第五节 曲面及其方程一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念 ..

1. 定义 : 若曲面 S 与三元方程 F (x, y, z) =0 有如下关系 :(1) S 上任一点的坐标满足方程 F (x, y, z) =0;

(2) 不在 S 上点的坐标都不满足方程 F (x, y, z) =0;那末 , 方程 F (x, y, z) =0 叫做曲面 S 的方程 , 而曲面 S 叫做方程 F (x, y, z) =0 的图形 .

F (x, y, z) = 0

S

x y

z

o

M0

二、几种常见曲面的方程二、几种常见曲面的方程 ..

1. 球面考虑球心为 M0(x0, y0, z0), 半径为 R 的球面 .

即 : (x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 = R2 (1)

称方程 (1) 为球面的标准方程 .

M R

特别 : 当球心在原点 O(0, 0, 0) 时 , 球面方程 : x2 + y2 + z2 = R2

对于球面上任一点 M(x, y, z), 都有 |M M0|2 =R2.

解 : 原方程可改写为(x 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 5

故 : 原方程表示球心在 M0(1, 2, 0),

半径为 的球面 .5

例 1: 方程 x2 + y2 + z2 2x + 4y = 0 表示怎样的曲面 ?

x

y

z

o

2. 柱面 :例如 : 考虑方程 x2 + y2 = R2 所表示的曲面 .

在 xoy 面上 , x2 + y2 = R2 表示以原点 O 为圆心 , 半径为 R的圆 .

xoy 面上的圆 x2 + y2 = R2 叫做柱面的准线 .

平行于 z 轴的直线 L 叫做柱面的母线 .

曲面可以看作是由平行于 z 轴的直线 L 沿 xoy 面上的圆 x2 + y2 = R2 移动而形成 , 称该曲面为圆柱面 .

ol

M(x, y, 0)

(1) 定义 : 平行于定直线并沿定曲线 C 移动直线 L 形成的轨迹叫做柱面 .

定曲线 C 叫做柱面的准线 .

动直线 L 叫做柱面的母线 .

例 2: 方程 y2 =2x 表示 . 母线平行于 z 轴的柱面 , 它的准线是 xoy 面上的抛物线 y2 =2x,该柱面叫做抛物柱面 .

o x

z y

y2 =2x

例 2: 方程 xy = 0 表示 .

母线平行于 z 轴的柱面 , 它的准线是 xoy面上的直线 xy = 0, 所以它是过 z 轴的平面 .

xy = 0

z

x

yo

(2) 母线平行于坐标轴的柱面方程 .

1 方程 F (x, y) =0 表示 : 母线平行于 z 轴的柱面 , 准线为 xoy 面上的曲线 C: F (x, y) = 0 .

2 方程 F (x, z) =0 表示 : 母线平行于 y 轴的柱面 , 准线为 xoz 面上的曲线 C: F (x, z) = 0 .

3 方程 F (y, z) =0 表示 : 母线平行于 x 轴的柱面 , 准线为 yoz 面上的曲线 C: F (y, z) = 0 .

3. 旋转曲面(1) 定义 : 以一条平面曲线 C 绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面 , 这条定直线叫旋转曲面的轴 .

y

x

z

oo

C

例如 : 已知 yoz 面上一条曲线 C, 方程为 f (y, z) = 0, 曲线 C 绕 z 轴旋转一周就得一个旋转曲面 .设 M0(0, y0, z0) 是 C 上任意一点 , 则有 F( y0, z0)

= 0当 C 绕 z 轴旋转而 M0 随之转到 M (x, y, z) 时 , 有

|| 022

0

yyx

zz

220 yxy 将 z0 = z, 代入

方程 F( y0, z0) = 0, 得0) ,( 22 zyxF

y

x

o

z

M0(0, y0, z0)M

C

旋转曲面的方程 :

例 4: 求直线 z = ay 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面方程 .

z

x

y

z = ay

解 : 将 y 用 代入直线方程 , 得

22 yx

)( 22 yxaz

平方得 :

z2 = a2 ( x2 + y2 )

该旋转曲面叫做圆锥面 , 其顶点在原点 .