非标准分析 ——经典数学的一种延伸

逻辑学 12 硕 吕相洋

第二次数学危机 在 17 世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科。牛顿

和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者，他们的功绩主要在于：创立了朴素的微分法和积分法；有明确的计算步骤；微分法和积分法互为逆运算……由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为当时解决问题的重要工具。

　 18 世纪的数学思想的确是不严密的、直观的，强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念不清楚；无穷大概念不清楚；发散级数求和的任意性等等；符号的不严格使用；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。

在微积分大范围应用的同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。关键问题就是无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次数学危机。

消失的量的灵魂

0

4422*222)2(

)2('

)(22222

2

”量的灵魂“贝克莱戏称为 消失的什么，尼茨）的无穷小到底是而略去了，牛顿（莱布为被视“ ”的 无穷小 在后面又前面被作为非零项除掉

f

xxf

• 　 直到 19 世纪 20 年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。波尔查诺给出了连续性的正确定义；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；柯西在 1821 年的《代数分析教程》中从定义变量出发，认识到函数不一定要有解析表达式；他抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量；并且定义了导数和积分；狄里赫利给出了函数的现代定义。在这些工作的基础上，威尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极限的定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。

• 　　 19 世纪 70 年代初，威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。

在严格化后的微积分理论中，无穷小不再是一个固定的量，而是以零为极限的变量。

44lim

22*22lim

2)2(lim)2('

)(

0

222

0

22

0

2

f

xxf

但古典极限理论的较为繁复，而在工程师、物理学家、化学家的语言中使用“瞬时”、“微元”这样的不够精确的概念并没有影响的结果的正确性。

实无穷的复活——逻辑学家的意外发现

（一阶逻辑广义完全性定理）如果形式语言 L 的一个语句集是一致的，那么这个语句集有一个模型。

（紧致性定理）如果 L 的语句集 K 的任意有穷子集一致，那么 K 一致。

的真超集。是，从而显然，，个，记为存在模型，选取其中一紧致

RRRRw

RHKM

**

*:性定理由为一个新的个体常量。w取遍所有实遍所rw,<r:集合

成的为以下无穷个语句所组H的一个模型，K是R设实数域

也是。，是无穷小，那么如也有无限多个无穷小，如中有无限多个无穷大，当然，

中的数，称为无穷小。具有这种性质的于是对每个

每个大于所有实数，所以对有乘法逆元，由于中的每个非零数也都有证明），根据转换原理（随后将

法逆元，的每个非零元素都有乘由于

mmm

wwR

R

rwrRrrw

rRrw

R

R

32

2,1*

*

|/1|,0,,/1

,0,

*

挪威逻辑学家 Skolem最先发现描述自然数集的计数公理（如一阶 Peano 公理）不仅以自然数为其“标准”模型，他由此否定自然数集 N ，而 R.robinson 把 skolem的思想开拓到实数域，为无穷小演算奠定了严格的逻辑基础，它兼容算术的非标准模型，因此他称这一课题为非标准分析，其开拓性的工作，具有不可磨灭的历史功绩。

• 可以认为， NSA实际上是对标准分析进行“理想元素”的添加，如前所述，无穷大与无穷小并非不可思议， NSA 的第一个功绩便是延续数学史上扩张数系的研究。

• 令人奇怪的是，在直线上塞进无理数之后，扩充实数系的工作被忽视了长达百余年。

上的一个子集。恒等于则最后通过嵌入：

成立，则对于充分大的使如果存在上的序关系定义如下：

定义加法和乘法：

所在等价类，，分别表示命上的代数运算，为了定义所成的集实数集乃是所有等价类

其定义为：

上的等价关系是所成的集，并设序列有理数

是全体理论，设序列构造实数的回忆从有理数

RQ

aaaa

banbaQ

R

babababa

ba

RQR

ba

QCauchy

QCantorCauchy

nnnn

nnnnnnnn

nn

N

nnn

N

N

,,,

,

**,

}{b}{a,

,/

0)(lim}{b}{a

}{a

NnnNnn

NnnNnn

Nnn

更精细的等价类划分。需要序列极限是不够的，还的构造思想，仅仅区分要发展

同。因此人们，但它们的收敛速度不都等同于实数和

进性态的差异，例如：这是并没有考虑序列渐列归入同一类，的同一点（实数）的序将尽可能多的收敛到

只是极限，于是必须的过程中，人们关心的构造理论，在由的实数剖析一下上定义何种等价关系，关键在于在

的一个子集。等同于映射使义，再通过嵌入上的加法和乘法类似定之后，等价类全体

上定义了某种等价关系在来构造效仿上述过程，由

Cantor

0}n

1{}

n

1{

*

*

,*

2

R

RQ

CantorR

RR

R

RRR

N

NN

一些失败的尝试

不能构成域。

，有零因子，例如：但是容易验证，

说，化为同一等价类。则两序列相等，换句话

项外皆相同，即如果两个序列除有限余有穷等价关系

SN

nn

SN

S

R

a

R

/

},0,1,0,1,0{}b{}1,0,1,0,1{}{

/

,

}{b}{a

}{b}{a}ba|{n

,R}{b,}{a

*

1948

nn

nnnn

Nnn

u

N

uu

RIu

R

HewittEdwin

记为：

。相等，或几乎处处相等和，则称

如果的集，设

表示全体实数序列所成上的一个非主超滤，命是设定义

的代数性质。富的点集，又保有良好构造了丰泛认同，用超幂方法既的超幂方法，已获得广数域

年创造的构造超实于在逐步的探索中，由

的元素叫做超自然数。

别的，的元素叫做超实数，特或记为

所在的等价类的非标准扩张。为超实数系或称

，即的等价类的全体记为将按照定义

一下定义：性质，于是有，同时也将具有某些新的很多良好的代数性质后将证明，它保有”相当多 的新元素，以“法的粗造性，会产生实数构造方的代数结构里避免了的元素的等价类，在新

划分价关系，事实上以可能是我们所期望的等可以看出，

零因子，再注意到：的排除了上的等价关系，且成功为证，由超滤的性质，容易验

uN

u

N

uN

Nu

Nuu

Nu

NN

Rx

RRR

RR

RR

R

Cantor

R

u

R

/*

,*x

}{x*

/*

*

{1}}n

1

n

1|{n

n

n

2

中的标准实数。的元素为

的标准实数，特别，称的元素为则称

则规定如果定义（集的自然嵌入）

中的自然嵌入映射。到为：称的等价类。

表示常序列）（规定中的常序列，即看作约定把对于任意定义

的元素特征。的代数性质以及：试看嵌入映射

RN

RAA

RA

RRRR

rrrrrrrrrrr

RrRr

RRRRN

*

*A},a|a{

,

***

},,{,***},,{

,

*,***

*

的保序同构。到是且自然嵌入映射

是一个线性有序域系后容易验证，在补充了运算以及序关

是指是指是指

，规定设定义成为一个线性有序域。构以及序关系，使代数结，上定义在

为真嵌入映射。，即可见

在是非主超滤，所以不存由于中命证明：在

的真扩张。是定理

RR

R

uyx

uzyx

uzyx

Rzyx

RR

RRxa

RaunxR

RR

N

nN

*

*

}yx|N{n

}z··yx|N{n·

}zyx|N{n

*,,

**

**,*

,},{

nn

nnn

nnn

*

}1

{0

,||,,*

,,

}3,2,1{,,,*

,**

*

**

0,

0,||*

**

na

araRrRa

araRr

araRrRa

NN

NNn

RRxRR

xx

xxx

RR

，例如记为

为无穷小，则称均有如果对每个设为负无穷大。则称成立如果对每个

为正无穷大，例如则称成立如果对每个设）定义（无穷大和无穷小

。，，简记为，例如

们简化一些记号，产生误解的情况下，我为叙述的简便，在不至

为非标准自然数。称为非标准实数，中的元素，称和为了区分

如果如果

定义

定义。中的元素引进绝对值的，可以对线性有序化鉴于

上的等价关系。为和∽容易验证，

不是有限接近的。与彼此有限接近，而，，为超自然数，则例如，

）（）是指的星系（有限接近，并记作和是有限数，则称如果

∽）是指的单子（∽无限小接近，并记作和，则称∽如果

设定义

R

n

n

yxRyxGx

yxyxyx

yxRyxmx

yxyxyx

Ryx

*

/

3

}|*{galaxy

.

}|*{)(monad

.0

*,

。便不是上确界了，矛盾的一个上界限，但是则另一方面，如果

矛盾。由无穷小定义易见上确界，设的是。若不然，设有上界，但没有上确界事实上，

确乎没有边界。成的集合，作为全体正负无穷小所被模糊的云雾所围绕。即称为的哲学名词，在法语里）是单子（

a

aamama

maama

mam

mx

,2/)0(2/),0(

),0(2),0(

)0()0(

)0(

,haloleibnizmonad

不是相等，便是相交。任意两个单子推论

则且），设我们只证（

无穷小。积仍是，无穷小与有限数的乘的一个理想，这就是说是）（

的一个子环。是）全体无穷小集（绩仍是有限数。有限数的和、差以及成

说，的一个序子环，也就是）是（的集）全体有限超实数所成（定理

)(),(

4

r|st|r,|t-s|

r|ts|r/2,|t|r/2,|s|,),0(,1

)0()0(3

*)0(2

*01

2

ymxm

RrGts

Gm

Rm

RG

亦导致同样的矛盾。时，＜同样，当

）的实数一定小于决定矛盾（小于由这与＞时，当。，满足存在为无穷小，若不然，便即证

∽

可证分割决定了唯一的中的一个作为则

是有限的，命证：设

和。准实数与一个无穷小之可唯一地表示为一个标均因此，每个有限超实数∽便是也就是说，不是

无限接近于唯一的一个每个有限超实数有限超实数基本定理

,2

,r/2,rxrx

||R||

,,

x}rR,r|{rx},rR,r|{r

*

,,,

21

21

22221111

xrrrx

rxDD

rxrx

rx

RrDedekindRDD

DD

Rx

rxrxRr

x

)()(

)()()(

)()()(

)()()(

0,0

0,)(

*

ystxstyx

ystxstyxst

ystxstxyst

ystxstyxst

GyxRGst

RGrxst

xrxrRx

时，当

），（的保序环同态，即对于）到（是标准部分映射定理

叫做标准部分映射。）（映射记作的标准部分，为的唯一标准实数∽为有限数，称满足设

非标准模型• NSA 的应用应竟可能涵盖经典数学的所有研究对象，而经典数学

的定义都是用的集合论语言。所以我们先引入足以包括经典数学所有研究对象的标准结构——超结构。

• 从超结构出发，用纯粹的集合论方法构造其对应的超幂型非标准模型，则得到的非标准模型涵盖经典数学。从而可将经典数学置于 NSA体系下研究。

xy

XVyXxXV

X

nnXVXV

XVXXV

XVXV

XXVXV

XVPXVXVXXV

XVREX

E

nn

Nnn

nnn

n

),(,)(

.)1)(()(

)()(

)()(

)()(

))(()()()(

)(,

1

0

10

则对所有”，即如果“的个体是所谓的 原子即中的元素外我们约定，不需要高阶量词了，此这样定义论域，我们就

中的实体具有秩称

的个体，的实体也叫做

的实体，的元素叫做

上的超结构称为

如下：归纳定义累积幂集并假定本点集），度空间或拓扑空间的基为任一非空集（比如测命定义（超结构）

超结构的某些性质• ∅为实体• 每个 Vn(X) 为实体• 实体的元素为实体• 实体的子集为实体• 实体的幂集为实体• V(X) 的有限子集为实体• 实体的有序 n元组及 Cartesian 积为实体• n元关系和 n元函数，其定义域和值域为实体者，它们本身亦为实体。

实体的例子

所以是实体。代数运算可看做函数，

。的全体开子集所成的族上的通常拓扑乃是拓扑也为实体，如

）（进而泛函属于，所以它属于有序实数对所成的集合的任意实值函数可看做

又定义域为从而）于是（

）则（为实体，因为如果

等关系为实体；，，，上的

RR

XVXV

RDXVXVRXVyx

xPyxxyxRyxR

R

63

32

2

2

),(

),()(),(,

).(}},{},{{,,,

*

选定特定的基本点集。目的，可以相应当中，为了特定的研究都可以嵌入到集论结构从而数学各分支象都可最终定义为集，学的观点，所有数学对

，按照现代数象，我们的基本思想是）即可包容所有研究对（在其上建立）（任意基本点集的框架，但这并非说对

分析学而言是够用这一集论结构对于经典举这些例子无非是说明

XV

REX ,

常见实体的非标准扩张

的扩张。理解，先考虑某些实体稍微复杂些，为了便于的累积构造鉴于法推广到超结构可以将这种超幂构造方

，及绝对值函数，，，运算：嵌入映射

并定义了的非标准扩张得到先前我们用非主超滤

)(),(

|·|******

,/*

XVXV

RR

RRRu uN

]1,0(*]1,0(

0**],1,0(

E*u},E}|N{n|*{E*

uE}|N{n*x*

**

*

*)*,*(*),(

})(),(|{*)*,(**

*

:

11

11

所有正无穷小，于是以外的将含有除由子集扩张的定义，例如设

从而即

是上的一个一元关系，于相当于，设的子集的扩张

上的一个关系到元关系上的同样，可以扩张的扩张。确乎是所以

时，很明显，当且仅当

定义为：则

元函数，即上的一个为设函数与关系的扩张

EE

ExRx

xE

RERE

R

RRPnR

ff

rrrfrrrf

uyxfxfNnyxxf

f

RRRRf

kRf

n

n

kk

nknn

k

。的自然嵌入映射，记为到显然，存在

是指定义为：中的属于关系）定义（超幂中的

的秩有穷定义（有界超幂）

的秩。的元素的秩为，记该等价类中秩最小的等价类中。对于小自然数为该序列的秩有界。记满足条件的最

则称实体序列使得每个个实体序列，如果存在某

）的一个（是设定义（有界实体序列）

映入另一个超结构②把

）的有界超幂（①构造

步：的联系。构造过程分两标准模型与非标准模型即可建立：过构造映射有了实体的扩张，再通

eXVXV

BA

XV

AAXV

AA

XV

AXVAn

XA

XVXV

XVXV

XVXV

uN

u

uuN

u

uN

N

ni

uN

uN

/)()(

u}BA|N{n

/)(

}|{/)(

)(

),(,

V},AA,{A

)(*/)(

/)(

),(*)(*

nn

n21

的秩施归纳。对证明是构造性的，通过

）（）（有的元素中秩大于②对于

“ ”是 恒等 映射。的元素，中秩为①对于

满足以下两个条件：

：

存在嵌入映射定理

A

ABBMAM

XV

MXV

XVXVM

u

uN

uN

uN

}|{

,0/)(

0/)(

)(*/)(

eM

XVXV

AMAMBABeAeBA

XXMXXe

Me

Me

u

*

)(*)(*

*

)()();()(

***

为：

）规定映射定义（映射

③

映满则把，映入把②

都是单射；和①

的重要性质和嵌入映射自然嵌入映射

形式语言及其解释

]]***[0**[*

*

]][0[

***

,)()(*

)(*)(

xyyRyxRx

xyyRyxRx

XVXV

XVXVL

I

）（）（转换为其便是某个实数的平方，是说凡是实数不是负数

）（）（语言）例如：语句（半形式化

转换的，则得到加上的每个被解释的常项上然后在做出解释内对，先在满足设转换）定义（

重要概念。讨内实体、外实体等等的命题之间的关系并探和可建立的常词）及其解释，即结构中的元素确定

方便起见，用超，引进一阶形式语言（有了（非）标准模型后

超结构的超幂扩张示意图

Los 定理

u}V(k))A(k),(A|N{k

)(),(*

)(*

,/)(,,

,

]][)[(

]][)[(

n1

1

121

21

）中成立（在成立的充要条件是

）（中则在

设为仅有的自由变元，又

的一个有界公式，其中）是（定理）设（

为有界的。的常词，则称这一公式为、其中

出现：在以下形式中一个公式的每个量词总定义（有界公式）如果

X

AMAM

XV

XVAAxxx

LxxxLos

LBA

Bxx

Axx

n

uN

nn

n

）成立。（在）成立，从而：（在

由归纳假设，）中成立（在则，则出中任意实体，如此构造为命对于某个

选取对于每个）中成立（在，设次证

）中成立（在封闭性，

，由超滤对超集的）中成立（在，根据假设，在

，使得个成立，那么如果存在某中在中成立，即设在

，设先证，）定理真，对于，（假定对于

归纳证明的关键步骤：

XAMAMxBx

XAMAMBAM

X

XVA

XT

X

XXV

AMAMAMBAM

XVAMAMxBxXV

AMAMxBx

AMAM

xxxx

n

n

uN

n

n

n

n

n

*V))()(,(*)(

*V))()((*)((

u,}V(k))A(k),(ABA(k)|N{k

,/)(ABA(k)T,kA(k),

T,ku,}V(k))A(k),(A|N{k

u}V(k))A(k),(A|N{k

u}V(k))A(k),(A|N{k)(*

))()(),((*)(

)(*))()(,(*)()(*

))()(,)()*((

))(),((*

,,

11

11

n11

n1

n1

n

11

11

11

1

111

真。真等价于所以中在由于成立成立的充要条件是在定理，没有自由变元，由由于证

成立。在转换中成立的条件是其在中是有界语句，则在形式语言的一个陈述，如果是超结构设推论（转换原理）

*,)(u,}|N{n

)(**

)(***)(

)(

NSiffXVS

XVLos

XVXV

LXV

转换原理的基本运用

）（∽∽非标准证明：

收敛，则减级数定理）如果正项单调递③（

∽

例：

上成立，在上的基本代数运算规则由转换原理，

②

中成立。在

转换：其

性可表达成语句：的的。有序的，而是不是①

NNwwaawa

naaOlivier

f

xxf

RRx

ystxf

XV

nyxNnnRyRx

nyxNnnRyRx

ArchimedesR

ArchimedesArchimedes

www

n

nn

*0]2/[0

0

4422*222)2(

)2('

)(

*

)()('

)*(

]*)[)(*)(*(

*

])[)()((

*R*

2/

1

22222

2

• 上述仅仅是非标准分析 NSA 的几个最最基础的应用。事实上， NSA 可以覆盖经典数学的近乎全部分支，经典数学的很多成果运用 NSA 方法可以异常简便的得到。

• 除了作为研究标准数学的工具， NSA本身对无穷的引入，亦开辟了数学、哲学研究的广阔新天地。

NSA尚未被广泛认可和应用的原因• 一些人认为，对于经典数学而言， NSA能够得到的结果标准方法应该也都能得到，而大家已经习惯了经典方法。

• 不同于有理数、实数、复数的扩充。非标准数系的扩充本身是不同构的（尽管这不影响我们得到一些很好的结果），而且尚未找到很好的几何、物理模型。

• 一些数学工作者对逻辑领域成果的忽视。

算数从整数开始，继而通过添加有理数和负数以及无理数等，逐次扩大了数系，但在实数之后，下一个自然扩张，即添加无穷小，竟被完全忽略了，在微积分发明长达三百年之后，第一个严格的无穷小理论始发起来，我认为，在未来的世纪里，后代将会把这一延误看作一件咄咄怪事。

未来的分析学将是某种 NSA!

——哥德尔

that's all,thank you!