第四讲 离散图像变换

3.2 二维离散余弦变换（ DCT ） 离散余弦变换 DCT (Discrete Cosine Transform) 是图像数据压缩中常用的一个变换编码方法。

任何实对称函数的傅里叶变换中只含余弦项 ，余弦变换是傅里叶变换的特例，余弦变换是简化傅里叶变换的重要方法。

3.2.1 一维离散余弦变换（ DCT ） 将一个信号通过对折延拓成实偶函数，然后进行傅里叶变换，我们就可用 2N点的 DFT 来产生N 点的 DCT 。信号 f(n) 的离散余弦变换的定义式为：

式中

1

0 2)12(cos)(2)()(

N

n Nknnf

NkCkF

11,1

0,2

1)(

Nk

kkC

3.2.2 二维离散余弦变换（ DCT2 ） 二维信号同样可以推出它的离散余弦变换

DCT 逆变换为

这些函数被成为 DCT 的基本函数（图像）。一幅 8×8的图像，是由 64个基本图像的线性组合。

1

0

1

0

)21(cos)

21(cos),(2)()(),(

M

x

N

y

yvN

xuM

yxfMN

vCuCvuF

1

0

1

0

)21(cos)

21(cos),()()(2),(

N

v

M

u

yvN

xuM

vuFvCuCMN

yxf

% DCT coefficient function close all clear all M=8;N=8; figure, number=1; for u=1:1:M for v=1:1:N for i=1:1:M for j=1:1:N

f(i,j)=cos(pi/M.*(i+0.5).*(u-1)).*cos(pi/N.*(j+0.5).*(v-1));

end end I=mat2gray(f); subplot(M,N,number),imshow(I); number=number+1; end end

二维离散余弦变换的应用 DCT 的典型应用是进行数据压缩编码，可以进行图像数据压缩，目前的国际压缩标准 JPEG 的格式中就应用了 DCT 变换。 DCT 的 MATLAB 函数： dct2 ， idct2 。 B=dct2(A); %A 是 M×N的矩阵， B是 A的 DCT 系数，大小为M×N。

close all clear all f = zeros(10,10); f(2:2,1:10) = 1;f(5:5,1:10) = 1;f(8:8,1:10) = 1; imshow(f,'notruesize') J = dct2(f) ； figure, imshow(log(abs(J)),[],'notruesize'),

J(abs(J)<0.5) = 0 K = idct2(J); figure, imshow(K,[],'notruesize')

J(abs(J)<1) = 0 K = idct2(J); figure, imshow(K,[],'notruesize')

f=imread('C:\MATLAB701\toolbox\images\icons\hand.gif');

imshow(f,'notruesize')

J = dct2(I); figure, imshow(log(abs(J)),[]), colormap(jet(64)),

colorbar

0246

J(abs(J)<0.03e+003) = 0 K = idct2(J); figure, imshow(K,[],'notruesize')

J(abs(J)<0.08e+003) = 0

看 MATLAB 中的 demo

3.3 二维离散沃尔什 -哈达玛变换（ DHT ） 余弦型变换的基函数是余弦型函数。 沃尔什变换是由＋ 1 或者－ 1 的基本函数的级数展开而成的 ，它也满足完备正交特性 。由于沃尔什函数是二值正交函数，与数字逻辑中的二个状态相对应，因此它更适用于计算机技术、数字信号处理。

沃尔什函数有三种排列或编号方式，以哈达玛排列最便于快速计算，采用哈达玛排列的沃尔什函数进行的变换称为沃尔什 - 哈达玛变换，简称 WHT 或简称哈达玛变换。

3.3.1 哈达玛变换 我们定义元素仅由＋ 1和－ 1组成的正交方阵为哈达玛矩阵。所谓正交方阵，即指它的任意两行（或两列）都彼此正交，或者说它们对应元素之和为零。哈达玛变换要求图像的大小为 N＝ 2n。

最低阶的哈达玛矩阵为 :

高阶哈达玛矩阵可以通过如下方法求得：

1111

2H

2/2/

2/2/

NN

NNN HH

HHH

N ＝ 4的哈达玛矩阵为 :

2130

1111111111111111

4

H

3.3.2 沃尔什变换 哈达玛变换矩阵，其列率的排列是无规则的。将无序的哈达玛核进行列率的排序，之后得到的有序的变换就成为沃尔什（ Walsh ）变换。如 N＝ 4时的矩阵：

3210

11111111

11111111

4

H

一维 Walsh 变换核为

二维沃尔什正变换和反变换为

1

01 )()(1

0)1(1),(

n

iini ubxbN

iNuxg

1

0

1

0

)]()()()([1

0

1

011

)1(),(1),(N

x

N

y

vbybubxbn

i

n

iiniini

yxfN

vuW

1

0

1

0

)]()()()([1

0

1

011

)1(),(1),(N

u

N

v

vbybubxbn

i

n

iiniini

vuWN

yxf

沃尔什变换在图像处理中的应用 例 1 ：一个二维数字图像信号矩阵为

该图像的的二维 DWT ： W=1/N2×GFG

例 2：一幅均匀分布的数字图像

该图像的的二维 DWT ： W=1/N2×GFG

得到 W 后，可以通过公式 F=GWG 得到图像矩阵。

由此可看出，二维沃尔什变换具有能量集中的作用，而且，原始数据中数字越是均匀分布，经变换后的数据越集中于矩阵的边角上。

因此，二维沃尔什变换可应用于图像压缩。

3.5 二维离散小波变换 近几年来，小波变换的数学理论和方法已经引起科学技术界的广泛兴趣和注意。 小波分析是一个数学分支，是泛函分析、傅立叶分析、数学分析的完美结晶。 小波变换在信号处理、图像处理、语音分析、模式识别、量子物理及众多非线性领域，在工具和方法上都有重大突破。

小波分析结合了三角函数系和 Haar 函数系的优点，满足了时频分析的要求。 三角函数在频域上是局部化的，但在时间域上没有局域性；而 Haar 函数在时间上是完全局部化，但在频域上的局部性很差。 小波由基小波构造，包含了平移和伸缩银子。 小波变换在实现上有 S.Mallat提出的快速算法。 S.Mallat提出的多分辨分析的概念，给出了小波构造的方法，并将小波变换应用于图像分解和重构，是小波变换理论上的一个突破性进展。

看 MATLAB 的 DEMO

小波变换在图像处理中的应用 图像压缩：压缩比很高。 图像增强：通过改变小波域中的某些系数的幅度，提升感兴趣的分量，而忽略不需要的东西。

图像融合：将两幅图像中，取各自幅度最大的系数进行组合，产生完美结果。