§ 4.2 常系数线性微分方程的解法

1

§ 4.2 常系数线性微分方程的解法

Solving Method of Constant Coefficients

Linear ODE

2

§ 4.1 内容回顾

).()()()( )()( 24 011

1 xtaxtaxtax nn

nn

解的性质与结构。

方程 (4.2) 的一组 n 个线性无关解称为它的一个基本

解组。

♣ n 阶齐次线性方程的所有解构成一个 n 维线性空间。

§ 4.1General Theory of Higher-Order Linear ODE

3

本节要求 /Requirements/

熟练掌握常系数齐次线性方程的求解方法

熟练掌握常系数非齐次线性方程的求解方法

熟练掌握欧拉方程的求解方法

4

非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的

结构

通解与自身的一个特解之和。

齐线性方程的通解可由其基本解组线性表示。

非齐线性方程齐线性方程

非齐线性方程通解

特解基解组表示

关键常数变

易法

§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE

5

4.2.1 复值函数与复值解 /Complex Function and Complex Solution/

一定义 ],[ )()()( ，battittz

],[ )()( 上的实函数。是定义在， batt

极限 ],[ )(lim)(lim)(lim 0000

，battittztttttt

连续 ],[ )()(lim 000

，battztztt

导数 0

0

0

0

0

0

0 tt

tti

tt

tt

tt

tztztt

)()(lim

)()(lim

)()(lim

)( )()(

lim000

00

0

0 dt

di

dt

d

dt

dztz

tt

tztz

tttttttt


6

易验证

dt

tdz

dt

tdztztz

dt

d )()())()(( 21

21 dt

tdzctcz

dt

d )()]([ 1

1

dt

tdztztz

dt

tdztztz

dt

d )()()(

)())()(( 2

121

21

如 ],[ 21 )()()( ，bat, jtittz jjj

))()()()(())()(( 221121 tittitdt

dtztz

dt

d

)]}()([)]()({[ ttittdt

d2121

)]()([)]()([ ttdt

ditt

dt

d2121

)()( 2211

dt

di

dt

d

dt

di

dt

d

dt

tdz

dt

tdz )()( 21


7

二关于kte

，共轭复数 ik

定义 titee )sin(cos tite t

tikt ee )(

tie )( )sin(cos tite t

tite ti sincos

tite ti sincos

ik 表示

为实变量。，为实数 tik ,

tikt ee )( tie )( )sin(cos tite t

)sin(cos tite t kte


8

kte 的性质tkke )( 21 tke 1 tke 21

）kt

kt

kedt

de2

）ktn

n

ktn

ekdt

ed3

）

结论实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函数的求导公式一致。实变量的复指数函数的求导公式与实变量的实指数函数的性质一致。


9

三线性方程的复值解 /Complex Solution of Linear Higher-Order ODE

如果定义在 ],[ ba 上的实变量的复值函数 )(tzx 满足方程

).()()()()( 14 11

1

1 tfxtadt

dxta

dt

xdta

dt

xdnnn

n

n

n

)(tzx 为方程的一个复值解。则称

如果方程 4.2中所有系数 ),,,)(( nitai 21

都是实值函数，而 )()()( tittzx 是方程的复数解，

)(tz 的实部 )(t ，虚部 )(t 和共轭复数函数 )(tz

也是方程 4.2的解。

定理 8

)2.4( 0)()()( 11

1

1

xtadt

dxta

dt

xdta

dt

xdnnn

n

n

n

则


10

定理 9 若方程 )()()()()( 11

1

1 tivtuxtadt

dxta

dt

xdta

dt

xdnnn

n

n

n

有复数解 )()( tiVtUx ,这里 ),...,,)(( nitai 21

及 )(tv 都是实函数。那么这个解的实部

)(tu

和虚部

)(tV 分别是方程

)()()()( 11

1

1 tuxtadt

dxta

dt

xdta

dt

xdnnn

n

n

n

和

)()()()( 11

1

1 tvxtadt

dxta

dt

xdta

dt

xdnnn

n

n

n

的解。

)(tU


11

4.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程/Coefficient Linear Homogenous Higher-Order ODE And Euler Equation/

0][ 11

1

1

xadt

dxa

dt

xda

dt

xdxL nnn

n

n

n

…….(4.19)

naaa ,...,, 21 为常数。其中

为了求方程 (4.19) 的通解，只需求出它的基本解组。

n 阶常系数齐次线性方程

tex 0][ 1

11

tn

tn

tntnt eaeaeaeeL

011

1

nnnn aaa )(F …….(4.21)

te

0)( F满足te

tex

结论： tex 是方程 (4.19) 的解的充要条件满足 0)( F

特征方程特征根

)(][ FeeL tt


12

下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。

1)特征根为单根的情况

n ,,, 21 是特征方程（ 4.21）的 n个互不相等的根，

ttt neee ,,, 21

设

则相应的方程（ 4.19 ）有如下 n 个解

这 n个解在区间 t

的基本解组。事实上，

上线性无关，从而组成方程

011

1

nnnn aaa )(F


13

tnn

tntn

tn

tt

ttt

n

n

n

eee

eee

eee

tW

112

11

21

....

....................

....

....

)(

21

21

21

112

11

21)(

....

...............

....

1....11

21

nn

nn

ntne

0

ttt neee ,,, 21 是方程的基本解组。

方程 4.19 的通解可表示为 tn

tt necececx 2121

范德蒙 (Vandermonde)行列式

ji )( ji


14

如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数。复根将成 i1对共轭的出现，设

i2

方程的一个特征根

也是一个特征根

则方程（ 4.19 ）有两个复值解tie )( )sin(cos tite t tie )( )sin(cos tite t

对应两个实值解 tete tt sin ,cos


15

例 1 求方程 04

4

xdt

xd 的通解。

解第一步：求特征根

01)( 4 F i 4,32,1 ,1

第二步：求出基本解组

, , tt ee tt sin ,cos

第三步：写出通解

tctceectx tt sincos c)( 4321


16

例 2 求方程 03

3

xdt

xd的通解。


01)( 3 F2

3

2

1 ,1 3,21 i


,te tete tt23

23 sin ,cos 2

121


tectecectx ttt23

323

21 sin cos )( 21

21


17

2) 特征根有重根的情况

m ,,, 21 是特征方程（ 4.21）的 m个互不相等的根。设

0][ 11

1

1

xadt

dxa

dt

xda

dt

xdxL nnn

n

n

n

…….(4.19)

011

1

nnnn aaa )(F …….(4.21)

mkkk ,,, 21 重数 1 ,21 im knkkk

I. 设 01 是 k1 重特征根

01

1

11

kkn

nn aa 011 1 knnn aaa

01

1

11

1

1

k

k

knn

n

n

n

dt

xda

dt

xda

dt

xd0

1 kna


18

显然 12 1,,,,1 kttt 是方程的 k1 个线性无关的解，

方程 (4.19) 有 k1 重零特征根

方程恰有 k1 个线性无关的解 12 1,,,,1 kttt

II. 设 01 是 k1 重特征根

令 tyex 1

0][ 11

1

1

xadt

dxa

dt

xda

dt

xdxL nnn

n

n

n

01

1

11

1

1

k

k

knn

n

n

n

dt

xda

dt

xda

dt

xd

…….(4.19)


19

0)( 1)2(

2)1(

1)(1

ybybybybye nnnnnt

…….(4.23)

特征方程 )24.4(0)( 11

1

nnnn bbbG

][ 1tyeL

0][ 1)2(

2)1(

1)(

1 ybybybybyyL nn

nnn

][ 1tyeL ][11 yLe t

tmtmtmtm

mtm

yeeymm

emyey

yex

1111

1

1)2(2

1)1(

1)(

)()(

!2

)1(

)(


20

)()( 1 GF

(4.19) 的 k1 重特征根 1 (4.23) 的 k1 重特征根零

11 ,,2,1 ,

)()(kj

d

dG

d

dFj

j

j

j

teF )(1

1)( ][ )( 1 teL ][ 1 tteeL

][ 1

1 tt eLe )()( 1 Ge t

][ 1tyeL ][11 yLe t

121 0 11 kjF j ,,,,)()(

011 ,)()( kF


21

方程 (4.23) 恰有 k1 个线性无关的解 12 1,,,,1 kttt

由 tyex 1

方程 (4.19) 恰有 k1 个线性无关的解 tkttt etettee 11111 12 ,,,,

类似地

1 1k tkttt etettee 11111 12 ,,,,

22k tkttt etettee 22222 12 ,,,,

mmk tkttt mmmmm etettee 12 ,,,,

1 ,21 im knkkk

基本解组

(4.26)


22

证明假若这些函数线性相关，则存在不全为零的数使得)(rjA

tkk etAtAA 11

1)( 1)1(

1)1(

1)1(

0

tk

k etAtAA 22

2)( 1)2(

1)2(

1)2(

0

0)( 1)(1

)(1

)(0

tkm

kmm mm

metAtAA

0)()()( 2121 t

mtt metPetPetP (4.27)

假定多项式 )(tPm 至少有一个系数不为零，则 )(tPm

不恒为零，0)()()( )()(

21112 t

mt metPetPtP

微分 k1 次


23

)()( 11 ])([ ktr

retP

tr

kr

krr

kr

retPtPktP )(1

)1(11

)( 111 )]()()()()([

tr

retQ )( 1)(

)(tQm

0)()( )()(2

112 tm

t metQetQ

))(())(( tPtQ mm

))(())(( tPtQ rr

不恒为零，

0)( )( 1 tm

mmetR ))(())(( tPtR mm

)(tRm 不恒为零， 0)( 1 tmme 矛盾！

中函数线性无关，其构成的解本解组。(4.26)


24

i1

i2

方程的一个重特征根

也是一个重特征根

k

k

它们对应 2 个线性无关的实解是k

,cos, ,cos ,cos 1 tetttete tktt

,sin, ,sin ,sin 1 tetttete tktt


25

例 3 求方程 033 2

2

3

3

xdt

dx

dt

xd

dt

xd的通解。


0133)( 23 F ,13,2,1


,te

第三步：写出通解ttt etctecectx 2

321 )(

,tte ,2 tet


26

例 4 求方程 02 2

2

4

4

xdt

xd

dt

xd的通解。


012)( 24 F i2,1


,sin ,sin ,cos ,cos tttttt


二重根

ttctcttctctx sin sin cos cos)( 4321


27

作业： P.113 ，第 4 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9题

P.145 ，第 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 题


28

可化为常系数线性方程的方程 ------- 欧拉 (Euler) 方程

).()( 294 11

11

1 xfyadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydx nnn

nn

n

nn

naaa ,...,, 21 为常数。其中

引入自变量代换 tex tx ln dtedx t

dt

dye

dx

dt

dt

dy

dx

dy tdt

dy

x

1

)(2

2

dt

dye

dx

d

dx

yd t

dx

dt

dt

yde

dt

dye tt )(

2

2

)( 2

22

dt

dy

dt

yde t )(

12

2

2 dt

dy

dt

yd

x


29

假设自然数 m 有以下关系式成立，

)(1

11

1

1 dt

dy

dt

yd

dt

yd

xdx

ydmm

m

m

m

mm

m

)](1

[ 11

1

11

1

dt

dy

dt

yd

dt

yd

xdx

d

dx

ydmm

m

m

m

mm

m

dx

dt

dt

dy

dt

yd

dt

yde

dt

dmm

m

m

mmt

)]([ 11

1

1

tmm

m

m

mmt

mm

m

m

mmt

edt

dy

dt

yd

dt

yd

dt

de

dt

dy

dt

yd

dt

ydme

)](

)([

11

1

1

11

1

1

)(1

11

1

1 dt

dy

dt

yd

dt

yd

x mm

m

m

m

m

为常数121 ,,, m § 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE

30

对一切自然数 m 均有以下关系是成立，

)(1

11

1

1 dt

dy

dt

yd

dt

yd

xdx

ydmm

m

m

m

mm

m

原方程

).()( 304 11

1

1t

nnn

n

n

n

efybdt

dyb

dt

ydb

dt

yd

可化为常系数线性方程

).()( 294 11

11

1 xfyadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydx nnn

nn

n

nn

tex


31

欧拉方程tex 常系数线性方程

tkey kxy

0)( kF

0)( kF确定

求解欧拉方程的过程

011

11

1

ya

dx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydx nnn

nn

n

nn

设 kxy 是欧拉方程的解

0111 12 k

nk

nk

nk xakxaxkkaxnkkk )()()(


32

02111 11 k

nn xakankkankkk ])()()()([

0)2()1()1()1( 11 nn akankkkankkk

)(kF nn akankkkankkk 11 )2()1()1()1(

解齐次欧拉方程的步骤

第一步：写出特征方程，并求特征根

第二步：求出的基本解组

先求出变换以后方程的基本解组再求出原方程的基本解组

第三步：写出原方程的通解


33

例 5 求方程 02

22 y

dx

dyx

dx

ydx 的通解。

解

01)1()( kkkkF ,12,1 k

,te


tte


第二步：求出基本解组tex xxx ln ,

xxcxcxy ln)( 21


34

例 6 求方程 0532

22 y

dx

dyx

dx

ydx 的通解。

解

053)1()( kkkkF

212,1 ik

tete tt 2sin ,2cos



第二步：求出基本解组tex

0522 kk

xx

xx

ln2sin1

,ln2cos1

)ln2sinln2cos(1

)( 21 xcxcx

xy

作业： P.146 ，第 12—26 题。


§ 4.2 常系数线性微分方程的解法

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