Геометрични характеристики на равнини сечения

27
Геометрични характеристики на равнини сечения За решаване на основната задача на СМ освен разпределението на вътрешните усилия трябва да знаем как размерите и формата на напречните сечения влияят на поведението на конструкциите.

description

Геометрични характеристики на равнини сечения. За решаване на основната задача на СМ освен разпределението на вътрешните усилия трябва да знаем как размерите и формата на напречните сечения влияят на поведението на конструкциите. - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of Геометрични характеристики на равнини сечения

Page 1: Геометрични характеристики на равнини сечения

Геометрични характеристики на равнини сечения

За решаване на основната задача на СМ освен разпределението на вътрешните усилия трябва да знаем как размерите и формата на напречните сечения влияят на поведението на конструкциите.

Page 2: Геометрични характеристики на равнини сечения

При изучаването на напреженията и деформациите възникващи в прътовите конструкции, освен площта на сечението, се използват редица допълнителни геометрични характеристики като: статични моменти, инерционни моменти на сечението, секторни характеристики и др.

Прътовите конструкции обикновено се изграждат от стандартни профили, чиито характеристики са дадени в таблици.

Често обаче се налага съчетаването и комбинирането на стандартни профили с цел задоволяване на определени изисквания към конструкцията.

Понякога самото сечение е със сложна и нестандартна форма (лопатки на корабен винт, на турбина, свредло и т.н.).

За тази цел трябва да познаваме закономерностите за получаване на геометричните характеристики на сеченията.

Page 3: Геометрични характеристики на равнини сечения

z500

600

520

y

410

Page 4: Геометрични характеристики на равнини сечения

1. Статични моменти. Център на тежестта

Разглеждаме напречно сечение с произволна форма - фиг.1.Координатната система е ориентирана по начина, който използваме за определянето на вътрешните усилия.

F

O

z

y

y

z

dF

-площ на сечението – може да се представи като сума от елементарни площи (1)

фиг.1

][ 2mdFFF

Page 5: Геометрични характеристики на равнини сечения

- статични моменти – интеграл от произведението на елементарната площ и разстоянието й до съответната ос

][ 3mydFS

zdFS

F

z

F

y

F

O

z

y

y

z

dF

(2)

Page 6: Геометрични характеристики на равнини сечения

- изменение на статичните моменти при транслация на осите

FdF

O

z

y

y1

z1

y1

z1

O1

b

a

y

z

bFSdFbydFyS

aFSdFazdFzS

azzbyy

z

FF

z

y

FF

y

)(

)(

11

11

11

връзките между новите и старите координати се вижда от фиг.2

фиг.2

(3)

Page 7: Геометрични характеристики на равнини сечения

-център на тежестта

От (3) се вижда, че с подбор на разстоянията а и b може новите статичните моменти да се анулират. Ако в (3) положим Sy1=0 , Sz1=0 за координатите на центъра на тежестта C ще получим (4):

F

Syb

F

Sza z

cy

c ;

Определение: Ос, спрямо която статичният момент е равен на нула, се нарича централна ос. Пресечната точка на две централни оси се нарича център на тежестта.

Page 8: Геометрични характеристики на равнини сечения

За обичайните геометрични фигури са известни площите и положението на центъра на тежестта им. Тогава формули (4) могат да се използват за намиране на съответния статичен момент.

Сложните съставни фигури обикновено се разбиват на n на брой прости фигури и центърът на тежестта на съставната фигура се определя с формули (5).

n

i

n

iicz

cn

i

n

iicy

c

F

Fy

F

Sy

F

Fz

F

Sz

1

1,

1

1,

;

FyS

FzS

cz

cy

Page 9: Геометрични характеристики на равнини сечения

2. Инерционни моменти

Необходимостта от познаването на тези геометрични характеристики възниква при определянето на напреженията при огъване и усукване.

Инерционните моменти на сеченията се дефинират по следния начин (6):

нцентробежеyzdFJ

поляренdFJ

осовиdFyJdFzJ

F

yz

F

o

F

z

F

y

2

22

(6)

F

O

z

y

y

z

dF

Page 10: Геометрични характеристики на равнини сечения

Те имат размерност [m4]. Съществува аналогия с масовите инерционни моменти използвани в Механиката.

Осовите и полярният инерционни моменти са винаги с положителни стойности, докато центробежният може да бъде положителен, отрицателен или нула.

y

z

Jyz>0

Jyz>0

Jyz<0

Jyz<0 Знакът на центробежния момент се определя от разположението на сечението спрямо осите фиг.3.

фиг.3.

Page 11: Геометрични характеристики на равнини сечения

y

z

Jyz=0

+y -y

+z

Центробежният момент на сечение спрямо ос, която е ос на симетрия е винаги равен на нула фиг.4.

фиг.4

Page 12: Геометрични характеристики на равнини сечения

Полярният инерционен момент е равен на сумата от осовите инерционни моменти.

zyo

F

zy

F

o

JJJ

JJdFzydFJ

zy

)( 222

222

F

O

z

y

y

z

dF

(7)

Page 13: Геометрични характеристики на равнини сечения

y

z

dz

dFz

b

h

Пример 1

правоъгълник с размери b и h

фиг.5

12

123

3

32

2

32

2

22

hbJаналогично

bhzbdzbzdFzJ

z

h

h

h

hF

y

Page 14: Геометрични характеристики на равнини сечения

D

z

y

d

dF

d

Пример 2

кръг с диаметър D

фиг.6 642

3242.

40

42

0

42

0

2

0

220

DJJJ

DdddFJ

zy

DD

F

Page 15: Геометрични характеристики на равнини сечения

За други типични фигури данни за инерционните моменти могат да се намерят в таблици по Съпротивление на материалите.

Понякога се използват инерционните радиуси, които се дефинират по следния начин:

F

Ji

F

Ji

F

Ji z

zy

y0

0;;

(8)

Page 16: Геометрични характеристики на равнини сечения

3. Изменение на инерционните моменти при транслация на координатната система. Теореми на Щайнер

FdF

O

z

y

y1

z1

y1

z1

O1

b

a

y

z

Page 17: Геометрични характеристики на равнини сечения

abFaSbSJJ

dFabydFazdFbdFyzdFazbydFzyJ

FbbSJJ

dFbydFbdFydFbydFyJ

FaaSJJ

dFazdFadFzdFazdFzJ

azzbyy

zyyzzy

FF FFFF

zy

zzz

FFFFF

z

yyy

FFFFF

y

11

11

1

1

1

1

)).((

2

2)(

2

2)(

;

11

2

22221

2

22221

11

Търсим инерционните моменти спрямо новите оси y1 и z1 фиг. 2, ако знаем тези спрямо старите оси y и z.

Page 18: Геометрични характеристики на равнини сечения

На практика най-често се налага да търсим характеристиките спрямо оси, знаейки тези спрямо централни оси yc ,zc. Тогава статичните моменти са нула и се получават теоремите на Щайнер (10).

abFJJ

FbJJ

FaJJ

yczczy

zcz

ycy

11

21

21

В последната формула разстоянията а и b се вземат със съответния си знак.

(10)

Page 19: Геометрични характеристики на равнини сечения

4. Изменение на инерционните моменти при ротация координатната система

F dF

O

z

y

uvu

v

y

z Предполагаме, че са известни геометричните характеристики спрямо произволна координатна система (yOz). Търсим геометричните характеристики спрямо координатна система (uOv) завъртяна на ъгъл фиг.7.

фиг.7

Page 20: Геометрични характеристики на равнини сечения

Координатите на точка при ротация на координатната система се дават с известните от Аналитичната геометрия връзки (11):

cossin

sincos

zyv

zyu

(11)

22

2222

22

22

2222

22

cos.2sin.sin.

sincossin2cos

)sincos(

sin.2sin.cos.

coscossin2sin

)cossin(

zyzy

FFF

FF

v

zyzy

FFF

FF

u

JJJ

dFzyzdFdFy

dFzydFuJ

JJJ

dFzyzdFdFy

dFzydFvJ

Page 21: Геометрични характеристики на равнини сечения

2cos.2sin.2

cos.sin.2cos.cos.sin.

.cos.sin)sin(cos.cos.sin

)cossin)(sincos(

2222

yzzy

yyzz

FFF

FF

uv

JJJ

JJJ

dFzyzdFdFy

dFzyzyuvdFJ

Page 22: Геометрични характеристики на равнини сечения

Използвайки известните от тригонометрията връзки (13) получаваме (14):

2cos.2sin.2

2sin.2cos22

2sin.2cos22

yzzy

uv

yzzyzy

v

yzzyzy

u

JJJ

J

JJJJJ

J

JJJJJ

J

2

2cos1sin

2

2cos1cos 22

(13)

(14)

Забелязваме, че ако сумираме първите две уравнения на (14) ще получи

constJJJJJ zyvu 0 (15)

Page 23: Геометрични характеристики на равнини сечения

При ротация на координатната система инерционните моменти се изменят, но запазват сумата си постоянна. Следователно ако единият инерционен момент нараства то другият намалява.

За практиката е важно при какъв ъгъл моментите придобиват екстремум.За целта търсим производна на осовите моменти спрямо ъгъла и приравняваме на нула.

02cos.22sin)(2

yzzyuvuu JJJJJJ

Откъдето за ъгъла получаваме:

zy

yz

JJ

Jtg

22 (16)

Page 24: Геометрични характеристики на равнини сечения

Оси, спрямо които центробежният момент е равен на нула, а осовите инерционни моменти са екстремални, се наричат главни инерционни оси.

Ако те минават през центъра на тежестта те се наричат главни централни инерционни оси.

Page 25: Геометрични характеристики на равнини сечения

Ако повдигнем на втора степен първото и третото уравнение на (14) и ги съберем ще получим едно уравнение на окръжност (17)

2

2

2

2

2

2

2

22

yzzy

yzzy

uvzy

u

JJJ

R

JJJ

JJJ

J

(17)

Page 26: Геометрични характеристики на равнини сечения

Екстремалните стойности на инерционните моменти се получават:

2

2

2/1/minmax/ 22 yzzyzy JJJJJ

JJJ

(18)

Page 27: Геометрични характеристики на равнини сечения

Понякога е по-удобно ъгълът на завъртане на главните оси да се намира чрез следните формули:

o

yz

y

yz

y

J

JJtg

J

JJtg

90

;

21

min2

max1

(19)