

代入原方程得 sin sin( ) x xC x e e 即 ( )C x x C

故通解为 sin( ) xy x C e

例 10 用通解公式求一阶线性方程的通解21dy

y xdx x

解： 21( ) , ( )P x Q x x

x

则通解为

21( )2

x xdx C x x C

严格的说，上式仅当 时才成立。0x

当 x<0 时 1ln ln( )dx x x

x

1 12dx dx

x xy e x e dx C

ln( ) 2 ln( )x xe x e dx C 2 1

( )x x dx Cx

21( )2

x x C

例 11 ( 饮食与体重模型 ) 某人每天从食物中获取10500J 热量，其中 5040J 用于基础代谢。他每天的活动强度，相当于每千克体重消耗 67． 2J. 此外，余下的热量均以脂肪的形式储存起来，每 42000 J 可转化为 1kg脂肪。问：这个人的体重是怎样随时间变化的，会达到平衡吗 ?

解：依题意，进食增加 10500/42000=0.25kg 基础代谢 5040/42000=0.12kg 活动消耗 67.2w/42000=0.0016wkg

tCewwt

w

tww

0016.025.810016.013.0

)0016.012.025.0(

即

例 12 （药代动力学模型）假定药物以恒定速率K0向一个同质单元进行静脉滴注， K0 的单位为单位时间的药量，并且药物在同质单元内按一级消除速率常数 K 的过程消除。 K 的单位为时间的倒数。试求此系统药物随时间变化规律。

0

dxK Kx

dt

由于 ，故 0( ) (1 )KtKx t e

K 0)( 0 ttx

解：依题意单位时间内药物变化率应该等于输

入与输出之差，则

例 13 （细菌繁殖非理想环境模型），除系统本身的繁殖外有的细菌向系统外迁移，其迁移速率是时间 t 的线性函数，即 At+B ，系统内繁殖率与细菌的数目成正比，并假定 t=0 时，测得的细菌的数目为 x(0) ，求系统的细菌繁殖规律

解：设 为 t 时刻细菌数目，则 ( )dx

Kx t At Bdt

解得2

( ) [ ( ) ]kdt kdt kt At B A

x t e At B e C CeK K

代入 则00t

x x

0 2 2( ) ( ) ktB A At B A

x t x eK K K K

)(tx

二、伯努利 ( Bernoulli ) 方程 * 伯努利方程的标准形式 :

)()(dd 1 xQyxP

xy

y nn

令 ,1 nyz xy

ynxz n

dd

)1(dd 则

)()1()()1(dd

xQnzxPnxz

求出此方程通解后 ,

除方程两边 , 得

换回原变量即得伯努利方程的通解 .

解法 :

( 线性方程 )

)0,0(4

xyyxyxdx

dy例 14 求方程 的通解

解：这是伯努力方程 ，其中

则

课堂练习题 : 求 的特解

解 : 由标准形式知

则

通解

由 得

所求特解为 :

6.3.1 可降阶高阶微分方程

一、 型的微分方程

二、 型的微分方程

三、 型的微分方程

( )y f x一、 型的微分方程

令 则( )u x y ( )u f x

两端积分得 1( ) ( )u x f x dx C 则

1( )y f x dx C 再积分，得通解

1 2( ( ) )y f x dx dx C x C

例 15 求方程的通解 xey x cos2

积分一次得2 2

1 1

1( cos ) sin

2x xy e x dx C e x C

再积分一次得 21 2

21 2

1( sin )2

1cos

4

x

x

y e x C dx C

e x C x C

最后积分得 3212 )cos

4

1( CdxCxCxey x

322

12

2

1sin

8

1CxCxCxe x

),( yxfy 型的微分方程

设 ,)(xPy 原方程化为一阶方程

设其通解为 ),( 1CxP 则得 ),( 1Cxy

再一次积分 , 得原方程的通解

21 d),( CxCxy

二、

例 16 求方程 满足初始条件 的特解。

21

2

x

yxy

3,1 00 xx yy

解：设 ( )P x y P y ，则

2

2

1

dP xP

dx x

原式为

分离变量并积分

21ln ln(1 ) lnP x C

2

2

1

dP xdx

P x

即 21(1 )P C x

21(1 )P C x

用 代替 ，得 21(1 )y C x

积分得 21 2

31 2

(1 )

1( )

3

y C x dx C

C x x C

代入初始条件 0 01 3x xy y 和

得1 23, 1C C

故特解是 3 3 1y x x

三、 ),( yyfy 型的微分方程 令 ),(yPy

x

Py

d

d则

x

y

y

P

d

d

d

d

故方程化为

设其通解为 ),,( 1CyP 即得

分离变量后积分 , 得原方程的通解

例 17. 求解

yCP 12 )1( 得

故所求通解为

解 :x

Py

d

d则

x

y

y

P

d

d

d

d

y

PP

d

d

原始可写为

两端积分得

12 lnln)1ln( CyP

可降阶微分方程的解法—— 降阶法

逐次积分

令 ,)(xPy

令 ,)(yPy

注意： 对于 型的微分方程根据具体方程选择用方法 2 或方法 3 ，使得降阶后所得方程容易求解

6 ． 3． 2二阶线性常系数齐次方程

• [定义 5] 如果方程中未知函数的导数 ( 或微分 ) 的最高阶数是二阶的，且所含未知函数及其各阶导数 ( 或微分 ) 都是一次幂的，则称这种方程为二阶线性微分方程，一般形式为：

称之为二阶线性齐次方程；

称之为二阶线性非齐次方程

称之为二阶线性常系数微分方程

(a、 b、 c 均为常数 )

称之为二阶线性常系数齐次微分方程

(a、 b、 c 均为常数 )

[定理 1] 若函数 和 是二阶线性常系数齐次微分方程的两个解，则其线性组合 也是该方程的解。

其中 Cl、 C2是两个任意常数。

[ 定理 2] 若 和 是二阶线性常系数齐次 微分方程的两个线性无关的特解，则 －－－

－－－－ 就是该方程的通解．其中 C1 和 C2

是两个任意常数。

[定理 3]设 是二阶线性非齐次方程的一个特解， 是其对应的二阶线性齐次方程的通解，则 是二阶线性非齐次方程的通解。

定理 1、 2、 3说明：

非齐次通解齐次通解

非齐次特解

齐次特解

齐次特解( 线性无关 )

二阶常系数齐次线性微分方程 :

xrey

和它的导数只差常数因子 ,

代入①得0)( 2 xre cbrar

02 crbar

称②为微分方程①的特征方程 ,

( r 为待定常数 ),

①

所以令①的解为

②

其根称为特征根 .

1. 当 时 , ②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解 :

因此方程的通解为 xrxr eCeCy 2121

则微分

它的特征方程为

其根为两个相异实根，故

则

代入初始条件，得

故所求特解是

例 18求微分方程 满足初始条件 的特解。

042 acb

2. 当 042 acb 时 , 特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解

设另一特解 ( u (x) 待定 )

代入方程得 :

0)]()()()2()([ 12

111 xucbrarxubraxuae xr

注意 是特征方程的重根 0u

取 u = x , 则得

,12

xrexy 因此原方程的通解为xrexCCy 1)( 21

0)()()()2()( 12

11 xucrbraxubraxua

例 19 求微分方程 的通解。

它的特征方程为

其根为一对相等实根

则所求方程的通解为

3. 当 时 , 特征方程有一对共轭复根

这时原方程有两个复数解 :xiey )(

1 )sin(cos xixe x

xiey )(2

)sin(cos xixe x

利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解 : )( 212

11 yyy

)( 2121

2 yyy i

xe x cos

xe x sin

因此原方程的通解为)sincos( 21 xCxCey x

042 acb

例 20 求微分方程 的通解

它的特征方程为

其根为一对共轭复根

则所求方程的通解为

总结 :

特征方程 :

xrxreCeCy 21

21 实根 xr

exCCy 1)( 21

)sincos( 21 xCxCey x

特 征 根 通 解

以上结论可推广到高阶常系数线性齐次微分方程 .

02 crbar

6.4* 用 Matlab 软件解二阶常系数非齐次微分方程

求解常微分方程命令格式为：

dsolve(‘S’,’S1,S2’,’x’)

其中 s 为方程 ,s1,s2 为初始条件 ,x 为自变量

例 21 求 的通解xeyyy 22

例 22 求 的解0)(,1)0(,02 a

yyyay

(' 2 ^ 2* ', ' (0) 1, ( / ) 0 ', ' ')

( * )

y dsolve D y a y y Dy Pi a x

y Cos a x

('2* 2 2*exp( ) ', ' ')

exp( ) 1*exp( ) 2*exp(1/ 2* )

( )

y dsolve D y Dy y x x

y

x C x C x

pretty y

)21exp(2)exp(1)exp( xCxCx