数论主要内容： 筛法求素数 欧几里德算法求最大公约数 扩展欧几里德算法 模线性方程的解法 模线性方程组

整除与约数 对于整数 d 和 a ，如果存在整数 k 使得 a=k*d ，

我们就说 d 能整除 a ，记为 d|a （读作 d 整除 a）

例如，因为 24=3*8 所以 3 能整除 24 ，记为 3|24 如果 d|a ，并且 d>0 ，则称 d 是 a 的约数。

例如， 24 的约数有 1 、 2 、 3 、 4 、 6 、 8 、 12 、 24.

每个整数 a 都可以被其平凡约数 1 和 a 整除， a 的非平凡约数也称为 a 的因子。

素数与合数

对于某个大于 1 的整数 a ，如果它仅有平凡约数 1 和 a 则称 a 是素数（或质数）。否则称 a 是合数。

素数有 2 ， 3 ， 5 ， 7 ， 11 ， 13 ， 17 ，19 ， 23 ， 29 ， ···

素数有无穷多个

素数的应用 唯一素因子分解定理：合数 a 仅能以一种方式，

写成如下的乘积形式： a=p1e1p2

e2…prer

其中 pi 为素数， p1<p2<…<pr ，且 ei 为正整数 如果正整数 n 分解质因子的结果为 n=p1

e1p2e2…p

rer ，

则 n 的约数个数为 : (e1+1)*(e2+1)*…*(er+1) 。所有约数之和为： (1+p1+p1

2+…+p1e1)*(1+p2+p2

2

+…+p2e2) *…*(1+pr+pr

2+…+prer)

素数的判定

对于大于 1 的正整数 a ，如果 a 具有小于或等于 sqrt （ a ）的素因子，则 a 为合数，否则 a 为素数。

因此，可用区间 [2,sqrt(a)] 内的数去试除a ，只要有一个数能整除 a ，则 a 为合数，否则 a 为素数。这种判断素数的方法就是试除法。

复杂度 O(sqrt(n)).

试除法

IsPrime(a)for(i=2;i*i<=a;i++)

if(a%i==0) return a 为合数

return a 为素数

筛法求素数 如果要判断一个区间内的数是否为素数，也可用

筛法求素数。 算法思想：

1) 将所有候选数 2~n 放入筛中 ; 2) 找出筛中最小数 P ， P 一定为素数。 3) 宣布 P 为素数，并将 P 的所有倍数从筛中筛去 ; 4) 重复 2) 至 3) 直到筛空 .

其实，当 P>sqrt(n) 时筛中剩下的数就已经都是素数了。

筛法求素数// 用数组 prime[MAXN] 记录是否为素数；//prime[i] 为 0 表示 i 为素数，否则为合数

int prime[MAXN]={0};for(i=2;i*i<=n;i++)

{if(prime[i]==0){

for(j=i+i;j<=n;j+=i)prime[j]=1;

}}

因式分解 tn=n; for(i=2;i*i<=n;i++)// 试除 2~sqrt(n) if(tn%i==0){// 如果能被 i 整除 p[++cnt]=i;// 保存底数 e[cnt]=0;// 保存指数 while(tn%i==0){// 计算指数 e[cnt]++; tn/=i; } } } if(tn>1){// 存在大于 sqrt(n) 的素因子 p[++cnt]=tn; e[cnt]=1; }

例题一： Goldbach's Conjecture(TOJ1171)

题目描述： 对于输入的偶数 n(6≤n<1000000), 是否

可以表示为两个奇素数之和。如果可以表示，输出表达式，否则输出 "Goldbach's conjecture is wrong."

例题一： Goldbach's Conjecture(TOJ1171)

Sample Input 8 20 42 0

Sample Output 8 = 3 + 5 20 = 3 + 17 42 = 5 + 37

例题一： Goldbach's Conjecture(TOJ1171)

假设两个奇素数中较小的一个为 a ， 让 a 从 2 取到 n/2 ，如果 a 取到某个值时

a 与 n-a 都为素数，则此时的 a 与 n-a 的值便是所求。

如果最终找不到满足条件的 a 则无解，输出“ Goldbach‘s conjecture is wrong.” 即可。

因此可以用筛法预先计算出 2~1000000内的素数，然后判断即可

最大公约数与最小公倍数 d 是 a 的约数并且也是 b 的约数，则 d 是 a

与 b 的公约数。 两个不同时为 0 的整数 a 和 b 的最大公约数

表示为 gcd(a, b) 。 如果 d 既能被 a 整除也能被 b 整除，则 d

是 a 与 b 的公倍数， a 与 b 公倍数中最小的叫 a 与 b 的最小公倍数，表示为 lcm(a,b).

gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b 最大公约数为 1 的两个数互质

最大公约数的求法 GCD 递归定理：

对任意非负整数 a 和任意正整数 b ，有gcd(a, b) = gcd(b, a mod b) 。

最大公约数的求法 欧几里德算法（也叫辗转相除法）：

EUCLID(a, b) if b = 0 then return a else return EUCLID(b, a % b)例如 :

gcd(18,24)=gcd(24,18)=gcd(18,6)=gcd(6,0) =6

算法复杂度 O(lg(b))

欧几里德算法

int gcd(int a,int b){

if(b==0)return a;

return gcd(b,a%b);}

扩展欧几里德算法

通过欧几里德算法我们不仅能求出 a 与 b的最大公约数，

还可以改写欧几里德算法，求出整数 x 和y 使得 gcd(a,b)=ax+by

扩展欧几里德算法 设 a’=a mod b= a-b*floor(a/b);

假如我们通过递归得到了 gcd(b,a’)=b*x’+a’*y’的 x’,y’的值，则因为 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b )=gcd(b,a’);有等式 gcd(a,b)=b*x’+a’*y’

代入 a’可以得到 gcd(a,b)=b*x’+(a-b*floor(a/b))*y’即 gcd(a,b)=a*y’+b*(x’-floor(a/b)*y’)所以只要将 gcd(a,b)=a*x+b*y中的 x换为 y’,y 换为x’-floor(a/b)*y’即可，

同时我们有递归的基本情形 gcd(a,0)=a*1+b*0.

扩展欧几里德算法 1. EXTENDED-EUCLID(a, b) 2.if b = 0 3. then return (a, 1, 0) 4.(d’,x’,y’) ←EXTENDED-EUCLID(b, a%b) 5.(d, x, y) ←(d’, y’, x’–(a/b) * y’) 6.return (d, x, y)

扩展欧几里德算法 int ext_gcd(int a,int b,int &x,int &y) { if(b==0) { x=1; y=0; return a; } int d=ext_gcd(b,a%b,x,y); int tx=x; x=y; y=tx-a/b*y; return d; }

例题二： A famous math puzzle (TOJ2219)  

题目描述： 有 n 个壶，和无穷多的水．每次我们只能： １．把其中一个壶灌满． ２．把其中一个壶倒空． ３．把一个壶中的水倒入另一个壶中，直到一个壶为空或者另一个壶已经满了为止．

给定一个体积Ｗ，问能否经过若干次倒水后使得最终有一个壶中只剩下Ｗ升水？如果能，输出”YES”, 否则输出” NO”

例题二： A famous math puzzle (TOJ2219)  

Sample Input: 2 4 5 6 2 10 65 39 2 12 4 8 3 9 10 35 14 0 0

Sample Output: YES NO NO YES

例题二： A famous math puzzle (TOJ2219)  

要使 n 个水壶能倒出 w体积的水，则必须符合以下两个条件：

１．至少有一个水壶的容量大于或等于 w. ２．假设 p 是 n 个水壶容量的最大公约数，那么 w必须 p 的倍数．

例题二： A famous math puzzle (TOJ2219)  

假设 n 个水壶的容量分别为 C1,C2,C3…..Cn. 必要性：不管执行三种操作的那一种，壶中所含

的水一定是Ｐ的整数倍． 充分性：由欧几里德算法扩展可知，必然存在整

数 A1,A2,A3…..An, 使得　 A1*C1+A2*C2+A3*C3+…+An*Cn=W. 如果 Ai 是正数，我们就用第 i 个壶从水源中取 Ai次水；如果 Ai 为负数，我们就把第 i 个壶倒空 Ai次，这样最后必会剩下Ｗ升水

同余的概念

两个整数 a ， b ，若它们除以整数 m 所得的余数相等，则称 a ， b 对于模 m 同余记作 a ≡ b (mod m) 读作 a 与 b关于模m 同余。

模的相关运算

(x+y)mod n=((x mod n)+(y mod n)) mod n

(x-y)mod n=((x mod n) - (y mod n)) mod n

x*y mod n = (x mod n)*(y mod n) mod n

乘法逆元

若 ax≡1(mod n) 则称 a 对 n 的乘法逆元为 x , 记为 a-1(mod n)

设 b 为整数，如果 a 对 n 的乘法逆元为 x ，则b/a(mod n) =b*a-1 (mod n)

乘法逆元并不总存在，如 2x ≡ 1(mod 4).

模线性方程 ax≡b(mod n) 为模线性方程， x 为未知数。 定理一：设 d=gcd(a, n) ，假定对整数 x’和y’，有 d=ax’+ny’。如果 d|b ，则方程 ax ≡ b(mod n) 有一个解的值为 x0 ，满足 x0=x’(b/d)mod n 。

定理二：假设方程 ax ≡ b(mod n) 有解（即有 d|b ，其中 d=gcd(a, n) ）， x0 是该方程的任意一个解，则该方程对模 n恰有 d 个不同的解，分别为： xi=x0+i(n/d)(i = 1, 2, …, d-1) 。

模线性方程的解法

1. SOLVE(a, b, n)2. (d,x’,y’) ←EXTENDED-EUCLID(a, n)3. if (d | b)4. then x0 ←x’(b/d)mod n5. for i ←0 to d-16. print(x0 + i(n / d)) mod n7.else print “ 无解”

例题三： C Looooops (TOJ 2297)

题意描述：对于以下循环语句 for (variable = A; variable != B; variable+= C)

statement; 如果给定 A ， B， C ， k 的值， statement语句会执行多少次，假设其中所有变量都是 k位无符号整数类型，（ 1 ≤k ≤32 ）

如果此循环语句不会停止，输出” FOREVER” ，否则输出执行次数。

输入数据以 4 个 0 结束

例题三： C Looooops (TOJ 2297)

Sample Input 3 3 2 16 3 7 2 16 7 3 2 16 3 4 2 16 0 0 0 0

Sample Output 0 2 32766 FOREVER

例题三： C Looooops (TOJ 2297)

因为所有变量都是 k位无符号整数类型，当语句执行 X次后，变量 variable 的值变为

(A+C*X)(mod 2k)所以当

(A+C*X)(mod 2k)=B(mod 2k) 时循环停止，化简得 C*X≡(B-A)(mod 2k),解模线性方程求出所有 X ，如果有解，输出

最小的正整数解即可，否则输出“ FOREVER” 。

模线性方程组

例子：（孙子算经）今有物不知其数。三三数之余二；五五数之余三；七七数之余二。问物几何？答曰：二十三。23≡2*70+3*21+2*15(mod 105)口诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，

七子团圆月正半，除百零五便得知。

模线性方程组中国剩余定理：设自然数 n1,n2,…nr 两两互素，并记 N=n1n2…nr ，则同余方

程组

在模 N 同余的意义下有唯一解。X≡(a1c1+a2c2+…+arcr)(mod N)其中， ci=mi*(mi

-1mod ni),mi=N/ni

因为 Xmod ni=(a1m1m1-1+a2m2m2

-1+…+armrmr-1) mod ni

=(aimimi-1 )mod ni=aimod ni

)(mod

)(mod

)(mod

22

11

rr naX

naX

naX

中国剩余定理 // 计算 X mod ni = ai (i = 1...k) int China(int k, int a[], int n[]){ ans = 0; N = 1 for(i = 0; i < k; i++){ N *= n[i]; } for(i = 0; i < k; i++){ m = N / n[i]; ext_gcd(m % n[i] , n[i] ,x, y); ans += a[i] * m * (x % n[i]); ans %= N; } if(ans<=0)ans+=N; return ans; }

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