Гиперкомплексные числа

Самарский Государственный Аэрокосмический Университет

имени академика С.П. Королева(национальный исследовательский университет)

2 марта 2012г.

Выполнил:студент 515 группыБонячук АлександрНаучный руководитель:доц. Цейлер В. И.

2

Комплексные числа

(1)

(2)

(3)

(4)

(3')

3

Требования, предъявляемые к умножению:

• Произведение действительного числа k=k+0i+0j на произвольное число

z=a+bi+cj должно равняться ka+kbi+kcj• Должно выполняться равенство

где а и b — произвольные действительные числа

• Должен выполняться распределительный закон как в форме

так и в форме

(4)

Так вышло, что невозможно задавать числа вида a+bi+cj без потери свойствв. При любом правиле умножения чисел a+bi+cj , удовлетворяющем выше перечисленным условиям найдется хотя бы одна пара чисел

(5)

4

Кватернионы

рис. 1

5

Деление кватернионов

Таким образом мы установили два наиболее важных свойства системы кватернионов:1) для умножения кватернионов справедлив сочетательный закон; 2) кватернионы — система с делением.Еще одно важное свойство кватернионов состоит в том, что модуль произведения равен произведению модулей:

6

Для каких n найдется тождество «произведение суммы n квадратов на сумму n квадратов равно сумме n квадратов»? При n = 1 решение приходит сразу:При n = 2 и n = 4 ответ, тоже является положительным А. Гурвиц, доказал удивительную теорему: тождества интересующего нас типа возможны только при n = 1, 2, 4, 8 и невозможны ни при каких других п.

7

Числовая и векторная части кватерниона

8

Гиперкомплексные числа(6)

(6)

9

Октавы

умножение:

деление:

(7)

(8)