一、球的概念一、球的概念 问题问题 11 ：：圆的定义？

答：在一个平面内到一个定点的距离为定长的点的集合是一个圆．

问题问题 22 ：：在空间内到一个定点的距离为定长的点的集合是什么？

答：是球面．问题问题 33 ：：那什么叫球体呢？球体又会有哪些性质呢？

球球 :: 与定点的距离等于或小于定长的所有点的集合与定点的距离等于或小于定长的所有点的集合叫做球体叫做球体 ,, 简称球简称球 .(.( 球面所围成的几何体）球面所围成的几何体）

球的直径

球的半径

定点叫做球心 ; 定长叫做球的半径 .定点叫做球心 ; 定长叫做球的半径 . 一个球用表示它的球心的字母来表示 ,

例如 : 球 O. 一个球用表示它的球心的字母来表示 ,

例如 : 球 O.

R O

球心

O

用一个平面去截一个球 , 所得截面是什么图形？

圆面

OO

αα

（ 1 ）、球心和球的截面圆心的连线与截面有什么关系 ?（ 1 ）、球心和球的截面圆心的连线与截面有什么关系 ?

（ 2 ）、球的半径 R, 球心到截面的距离 d 和截面圆的半径 r之间满足什么关系 ?（ 2 ）、球的半径 R, 球心到截面的距离 d 和截面圆的半径 r之间满足什么关系 ?

22dR r

垂直垂直

OO

CC

PP

RR dd

rr

二、球的性质二、球的性质

球面被经过球心的平面所截得的圆叫做大圆

球面被经过球心的平面所截得的圆叫做大圆

d球面被不经过球心

的截面所截得的圆

叫做小圆

球面被不经过球心

的截面所截得的圆

叫做小圆

o

OO

CC

例 1. 在半径是 13cm 的球面上有 A,B,C 三点 , AB=BC=CA=12cm, 求球心到经过这 三点的截面的距离 .

O

EEA

B

C

RR

rr

dd

练习 1 ：经过球面上两个不同的点，可以得到多少个大圆（　）Ａ．１个　　　　　　　　Ｂ．１个或无数个C ．２个　　　　Ｄ．２个或无数个

练习 1 ：经过球面上两个不同的点，可以得到多少个大圆（　）Ａ．１个　　　　　　　　Ｂ．１个或无数个C ．２个　　　　Ｄ．２个或无数个

BB

课堂练习一课堂练习一

2 、判断正误：（对的打√，错的打 ×）(1) 半圆以其直径所在直线为轴旋转一周所成的曲面叫球。(2) 到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球 . (3) 球的小圆的圆心与球心的连线垂直于这个小圆所在平面。(4) 球的半径是 5 ，截面圆的半径为 3，则球心到截面圆所在平面的距离为 4。

2 、判断正误：（对的打√，错的打 ×）(1) 半圆以其直径所在直线为轴旋转一周所成的曲面叫球。(2) 到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球 . (3) 球的小圆的圆心与球心的连线垂直于这个小圆所在平面。(4) 球的半径是 5 ，截面圆的半径为 3，则球心到截面圆所在平面的距离为 4。

×

×

√

√

二、经线和纬线经线：地球面从北极到南极的半个大圆。纬线：赤道及与赤道平面平行的截面截地球面所 得的小圆。

二、经线和纬线经线：地球面从北极到南极的半个大圆。纬线：赤道及与赤道平面平行的截面截地球面所 得的小圆。

南极

北极

经线

纬线

0°

赤道

A B

C

O

某点纬度： 经过该点的球半径与 赤道面所成的角的度 数 (等于球半径和纬线 圈所在平面的半径的 夹角 )。 B

AC

O

RR

rrθ θ

θ θ

说明：小圆半径 r 与球半径 R 及纬度的关系r =R · cosθ

某地的经度：某地的经度：经过这一点的经线与地轴确定的半平面与 0o 经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数经过这一点的经线与地轴确定的半平面与 0o 经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数

O

A

B

P

地

轴

赤道

本初

子

午

线

北 极

1.1. 地球的纬度地球的纬度 赤道是一个大圆，赤道是一个大圆， 其它的纬线都是小圆其它的纬线都是小圆 ..

某点的纬度就是经某点的纬度就是经过这点的球半径与赤过这点的球半径与赤道面所成角的度数道面所成角的度数 ..

由地理知识知： AOPAOP 的度数的度数为 P 点纬度 .

地

轴

赤 道

北极

P

A

O

经度纬度

由地理知识知： AOBAOB 为 P 点所在经线的经度 .

某点的经度是经过这点 的经线和地轴确定的半平面与 0 度经线 ( 本初子午线) 和地轴确定的半平面所成二面角的度数 .

地球的经线就是球面上从地球的经线就是球面上从北极到南极的半个大圆北极到南极的半个大圆 ..

2. 地球的经度本

初子

午

线

地

轴

赤 道

北极

P

A

B

O

经度纬度

课堂练习二课堂练习二已知球的半径为 25cm, 被两个平行平面所截 , 两个截面的面积分别 49πcmcm22 和和 225225πcmcm22,, 求两个截面之间的距求两个截面之间的距离离 ..

已知球的半径为 25cm, 被两个平行平面所截 , 两个截面的面积分别 49πcmcm22 和和 225225πcmcm22,, 求两个截面之间的距求两个截面之间的距离离 ..

三、球面上两点间的距离三、球面上两点间的距离

思考 1 ：平面上两点间的最短距离是连结这两点的线段的长度，而球的表面是曲面，球面上 P 、 Q 两点间的最短距离显然不是线段 PQ 的长度，那是什么呢 ?

球面上两点间的距离球面上两点间的距离

思考思考 2:2:

夏威夷群岛夏威夷群岛

阿拉斯加阿拉斯加

洛山矶洛山矶

上海上海

问 : 飞机从上海经过阿拉斯加飞到洛山矶却比直接从上海经过夏威夷的飞行距离少 800 千米，这是为什么 ?问 : 飞机从上海经过阿拉斯加飞到洛山矶却比直接从上海经过夏威夷的飞行距离少 800 千米，这是为什么 ?

南极

北极

0°

AB

O1

O

上海上海

阿拉斯加阿拉斯加

洛山矶洛山矶夏威夷群岛夏威夷群岛

P

Q

两点间的球面距离

P

Q

两点的球面距离 .: 球面上两点之间最短连线的长度 , 就是经过这两点的大圆在这两点之间的一段劣弧的长度 , 我们把这个长度叫做两点的球面距离 .

A B

O

Cr r

R

例 3. 设地球 O 的半径为 R, P,Q 是地球球面上两点 , P 在北纬 45° 东经 20 °,Q 点在北纬 45 ° 东 经 110 °, 求 P,Q 两点的球面距离 .

QP

C

O

R

r

∠PCQ=110° － 20°=90°∠POQ 即为所求球心角 , 只须求出 PQ 长度 , 根据余弦定理即可求出∠ POQ

P Q

O

Cr r

R

思考题：思考题：

11 、在北纬、在北纬 4545oo 圈上有圈上有 AA 、、 BB 两点，设该纬度两点，设该纬度圈上圈上 AA 、、 B B 两点的劣弧长为 两点的劣弧长为 ,, 求求 AA 、、BB 两点的球面距离。两点的球面距离。

3R

2 、设地球半径为 R ，若甲地位于北纬 4545°°

东经东经 120120°° ，乙地位于南纬，乙地位于南纬 7575°° 东经东经 120120°° ，，求甲乙两地的球面距离。求甲乙两地的球面距离。

2 、设地球半径为 R ，若甲地位于北纬 4545°°

东经东经 120120°° ，乙地位于南纬，乙地位于南纬 7575°° 东经东经 120120°° ，，求甲乙两地的球面距离。求甲乙两地的球面距离。

2

3R

课堂小结 :1. 球及球面的概念；2. 大圆、小圆的概念；3. 球的性质：① 截面的形状 ( 圆 )② 垂直关系和数量关系4. 地球经纬度的含义5. 两点的球面距离

作业：作业：