以時間序列分析法偵測台灣一等一級水準網之殘留系統誤差

Detecting Remained Systematic Errors In The First-Order

ClassⅠLeveling Network of Taiwan By Using Time series

指導教授：許榮欣 學生：林曾進

一、前言 從上次方差分析法的成果中發現，經由消除系統誤差

改正後之台灣一等一級 (2001)水準網仍含有明顯之殘留系統誤差存在，表示系統誤差仍無法完全移除而殘留下來。方差分析法僅在所有觀測量均獨立不相關呈常態分佈的情況下才能符合，但現實情況下獨立不相關的情形是難以存在的。

方差分析法雖能偵測出系統誤差，但卻無法明確指出系統誤差隱藏在何測線及測段內，因此此研究試圖以時間序列分析法進一步分析找出系統誤差可能隱藏在哪些測線及測段內。

二、時間序列分析法 一組觀測值 ，若沿著時間先後有順序地產

生，則稱此組觀測值為一時間序列，而正整數 N 被稱為時間序列的長度 [ 葉小蓁， 1998]。

任一時間序列均可延著時間軸作其對應的時間序列圖，如圖 1 。

NXXX ,...,, 21

圖 1 時間序列 [ 葉小蓁， 1998]

2-1 自我共變數 (Autocovariance)

在一穩定隨機過程 中，分別取第 i 期與第 i+j 期之隨機變數 Xi ， Xi+j

定義 則 即為此隨機過程的自我共變數 其中 ， 被稱為自我共變數函數 (Autocovariance

Function) [葉小蓁， 1998] 。

1iiX

)X,Xcov( jiij j

1i ,......}2,,1,0{j

1jj

2-2 自我相關係數 (Autocorrelation)

延續自我共變數之定義，定義自我相關係數

(1)

則 被稱為第 j 期差之自我相關係數 (The jth -lag Autocorrelation) ，且 被稱為自我相關函數 (Autocorrelation Function) ，簡稱 ACF [ 葉小蓁， 1998]。

021

)]var()[var(

),cov(

j

jii

jiij

XX

XX

1iiX

j

圖 2 ACF

2-3 自我相關係數應用於水準網 假設測量水準網內各測段之閉合差屬於互相獨立不相關

之隨機過程，為了描述此隨機過程，必須假設此隨機過程之平均值及變異數為一固定常數，則 (1)式可改寫成：

， (2)

其中 i 表第 i 條測線， j 表第 j 條線段，每條測線共有 Ki個線段， Dij 表第 i 條測線第 j 條線段之閉合差[Hsu, 1996] 。

s 為 lag 數，代入 (2)式 即表示在測線 i 中之某 j 線段與下 s 個線段之相關係數。

21

)]var()[var(

),cov()(

ilij

iliji

DD

DDs

is)(

sjl

Kj i

,....2,1

三、實驗研究與成果 2001年的台灣一等一級水準網有 26條測線， 17個待定高程，以

基隆市民族英雄公墓內之 K999水準點 ( 高程為 5.66883m)為固定點 ( 圖 1) [許榮欣、鄞守毅， 2003]。

圖 3 台灣一等一級 (2001)水準網

3-1 自我相關係數應用於台灣一等一級(2001)水準網 將自我相關係數應用在台灣一等一級 (2001)水準網

之各獨立測線，共 26條測線。計算各測線內之測段閉合差之相關係數 [Hsu, 1996] ，可將 (2)式改寫成：

， (3)

其中 i =1~26，每條測線共有 Ki 個線段， Dij 表第 i 條測線第 j 條線段之閉合差。

2)(

))(()(

iij

iiliiji DD

DDDDs

sjl

Kj i

,....2,1

s 為 lag 數，由於相鄰太遠的測段其閉合差之相關係數可能無實質上的意義，故原則上 lag 數最多至 3 或 4 即可，但未免有特殊情形產生影響閉合差，故在此將 lag 數提高至 7 ，而製成各獨立測線內之線段閉合差相關係數表。

將每條測線之線段閉合差相關係數再繪製成相關係數折線圖，以分析線段間閉合差相關情形，以五條測線為一單位製成一圖，如圖 4~ 圖 9 。

1~ 5 測線 測線 相關係數折線圖

-1

-0.5

0

0.5

1

1 2 3 4 5 6 7

Lags

相關

係數

Line_1

Line_2

Line_3

Line_4

Line_5

6~ 10 測線 測線 相關係數折線圖

-1

-0.5

0

0.5

1

1 2 3 4 5 6 7

Lags

相關

係數

Line_6

Line_7

Line_8

Line_9

Line_10

圖 4 測線 1~測線 5 之相關係數折線圖

圖 5 測線 6~測線 10之相關係數折線圖

11~ 15 測線 測線 相關係數折線圖

-1

-0.5

0

0.5

1

1 2 3 4 5 6 7

Lags

相關

係數

Line_11

Line_12

Line_13

Line_14

Line_15

16~ 20 測線 測線 相關係數折線圖

-1

-0.5

0

0.5

1

1 2 3 4 5 6 7

Lags

相關

係數

Line_16

Line_17

Line_18

Line_19

Line_20

圖 6 測線 11~測線 15之相關係數折線圖

圖 7 測線 16~測線 20之相關係數折線圖

21~ 25 測線 測線 相關係數折線圖

-1

-0.5

0

0.5

1

1 2 3 4 5 6 7

Lags

相關

係數

Line_21

Line_22

Line_23

Line_24

Line_25

26 測線 相關係數折線圖

-1

-0.5

0

0.5

1

1 2 3 4 5 6 7

Lags

相關

係數

Line_26

圖 8 測線 21~測線 25之相關係數折線圖

圖 9 測線 26之相關係數折線圖

3-2 線段間相關係數之統計檢定 依據統計中假設檢定之八大步驟進行線段間相關係數之檢驗

[Montgomery, 2004]，檢定步驟如下：1. The interest parameter is

2. H0:

3. H1: 4. α=0.055. The test statistic is

[Abraham, 1983] (4)

6. Reject region: if Z0 (s) i > 1.96 or Z0 (s) i < -1.96, reject H0:7. Computation: Results show as table-3.

8. Conclusion: Because we can find some Z0 (s) i > 1.96 or Z0 (s) i < -1.96, we reject H0 and conclude at 0.05 level of significance that there are some systematic errors in the first order leveling network of Taiwan .

iii KssZ )()(0

0)( is0)( is

is)(

0)( is

3-3 成果與分析(1) 自我相關係數 理論上相鄰越遠之線段其間相關性會越來越低，不論

是正相關或負相關，隨著 lag 數的增加相關係數最後均會歸為一定值 0 。由自我相關係數製成相關係數折線圖可發現，大多測線的相關係數由 lag-1 、 lag-2 、 lag-3 到 lag-4 會慢慢震盪並趨近於一穩定值 0 ，除了第一條測線，其相關性均很高，表示第一條測線仍存在明顯的系統誤差，但仍可發現相關係數也是慢慢下降當中。

有些測線在 lag-5 後仍會不規律的跳動，也許是系統誤差所造成，可在以後研究中再進行分析。但可預測由系統誤差所造成之可能性不大，因通常某線段與其之後第 5 線段可能無明顯之相關性。

3-3 成果與分析 -續(2) 統計檢定 相關係數經統計檢定大於 1.96或小於 -1.96 則否定零假說，其不合格的線段間 lags 包括：

測線 1 的 lag-1~ lag-7 ，測線 4 的 lag-6 ，測線 5 的 lag-1 、 lag-4

測線 7 的 lag-2 ，測線 9 的 lag-4 測線 18的 lag-1 、 lag-2 測線 23的 lag-4 ，測線 25的 lag-2 、 lag-7 測線 26的 lag-1

不合格之線段 lags 統計檢定均於附表 3 中以灰色網底標註之。這些不合格的統計檢定值即代表其 lags 間有明顯的相關性，亦即可能含有系統誤差在其中。

四、結論與討論 以時間序列分析法偵測出可能含有系統誤差之測線包括測線 1 、測線 4 、測線 5 、測線 7 、測線 9 、測線 18、測線 23、測線 25及測線 26。

偵測出這些有問題的測線後，下個階段則為以「線性迴歸分析」試圖找出可能造成系統誤差的原因，可能原因非常多，包括測段長度、各測段擺站數、各測段施測環境之平均溫度、各測段測回數、視準軸誤差、折射誤差、地球曲率、尺長溫度改正、量測重力值及正高改正等等。

四、結論與討論 - 續

要找出其相關關係並不易，且為往後研究之重點，可由此次「時間序列分析」之統計檢定出有問題測線內之 lags 開始著手，其明確指出某測線內多少 lag 的情況下有高度相關，則殘餘的系統誤差可能隱藏在其中，將結果與手邊所能得到最完整的資料進行比對分析，並找出合適的迴歸模式套合之，希望能順利進行得到成果。

五、參考文獻1. Hsu, R. , 1996. ”Application of Statistical Techniques to The

First Order Levelling Network of Taiwan for Detecting Remained Non-random Effects”, Survey Review 33 , pp. 316-324.

2. Montgomery C., Runger C. & Hubele F., 2004, Engineering Statistics, 3rd Ed., John Wiley & Sons, Inc. , pp.145.

3. Abraham, B. & Ledolter, J., 1983. Statistical Method for Forcasting. John Wiley & Sons, New York, pp.63.

4. 許榮欣、鄞守毅， 2003 ，“以定相關加權模式實施台灣一等一級水準往平差計算”，第廿二屆測量學術及應用研討會， pp.313-320 。

5. 葉小蓁， 1998 ，時間序列分析與應用， pp.2-8 。

附表 2

水準網測段資料之相關係數

附表 3

水準網測段資料之相關係數統計檢定