第2章 「有限オートマトン」
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第2章「有限オートマトン」
第2章の内容
2.1 定義2.2 正規集合の演算2.3 Nerode の定理2.4 非決定性の有限オートマトン2.5 正規表現と正規集合2.6 順序機械と状態最小化
2.1 定義
a1 a2 ai
qqヘッド
テープ
有限オートマトン M = (K, Σ, δ, q0, F) K = {q0, q1, …, qn} : 状態の集合 Σ= {a, b, …, c} : 文字の集合(アルファベット) q0 : 初期状態 δ : 遷移関数 K×Σ→ K F : 受理状態の集合( K の部分集合)
(1) δ(q, e) = q (q ∈ K)
(2) δ(q, ax) =δ(δ(q, a), x) (q∈K, a∈Σ, x∈Σ*)
文字列 w に対して δ(q0, w) は,その文字列を読んだときのオートマトンの状態を表す。
δ(q0, w) = p ∈ F であるとき, M は w を受理するという。M が受理する文字列全体: L(M) ={w | δ(q0, w) ∈ F}
オートマトンによって受理される集合を正規言語という。
定義つづき
遷移関数を次のように拡張する。
a
b
b a
a,b
q0 q1
q2
δ(q0, aba) = δ(δ(q0, a), ba) = δ(q1, ba) = δ(d(q1, b), a) = δ(q0, a) = q1 ∈ F
状態遷移図(図2)状態遷移
L(M) = {a(ba)n | n≧0}
オートマトンの例( p8 )
2.2 正規集合の演算
アルファベット Σ 上の正規集合の族R (Σ) = {L | L は正規言語 }
は集合演算∪ , ∩,  ̄のもとでブール代数をなす
R (Σ)
L1 L2
補題 2.1
L を受理するオートマトンを M=(K, Σ, δ, q0,F) とするとき, M=(K, Σ, δ, q0, K-F)とすると L(M) = L(M) となる .
補題 2.1
正規集合 L の補集合 L =Σ* - L は正規集合
証明
L1, L2 ⊆ Σ * を正規集合とする。(1) L1∪ L2 は正規集合である。(2) L1∩ L2 は正規集合である。
L1 = L(M1) 、 M1 = (K1, Σ, δ1, q01, F1) とし、 L2 に
対しても M2 を定義する。 M1, M2 から次の遷移関数 d と受理状態 F をつくる。 δ = ((q1, q2), a) = (δ1(q1, a), δ2(q2, a))
(q1∈K1, q2∈K2, a∈Σ) F = F1×K2∪K1×F2
補題 2.2
補題 2.2
証明(1) について証明する。
δ = ((q1, q2), e) = (δ1(q1, e), δ2(q2, e)) = (q1, q2)
任意の q1∈K1, q2∈K2 に対して,
数学的帰納法のベースステップ
δ = ((q1, q2), x) = (δ1(q1, x), δ2(q2, x)) ( 仮定 |x|≦k)
δ((q1, q2), ax) = δ(δ((q1, q2), a), x)
= δ((δ1(q1, a), δ2(q2, a)), x)
= (δ1(δ1(q1, a), x), δ2(δ2(q2, a), x))
= (δ1(q1, ax), δ2(q2, ax))
定義より
帰納法の仮定
帰納法の仮定
定義より
証明つづき
x ∈ L(M) ⇔ δ((q01, q0
2), x) ∈ F
⇔ (δ1(q01, x), δ2(q0
2, x)) ∈ F1×K2∪K1×F2
⇔ δ1(q01, x) ∈ F1 または δ2(q0
2, x) ∈ F2
⇔ x ∈ L(M1)∪L(M2)
(2) の証明は省略
証明つづき
(1) のときと、終状態の条件が違うだけ。
2.3 Nerode の定理
Σ* 上の関係 R は、xRy ⇒ 任意の z∈Σ* に対して xzRyz
を満たすとき右不変であるという。
関係 R は、 R による同値類の数が有限であるとき、有限指数であるという。
次の3つは同等である . (1) 集合 L⊆Σ* は正規である。 (2) L はある有限指数で右不変な同値関係 R
による同値類の和として表される。
(3) 関係 ≡ は有限指数である。ただし≡
は
x≡y ⇔ 任意の z∈Σ* に対して
xz, yz∈L であるか xz, yz∈L である。
定理 2.4 ( Nerode の定理)
定理 2.4
L
LL
「 xz L ∈ と yz L ∈ が同等である」の意
L = L(M) 、 M=(K, Σ, δ, q0, F) とし、関係 R をxRy ⇔ δ(q0, x) =δ(q0, y)
と定義すると、明らかに R は有限指数の同値関係である。( L が R の同値類の和として表されることもほとんど自明)
任意の x, y に対して δ(q, xy)=δ(δ(q, x), y) であるので
xRy ⇒ δ(q0, x)= δ(q0, y)⇒ δ(δ(q0, x), z) = δ(δ(q0, y), z)⇒ δ(q0, xz)= δ(q0, yz)⇒ xzRyz
より、 R は右不変である。
証明 (1) (2)⇒
あとは R が右不変であることをいえばよろしい
(2)⇒(3) xRy ⇒ xzRyz (z∈Σ*) ⇒ xz∈L ⇔ yz∈L⇒ x≡y 。 よって≡は有限指数。
(3)⇒(1)同値関係≡の x を代表元とする同値類を [x] で表す。
K’={[x] | x∈Σ*}
δ’([x], a) = [xa]
q’0 = [ε]
F’ = {[x] | x∈L}
とすると δ’(q’0, x) =δ’([ε], x) = [εx] = [x] であるのでx∈L(M’) ⇔ [x]∈F’ ⇔ x∈L
証明 (2)⇒ (3) 、 (3)⇒ (1)
L L
L
ゆえに L(M’) = L である。L は正規ってこと
Nerode の定理は、ある言語 L が正規でないことを示すときに有効な道具となる。
Nerode の定理は、ある言語 L が正規でないことを示すときに有効な道具となる。
Σ={a, b} 上の言語を L={anbn | n≧0} とする。
L を正規と仮定すると、 ai≡aj となる整数 i, j (i<j) が存在し、≡は右不変であるので aibi≡ajbi となるはずである。ところがこれは成立しないので矛盾である。すなわち、 L は正規でない。
例 2.2
L
L L
非決定性のオートマトンとは M=(K, Σ, δ, Q0, F) のことである。ただし Q0⊂K で δ は K×Σから 2K への関数である。その他の要素は決定性と同様。
2.4 非決定性の有限オートマトン
これまでのオートマトンは、文字 a と状態 q に対して δ(q, a) は一意に定まった。このようなオートマトンを決定性であるという。
非決定性のオートマトン
非決定性の遷移関数の定義域を次のようにしてK×Σ から K×Σ* へ拡張する。
δ(q, e) = {q}
δ(q, ax) = ∪ δ(p, x) (q∈K, a∈Σ, x∈Σ*) p∈δ(q, a)
これはさらに 2K×Σ* に拡張される。
δ(S, x) = ∪ δ(q, x)q ∈S
そして , x∈Σ* が M によって受理されるとは、δ(Q0, x)∩F ≠Φ であることをいう。
遷移関数と受理状態
b q1q1q0b
a,b
例えば abb に対してはδ(q0, abb) = δ(q0, bb)
= δ(q0,b)∪δ(q1,b)
= {q0}∪{q1}∪{q2}
= {q0, q1, q2}
となり q2∈F であるから abb∈L(M) である。
例 2.3
非決定性有限オートマトンの状態図
定義より、決定性の有限オートマトンは |δ(q, a)| = 1 であるような非決定性オートマトンの特別な場合である。しかしながらこれらのオートマトンの能力には差はないことが示される。
定義より、決定性の有限オートマトンは |δ(q, a)| = 1 であるような非決定性オートマトンの特別な場合である。しかしながらこれらのオートマトンの能力には差はないことが示される。
L⊆Σ* が正規であるための必要十分条件は, L が非決定性の有限オートマトンによって受理されることである。
任意の非決定性の M に対して、 L(M) = L(M’) となる決定性の M’ を構成できることを示せば十分である。
定理 2.5
定理 2.5
証明の方針
K の任意の部分集合に1つの状態を割り当て、それらに対して次の決定性の M’ をつくる。
K’ = 2K
δ’(S, a) = ∪ δ(q, a) q ∈S
q’0 = Q0
F’ ={R | R ∈ K’ かつ R∩F≠Φ}
このオートマトンは M の状態の集合を1つの状態とみなして ( {q1, q2,…, qk} = p という具合に ) 書き直した
だけであり、L(M) = L(M’) が成立することはすぐに分かる。
定理 2.5 の証明非決定性の有限オートマトン M=(K, Σ, δ, Q0, F) を考える。
ポイント!
例 2.3 の非決定性オートマトン M に対して、証明の方法に従って M’ を構成すると以下のようになる .K={Φ, {q0}, {q1}, {q2}, {q0, q1}, {q0, q2}, {q1, q2}, {q0, q1, q2}}q’0={q0}
F={{q2},{q0, q2}, {q1, q2}, {q0, q1, q2}}
例 2.4
b
a
a{q0}
{q0, q1, q2} {q0, q2}
{q0, q1}
b
a
b
a
b
{q0}
φ
a
{q2}
{q1, q2}
b
a,b
a,b
a
b
2.5 正規表現と正規集合
この節で分かること正規表現の(数学的な)定義と意味づけ
正規表現は文字列処理において重要な概念 UNIX システムやプログラミング言語
( Perl 、 Ruby 等)で用いられる正規表現は(実用的に)拡張されている
有限オートマトンと正規表現とが、言語を定義する能力において同等である
正規表現で定義される言語Lを受理する有限オートマトンが存在する
その逆もいえる
Unix 等における正規表現
ファイル名の正規表現> rm * .txt> cp Important[0-9].doc
検索ツール Grep の正規表現> grep –E “for.+(256|CHAR_SIZE)” * .c
プログラミング言語 Perl の正規表現$line = m|^http://.+\.jp/.+$|
正規表現の定義 アルファベット Σ 上の正規表現とは
A={), (, f, ・ , +, *} を用いて次のように定義される。 (1) φ と Σ の要素は正規表現である (2) α と β が正規表現ならば (α ・ β) も正規表現である (3) α と β が正規表現ならば (α+β) も正規表現である (4) α が正規表現ならば α* も正規表現である (5) 上から導かれるものだけが正規表現である
例: (a ・ (a+b)*)
正規表現を Σ* の部分集合に写像する (i) ||φ|| =φ (ii) a∈Σ に対して ||a|| = {a} (iii) 正規表現 α,β に対して ||(α ・ β)|| = ||α|| ・ ||
β|| (iv) 正規表現 α,β に対して ||(α+β)|| = ||α||+||β|| (v) 正規表現 α に対して ||α*|| = ||α||*
例: ||(a ・ (a+b)*)||
= {ax | x∈{a,b}*}
正規表現の意味づけ
a q1q0
q2
b
a,b
a,b
定理 2.10 (正規表現→正規集合)補題 2.2(1) ( 2.2 節より、和 L1 L∪ 2 は正規集
合)補題 2.6 (空集合は正規集合)補題 2.7 (任意の一文字は正規集合)補題 2.8 (積 L1 ・ L2 は正規集合)補題 2.9 (閉包 L* は正規集合)
定理 2.12 (正規集合→正規表現)補題 2.11 ( ||αij
(k)|| = Rij(k) )
割と簡単
結構たいへん
2.5 節の構成(同等の証明)
例 2.7 図 2.9 の有限オートマトンに対する正規表現
γ=α11(3) + α13
(3)
α11(3) = α11
(2) + α13(2) ・ (α33
(2))* ・ α31(2)
α11(2) = α11
(1) + α12(1) ・ (α22
(1))* ・ α21(1)
α11(1) = α11
(0) + α11(0) ・ (α11
(0))* ・ α11(0)
=(a+φ*)+(a+φ*) ・ (a+φ*)* ・ (a+φ*)
=a*
α12(1) = α12
(0) + α11(0) ・ (α11
(0))* ・ α12(0) = b+(a* ・ b)
α22(1) = α22
(0) + α21(0) ・ (α11
(0))* ・ α12(0) = a ・ a* ・ b
α21(1) = α21
(0) + α21(0) ・ (α11
(0))* ・ α11(0) = a ・ a*
・・・ γ= a*+a*(baa*)*+a*(baa*)*bbb*+ ・・・
2.6 順序機械と状態最小化
atcgaatccg...atcgaatccg...
有限オートマトン
有限オートマトン
YesYes NoNoor
atcgaatccg...atcgaatccg...
順序機械順序機械
00101100010...00101100010...
順序機械とは
順序機械の概念図
qqヘッド
a1 a2 ai入力テープ
b1 b2 bi出力テープ
順序機械の数学的定義
順序機械は、 5つ組 S=(K,Σ,⊿,δ,λ)K : 状態の(空でない)集合Σ : 入力アルファベット⊿: 出力アルファベットδ : 遷移関数 K×Σ→K ( K×Σ*→K )λ: 出力関数 K×Σ→⊿ ( K×Σ*→⊿* )(本当はスタート地点を表す q0 もいる)
λ(q,ε)=ε ( q∈K )λ(q,ax)=λ(q,a)λ(δ(q,a), x)
( q∈K, a∈Σ, x∈Σ*)
例 2.8 (図 2.11 )
q0
q3
q5
q1 q2
q4
0/01/1
1/10/0
0/00/0
0/0
0/01/0
1/0
1/0
1/1
λ(q0, 011)
=λ(q0, 0)λ(δ(q0,0), 11)
= 0λ(q4, 11)
= 0λ(q4, 1)λ(δ(q4,1), 1)
= 01λ(q5, 1)
= 010
一般順序機械
一般順序機械とは順序機械の出力関数を
K×Σ→⊿* に拡張したもの一般順序機械 S = (K,Σ,⊿,δ,λ) に対して
S(x) =λ(q0, x) (x∈Σ*)
gsm 写像L⊆Σ* に対して
S(L) = {λ(q0, x) | x∈L}
語 x の S による変換
Σ* 上の言語から⊿ *上の言語への翻訳を意味する
同値・等価・既約 Si=(Ki,Σ,⊿,δi,λi) (i=1,2) について
状態 p∈K1 と q∈K2 は、任意の x に対してλ1(p, x) =λ2(q, x) であるとき同値といいp≡q とかく ( p≡q ならば δ1(p,x) =δ2(q,x) )
S1 と S2 は任意の p∈K1 に対して p≡q となるq∈K2 が存在し、その逆の場合も成り立つとき等価であるといい S1≡S2 とかく
S=(K,Σ,⊿,δ,λ) は任意の p, q∈K に対して p≡q ならば p=q で
あるとき既約であるという
補題 2.13
定理 2.14
定理 2.14
[p] を ≡ による p を含む同値類として、これを状態とする順序機械を構成する(略:教科書 p25 )
証明
任意の順序機械 S に対して S≡S’ となる既約な順序機械 S’ が存在する
定理 2.15
定理 2.15
証明
既約な順序機械は、それと等価な順序機械のうちで、状態数が最小である
ほぼ自明
p
q既約な S
r
S’
|K|> |K’|p≡r, q≡r
p≡q
⇒
矛盾 !
順序機械の状態を最小にする手順
等価で既約な S’ を作ればよい定理 2.14 →既約なものが存在することを保
証
k 同値λ(p,x)=λ(q,x) がすべての |x|≦k なる x∈Σ*
に対して成り立つとき、 p と q は k 同値であるといい p≡q とかく
Ck を ≡ による K の同値類の集合とする
k
k
定理 2.16
定理 2.16
順序機械 S=(K,Σ,⊿,δ,λ) に対して次の関係が成立する
1. p ≡ q であるための必要十分条件は、 p≡q かつ
任意の a∈Σ に対して δ(p,a)≡δ(q,a) となること
2. Ck+1=Ck ならば j≧k なるすべての j に対して Ck=Cj
3. Ck+1=Ck であれば、 p≡q となる必要十分条件は p≡q
4. |C1|=1 ならば、 C2 = C1
5. n=|K|≧2 ならば、 Cn = Cn-1
k+1 k
k
k
k=1,2,…,n の順に Ck を計算していくと、必ず Ck+1 = Ck となるk が求まり、このとき Ck は≡による同値類の集合に等しいk=1,2,…,n の順に Ck を計算していくと、必ず Ck+1 = Ck となるk が求まり、このとき Ck は≡による同値類の集合に等しい
例 2.9
q0
q3
q5
q1 q2
q4
0/01/1
1/10/0
0/00/0
0/0
0/01/0
1/0
1/0
1/1
p0 p2
p3p1
0/0
0/00/0
0/0
1/1
1/1
1/0
1/0
変換
有限オートマトンの状態最小化のしかた 有限オートマトン M に等価で、状態数が
最小Nerode の定理より、同値関係≡のもとで同値
類を状態にもつ有限オートマトン M’ 状態を最小化する手順
定理 2.17 (定理 2.16 とほぼ同じ)による具体的には
離れ小島になっている状態を削除 同値関係≡による同値類 Ck を計算する
ここで関係≡はp≡q ⇔ 任意の |x|≦k なる x∈Σ* に対して
δ(p, x)∈F←→δ(q, x)∈F
L
k
k
k
例 2.10
q0 q3
q5
q1 q2
q4
a
a
a
a
a
b
b
b
b b
ab
ap1p0
p2
bab
a,b
変換