中学数学“微科研”的选题和做题

张思明2009.10.25

主要论题• 1. 好问题怎么找？• 应用问题的选题策略• 数学微科研小课题的选题策略• 2. 问题观念很重要• 3. 几点建议

中学生数学“微科研”的问题分类

• 1 ，应用和数学建模的问题• 2 ，数学研究的小问题

数学应用的问题• 1 ，与自己的生活结合• 2 ，与自己熟悉的学习结合• 3 ， 与自己的兴趣领域结合• 4 ， 与自己的能力匹配

• 北京市学生优秀应用成果案例• 如何改进文章的风格 实验 高三 陈鹏

• 相邻摆放的商品和销售量的关系 4 中• 北京和平街地区中老年人糖尿病调查研究 • 八中 高一 赵羽中 • 粉笔使用中的节约问题和粉笔套的设计 5 中 孙靓• 从拼图游戏到人类基因组计划 ---- 碎片拼接中有趣的数学

规律• 北大附 高三葛鉴桥• 糖尿病的检测问题 15 中 高二 亢 山页• 由中学生学习成绩的一次统计看中学生作业负担过重问题• 北京煤炭工业学校 王敦杰

学生优秀成果案例• 配餐窗口的配比问题 12 中 陈思思 • 相邻摆放的商品和销售量的关系 4 中？• 北京和平街地区中老年人糖尿病调查研究 八中 高一 赵

羽中

• 粉笔使用中的节约问题和粉笔套的设计 5 中 孙婧

• 营养的合理配置 人大附中 初三 陈曦 桑栋 .• 糖尿病的检测问题 15 中 高二 亢 山页

• 身体脂肪电子测定和中学生胖瘦的关系 景山 高二 刁玉鹤 樊松

什么是好论文？• 选题：最好来自自己的观察、来自自己的体验、

来自自己学习、生活实践。• 建模：分析、假设合理，模型对应恰当，结果评

价得当；• 数学：应用的合理到位，不过分，不造作；• 文章：结构合理，叙述清楚，符合建模论文的基

本要求。• 结果：有创新点，有自己的独到的见解，有应用价值。

选题与简评（ 1 ）

• 1 预测各届高考各批录取分数线 运河中学 三等奖（模型有点问题）

• 2 算术和鞋带 房山中学 抄袭《科学》不奖

• 3 关于电池利用效率的研究 五中 三等奖

• 4 蚊香引出的等距螺线问题 北大附中 2 等奖 • 5 关于影响电视频道观众满意度因素的数学模型 人大附中 3 等奖（利用成品数据做理论满意度

选题与简评（ 2 ）• 8 抽取式面巾纸的包装盒优化设计 北大附中 2 等奖

9 邮票尺孔中的数学问题 昌平进校实验班 2 等奖10 给我一张纸，我就知道电视塔有多高 潞河中学 2等奖11 修正带中的应用问题 实验中学 2 等奖12 啤酒瓶的包装设计 四中 3 等奖13 学校建筑中的安全设计 12 中 2 等奖14 分层次教学的数学模型 首师附 2 等奖（数学应用的较好）15 单词记忆的最佳方案 实验中学 一等奖16 考试站的最佳布点模型 80 中 2 等奖17 “绿灯带”问题 师大附中 2 等奖

选题与简评（ 3 ）• 18 大公共汽车开几个门好？ 人大附中 3 等奖• 19 黑板最佳设计方案与学生座位的布局 15 中• 20 如何评定学生的学期成绩 汇文 3 等奖• 21 关于主观评分比赛的一种模型 人大附中 3 等奖• 22 红外线报警器的合理设置 15 中 二等奖• 23 字印在那里最合适 11 学校 3 等（数据与结论与目标有距离）

• 24 书架的设计和摆放 9 中 三等（指标设计与方法选择不当）

25 成品包装中的形状问题 2 中、北大附中 2 等奖

好问题怎么来？（ 1 ）• 环境场• 前赴后继• 找毛病• 应用题“拉长改造”

怎样选好题？（ 2 ）

–积累自己的学生们以前的工作；

– 建立起自己的资源库– 看一看别人作了什么？– 平时做有心人

北大附中应用数学论文简介• 保安巡更路线方案及软件流程设计 于 颢 陈明卿

• —— 中学生的呼声 北大附中学生心中的名牌大学排行榜 杜 珊

• 浅析足球场上队员的合理跑位问题 张 博 • —— 观鸟中的数学问题 东洞庭湖观鸟记录与思考 刘 熹

• 室内饲养环境下大斑啄木鸟节律的研究 刘 熹 于 颢

• 邮票面值的设计问题 谭思睿 周 栋

• 北京住宅小区分散供暖的可行性研究 颜 溪

• “ ” 脑白金 风暴怎么刮 孙昱姣 夏愔愔

• 液晶基板合理切割的研究 李逸男

• NBA常规赛赛程的合理安排 徐 展

• 台球桌上的数学问题 刘亚汀

• 关于人造卫星定点着陆的探索 李蔚然 刘 颖

中学生的呼声 — 北大附中学生心中的名牌大学排行榜

 北大附中 高二（ 1 ）班 杜珊

同济同济人大同济浙大人大北航10

浙大北航同济北航同济南开人大9

北航南开北航交大北航交大同济8

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南开浙大浙大清华交大复旦南开5

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北大清华清华北大清华清华清华2

清华北大北大浙大北大浙大北大1

学生质量

科研力量

学术成果

图书馆 藏书

学术声誉 及地位

师资力量

综合排行

北京市住宅小区

分散供暖的可行性研究

北大附中高二（ 1 ）班 颜溪

北京市住宅小区 

分散供暖的可行性研究

北大附中高二（1）班 颜溪

北大附中 100080

高二（1） 夏愔愔高二（10） 孙昱姣

室内饲养环境下大斑啄木鸟节律的研究

撰写者 刘熹 于颢 （北大附中高二（ 1）班）

指导教师 蒋志刚 曾岩 李春旺 （中国科学院动物所）

台球桌上的数学问题台球桌上的数学问题

进入

北京大学附属中学

刘亚汀

观鸟中的数学问题——湖南东洞庭湖观鸟思考

北大附中 高二（1）班 刘熹指导教师 张思明

NBA常规赛赛程的

合理安排

作者：徐展 指导老师: 张思明

摩托罗拉 LG

索爱（ 1 ）

索爱（ 2 ）

乘轨道交通 观北京奥运

姜德骏 麻雅娇

高二（ 1 ）班

指导老师：楚竹林

关于超市塑料袋价格的探究

谈购物新问题

北京八中 单璐琪

序号 超市名称 物品种市类 价位 客流量 综合排位

1 物美大卖场 比较齐全 平民化 极多 1

2 小白羊 8 号店 一般 平民化 比较少 4

3 华堂商场的超市 比较齐全 价位较高 中等 3

4 世纪联华超 相当齐全 价位较高 中等 2

调查样本选定

数据对比问卷编号 题目一 题目二 题目四

1 2 4 3

2 1 3 2

3 3 1 2

4 3 4 1

5 2 4 2

6 1 4 1

7 3 1 1

8 1 4 1

9 1 3 2

10 2 1 3

问卷编号

题目一（分析后）

题目二（分析后） 题目四

1 2.5 4 3

2 1 6 2

3 4 2 2

4 4 4 1

5 2.5 4 2

6 1 4 1

7 4 2 1

8 1 4 1

9 1 6 2

10 2.5 2 3

结论 实行塑料购物袋有偿使用后，塑料袋消费可减少 64.3% ，与专家预测减少三分之二接近；商家有偿使用塑料袋定价在 0.39元至 0.63元间，即可满足顾客购物需求，又不影响顾客消费。建议城区商家采用高价位，郊区商家采用低价位，城乡结合部商家采用中价位。

扣人心弦的比赛 篮球作为一项深受人们喜爱的运动而风靡全球。 NBA 赛场上那紧张激烈的对抗令人热血澎湃。令人深思的发现 源于喜爱，所以专注，我发现作为 NBA 打球的球员，他们的技术数据对他们乃至球队的生存与发展是至关重要的。

意义深远的探索 先按照数学方法拟定一个合理的评判公式，从 NBA 的 30 支球队中各取 2名主力球员，根据他们在 NBA 联赛中的场均数据（包括得分、进攻篮板、防守篮板、助攻、抢断、盖帽、失误、犯规共八项），对球员的综合能力进行分析，以验证公式的合理性。

概率统计分析法： 通过对从 NBA 联赛中随机抽取的几场比赛，运用概率统计分析法得到相关的数据，从而进行合理的公式计算。

自主与创新性： 运用所学的数学知识及现有资料，自主拟定一个合理的参考公式，对 NBA 的球员的综合能力进行估计与评价。

合理与科学性： 首先，对球员的评价量化，以充分体现其合理与科学性。 其次，由于要讨论的八项数据的重要性有所不同，所以不能简单的进行相加，而应当通过数学计算来进行决定。 第三，为了方便最终的评价，同时统一比较的标准，我将所有的数据换算成得分进行比较，即将所有的数据等效成得分或失分，以符合研究的科学、严谨性。

1 、搜集、整理资料2、拟定评判的公式3、验证与评价

搜集、整理资料： 上网搜集现役 NBA 球员的技术资料及随机抽出的 5场比赛的技术统计并运用概率统计的方法计算出所用数据。

论莎剧的真正作者 论莎剧的真正作者

刘正旿 刘正旿 指导老师：唐晓苗指导老师：唐晓苗

论文的主题论文的主题

一、莎士比亚戏剧作者的争论一、莎士比亚戏剧作者的争论 许多学者认为莎剧是培根（许多学者认为莎剧是培根（ BaconBacon ）所作。）所作。 已发表的文章是从多方面来论证此观点的，比已发表的文章是从多方面来论证此观点的，比

如：如：①亲属关系；②名字的猜测（①亲属关系；②名字的猜测（ Shake of SpeShake of Spear)ar) ；③出生背景等等。；③出生背景等等。

二、本文通过数学统计分析文章中某些词语使用的二、本文通过数学统计分析文章中某些词语使用的频数，判断莎士比亚戏剧的真正作者。频数，判断莎士比亚戏剧的真正作者。

历史上经典的例子。 ① 用数学统计分析方法判断美国一部著名 论文集的作者是詹姆斯•麦迪逊（ James Madison)还是亚历山大• 哈密尔顿（ Alexander Hamilton ）。 ② 学者李善平运用 47个虚字在《红楼梦》的每一回中出现的频率，探索了这部书各回写作风格的接近程度，证明了《红楼梦》前八十回是曹雪芹写的，后四十回是高鹗写的。

研究方法研究方法一、年代 ：莎剧写于一、年代 ：莎剧写于 1616世纪末，培根的作品写于世纪末，培根的作品写于 1717世纪初，世纪初，

二者时代是大体相同的 。二者时代是大体相同的 。二、文章的选取：我选取了二、文章的选取：我选取了 2424部莎士比亚戏剧及部莎士比亚戏剧及 1414篇培根篇培根

的作品作为研究对象。其中这的作品作为研究对象。其中这 2424部莎剧囊括了莎剧中几部莎剧囊括了莎剧中几乎所有最著名的戏剧，包括 乎所有最著名的戏剧，包括 Comedy Comedy （喜剧）、 （喜剧）、 HistoHistory ry （历 史 剧）及（历 史 剧）及 TragedyTragedy （悲剧），这 （悲剧），这 1414篇培根的文篇培根的文章也涵盖了他大部分著作。章也涵盖了他大部分著作。

三、词语的选取： 为了避 免文体上的差异，我 选取了三、词语的选取： 为了避 免文体上的差异，我 选取了 thethe 、、fromfrom 、、 inin 、、 onon 、、 toto 、、 atat 、、 ofof 、、 byby 等等 88个词 ，在这里个词 ，在这里通过计算这些字在文章中出现的频率，来判断莎士比亚作通过计算这些字在文章中出现的频率，来判断莎士比亚作品的真正的作者。 品的真正的作者。

研究过程研究过程

我运用 我运用 Micosoft office word Micosoft office word 对所取各篇文章的总字对所取各篇文章的总字数，数， thethe 、、 fromfrom 、、 inin 、、 onon 、、 toto 、、 atat 、、 ofof 、、 byby各词在各词在各篇文章中出现的次数进行统计、整理，并用 各篇文章中出现的次数进行统计、整理，并用 Micosoft Micosoft

Excel Excel 对对 thethe 、、 fromfrom 、、 inin 、、 onon 、、 toto 、、 atat 、、 ofof 、、 byby各各词在各篇文章中出现的频率，词在各篇文章中出现的频率， thethe 、、 fromfrom 、、 inin 、、 onon 、、 toto 、、atat 、、 ofof 、、 byby各词在莎剧及培根作品中出现频率的分布情各词在莎剧及培根作品中出现频率的分布情况进行计算、画图，得到况进行计算、画图，得到 thethe 、、 fromfrom 、、 inin 、、 onon 、、 toto 、、atat 、、 ofof 、、 byby各词的频率分布直方图。 各词的频率分布直方图。

the

0

0. 1

0. 2

0. 3

0. 4

0. 5

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0. 7

the莎士比亚 the培根

/24

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4频数

（莎士比亚）频数

（培根） 0~0. 020

0. 020~0. 0250. 025~0. 0300. 030~0. 0350. 035~0. 0400. 040~0. 0450. 045~0. 050>=0. 050

by

00. 1

0. 20. 3

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0. 60. 7

0. 8

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（莎士比亚）频数

（培根）

0~0. 00150. 0015~0. 00200. 0020~0. 00250. 0025~0. 00300. 0030~0. 00350. 0035~0. 00400. 0040~0. 0045>=0. 0045

结论结论 从频数分布直方图可以清楚地看出莎剧与培根作品对从频数分布直方图可以清楚地看出莎剧与培根作品对介词的使用有不小差别，在介词的使用有不小差别，在 inin 、、 toto 、、 ofof 、、 byby 的使用上的使用上差别尤其明显。所以，仅从数学分析的角度来考虑，沙剧差别尤其明显。所以，仅从数学分析的角度来考虑，沙剧的真正作者是莎士比亚，而不是培根。的真正作者是莎士比亚，而不是培根。

邮票面值的设计问题

提出问题提出问题

北大附中

谭思睿 周栋

数学“微科研”的选题策略• 一。从课堂的研究性学习入手，从”小“入手

• 例：学习完：“等差数列、等比数列”• ----- 自己做“等和数列”和“等积数列”数列的研究，

• ----- 自己做“二阶、三阶等差数列的研究”• -----可以求和的数列有哪些？

案例 2 ：正方体所有可能的截面的类型：见必修 2 教材

• 三角形类．直角三角形．锐角三角形．钝角三角形．等边三角形或等腰三角形 其他：．五边形．正五边形．六边形．正六边形．七边形．多于 7边的多边形

四边形类．正方形．矩形．非矩形的平行四边形．等腰梯形．非等腰的梯形．直角梯形

问题：正方体的截面中是否可能出现

B1

M1

B4p

A4

B3

A3

M2

M4M5

B2

M3

M6

A1

A2

A3

选做：其他自己提出的与本问题相关的开放的子课题：

• 如：• 1．最大面积的截面三角形是怎样的？

2．最大面积的截面四边形是 怎样的？

3．最大面积的截面形状是 怎样的？

数学微科研的选题 2

• 案例 3 ：学习完基本轨迹后：• -----平面上一个动点到两个定点的距离之和为定值 2a (a>c,2c 为两个定点之间的距离 ) 的轨迹是… .

• ----- 自己该“之和”为之差、之积、之商、之比为定值。

• -----把平面上“去掉”结果如何？

数学微科研的选题 3

• 2. 变维的思考方式：变维类比 直线方程 ax+by+c=0, 平面方程是？ 点到直线的距离， --- 点到平面的距离 圆的方程， ---- 球的方程 圆的切线方程， ----- 球的切平面方程 两圆的公弦方程， -----两球的？ 圆的切点弦方程， ----- 球的？

数学微科研的选题 4

• 3. 由近及远的提出解决问题。• 数学实验的问题：• 不动点的产生原因

玩计算器的收获

高中：按一个数字如 80 ，然后反复按“ cos”键 53 次以上：显示固定在：

0.739085133 按一个任意数字如“ 2009” ，然后反复按开方键， 26 次 8 位计算器显示为为 1.0000000 ； 33 次 10 位计算器显示为 1

发现什么？学生论文 “不动点的奥秘 ”

数学实验室• 1 。计算器上连续按一个键几十次，后果如何？

对不同结果的解释。• 例如： 5-- 》开方键连按几十次 变成 “ 1”

• 80--》 “ cos”键连按 40余次 变成“ 0.7390851”

• 哪些键有这样的功能？哪些键没有这样的功能？• 探索发现“不动点”的性质• 2 。折纸中的探索• 3 。模拟monte-carlo技术，求面积和体积

花数的产生和性质• 1 。“花数”有多少个？• 153=13+53+33 ， 1634=14+64+34+44

• 912985153=99+19+29+99+89+59+19+59+39

• 花数举例： 1 ， 2 ， 3 ， 370 ， 371 ， 9474 ， 54748 ， 548834

• 11512219018763992565095597973971522401 （ 39位数）

漩涡与黑洞• 数字的平方漩涡： 2009=>85 =>

• 89 =>145 => 42=>20 => 4=> 16=>37 =>58 => 89 =>145 => 42=>20 => 4=> 16=>37 =>58 …..

• 68=>100 =>1 => 1=> 1=>1 =>1….

• 数字的立方漩涡 :2009 =>737 => 713=>371 =>371=> 371=>37 1=>……

数学的“微科研”• 4. 小题当大题做 : 例三角形三边成等差数列后，可能出现的结论

• 学生倪卫平的结果： 1. tg(A/2)tg(C/2)= 1/3• 2. cosA+2cosB+cosC=2• .....11.各边所对应的高线成调和数列• .....14 ：三角形面积 = 0.75b2 tg(B/2)• ...... ( 有 17条结论）

数学的“微科研”• 3 。构造使得“欧拉公式 v+f-e=2”不成立的多面体

• 4 。模拟三角形，猜想三棱锥的性质• 5 。模拟圆的方程，猜想球的方程及其性质

• 6 。 ......

建议

• (1) 经常阅读有关数学的杂志 和数学网站 • (2) 多和同学讨论 • (3) 好学生是想问题、提问题多的学生• (4) 和自己的老师交流、了解”问题的可做性” . • (5) 做好每个问题及其解决过程的记录。这种资料对于今后

的教学设计和教学研究都有重要的价值。