第一节 . 中值定理第三章 中值定理与导数的应用

中值定理第一节

定理一、罗尔（ )Rolle,],[)(1 连续在闭区间）函数设（ baxf

,),()(2 可导在开区间）函数（ baxf

),()(3 bfaf ）（0)(,),( fba 使得内至少存在一点那么在

轴的切线内存在平行于几何意义：在 xba ),(

a

x

y

ba

)(xf

o

　

(0,1) 01)(' xxf0 1 x

y

，定理不一定成立注：三个条件缺一个时

10

10)(

x

xxxf例：

处不连续可导，在在 1)1,0( x

)1(0)0( ff

xxf )(例：

处不可导连续，在在 0]1,1[ x )1(1)1( ff

定理不成立

[0,1] )( xxf 例：

1)1(0)0()2)(1( ff满足解：

0 1 ) ( )1, 0('

x f 上 在

定理不成立

中值定理二、拉格朗日（ )Lagrange

上连续在闭区间函数设 ],[)()1( baxf

上可导在开区间函数 ),()()2( baxf

使等式（内至少有一点那么在 ),),( baba

))((')()( abfafbf

成立

●

0 x

y●

● ●

●

A

BM

N

C

a x b

ab

afbff

)()(

)('

，使它切线的斜率内至少存在一点就是在 ),( ba

两点连线的斜率相等与 BA,

Ixx 21

,证：12xx 且

))((')()(1212xxfxfxf )(

21, xx

)()(12xfxf

上的导数恒为零在区间推论：如果函数 Ixf )(

上是一个常数。在区间那么 Ixf )(

上是一个常数。在区间Ixf )(

成立)('

)('

)()(

)()(

F

f

aFbF

afbf

中值定理三、柯西 )(Cauchy

上连续，在闭区间及函数设 ],[)()()1( baxFxf

上可导，在开区间及函数 ),()()()2( baxFxf

内的每一处均不为零，在且 ),()( baxF

使等式内至少有一点那么在 ),( ba

在区间：验证罗尔定理对函数例 xy sinln1

上连续在解： ]6

5,

6[sinln

xy

)6

5(

2

1ln)

6(

ff 且

)6

5,

6(

2

x

2

0sin

cos' ctgx

x

xy又

令

上可导在 )6

5,

6(sinln

xy

的正确性],[ 65

6

罗尔定理正确

22

arcctgxarctgx：证明例

01

1

1

1)'(:

22

xxarcctgxarctgx证

carcctgxarctgx

cx 44

1

取2

c

2

arcctgxarctgx

时：证明当例 ab03 b

ba

b

a

a

ba

ln

xxf ln)( 证：作

)(1

lnln baba

),( ab

ba

111

bbaba

aba

1)(lnln

1)(

b

ba

b

a

a

ba

ln

ab

定理上用在 )(],[ Lab

时成立等号仅在 ba

yxyx sinsin4：证明例

ttf sin)( 证：令 定理上运用在 )(],[ Lyx

)(cossinsin xyxy 则

xyxyxy cossinsin

yxyx sinsin即：

xeex x 1 5 时当：证明例

定理上运用在证： )(],1[)( Lxetf t

),1()1(1 xxeeex

exeeex

xeex

0 6 时当：证明例 ba

xxf n)(证：令 aaf n)( bbf n)(

)(1 banbannn

)()( 11 baanbababn nnnn

)()( 11 baanbababn nnnn

定理用在 )(],[ Lab

))((')()( bafbfaf

),( ab

洛必达法则第二节 两个无穷小之比的极限在求极限中常常会遇到

x

xx 20

cos1lim

型0

0

型不定式通常称这类型的极限为0

0

x

xx 3sinln

2sinlnlim

0

型

型不定式通常称这类型的极限为

0 1 0 00

，对于这些极限怎样计算等不定式（不定型），

洛必达法则这就是我们今天要讲的

型不定式一、0

0

.)(

)(lim

)(

)(lim

);()(

)(lim)3(

;0)()(

)(),()2(

;)()(,)1(

xg

xf

xg

xf

xg

xf

xgxg

xfaa

xgxfax

axax

ax

那末

或为无穷大存在

都存在且及本身可以除外点点的某领域内在

都趋于零及函数时当定理：设

定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求

极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 .

.,该法则仍然成立时当 x

型的极限时当0

0x

)()(

)(lim

)(

)(lim

)()(

)(lim)3(

0)(||)(),()2(

0)(lim)(lim)1(

||)(),(

或则

或

时可导，且在

上有定义，且在设

Axg

xf

xg

xf

Axg

xf

xgNxxgxf

xgxf

Nxxgxf

xx

x

xx

定理：

未定式为止使用法则，直到不再是续所要求的条件，则可继定理中对

满足还是未定式，且若

)(),(

)(),()(

)(lim

xgxf

xgxfxg

xfax

)(

)(lim

)(

)(lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

xg

xfaxaxax

.1

23lim1

23

3

1

xxx

xxx

：求例

123

33lim

2

2

1

xx

xx

解：原式26

6lim

1

xx

x.

23

)0

0(

xx

xee xx

x sin

2lim2

0

：例

解：原式x

ee xx

x cos12

lim0

xee xx

x sinlim

0

xee xx

x coslim

0

2

)0

0(

.1

arctan2lim3

x

x

x

：求例 )00

(

2

2

11

1

lim

x

xx

解：原式2

2

1lim

xx

x

.1

x

xxx 30

sinlim4

：求例 )00

(

6

1

6

sinlim

3

cos1lim

020

x

x

x

xxx

解：原式

型不定式二、

)()(

)(lim

)(

)(lim

)()(

)(lim)3(

0)()(),()2(

)(lim)(lim)1(

)(),(

或则

或

可导，且

的某邻域内有定义，且在设

Axg

xf

xg

xf

Axg

xf

xgxgxf

xgxf

axgxf

axax

ax

axax

定理：

.,该法则仍然成立时当 x

x

xx 3sinln

2sinlnlim5

0：例 )(

x

x

xxxx

xx 2sin3

3sin2lim

3sin3cos3

2sin2cos2

lim00

解：原式

122cos3

33cos2lim

0

x

xx

e

xx

n

x lim6：求例 )0,0( n

0!

lim

)1(limlimlim

2

21

e

ne

xnn

e

xn

e

x

xnx

x

n

xx

n

xx

n

x

解：

x

xxx

sinlim7

：求例

)cos1(lim1

cos1lim

sinlim x

x

x

xxxxx

解：

极限不存在极限不存在

存在时，才有定理只有当)('

)('lim xg

xf

x

)('

)('

)(

)(limlim xg

xf

xg

xf

xx

正确做法：正确做法：

1)sin

1(limsin

lim

x

x

x

xxxx

xxnx

lnlim80

：例 )0( x 型0

0lim

1

lim1

lnlimlnlim

0

1

000

nx

x

nx

x

xxx

n

x

n

x

n

x

n

x解：

0 1 0 00三、其它不定型

)1

sin

1(lim9

0 xxx

：求例 型

xx

xx

xx xx sin

sinlim)

1

sin

1(lim

00

解：

0sincoscos

sinlim

0

xxxx

xx

xxx

xx cossin

cos1lim

0

)(sinlim100

x x

x ：求例 型0

)(sin xy x解：

x

xxxy

xxx 1sinln

limsinlnlimlnlim000

0cos)sin

(lim1

sincos

lim0

2

0

xx

x

x

x

xx

xx

1lim 0lnlim

0

0

eey

y

x

x

xxy sinlnln

泰勒公式第三节

多项式多项式 是各类函数中最简单的一种。用多项式

近似表达函数是近似计算和理论分析

中的一个重要内容

表达成多项式的形式泰勒公式是将一个函数

这时多项式本身就是一个多项式，若函数 )(xf

。的导数有着密切的关系的系数与函数 )(xf

次多项式的幂次形式写出的是按设 naxxf )()(

)()()()( 2210 axpaxpaxppxf n

n

的导数之间的关系我们来找多项式系数与 )(xf

0)( paf )(

0afp

)('1

afp 1

)(' paf

2!2)(" paf

3!3)("' paf

)("!2

12

afp

)("'!3

13

afp

npnaf n !)()(

)(

!

1 )( afn

p nn

)()(!

1)()("

!2

1))((')()( )(2 axaf

naxafaxafafxf nn

可以写成)(xf

阶的导数，那么在直到是一般的函数，且它存若 1)( nxf

?)(!

)()(

0

)(

n

k

kk

axk

afxf

泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 )(xf 在含有 0x的某个开区间 ),( ba 内具有直到 )1( n 阶的导数,则当 x在 ),( ba 内时, )(xf 可以表示为 )( 0xx 的一个n次多项式与一个余项 )(xRn 之和:

)()(!

)(

)(!2

)())(()()(

00

)(

20

0000

xRxxnxf

xxxf

xxxfxfxf

nn

n

其中 10

)1(

)()!1(

)()(

nn

n xxnf

xR

(在 0x 与x之间).

中值定理泰勒（ )Taylor

证明 : 由假设, )(xRn在),(ba内具有直到)1(n阶导数,且

两函数)(xRn及1

0)( nxx 在以0x及x为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得

)())(1(

)(0

01

1 之间与在 xxxn

Rn

n

0)()()(

)()(

10

01

0

n

nnn

n

xxxRxR

xxxR

0)()()()( 0)(

000 xRxRxRxR nnnnn

如此下去,经过)1(n次后,得

两函数)(xRn及nxxn ))(1( 0 在以0x及1为端点

的区间上满足柯西中值定理的条件,得

0))(1()()(

))(1()(

01

01

01

1

n

nnn

n

xnxRR

xnR

!1)(

)()( )1(

10

nR

xxxR n

nn

n

( 之间与在 nx 0 ,也在 0x 与x之间)

)())(1(

)(1021

02

2 之间与在

xxnn

Rn

n

n

k

kk

n xxk

xfxP

00

0)(

)(!

)()(

称为 )(xf 按 )( 0xx 的幂展开的 n次近似多项式

n

kn

kk

xRxxk

xfxf

00

0)(

)()(!

)()(

称为 )(xf 按 )( 0xx 的幂展开的n阶泰勒公式

)()(!1)(

)( 01

0

)1(

之间与在 xxxxnf

xR nn

n

则由上式得

,0)()1( xP nn )()( )1()1( xfxR nn

n

拉格朗日形式的余项

1

01

0

)1(

)(!1

)(!1)(

)(

nnn

n xxnM

xxnf

xR

])[()(!

)()( 00

0

0)(

nkn

k

k

xxoxxkxf

xf

)()(!1)(

)( 01

0

)1(

之间与在 xxxxnf

xR nn

n

皮亚诺形式的余项

0)()(

lim00

nn

xx xxxR及

].)[()( 0n

n xxoxR 即

注意 :

1 . 当 0n 时 , 泰 勒 公 式 变 成 拉 氏 中 值 公 式 )())(()()( 000 之间与在 xxxxfxfxf

2. 取 00 x , 在 0 与 x 之 间 , 令 )10( x

则 余 项 1)1(

)!1()(

)(

n

n

n xn

xfxR

)(

!)0(

!2)0(

)0()0()()(

2

n

nn

xO

xn

fx

fxffxf

)10()!1(

)(

!

)0(

!2

)0()0()0()(

1)1(

)(2

nn

nn

xn

xf

xn

fx

fxffxf

麦克劳林 (Maclaurin) 公式

阶麦克劳林公式的；写出函数例 nexf x)(1

xne

xnexR

xRxn

xxxe

exf

fffef

nx

nn

nnx

xn

n

11

32

)1(

)(0

)!1()!1()(

)(!

1

!3

1

!2

11

)(

)0()0(")0('1)0(

解：

)0( x )10(

1x令)!1(!

1

!3

1

!2

111

ne

ne

)10(

)!1(

3

)!1()1(

nn

eRn

9 n当 000001.03628800

3

!10

3)1(

9R

718282.2!9

1

!3

1

!2

111 即用

000001.0的值其误差不超过代替e

阶麦克劳林公式的；求函数例 nxxf sin)(2

)2

sin()()( nxxf n解：

0)0( f 1)0( f 0)0(" f 1)0('" f

)1()0( 1)12( mmf 0)0()2( f m

m

mm R

mxxxxxx 2

121

753

)!12()1(

!7!5!3sin

xm

mm

mxxR

122

)!12(

)2

)12(sin()(

其中 )10(

1m若： xx sin则：

6!3

)23

sin(3

3

2

xx

xR

其误差为：

xxx 3

!3

1sin 2m若：

xxxx 53

!5

1

!3

1sin 3m若：

常用函数的麦克劳林公式)(

)!12()1(

!5!3sin 22

1253

nn

n xon

xxxxx

)()!2(

)1(!6!4!2

1cos 22642

nn

n xon

xxxxx

)(1

)1(32

)1ln( 1

132

n

n

n xonxxx

xx

)(11

1 2 nn xoxxxx

)(!

)1()1(!2

)1(1)1( 2

nn

m

xoxn

nmmm

xmm

mxx

凹凸性函数的单调性与曲线的第四节

思单调增加（减少）的意

中定义在 ),()( baxf

)()()(),,(, 121221 xfxfxfxxbaxx ，则时当

)()()( 1212 xfxfxfxx ，则时当

，单调性，讲了导数以后怎样来判定一个函数的

就有一种简单的方法。

别法一、函数的单调性的判

146p函数单调性的判定法

内可导上连续，在设函数 ),(],[)( babaxfy

)(0)(),(1 xfyxfba ，那么函数内）如果在（

上单调增加；在 ],[ ba

)(0)(),(2 xfyxfba ，那么函数内）如果在（

上单调减少。在 ],[ ba

的单调性讨论函数例 33:1 xxy

.1,1 xx

令 0)1)(1(333 2 xxxy解：

)1,( )1,1( ),1( x

y y

内单调减少在 ),1(),1,()( xf

内单调增加，在 )11()( xf

2002: 2 xxx解

02

1

22

2222

xx

x

xx

xy

令1x得

的单调性讨论函数例 22:2 xxy

)1,0( )2,1(x

y

y

）内单调减少在 2,1()(xf

内单调增加，在 )10()(xf

),(: 此函数的定义域为解

0x当 33

2'

xy

内单调增加内单调减少，在在 ),0()0,()( xf

导数不存在 0x

的单调性讨论函数例 3 2:3 xy

y

)0,( ),0( x

y

147)(

0)(

Pxf

xf

不存在的点。详见及的点要找出因此判别函数单调性时

)0( )1ln( 4 xxx：证明例

)(xf

)1ln()( xxxf 证：设

)0()( fxf

)1ln(0)1ln( xxxx 即：

011

11)('

x

x

xxf

0)0( f而

上凹（下凸）上凹（下凸） 下凹（上凸）下凹（上凸）

从图形上看很能理解从图形上看很能理解

曲线的凹向与拐点二、

,2

)()()

2(

,)(1

2121

21

xfxfxxf

xxIIxf

恒有

上任意两点上连续，如果对在区间：设定义

y

o1x

221xx

2x

)(1xf

)2

( 21 xxf

2

)()(21xfxf

)(2xf

x

的。上的图形是（向上）凹在那么称 Ixf )(

,2

)()()

2(

,)(

2121

21

xfxfxxf

xxIIxf

恒有

上任意两点上连续，如果对在区间设

y

o1x

221xx

2x

)(1xf

)2

( 21 xxf

2

)()(21xfxf

)(2xf

x

的。上的图形是（向上）凸在那么称 Ixf )(

定理：一阶和二阶

内具有上连续，在在设 ),(],[)( babaxf

导数，那么

是凹的；图形上的在则内）若在（

],[)(0)(),(1 baxfxfba

形是凸的； 图

],[)(0)(),(2 上的在则内）若在（ baxfxfba

.1 4的凹凸性：判断曲线例 xy

34xy 解：

012 2 xy

00处为只有在而 xy

是凹的xy 4

.1

2 的凹凸性：判断曲线例x

y

1

'2x

y 解：x

y3

2"

0 )0,( y在 故曲线是凸的。

0 )0( y， 故曲线是凹的。

曲线的拐点。这上凹与凸的分界点称为定义：连续曲线

)(xfy

拐点拐点

x

y

o

拐点

.),(sin1 内的拐点在：求曲线例 xy

xy cos'解： xy sin"

0"y令 0x

　

x )0,( 0 ),0(

y 0

y 凹 凸拐点 x

y

o

.)0,0( 是这曲线的拐点点

.)2(2 3

5

的拐点：求曲线例 xy

)2( )2(3

2

3

5"

)2(3

5'

3

1

3

2

xxy

xy解：

不存在yx 2

　 　

)2,( ),2( 2x

.)0,2( 是这曲线的拐点点

y 不存在

y 凸 凹拐点 2 x

y

是否有拐点？：问曲线例 xy 43

34' xy 解：

0 x

012" 2 xy

　 　

0x ），（ 0 ),0(

y 0

y 凹 凹不是拐点

.)0,0( 不是这曲线的拐点点 没有拐点曲线 xy 4

的拐点的一般方法。求连续曲线 )(xfy

nxxxxfxf ,,)(0)(1 21不存在的点及）求出（

.)(,2 21 的定义域分为几个区间将）（ xfyxxx n

凸性定出曲线的凹在每个小区间内的符号）判断（

)(3 xf

）求拐点（4

最小值函数的极值与最大值与第五节.

内有定义，在区间设函数定义： ),()(154 baxfP

00 ),( xbax 着点内的一个点，如果存在是

这去心邻域内的的一个去心邻域，对于

)()()(, 00 xfxfxfx 均成立，就称任何点

的一个极大值；是函数 )(xf 0x如果存在着点

这去心邻域内的的一个去心邻域，对于)()()(, 00 xfxfxfx 均成立，就称任何点

的一个极小值；是函数 )(xf

法一、函数的极值及其求

）极值不一定只有一个注：（1

值小）极小值不一定比极大（2

）极值在区间内部取得（3

)()()(1 000 xfxfxxf ，且处有极值在点：如果函数定理

0)( 0 xf存在，则

的驻点。的点称为函数使 )(0)(' xfyxf

点，反之不一定。存在，则极值点必为驻如果 )(xf

0 0 3 2 3 yxxyxy例：

。是驻点，但不是极值点0x

内）在（ ),(1 00 xx )0)('(0)(' xfxf

内）在（ ),(2 00 xx )0)('(0)(' xfxf

：（第一充分条件）定理2

可导，的一个邻域内在点设函数 ),()( 00 xxxf

0)( 0 xf且

处取得极大（小）值。在则函数 0)( xxf

按如下方法如果极值存在，求极值)(1 xf ）求（

xxf ，求出）求驻点，即令（ 0)(2 ，以便确定在每一驻点左右的符号）观察（ )(3 xf

该驻点是否是极值点；）求出极值。（4

的极值求函数例 593)(.1 23 xxxxf

0)3)(1(3963)( 2 xxxxxf解：令

3 1 xx求得驻点

)1,( 1 )3,1( 3 ),3( x

y

y 0 0

10)1( 1 fx 为取得极大值，且极大值处在

22)3( 3 fx 值为处取得极小值，且极小在

极大 极小

)75()2()1(

)3342()2()1(

)2()1(3)2()1(2)('

2

2

223

xxx

xxxx

xxxxxf解：

的极值：求函数例 32 )2()1()(2 xxxf

0)( xf令5

7,2,1 xxx求的驻点

)1,( )5

7,1( )2,

5

7( ),2(

5

71 2x

极大 极小

极值不是

0y 00

y

是极值点5

7,1 xx

0)1( 1 fx 值为处取得极大值，且极大在

55

108

125

27

25

4)

5

7(

5

7

）（为

值处取得极小值，且极小在

f

x

3定理 ：（第二充分条件）

,0)()( 00 xfxxf 处具有二阶导数且在点设函数

那么0)( 0 xf

处取得极大值；在时，函数）当（ 00 )(0)(1 xxfxf

.)(0)(2 00 处取得极小值在时，函数）当（ xxfxf

（失效）是否取得极值不能肯定在时注：当 00 )(,0)( xxfxf

xxy sincos' 解： xx sincos 则

4

x

4

5x

xxy cossin"

022

2

2

2)

4("

y 为极大值点4

x

022

2

2

2)

4

5("

y

2)4

(

f极大值为

上的极值在：求函数例 ]2,0[cossin3 xxy

0y令

求得驻点

为极小值点4

5 x

2)4

5(

f极小值为

况。点，一阶导数为零的情我们讲的是在 0x

点也有可能为极值点，其实一阶导数不存在的

的来计算。理对于这些点同样可用定 2

3 2

1

3

2)('

x

xf时解：当 2x

的极值：求函数例 3

2

)2(1)(4 xxf

连续不存在，但时当 )()(,2 xfxfx

y

)2,( ),2( x 2

极大值

y 不存在

1)2( 2 fx 值为处取得极大值，且极大在

求极值的方法

nxxxxfxf 21,)(0)(1 不存在的点的点及）求出（

的定义域为几个小区间划分）（ )(,2 21 xfyxxx n

号在每一个小区间上的符）观察（ )(3 xf

)2,1()(324 nixxxf i 在判定或定理）用定理（

值还是极小值是否取得极值，是极大）求出极值（5

上的连续函数总存在我们知道闭区间 ],[ ba

最大值、最小值问题二、

怎样找出最大值和最大值和最小值，那么

和最小值呢？

找f (x)在[a, b]的最大值和最小值的方法

nxxx ,, 21找出可疑极值点

)(),(),()(),( 21 bfafxfxfxf n计算

上的最大值在个值中的最大者就是这 ],[)(2 baxfn

上的最小值在个值中的最小者就是这 ],[)(2 baxfn

.

]4,3[1412321 23

最大值与最小值上的在：求函数例 xxxy

)1)(2(6)2(61266' 22 xxxxxxy解：

0y令 1,2 xx求得驻点

142)4(,7)1(,34)2(,23)3( ffff

7)1( 142)4( ff 最小值为最大值为

e

ey

x

x

)3(

)3(

1

)3,5[x

3x]5,3(x

的最大值与最小值在：求函数例 ]5,5[2 3 xey

解：

]5,3(

)3,5[)3(

)3(

xe

xey

x

x

证）处不可导（可用定义来在 3x

x

fxff

x

)3()3(

lim)3(0 x

e x

x

1lim

)33(

0

1)3( f ef 8)5( 2)5( ef

1)3()5( 8 fef ，最小值为最大值为

,1左导数为

1右导数为

3 x可疑极值点为

11

lim0

x

x

e

x

fxff

x

)3()3(

lim)3(0 x

e x

x

1lim

)33(

0

11

lim0

x

x

e

据问题的性质就可以在实际问题中，往往根

而且确有最大值或最小值，断定可导函数 )(xf

在定义这时如果得一定在定义区间内部取 )(. xf

)( 00 xfx，那么不必讨论区间内部只有一个驻点

是最大值或定是不是极值，就可以断 )( 0xf

161P最小值

xxav )2( 2)

2,0(a

x

0' xv令 x

去相等的的正方形铁皮，各角截：将各边长为例 a3

边，要做成体积最大无小正方形，然后折起各？方形之边长应该是多少盖箱，问所截去的小正

x形之边长为解：设所截去的小正方

(0, )6 2

a ax

)(2舍去a

x

)2()2(4' 2xaxxav

)6)(2( xaxa

22 128 xaxa

046

248)6

(" aa

aa

v

27

2

6

3aax 给出最大体积

rhrS 222 解：

r

Vh

2

问其底半径其容积是作一圆柱形有盖铁桶，例 ,.4 V

？，才能使所需铁皮最省与高的比例应为多少时

hrV 2

rr

VrS 2

222

rr

V 222

rr

VS 4

22 0S令

h

图例图例

r

042

2 r

r

V

rrr

r

Vh 2

22

3

2

32rV

.2 时所需的铁皮最省当 rh

若曲线若曲线 cc 上的动点上的动点 PP 沿着曲线无限地远离原点沿着曲线无限地远离原点时，点时，点 PP 与某一固定直线与某一固定直线 LL 的距离趋于零，的距离趋于零，则称直线则称直线 LL 为曲线为曲线 cc 的渐近线。的渐近线。

o

y

x

p

函数图形的描绘第六节.

渐近线有当然并不是所有曲线都

xy sin: 例

y=c

x

y

o

怎样求？何时有渐近线，下面我们要讨论的是在

cxfx

)(lim.1若

有水平渐近线则 )(xf

cy

x

y

o

0xx

)(lim.20

xfxx

若

有垂直渐近线则 )(xf

0xx

x

y

NM

P

o

kbkxxf

PMPN

21

1)(

cos

)( ktg

时当 x 0PN

0)]()([lim

bkxxfx

即：

bkxxfx

))((lim

.,)(.3 bkbkxyxf 求出有斜渐近线设曲线 )( xPN的距离趋于零按定义，只要

1

k

b求

kx

xfx

)(lim即：

))((1

lim))(

(lim kxxfx

kx

xfxx

又由

00 b

.k求

的渐近线：求例x

xy

1

12

)(lim1

xfx

解：

)1

(lim))((lim2

xx

xkxxfbxx

.1是一条垂直渐近线 x

11

lim

x

xx

.1是一条斜渐近线 xy

11lim)(

lim

2

x

xx

x

xfk

xx

1.1. 确定函数的定义域确定函数的定义域2.2. 考察函数的奇偶性，周期性考察函数的奇偶性，周期性3.3. 确定函数的某些特殊点，如与两坐标轴的交点确定函数的某些特殊点，如与两坐标轴的交点4.4. 确定函数的单调区间，极值点确定函数的单调区间，极值点 ,, 凹凸的区间以及凹凸的区间以及拐点拐点 ..

5.5. 考察渐近线考察渐近线

根据上述讨论结果最后画出函数的图象根据上述讨论结果最后画出函数的图象

函数图象的讨论：函数图象的讨论程序是

.)1(4

)3(2

2

的图形：描绘函数例

x

xy

),1(),1,(1 ）定义域为解：（

)1)1(4

)1)(3(

)1(4

)3()1)(3(2'2 22

2

xx

xx

x

xxxy （）（

)1)1(

2

)1(4

8" 33

x

xxy （

1,30 xxy 得令

)1(4

)3(lim3

2

1 x

xx）（

2 1( 3)lim[ ( ) ] lim[ ]

4( 1) 4x x

xf x kx x

x

.4

5

4

1为一条斜渐近线 xy

kxx

x

x

xfxx

4

1

)1(4

)3(lim

)(lim

2

.1是一条垂直渐近线 x

bx

xx

4

5

)1(4

95lim

）列表（4

y 0 0

y

y 极大值2

极小值0

y 凸 凹凸 凹

)1,( ),3( 1 )1,1( 1 3x )3,1(

-2

x

y

1 2 3 4 5-1

经济中的应用变化率及相对变化率在第七节

绍边际分析与弹性分析介

边际函数—一、函数变化率

也称为边际函数。可导，导函数设函数 )()( xfxfy

的平均变化率，在称为 ),()()()(

0000 xxxxf

x

xfxxf

x

y

的平均变化速度。内它表示在 )()( 00 xfxxx

000 )()()( xxxfxfxxxf 在点称为处的导数在点

处边际函数值。在点处的变化率，也称为 0)( xxxf

处的变化速度。在点它表示 0)( xxxf

相应改变改变一个单位，从处，在点 yxxxx 00

，“ ”改变的 单位 很小时。但当的真值应为 xyx

xx

10

则有的值相对来比很小时，“ ”的 一个单位 与或 0xx

)()( 0

111000

xfdxxfdyyx

xx

x

xx

x

xx

减小一个单位。）由时，标志着（当 01 xxx

产生一个单位的改处，当在点这说明 xxxxf 0)(

解释个单位。在应用问题中近似改变变时， )( 0xfy

字。“ ”时我们略去 近似 二边际函数值的具体意义

处的边际函数在点：函数例 102,1 2 xxyxy

改变一个单位，时，它表示当值 xxy 10,20)10(

个单位。（近似）改变20y

为产量），为总成本，：设某产品成本函数例 QCQCC )((2

称为当称为边际成本。其变化率 )()( 0QCQCC

济学家对它的时的边际成本。西方经产量为 0Q

前最后一个时，生产解释是：当产量达到 00 QQ

产品所增添的成本。

二二 .. 成本成本 某产品的总成本 是指一定数量的产品所某产品的总成本 是指一定数量的产品所

需的全部经济资源投入的价格费用总额，需的全部经济资源投入的价格费用总额，它由固定成本与可变成本组成。它由固定成本与可变成本组成。

平均成本是生产一定量产品，平均每单平均成本是生产一定量产品，平均每单位产品的成本。位产品的成本。

边际成本是总成本的变化率。边际成本是总成本的变化率。

　 为产量。为边际成本，为平均成本， QCC

)()( 21 QCCQCC 总成本函数

Q

QC

Q

C

Q

QCQCC

)()()( 21 平均成本函数

)(QCC 边际成本函数

为可变成本为固定成本，为总成本，：设例 211 CCC

4100

2QC 解：

4

100 Q

QC

4100)(2

2QQCC 数为：已知某产品的成本函例

及边际成本。时的总成本，平均成本求当 10Q

2

QC

时，当 10Q ,125)10( C总成本为

,5.12)10( C平均成本为

5)10( C边际成本为

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

小？为多少时，平均成本最：上例中，当产量例 Q3

时，平均成本最小。20Q

4

100 Q

QC 0

4

11002

Q

C令

20Q

3

200

QC 0

20

200)20(

3C

的函数是其产量：已知某产品的总成本例 xxC )(4

32108)( 2 xxxC

本函数。平均成本函数和边际成求：.1

。使平均成本最低的产量.2

最低的平均成本.3

xx

x

cc

xx

32108

)()(

1016' )( xc x

解：平均成本函数

边际成本函数

0)32

(8'2

)( 令x

c x 2x

为极小2

08"

64"

)2(

3)(

x

cx

c x

422

321028)2( c

个单位。平均成本最低的产量为2

最低的平均成本

三 . 收益 总收益总收益——生产出售一定量产品所得到的全部生产出售一定量产品所得到的全部

　　　　　收入。　　　　　收入。 平均收益平均收益——生产者出售一定量产品，平均每生产者出售一定量产品，平均每

　　　　　　出售单位产品所得到的收入，即　　　　　　出售单位产品所得到的收入，即　　　　　　单位商品的售价。　　　　　　单位商品的售价。

边际收益边际收益——总收益的变化率。总收益的变化率。 总收益，平均收益，边际收益均为产量总收益，平均收益，边际收益均为产量

的函数。的函数。

　　　　　　　　　　　　　

为边际收益。为平均收益，

为总收益，为商品量，为商品价格，设

RR

RQP

)( ( QPP 价格）函数需求

)()( QPQQRR 总收益函数

)()()(

)( QPQ

QPQ

Q

QRQRR

平均收益函数

)()()(()( QPQPQQPQQRR 边际收益函数

510)()(

2QQQPQQR 解：

120)610(30)30( R

510)(

QQR

5101

QP 售量的关系为：设某产品的价格与销例

与边际收益。时的总收益，平均收益求销售量为30

45

3010)30( R

5

210)(

QQR 2

5

30210)30(

R

下面讨论最大利润原则

)()()( , QCQRQLL 则设总利润为

)()()( QCQRQL

0)()( QLQL ：取得最大值的必要条件

)()(0)( QCQRQL 即：

边际成本边际收益

件：取得最大利润的充要条)(QL

)()( 0)( QCQRQL 即：

,5

10Q

P

销售量的关系为：已知某产品的价格与例2

.250 QC 成本函数为

利润最大？求：产量为多少时，总L

润原则。并验证是否符合最大利

)()()( QCQRQL 解： )()( QCQPQ

QQ

Q 2505

102

QQL5

28)( 0)( QL令 20 Q

20 05

2)20( QL 利润最大

5

210)(

QQR 2)( QC

)20()20(2)20(

2)20(CR

C

R

5

2)20( R 0)20( C )20()20( CR

符合最大利润原则

的函数是年产量总收益元。已知本增加每生产一单位产品，成

元，，，固定成本：某工厂生产某种产品例

QR

100

000203

40080000

40002

1400)(

2

Q

QQQQRR

此时总利润是多少？时，总利润最大？问：每年生产多少产品

函数为解：根据题意，总成本

QQCC 10020000)(

从而可得总利润函数为)()()( QCQRQLL

40010060000

4000200002

1300 2

QQ

QQQ

证分段点的导数可用定义

400100

4000300)(

Q

QQQL

3000)( QQL令 01)( QL

300Q 最大L

2500020000)300(2

1300300)300( 2 L

函数的弹性四、函数的相对变化率

元。元，涨价例：商品甲每单位价格 110

元。元，也涨价商品乙每单位价格 11000

元，变量都是两种商品价格的绝对改 1

很大的不同，两者涨价的百分比却有

。元，而商品乙涨了商品甲涨了 %1.0%10

与相对变化率。函数的相对改变量因此我们还有必要研究

而的绝对改变量分别为此时，自变量与因变量

，改变到由时，改变到由当例：

144,2

1441001210,2

yx

yxxy

%20x

x%44

y

y

变量。的改变，这就是相对改产生了的改变，产生了改变到这表示当

%44

%201210

y

xx

2.2%20

%44

xxyy

的平均相对变化率。，函数到。我们称它为改变

平均时改变）内从，这表示在（21210%2.2

,%1,101210

xyxx

yxx

化率或两点的弹性。两点间的相对变到从称为函数

，之比与自变量相对改变量量

变处可导，函数的相对改在定义：设函数

)(

)(

00

0

0

00

0

xxxxf

xx

yy

x

x

y

y

xxf

弹性。处的相对变化率或称为称为在 00

0

0lim x

xx

yyx

0xxEx

Ey

记作：

))(

)(limlim(0

00

0

0

00

0

00

xf

xxf

y

x

x

y

xx

yy

Ex

Eyxx

xx

可导，则有：的，若对一般 )(xfx

y

xy

xf

xxf

y

x

x

y

xx

yy

Ex

Eyxx

)(

)(limlim00

的弹性函数。的函数，称为是 )(xfx

2'y解：

处的弹性。在：求函数例 3231 xxy

3

2

323

32

3

xEx

Ey

x

x

y

xy

Ex

Ey

232'

2

3 2 6x

Ey

Ex

33

300 3100

xx

Ey xe x

Ex e

.10022

3

x

x

Ex

Ey

Ex

Eyey 及的弹性函数：求函数例

xey 3300解：

　　

1Ey xx

Ex x

为常数）的弹性函数。：求函数例 (3 xy

1 xy解：

　　

函数（五）需求函数与供给

需求函数.1

称为需求函数。表示需求量表示商品的价格，设 )(PfQQP

少函数。为单调减求函数需求小，因此，一般需

，，需求大，商品价格高一般说来，商品价格低)(PfQ

也称为需求函数。有反函数 )(1 QfP

边际需求。称为的边际函数需求函数 )()( PfQPfQ

,4

12P

Q 例：若已知需求函数

.2

PQ 则边际需求函数为

时的边际需求。称为 8,4)8( PQ

个单位。减少，需求将时价格上涨一个单位时它表示当

4

8P

供给函数.2

称为供给函数。表示供给量表示商品的价格，设 )(PQQP

函数为单调增加函数。给多，因此，一般供给给少，商品价格高，供，生产者不愿生产，供一般说来，商品价格低

也称为供给函数有反函数 )(1 QP

均衡价格

称为均衡产品量。

则需求量与供给量为价格。设均衡价格为求量与供给量相等时的均衡价格是指市场上需

00 , QP

).0,(

),0,(1

dcdcPQ

baaPbQ

供给函数为：设某商品的需求函数例

.求：均衡价格

ca

dbPdcPaPb

000解：

弹性（六）需求弹性与供给

强弱。价格变动时需求变动的需求弹性是刻划当商品

两点间的需求弹性。称为在

处可导，则在定义：需求函数

PPP

PP

QQPPfQ

00

0

00

,

)(

0

00,0 )(

Q

P

P

QPPP

记作：

的需求弹性。

处称为在而 00

00

0

0

0 )()()(lim P

Pf

PPf

Q

P

P

QP

)()(

0

000 pf

ppfpp 记作：

时的需求弹性。）（）需求弹性函数（

求：为例：设某商品需求函数

6,5,32

1

,5

PPP

eQp

5)

5

1()(')()1(

5

5PP

Q

PPQP

ee P

P

解：

2.1)6( 1)5( 5

3)3( )2(

1)5( 幅度相同时，价格与需求变动的说明当 5p

16.03

12.1)6(

小于价格变动的幅度时，需求变动的幅度说明当 3p

%6.0%13 ，需求只减少时，价格上涨了即：当 p

大于价格变动的幅度时，需求变动的幅度说明当 6p

%2.1%16 ，需求只减少时，价格上涨了即：当 p

两点间的供给弹性。称为

可导在：某商品供给函数定义

PPPPP

QQ

PPPQ

000

0

0

)(2

0

00,0 )(

Q

P

P

QPPP

记作：

处的供给弹性。称为在 00

00

0

0

0)(lim PQ

PP

PP

QQP

)()(')(

0

0

000 P

PpP

pp

记作

作业： ）补充题：（赵树嫄 121p

吨，每天为某化工厂日产能力最高 1000.1

（单位：吨）的函数：（单位，元）是日产量的生产总成本 xC

xxxCC 5071000)( ]1000,0[x

<1> 求当日产量为 100 吨时的边际成本<2> 求当日产量为 100 吨时的平均单位成本

单位的费用为某厂每批生产某种商品x.2

2005)( xxC

得到的收益是

xxxR 201.010)(

才能使利润最大？问每批生产多少单位时

)41

(1600)(P

PfQ

的函数关系为对价格设某商品需求量 PQ.3

的弹性函数对价格求需求 PQ