——多面体欧拉定理(一）

制作 黄学良

介绍数学家欧拉

欧拉（ 1707 ～ 1783 ）瑞士数学家，大部分时间在俄国和法国度过。他 16 岁获硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，并毕生研究数学，是数学史上最“高产”的数学家，在世发表 700 多篇论文。他的研究论著几涉及到所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉还是数学符号发明者，如用 f (x) 表示函数、∑表示连加、 i表示虚数单位、 π 、 e 等。在多面体研究中首先发现并证明了欧拉公式，今天我们沿着他的足迹探索这个公式。

正多面体 顶点数（ V ）

面数（ F ）

棱数（ E ）

V+F–E= ？

正四面体

正六面体

正八面体

正十二面体

正二十面体

1 、欧拉定理（公式）的发现

请根据课本 P.62. 正多面体图形填写下表：

4 4 6 2

8 6 12 2

6 8 12 2

20 12 30 2

12 20 30 2

1 、欧拉定理（公式）的发现

正多面体 顶点数（ V ）

面数（ F ）

棱数（ E ）

V+F–E=2

正四面体 4 4 6 2

正六面体 8 6 12 2

正八面体 6 8 12 2

正十二面体 20 12 30 2

正二十面体 12 20 30 2

欧拉公式 : V+F–E=2

其实上述欧拉公式对简单多面体都成立

1 、欧拉定理（公式）的发现

像这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体叫简单多面体

什么是简单多面体呢？

多面体连续变形

多面体 顶点数（ V ）

面数（ F ）

棱数（ E ）

V+F–E=

甲多面体 9 8 15 2

乙多面体 9 9 16 2

甲乙

欧拉定理 简单多面体的顶点 数 V 、棱数 E 、面数 F 间满足关系： V+F–E=2

1 、欧拉定理（公式）的发现

首先看最简单的多面体—四面体 ABCD :

2 、欧拉定理（公式）的证明

压到一个平面内 A

B

D

C

平面图形

A

B

D

C去掉面 BCD

四面体的顶点数 V 、棱数 E 、剩下的面数 F-1 变形后都未变。因此，要研究 V 、 E 、 F 的关系 ，只需研究去掉一个面的平面图形即可。

（ 1 ）最外面的多边形去掉一条边（棱），就减少一个面，直至树枝图形。

2 、欧拉定理（公式）的证明

在这过程中 (F-1)-E 和 V 的值都不改变，从而 (F-1)+V-E=1 不改变，即 F+V-E=2 成立；

A

B

D

C平面图形A

B

D

C树枝图形

去掉外围多边形的边

（ 2 ）再从树枝形图中，去掉一条棱，就减少一个顶点，直至剩下一条棱。

2 、欧拉定理（公式）的证明

在这过程中 V-E 和 F-1 的值都不变， (F-1)+V -E =0+2-1=1 ，从而 F+V-E=2 不变；

A

B

D

C树枝图形

CA

D

树枝图形

A

树枝图形

C

（ 3 ）因为对任意的简单多面体，运用这样的方法，最后都是剩下一条棱，所以都可以得到上述结论。从而欧拉公式对任意简单多面体都是正确的。

2 、欧拉定理（公式）的证明

3 、欧拉示性数)( pf令 V+F-E ，则 叫做欧拉示性数。)( pf

显然，简单多面体的欧拉示性数为二；即 2 。)( pf

不同种类的多面体的欧拉示性数是不同的，请看课本 P.66.

例 1 、求证（ 1 ）若一个简单多面体的面都是三角形 ，则 F=2V- 4 ；

（ 2 ）若一个简单多面体的面都是四边形 ，则 F=V- 2 ；

3 、欧拉定理（公式）的应用

（ 3 ）若一个简单多面体的面都是五边形 ，则 F 、 V 有何关系？

3F=2V- 4

例 2 、 是由 60 个 C 原子构成的分子，它是一个形如足球的多面体。这个多面体有60 个顶点，每个顶点处都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，你能算出 中有多少个五边形和六边形吗？

3 、欧拉定理（公式）的应用

60C

60C

解答见课本 P.68.

定理的意义（几点说明）（ 1 ）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点

数、面数、棱数之间特有的规律；（ 2 ）思想方法创新训练：在定理的发现及证明

过程中，在观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；在方法上将底面剪掉，然后其余各面拉开铺平，化为平面图形（立体图→平面图）。

（ 3 ）引入拓扑新学科：“拉开图”与以前的展开图是不同的，从立体图到拉开图，各面的形状，以及长度、距离、面积、全等等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。

事实上，定理在引导大家进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。

课堂小结：1 、欧拉定理 简单多面体的顶点 数 V 、棱数 E 、面数 F 间满足关系： V+F–E=22 、欧拉定理（公式）的证明 采用的方法：将简单多面体去掉一个面，变形为平面图形来证明的。3 、两个概念：简单多面体、欧拉示性数 V+F-E)( pf

作业：课本 P.69. 2 、 3 、 4.

10 ．思考与练习（ 1 ）       为什么正多面体只有五种？（ 2 ）       足球与 C60 的关系？（ 3 ）       否有棱数为七的正多面体？