Геометрични характеристики на равнини сечения
description
Transcript of Геометрични характеристики на равнини сечения
Геометрични характеристики на равнини сечения
За решаване на основната задача на СМ освен разпределението на вътрешните усилия трябва да знаем как размерите и формата на напречните сечения влияят на поведението на конструкциите.
При изучаването на напреженията и деформациите възникващи в прътовите конструкции, освен площта на сечението, се използват редица допълнителни геометрични характеристики като: статични моменти, инерционни моменти на сечението, секторни характеристики и др.
Прътовите конструкции обикновено се изграждат от стандартни профили, чиито характеристики са дадени в таблици.
Често обаче се налага съчетаването и комбинирането на стандартни профили с цел задоволяване на определени изисквания към конструкцията.
Понякога самото сечение е със сложна и нестандартна форма (лопатки на корабен винт, на турбина, свредло и т.н.).
За тази цел трябва да познаваме закономерностите за получаване на геометричните характеристики на сеченията.
z500
600
520
y
410
1. Статични моменти. Център на тежестта
Разглеждаме напречно сечение с произволна форма - фиг.1.Координатната система е ориентирана по начина, който използваме за определянето на вътрешните усилия.
F
O
z
y
y
z
dF
-площ на сечението – може да се представи като сума от елементарни площи (1)
фиг.1
][ 2mdFFF
- статични моменти – интеграл от произведението на елементарната площ и разстоянието й до съответната ос
][ 3mydFS
zdFS
F
z
F
y
F
O
z
y
y
z
dF
(2)
- изменение на статичните моменти при транслация на осите
FdF
O
z
y
y1
z1
y1
z1
O1
b
a
y
z
bFSdFbydFyS
aFSdFazdFzS
azzbyy
z
FF
z
y
FF
y
)(
)(
11
11
11
връзките между новите и старите координати се вижда от фиг.2
фиг.2
(3)
-център на тежестта
От (3) се вижда, че с подбор на разстоянията а и b може новите статичните моменти да се анулират. Ако в (3) положим Sy1=0 , Sz1=0 за координатите на центъра на тежестта C ще получим (4):
F
Syb
F
Sza z
cy
c ;
Определение: Ос, спрямо която статичният момент е равен на нула, се нарича централна ос. Пресечната точка на две централни оси се нарича център на тежестта.
За обичайните геометрични фигури са известни площите и положението на центъра на тежестта им. Тогава формули (4) могат да се използват за намиране на съответния статичен момент.
Сложните съставни фигури обикновено се разбиват на n на брой прости фигури и центърът на тежестта на съставната фигура се определя с формули (5).
n
i
n
iicz
cn
i
n
iicy
c
F
Fy
F
Sy
F
Fz
F
Sz
1
1,
1
1,
;
FyS
FzS
cz
cy
2. Инерционни моменти
Необходимостта от познаването на тези геометрични характеристики възниква при определянето на напреженията при огъване и усукване.
Инерционните моменти на сеченията се дефинират по следния начин (6):
нцентробежеyzdFJ
поляренdFJ
осовиdFyJdFzJ
F
yz
F
o
F
z
F
y
2
22
(6)
F
O
z
y
y
z
dF
Те имат размерност [m4]. Съществува аналогия с масовите инерционни моменти използвани в Механиката.
Осовите и полярният инерционни моменти са винаги с положителни стойности, докато центробежният може да бъде положителен, отрицателен или нула.
y
z
Jyz>0
Jyz>0
Jyz<0
Jyz<0 Знакът на центробежния момент се определя от разположението на сечението спрямо осите фиг.3.
фиг.3.
y
z
Jyz=0
+y -y
+z
Центробежният момент на сечение спрямо ос, която е ос на симетрия е винаги равен на нула фиг.4.
фиг.4
Полярният инерционен момент е равен на сумата от осовите инерционни моменти.
zyo
F
zy
F
o
JJJ
JJdFzydFJ
zy
)( 222
222
F
O
z
y
y
z
dF
(7)
y
z
dz
dFz
b
h
Пример 1
правоъгълник с размери b и h
фиг.5
12
123
3
32
2
32
2
22
hbJаналогично
bhzbdzbzdFzJ
z
h
h
h
hF
y
D
z
y
d
dF
d
Пример 2
кръг с диаметър D
фиг.6 642
3242.
40
42
0
42
0
2
0
220
DJJJ
DdddFJ
zy
DD
F
За други типични фигури данни за инерционните моменти могат да се намерят в таблици по Съпротивление на материалите.
Понякога се използват инерционните радиуси, които се дефинират по следния начин:
F
Ji
F
Ji
F
Ji z
zy
y0
0;;
(8)
3. Изменение на инерционните моменти при транслация на координатната система. Теореми на Щайнер
FdF
O
z
y
y1
z1
y1
z1
O1
b
a
y
z
abFaSbSJJ
dFabydFazdFbdFyzdFazbydFzyJ
FbbSJJ
dFbydFbdFydFbydFyJ
FaaSJJ
dFazdFadFzdFazdFzJ
azzbyy
zyyzzy
FF FFFF
zy
zzz
FFFFF
z
yyy
FFFFF
y
11
11
1
1
1
1
)).((
2
2)(
2
2)(
;
11
2
22221
2
22221
11
Търсим инерционните моменти спрямо новите оси y1 и z1 фиг. 2, ако знаем тези спрямо старите оси y и z.
На практика най-често се налага да търсим характеристиките спрямо оси, знаейки тези спрямо централни оси yc ,zc. Тогава статичните моменти са нула и се получават теоремите на Щайнер (10).
abFJJ
FbJJ
FaJJ
yczczy
zcz
ycy
11
21
21
В последната формула разстоянията а и b се вземат със съответния си знак.
(10)
4. Изменение на инерционните моменти при ротация координатната система
F dF
O
z
y
uvu
v
y
z Предполагаме, че са известни геометричните характеристики спрямо произволна координатна система (yOz). Търсим геометричните характеристики спрямо координатна система (uOv) завъртяна на ъгъл фиг.7.
фиг.7
Координатите на точка при ротация на координатната система се дават с известните от Аналитичната геометрия връзки (11):
cossin
sincos
zyv
zyu
(11)
22
2222
22
22
2222
22
cos.2sin.sin.
sincossin2cos
)sincos(
sin.2sin.cos.
coscossin2sin
)cossin(
zyzy
FFF
FF
v
zyzy
FFF
FF
u
JJJ
dFzyzdFdFy
dFzydFuJ
JJJ
dFzyzdFdFy
dFzydFvJ
2cos.2sin.2
cos.sin.2cos.cos.sin.
.cos.sin)sin(cos.cos.sin
)cossin)(sincos(
2222
yzzy
yyzz
FFF
FF
uv
JJJ
JJJ
dFzyzdFdFy
dFzyzyuvdFJ
Използвайки известните от тригонометрията връзки (13) получаваме (14):
2cos.2sin.2
2sin.2cos22
2sin.2cos22
yzzy
uv
yzzyzy
v
yzzyzy
u
JJJ
J
JJJJJ
J
JJJJJ
J
2
2cos1sin
2
2cos1cos 22
(13)
(14)
Забелязваме, че ако сумираме първите две уравнения на (14) ще получи
constJJJJJ zyvu 0 (15)
При ротация на координатната система инерционните моменти се изменят, но запазват сумата си постоянна. Следователно ако единият инерционен момент нараства то другият намалява.
За практиката е важно при какъв ъгъл моментите придобиват екстремум.За целта търсим производна на осовите моменти спрямо ъгъла и приравняваме на нула.
02cos.22sin)(2
yzzyuvuu JJJJJJ
Откъдето за ъгъла получаваме:
zy
yz
JJ
Jtg
22 (16)
Оси, спрямо които центробежният момент е равен на нула, а осовите инерционни моменти са екстремални, се наричат главни инерционни оси.
Ако те минават през центъра на тежестта те се наричат главни централни инерционни оси.
Ако повдигнем на втора степен първото и третото уравнение на (14) и ги съберем ще получим едно уравнение на окръжност (17)
2
2
2
2
2
2
2
22
yzzy
yzzy
uvzy
u
JJJ
R
JJJ
JJJ
J
(17)
Екстремалните стойности на инерционните моменти се получават:
2
2
2/1/minmax/ 22 yzzyzy JJJJJ
JJJ
(18)
Понякога е по-удобно ъгълът на завъртане на главните оси да се намира чрез следните формули:
o
yz
y
yz
y
J
JJtg
J
JJtg
90
;
21
min2
max1
(19)