Ⅶ. 도형의성질

1. 삼각형의 성질

2. 사각형의 성질

1. 명제와 증명

1-1. 명제

명제 : 참 , 거짓을 구별할 수 있는 식이나 문장예제 )

◈ 삼각형의 내각의 합은 180 도이다 .

◈ 1 은 소수이다 .

◈ x + 4 = 6

◈ x - 2 < 8

◈ 2x +1 = 1 + 2x

◈ 장미꽃은 아름답다 .

⇒ 참인 명제

⇒ 거짓인 명제

⇒ 명제가 아님

⇒ 명제가 아님

⇒ 명제 ( 항등식 )

⇒ 명제가 아님

예제 1)

(1) 3+2=7

(2) x+1=4

(3) 정사면체의 모서리 개수는 6 이다 .

⇒ 거짓인 명제

⇒ 명제가 아님

⇒ 참인 명제

문제 1)

(1) 2x+5=3

(2) 삼각뿔대는 사면체이다 .

(3) 정육면체의 꼭짓점의 개수는 6 이다 .

(4) 사면체의 면의 개수는 4 이다 .

⇒ 명제가 아님

⇒ 거짓인 명제

거짓 명제⇒ 참인 명제

문제 2>

(1)3+2< -1

(2)4+5≠1

(3) 꼭짓점의 개수가 8 인 다면체는 정육면체이다 .

(4) 사각형의 대각선의 개수는 2 이다 .

⇒ ( × )

⇒ ( ○ )

⇒ ( × )

⇒ ( ○ )

l

m

ab

n

이면 이다 .

ml // ba 가정 결론

이면 이다 .

ml //ba 가정 결론

역

1) 가 자연수이면 는 자연수이다 .

ba, ba 가정 결론

2) 이면 이다 .

2,1 yx 3 yx가정 결론

3) ABC △ 에서 , 이면 이다 .

CB

가정 결론

ACAB

문제 3>

1) . 이면 이다 .

예제 2>

2x 53 x

역 ) 이면 이다 .53 x 2x

참

참

1) . 이고 이면 이다 .

2a 6ab 참

거짓

3b

역 ) 이면 이고 이다 .6ab 2a 3b

원래 명제가 참일 때 , 역명제는 참일 때도 , 거짓일 때도 있다 .

1) . 이 짝수이면 은 홀수이다 .

문제 4>n 1n

역 ) 이 홀수이면 이 짝수이다 .1n n

참

거짓

2) . 이고 이면 이다 .

2a 5ba 참

거짓

3b

역 ) 이면 이고 이다 .5ba 2a 3b

3) . 이면 이다 .

문제 4>2x 32 x

역 ) 이면 이다 .32 x 2x

거짓

거짓

4) . 이고 이면 이다 .

2a 6ab 참

거짓

3b

역 ) 이면 이고 이다 .6ab 2a 3b

⊙ 정의 : 용어의 뜻을 한 가지로 명확히 정한 것 .

▶ 정삼각형 : 세 변의 길이가 같은 삼각형▶ 이등변삼각형 : 두 변의 길이가 같은 삼각형▶ 사다리꼴 : 한 쌍의 대변이 서로 평행한 사각형▶ 평행사변형 : 두 쌍의 대변이 평행한 사각형▶ 마름모 : 네 변의 길이가 같은 사각형▶ 직사각형 : 네 각의 크기가 같은 사각형▶ 정사각형 : 네 변의 길이와 네 각의 크기가 같은 사각형

▶ 등변사다리꼴 : 아랫변의 양 끝각의 크기가 같은

사다리꼴▶ 정다각형 : 모든 변의 길이와 모든 내각의 크기가 같은

다각형

▶ 원 : 평면 위의 한 정점에서 같은 거리에 있는 점들의

모임

문제 3> 정삼각형의 경우와 같이 정육각형을 ‘ 여섯 변의 길이가 같은 육각형’이라고 정의할

수 있는가 ?

1-2 정의와 정리

⊙ 증명 : 명제의 결론이 참임을 밝히는 것

실험이나 관찰 측정으로 얻은 결과는 증명이라 할수 없다 .

⊙ 정리 : 참이라고 증명된 명제 중 기본이 되는 중요한 것 .

⊙ 두 직선이 한 점에서 만날 때 , 그 맞꼭지각의 크기는 같다 .

( 가정 ) 과 의 교점이 O l m

l

m

a bO

A

B C

D

( 결론 ) CODAOB

∠AOB+ BOC=180°( ∠ ∵ 평각 )

∠COD+ BOC=180°( ∠ ∵ 평각 )

∴∠AOB= COD( ∠ ∵ 등식의 성질 )

증명 )

맞꼭지각

예제 ) 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180° 이다 .

( 가정 ) 삼각형의 세 꼭지점이 A, B, C

( 결론 ) A + B + C =180∠ ∠ ∠ °

증명 )

∴∠A + B + C = ACD+ DCE+ BCA= 180∠ ∠ ∠ ∠ ∠ °

A

B C

점 C 를 지나며 변 AB 에 평행한 반직선 CD 를 그은 후 BC 의 연장선 위에 점 E 를 잡는다 .

E

D

∠A= BAC= ACD( ∠ ∠ ∵ 엇각 )

∠B= ABC= DCE( ∠ ∠ ∵ 동위각 )

문제 4> ABO△ 와 △ CDO 에서 이면

임을 증명하여라 .

DOBOCOAO ,

CDAB

B

A

O

C

D

∠AOB= COD( ∠ ∵ 맞꼭지각 ) --③

∴△AOB≡△COD (SAS 합동 )

증명 )

( 결론 ) CDAB

( ∵ 가정 )--①COAO DOBO ( ∵ 가정 )--②

∴ CDAB

DOBOCOAO ,( 가정 )

문제 4> □ABCD 에서 이면∠BAD=∠DCB 임을 증명하여라 .

BCADCDAB ,

B

A

C

D

∴△ABD≡△CDB (SSS 합동 )

증명 )

( 결론 ) BAD= DCD ∠ ∠

( ∵ 가정 )--①CDAB BCAD ( ∵ 가정 )--②

∴ ∠BAD= DCB∠

BCADCDAB ,( 가정 )

: 공통변 --③BD

2-1. 이등변 삼각형

이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다 .

A

B CD∠BAD= CAD--∠ ③

∴△ABD≡△ACD (SAS 합동 )

증명 )

( 결론 ) CB

( ∵ 가정 )--①ACAB

AD : 공통 --②

ACAB ( 가정 )

∴ CB

2-1. 이등변 삼각형이 될 조건두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형이다 .

A

B CD∴△ABD≡△ACD (ASA 합동 )

증명 )

: 공통 ---③AD

∠ADB= ADC --∠ ②

( 결론 ) ACAB CB ( 가정 )

( ∵ 가정 )--①CADBAD

∴ ACAB

이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다 .

A

B CD

∴△ABD≡△ACD (SAS 합동 )

증명 )

: 공통 ---②AD

∠BAD= CAD --∠ ③

ACAB ( ∵ 가정 )--①

90CDABDA

∴ CDBD

BCAD

A

B C

D

E

102𝑋

증명 ) (∵ 가정 )--① DEAB

2-2. 직각삼각형 직각 삼각형의 합동 조건

B

1. 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 같으면 합동 ( RHA 합동 )

A

C

D

E F

∴∠A=∠D--③ (∵ ∠C= ∠F, ∠B=∠E)∴∠B=∠E(∵ 가정 )--②

①, ② , ③ 에서 ∴▽ ABC≡ DEF(ASA▽ 합동 )

Right angle( 직각 )Hypotenus( 빗변 )

2-2. 직각삼각형 직각 삼각형의 합동 조건

A

B C

D

E F B

A

C

(D)

(F) E

2. 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 같으면 합동 ( RHS 합동 )

증명 ) ACB+ DFE=90°+90°=180°∠ ∠

∴B,C,E 는 일직선 위의 점

▽ABE 는 이등변삼각형 (∵ )DEAB

∴∠B=∠E ∴▽ABC≡ DEF(ASA▽ 합동 )

문제 1)

문제 2

30°

A

B C

6cm

3cm

30°6cm

D

E F60°60°3cm

A

B C

5cm

3cm

4cm 3cmD

E

F

5cm

4cm

문제 1)

O

A

B

P

D

E

임을 증명하여라 .PEPD

▽ODP≡ OEP (RHA▽ 합동 )

∴ PEPD

직각 삼각형의 합동 조건

1. 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 같으면 합동 ( RHS 합동 )

2. 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 같으면 합동 ( RHA 합동 )

문제 3

B C

A

D E

이등변삼각형 ABC , D, E : 수선의 발 ▽DBC≡▽ECB 임을 보여라 .

O

A

B

P

D

E

이면 는∠ AOB 를 이등분함을 증명하여라 .

PEPD OP

▽ODP≡ OEP (RHS▽ 합동 )

예제 4

이고 , 이면 ∠PBD=∠PBC 임을 증명하여라 .

ABPD

▽BDP≡ BCP (RHS▽ 합동 )

PCPD

A

B C

D

P

∴∠PBD=∠PBC

문제 4

임을 증명하여라 .DEAE

A

B CD

E

문제 5

A

B CD

20cm

6cm

△ABD 의 넓이를 구하여라 .

2-3. 삼각형의 외심삼각형의 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만나고 , 이 점에서 세 꼭지점까지의 거리는 같다 . A

B C

O

D

E

F

2-3. 삼각형의 외심 A

B C

O

D

E

외심 ( 外心 )

외접원

A

B C

O

< 외심의 성질 >외심에서 세 꼭지점까지의 거리는 같다 .외심을 예각삼각형의 세 꼭지점과 이으면 이등변삼각형이 3 개가 생긴다 .

외심 : 삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점

A

B C

O30° 3

문제 1> = ? , ∠BAO=?OA

삼각형의 외심의 위치는 ?

● ●

(1) 예각삼각형 : 내부에 있다 .

(2) 직각삼각형 : 빗변의 중점에 있다 .(3) 둔각삼각형 : 외부에 있다 .

문제3> A

B C

O

D F

E

7cm 6cm

8cm

7cm

8cm

6cm

2-4. 삼각형의 내심

A

B C

삼각형의 세 내각의 이등분선은 한 점에서 만나고 , 이 점에서 세 변까지의 거리는 같다 .

I

D

E

F

A

B C

I

D

E

F

< 내심의 성질 >내심에서 세 변까지의 거리는 같다 .

내심 : 삼각형의 세 내각의 이등분선의 교점

내접원

내심

외심과 내심의 차이점

B C

외심 ( 外心 )

A

B C

A

I 내심O

D

E

F

외심에서 세 꼭지점까지의 거리가 같다 .

내심에서 세 변까지의 거리가 같다 .

외심의 성질

A

외심에서 세 꼭지점까지의 거리가 같다 .

외심

a

a

B Cb b

c

c

내심의 성질

내심에서 세 변까지의 거리가 같다 .

BC

A

I내심

D

E

F

a a

bb

cc

삼각형의 넓이 , 세변의 길이 , 내접원의 반지름의 관계

A

B C

I

a

bc

r

)(2

1cbarABC

A

B C

3cm

4cm

5cm

△ABC 의 내접원의 넓이를 구하여라 .

점 I 가 △ ABC 의 내심일 때 , △ADE 의 둘레의 길이를 구하여라 .

A

B C

8cm

9cm

10cm

ID E

문제 1

A

B C

I

x

bb

cc130°

점 I 가 △ ABC 의 내심일 때 ,

의 크기는 ?

A

그림의 △ ABC 에서 점 I 는 이 삼각형의 내심이다 .∠A=a 일 때 , BIC∠ 의 크기를 a 를 사용하여 나타내면 ?

A

B C

I

a

bb

ccx

A

B C

I

70°

30° x

< 문제 2> 그림에서 x, y 의 값을 구하여라 .

A

B C

I

50°

y30° x

bb

cc

그림의 △ ABC 에서 점 I 는 이 삼각형의 내심이다 .

일 때 , 의 크기는 ?x210 CDBAEB

A

B C

I

D

Ex

A

B C

110°

연습문제 1 번

70°70°

40°

연습문제 2 번

, 이면

△PBC 는 이등변삼각형임을 보여라 .

DCAB DBAC

A

B

P

C

D

연습문제 3 번

A

B C

D

, B= C=90°∠ ∠ 일 때 ,

임을 보여라 .

DBAC

CDAB

A

B

C

D E

3cm

5cm

△ABC 가 직각이등변삼각형일 때 , 의 길이는 ?

DE

a

ba

ba

5cm 3cm

A

B C

I

D

E

F

< 연습문제 4> 를 풀기 위한 몸 풀기 > 점 I 가 내심일 때 ,합동인 삼각형은 모두 3 쌍이므로

문제 4 (1)A

B C2cm

5cmD

E

F

2cm

3cm3cm

4cm

문제 4 (2) A

B C5cm

4cmD

E

F

6cmx

x

6-x

6-x

4-x

4-x

< 실생활문제 > 세 마을에서 같은 거리에 있는 지점에 쓰레기 매립장을 만들 때 그 위치를 찾아라 .

A

B

C

O