УдивительныеУдивительные числа числа

Работу выполнил Работу выполнил Шурчёв Станислав, Шурчёв Станислав,

Ученик 9 классаУченик 9 класса

слышали об этих числах

0

10

20

30

40

50

нату

ральн

ые

прост

ые

сове

ршен

ные

дружес

твен

ные

палин

дромы

репь

юниты

знают подробную информацию

0

2

4

6

8

10

нату

ральн

ые

прост

ые

сове

ршен

ные

дружес

твен

ные

палин

дромы

репь

юниты35

9

да

нет

Объект нашего исследования – натуральные числа.

Предмет исследования – свойства этих чисел.Гипотеза: Если простые числа – это

«кирпичики», из которых строятся все натуральные числа, то, «перекладывая» их, можно получить удивительные «числовые сооружения».

Цель исследования: Познакомиться с удивительными

числами и установить роль простых чисел в изменении их свойств.

Задачи: Описать способы поиска простых чисел. Рассмотреть свойства совершенных и

дружественных чисел. Познакомиться с палиндромами и

репьюнитами.Метод исследования – теоретический

Простые числаПростые числа Числа, которые имеют только два Числа, которые имеют только два

различных делителя, называются различных делителя, называются простымипростыми

7=1·7

23=1·23Самое маленькое

простое число. Единственное четное среди

простых

2

1212

2 2 3· ·

1818

2 3 3· ·

145145

2 2 5 7· · ·

ЭратосфеЭратосфенн

близнецы

Пьер ФермаПьер Ферма

1601-1665

P=22 + 1n

nn 11 22 33 44

pp 55 1177

252577

6553655377

Совершенные числаСовершенные числаНатуральное число Натуральное число nn называется называется совершенным, если сумма всех его совершенным, если сумма всех его

собственных делителей, отличных от самого собственных делителей, отличных от самого nn,, в точности равна в точности равна nn..

661 2 3

+ +

66

2828

2 4 71 14

++ +

+

2828

Совершенные числаСовершенные числа

6, 28, 496, 8128, 33550336… 6, 28, 496, 8128, 33550336…

Вот 25-е число: 2Вот 25-е число: 24449644496 . (2 . (24449644496--1)1)

2626 790 цифр!!!790 цифр!!!

ПифагорПифагор 220 и 284220 и 284

220220

11

2222

55

1111

1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284

284284

11

22 22

7171

1+2+4+71+142=220

Дружественные числаДружественные числаЕсли сумма собственных делителей одного числа Если сумма собственных делителей одного числа

равна второму числу и, наоборот, сумма равна второму числу и, наоборот, сумма собственных делителей второго числа равна собственных делителей второго числа равна

первому, то такие числа называют первому, то такие числа называют дружественнымидружественными

1 220 284 8 17296 18416

2 1184 1210 9 63020 76084

3 2620 2924 10 66928 66992

4 5020 5564 11 67095 71145

5 6232 6362 12 69615 87633

6 10744 10856 13 79750 88730

7 12285 14595

Палиндромы и Палиндромы и репьюнитырепьюниты

Обращенное число – это число, Обращенное число – это число, записанное теми же цифрами, но записанное теми же цифрами, но расположенными в обратном порядкерасположенными в обратном порядке.. Например, 1234 обращенное 4321. Например, 1234 обращенное 4321.

Палиндромическое число - равное Палиндромическое число - равное обращенномуобращенному..

Например, 121, 5995, 12321Например, 121, 5995, 12321 Репьюниты - натуральные числа, Репьюниты - натуральные числа,

запись которых состоит только из запись которых состоит только из единицединиц..

В десятичной системе счисления В десятичной системе счисления репьюниты обозначаются короче: репьюниты обозначаются короче: RR1=1, 1=1, RR2=11, 2=11, RR3=111, 3=111, RR4=1111…4=1111…

RR2, 2, RR19, 19, RR23, 23, RR317 и 317 и RR10311031 – простые числа – простые числа

111=3∙ 37;111=3∙ 37;

1111=11∙1011111=11∙101

11111=41∙27111111=41∙271

111111=3∙7∙ 11∙13∙37111111=3∙7∙ 11∙13∙37

1111111=239∙ 46491111111=239∙ 4649 и т. и т. д.д.

11∙11=121

11∙111=1221

1111∙11=12221

1112=12321

ВЫВОДВЫВОД простые числа – это «кирпичики», из простые числа – это «кирпичики», из

которых строятся всекоторых строятся все

натуральные числа.натуральные числа.

«перекладывая» их, можно получить «перекладывая» их, можно получить удивительные «числовые удивительные «числовые

сооружения»: сооружения»:

СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА,СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА,

ДРУЖЕСТВЕННЫЕ, РЕПЬЮНИТЫДРУЖЕСТВЕННЫЕ, РЕПЬЮНИТЫ

СПАСИБО СПАСИБО

ЗА ВНИМАНИЕЗА ВНИМАНИЕ