关键词：

独立增量过程 泊松过程 布朗运动

第十二章 泊松过程与布朗运动

§1 独立增量过程

0 1

1 0 2 1 1

,

( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( )

( )

n

n n

n t t t

X t X t X t X t X t X t

X t

在互不重叠的

对 和

相互独立

区间上，状态

独

的

，

增

立增量

量是

为 程称 过

相互独立

,

( ) ( ) ( ) ( )

{ ( )}

( )

d

h s t

X t h X s h X t X s

X t

若对 和

， 称

独立增量+平稳增

平稳增量过程

平稳 齐次量= 独立增量

独立增量过程的性质：

( , )2 , ). (X XC s t D min s t

( ) ( )X t X s 有限维分布由所1. 有增量 分布确定

{ ( ); 0} (0) 0X t t X 设 独立增量过程,

5

1

n

1 4 8

.( )

, i ,

, , ,... ,

( 1) ( 1) 1

n ,

(1)S

(2)S ;

(3)P{ 1, 2, 2}.

i

n

i i

n

n

X

X X

P X p P X q p

S

S S S

例甲乙两人游戏第次甲赢的钱数为

设 独立同分布， 。

设前 盘甲赢的总钱数为 求

的均值函数和自相关函数;

简单随机游动,

分 律

醉汉

布

行走

的

6

. . . . . . . . . . .:

:

S1

( ) ( ) S ( ),n

n ii

n E E X n p q

解：1

( , ) 4 ,N nC n m DS npq n m

2 2(2) ( ) ,

2

k , -

k n n k

n

nP S k p qk n

n n k n

与 奇偶性相同且

1 4 8(3)P{ 1, 2, 2}S S S 解：

1 4 1 8 4{ 1, 1, 0}P S S S S S

5 318p q

1 4 1 8 4{ 1} { 1} { 0}P S P S S P S S

§2 泊松分布

( ) 0,

( ), 0

N t t

N t t

以 表示在时间间隔 内事件发生的数目，

是取非负整数、时间连续的随机过程，

称为计数过程。

( )}N t 强度为 的泊松计数过程{ 称作 过程,如果:

2. 独立增量

3. (

) ( ) 1 ( )P N t h N t h o h 稀有性

4. { ( ) - ( ) 2} ( )P N t h N t o h 相继性

1. (0) 0N

( ), 0

. (0) 0

2

3. s 0, ( ) (s) ~ s

N t t

N

t N t N t

称 是 若满足：

1

.

泊松过程也可用另一形式

强度为 的泊松过

独立增量

程,

对

定义：

任意的

: { ( ) ( ) 1}

(1 ( )) ( )

hP N t h N t he

h h o h h o h

证

{ ( ) ( ) 2} 1

1 (1 ( )) (1 ( ))

( )

h hP N t h N t e he

h o h h h o h

o h

1 1

0 1 n 0 n

1

1( )( )

(s,t] n t t ... t , t s, t t,

,

{ 1, } { 1}

(1 ( )) [(1 ( )) ] 1

, ( , ( ))

h 0 , ~ ( ( ))

i i i i

t si i n

t t t ti

n no ho h

t s

t s

t t h

P N N i P N N

o h o h

h N N b n h o h

N N t s

把 等分,设为

足够小时 近似服从

令 时得

1. E N t t

2. D N t t

3. , , NC s t min s t

4. { | } ( ) (1 )m n ms t

n s sP N m N nt tm

( ) [ ( )]5. { | }

( )!

n mt s

t s

t sP N n N m e

n m

,t s n m 对

:

(2) 10

例 顾客依泊松过程到达某商店,速率为4人/小时。已知商店上午9: 00开门.

(1)求到9: 30时仅到一位顾客,而到11: 30时 已到5位顾客的概率?

求第2位顾客在 点前到达的概率?

(3)求第一位顾客在9: 30前到达且第二位 顾客在10: 00前到达的概率?

: 0 1

( ) (0, ] { ( )}N t t N t 解 以上午九点作为 时刻，以小时作为单位时间。以 表示 内来到的顾客数，则 是 =4

的泊松过程。

8 42

(1) { (0.5) 1, (2.5) 5}

{ (0.5) 1} { (2.5) (0.5) 4}

8(2 )( ) 0.01554!

P N N

P N P N N

ee

4 4 4

(2) [ (2) 1] [ (1) 2]

1 4 1 5

P W P N

e e e

1 2

0.5 0.5 0.5 0.5

2 4

(3) [ 0.5, 1] [ (0.5) 1, (1) 2]

[ (0.5) 1, (1) (0.5) 1] [ (0.5) 2]

0.5 (1 ) 1 0.5

1 2

P W W P N N

P N N N P N

e e e e

e e

与泊松过程相联系的若干分布

1 nW n是第 个事件发生的时刻

nW nF t P W t P N t n

1

, 01 !n

n

tW

tf t e t

n

~ ,nW n 即

1 02 1, 2, 0

1

i i iT W W i W

i i

记

称为第 个事件和第个事件发生的时间间隔

1, 2

: { ( )}

,... ,

1 .

N t

T T

是强度为 的泊松过程当且仅当 其时间间隔 独立同分布且服从均值

为

定

的指数分布

理

13 { | ( ) 1} ,0

(0, t] ,

(0, ]

sP T s N t s tt

t

即若已知在 内恰有一事件发生则此事件发生时刻在 内均匀分布

10

9 10

|

A

B

P A P B A

例：上午8点开始某台取款机开始工作,此时有一大堆人排队等待取款，设每人取款时间独立且都服从均值为 分钟的指数分布,记为事件“ 到上午 点钟为止恰有 人完成取款” ,

为事件“ 到上午8: 30为止恰有4人完成取款” ,

求（ ），（ ）。

(0, ] { ; 0} 6

.t tN t N t

解：以上午8点作为0时刻, 以1小时作为单位时间,

以 表示 中完成取款的人数,则 是

的泊松过程 1 0.5{ 10}, { 4}A N B N 10

6 6

10!P A e（ ）

0.5 1 0.5

1

{ 4} { 6}( )|

( ) { 10}

P N P N NP ABP B A

P A P N

（ ）=

4 63 3

1010

6

3 3( )( ) 10 14! 6! ( )

6 4 210!

e e

e

泊松过程合成和分解

24

1 2 1 2

1 2 1 2

{ ( )} { ( )}

, ,

{ ( ) ( )} .

N t N t

N t N t

设 和 是强度为 和的泊松过程 且相

合成

互独立 则是 的泊松过程

:

泊松过程合成和分解

25

1 2

1 2

{ ( )} ,

1

{ ( )} { ( )} 1

2 , { ( )} { ( )}

(1- ) ,

N t

p p

N t N t t

N t N t

p p

设 是强度为 的泊松过程 若每个事件

独立地以概率 为类型1,以 为类型2, 令和 分别表示到为止类型和

类型 发生的个数 则 和 分别

是强度为 和 的泊松过程 且相互独立.

分解:

26

1 2

1

1

(1 )

{ ( ) , ( ) }

{ ( ) , ( ) }

{ ( ) | ( ) } { ( ) }

( )(1 )

( )!

( ) ( (1 ) )[ ] [ ]

! !

m nm n t

m mpt p t

P N t m N t n

P N t m N t m n

P N t m N t m n P N t m n

m n tp p e

m nm

pt p te e

m n

27

1

1 2

(1 )

{ ( ) }

{ ( ) , ( ) }

( ) ( (1 ) )[ ] [ ]

! !

( )!

n

m mpt p t

n

mpt

P N t m

P N t m N t n

pt p te e

m n

pte

m

例：某银行有两个窗口可以接受服务。上午九点钟，小王到达这个银行，此时两个窗口分别有一个顾客在接受服务，另外有 2个顾客排在小王的前面等待接受服务，一会儿又来了很多顾客。假设服务的规则是先来先服务。也就是说一旦有一个窗口顾客接受完服务，那么排在队伍中的第一个顾客就马上在此窗口接受服务。假设各个顾客接受服务的时间独立同分布，而且服从均值为 20分钟的指数分布。问：小王在十点钟之前能够接受服务的概率？

0

1,2, ( ) (0, ]ii N t t i

时刻，以1小时作为单位时间。对 令解：以上午九

表示 内第个

窗口完成服务的顾

点钟作为

客数。则

1

2

{ ( ); 0} 3 { ( )}

{ ( )}iN t t N t

N t

是强度为的泊松过程，且

和 相互独立。

1 2( ) ( ) ( ), { ( )} 6N t N t N t N t 则 且 是强度为 的泊松过程

( ) (0, ]N t t令 表示 内这两个窗口完成服务的顾客总数

当且仅当第3个顾客服务完成时，小王才去 接受服务。

6 6 6

3( 1) ( (1) 3)

1 6 18 0.938.

P W P N

e e e

iW i用 个顾客服务完成的时刻，所以

所求的

表示第

概率是：

( ) (0, ]

{ ( ); 0} 10

N t t

N t t

例：设 表示手机在 天内收到的短信数，假设 是强度为 条的泊松过程，其中每条短信独立地以概率0. 2是垃圾短信。求(1)两天内至少收到10条短信的概率；(2)一天内没有收到垃圾短信的概率.

209

0

20{ (2) 10} 1 0.995

!

k

k

eP N

k

解：(1)

2{ (1) 0} 0.135P X e

( ) (0, ]

{ ( ); 0} 2

X t t

X t t

(2)设 表示手机在 天内收到的垃圾短信数，则 是强度为 的泊松过程。

§3 布朗运动（一）布朗运动的定义及数字特征

考虑一直线上的简单对称的随机游动，设质点每隔∆ t 时间等概率地向左或向右移动距离∆ x ，且每次移动相互独立，记

X(t) 表示时刻 t 质点的位置，则有

1,1,2,...

1,i

iX i

i

第次质点右移，第次质点左移.

1 2( ) ( ... )tt

X t x X X X

0x t t 设 ，当 时，

2

2

1 [ ( )] 0, [ ( )]

( ) ~ (0, )

E X t D X t t

X t N t

（） ，

由中心极限定理，

1 2( ) ( ... )tt

X t x X X X

0x t t 设 ，当 时，

2

(2){ ( ), 0}

0 , ( ) ( ) ~ (0, ( ))

X t t

s t X t X s N t s

是平稳独立增量过程，即

2

( ), 0

. (0) 0

2.

3. 0 ~ 0,

X t t

X

t s X t X s N t s

称为 或 ，如果：

1

独立增量

对

维纳过定义： 程

，

布朗运动

1 ( )B t 今后讨论的都是 时的标准布朗运动，记为 。

{ ( ), 0} :

(1) (1) 3 (2) ;

(2) ( (1) (3), (3) (2));

(3) { (7) 3 | (1) 1, (3) 2}.

B t t

B B

Cov B B B B

P B B B

设 是标准布朗运动，求分布

: (1) (1) 3 (2)

(1) 3[ (1) ( (2) (1))]

B B

B B B B

解

(2) ( (1) (3), (3) (2))

( (1) (2) [ (3) (2)], (3) (2))

Cov B B B B

Cov B B B B B B

(3) { (7) 3 | (1) 1, (3) 2}

{ (7) (3) 1| (1) 1, (3) 2}

P B B B

P B B B B

4 (1) 3[ (2) (1)] ~ (0,25)B B B N

[ (3) (2)] 1D B B

1{ (7) (3) 1} ( )2

P B B

维纳过程的性质：

1. 平稳独立增量过程

2. 正态过程

3. ( ) 0

, min , B

B

t

C s t s t

: 2 3 布朗过程注

2

'

'

: (1) 0,{ ( / ); 0}

(2) 0,{ ( ) ( ); 0}

(1/ ) 0(3)

0 0

{ }

t

t

a aW t a t

s W t s W s t

tW t tW

t

W

性质 对 也是布朗运动固定 也是布朗过程

令

则 也是布朗过程

{ ( ); 0} 0

inf{ : 0, ( ) }a

a

B t t a

T t t B t a

a T

例：设 是标准布朗运动， ，令 ，表示首次击中

的时刻，求 的分布函数。

[ ( ) | ] ( )] [ ( ) | ] ( )a a a aP B t a T t P T t P B t a T t P T t

0, 0a t 解：先设 对于 ，有

[ ( ) ] [ ( ) ] 0.5a aP B t a T t P B t a T t 且( ) 2 [ ( ) , ] 2 [ ( ) ]a aP T t P B t a T t P B t a 因此，

a

aO T t

[ ] [ ( ) ] [ ( ) ]a a aP T t P T t B t a P T t B t a ， ，

0 , ( ) ( )a aa P T t P T t 当 时由对称性

2 1 , 0,( )

0, 0.a

a

T

T

at

F t t

t

综上得， 的分布函数

0, 0

( ) ( ) 2 [ ( ) ] 2 1aT a

a t

aF t P T t P B t a

t

即，当 时，

0

{ ( ); 0}

( ) min ( ) ( )s t

B t t

X t B s X t

例：设 是标准布朗运动，令

，求 的分布函数。

00 { ( ) } { min ( ) }

s ty P X t y P B s y

解：当 时，

0 0{ min ( ) } {min ( ) }

s t s tP y B s y P B s y

( ) 1 ( ) 1 2 { ( ) }y yP T t P T t P B t y

1 2[1 ] 2 1.y y

t t

( )

2 1, 0,( )

0, 0.X t

yy

F y t

y

( ) ( ) (1), { ( ),0 1}X t B t tB X t t

设 称为布

定义：朗桥过程。

2.正态过程

: 2 3 注 布朗桥运动

1. (0) 0 1 0X X ，性 （： ）质

) 0,

0 1, ( , ) (1 )X

X

t

s t C t s s t

3. （ 对

( ) [ ( )] [ (1)] 0,EX t E B t tE B

1, ( , ) ( ( ), ( ))

[ ( ) (1), ( ) (1)]Xs t C s t Cov X s X t

Cov B s sB B t tB

设0

[ ( ), ( )] [ (1), ( )]

[ ( ), (1)] [ (1), (1)]

Cov B s B t Cov sB B t

Cov B s tB stCov B B

(1 )s st st st s t

2

2

2

2

2( )

1[

2

{ ( ); 0}

1(1) 0 ( ) ( ; ) ,

2

2 0 ( ) ( )

1( ; ) ,

2 ( )

3 0 ( ( ), ( ))

( , ; , ) ( ; ) ( ; )

1

2 ( )

x

t

x

t s

x

s

B t t

t B t f x t e xt

s t B t B s

f x t s e xt s

s t B s B t

g x y s t f x s f y x t s

es t s

定理：设 是标准布朗运动，

任给 ， 的概率密度为

（）任给 ， 的概率密度为

（）任给 ， 的联合概率密度为

2( )], ,

y x

t s x y

12

( ) { ( ), 0}

( ) ( ) ( )

t sf y x B t t

B s x B t f x y

例：以 表示标准布朗运动 在条件

给定下， 的条件概率密度，求 。

解：由条件概率密度公式得，

12

( , ;1, 2) ( ;1) ( ;1)( )

( ; 2) ( ;2)

g x y f x f y xf x y

g y f y

2 2

2

2

( )

2 2

( )2

2 2

1 112 2 ,

1

2 2

x y x

yx

y

e ee x

e