ЛОГИЧЕСКИ ЗАДАЧИ

• ПРЕДЛАГАМ НА ВАШЕТО ВНИМАНИЕ НЯКОЛКО ИЗВАДКИ ОТ СБОРНИЦИТЕ НА г-н ИВАН ГАНЧЕВ

• КЪМ ЗАДАЧИТЕ СЪМ КОПИРАЛ И ОТГОВОРИТЕ И РЕШЕНИЯТА ИМ, НО ВИ ПРЕДЛАГАМ ПЪРВО САМИ ДА ГИ РЕШИТЕ ,А ПОСЛЕ ДА СРАВНИТЕ ОТГОВОРИТЕ СИ С ТЯХ.

• ПРИЯТНИ ЗАНИМАНИЯ !

• 70.В торба има 5 бели и 5 черни топки. След колко изваждания по една топка е сигурно, че ще са извадени 2 топки с еднакъв цвят?

• 71. В едно чекмедже в тъмна стая има 24 червени чорапа и 24 сини чорапа. Колко чорапа най-малко трябва да се извадят от чекмеджето, за да е сигурно, че ще бъдат извадени два чорапа с еднакъв цвят?

• 72. В едно чекмедже в тъмна стая има 30 червени и 30 сини чорапа. Колко чорапа най-малко трябва да се извадят от чекмеджето, за да е сигурно, че ще бъдат извадени:

• а) 3 чорапа с еднакъв цвят; б) 4 чорапа с еднакъв цвят; в) 5 чорапа с еднакъв цвят; г) 15 чорапа с еднакъв цвят; д) 29 чорапа с еднакъв цвят?

• •

73. Една баба оплела и комплектувала 3 чифта сини и 5 чифта кафяви чорапи. Решила да подари от тях по един чифт

• на двете си внучета. За да не се сърдят внучетата, чорапите трябвало• да бъдат еднакви по цвят. Една вечер в стаята нямало осветление.

Най-малко колко чифта чорапи трябва да вземе бабата, за• да е сигурна, че сред тях поне два чифта са еднакви по цвят?• 74. В торба се слагат 10 чифта еднакви черни и 10 чифта еднакви

кафяви ръкавици и се разбъркват добре. Колко• ръкавици най-малко трябва да извадим, за да сме сигурни, че ще• комплектуваме поне 1 чифт едноцветни ръкавици?•

• РЕШЕНИЯ :• 70.Решение. След 3 изваждания сигурно 2 от топките ще

бъдат с еднакъв цвят. Наистина, ако след първите 2 изваждания саизвадени черна и бяла топка, то при третото изваждане, ако сеизвади бяла, белите ще станат 2. Ако пък се извади черна топка, точерните ще станат 2.

• 71.Отговор. З чорапа.• 72.Отговор, а) 5 чорапа; 6)7 чорапа; в) 9 чорапа; г) 29

чорапа; д) 57 чорапа.• 73.Отговор. 3.• 74.Отговор. 21.• Решение. Може да се случи да извадим само две ръкавици и те

да образуват искания чифт, макар че това е малко вероятно. Ако сме решили да извадим к на брой ръкавици и к < 20 все още не можем да сме сигурни в нашия успех. Например при к=20 е възможно да сме попаднали на 10 черни леви (или десни) и на 10 кафяви леви (или десни) и все още не можем да образуваме истински чифт. Но ако к=20 и извадим още една ръкавица, очевидно тя ще образува едноцветен чифт с някоя от преди това извадените ръкавици. Следователно трябва да извадим 21 ръкавици, за да получим поне един чифт едноцветни ръкавици.

• 76.От страна на везните е сложен калъп сапун, а от• другата - три четвърти от също такъв сапун и още -4- кг.

Везните са в равновесие. Колко тежи 1 калъп сапун?•

77. Бутилка вино струва 1 лв. и половин бутилка вино.• Колко струват три бутилки вино?• 78. Риба и половина струват лев и половина. Колко лева

струват 5 риби?• 79. Една риба струва 1 лв. и половин риба. Колко струват 5

риби?• 80. Тухла тежи 2 кг и половин тухла. Колко килограма е

тухлата?• 81.Тухла тежи 2 кг и половин тухла. Колко тежат 5 тухли?

82. Тухла тежи 2 кг и половин тухла. Колко тежат 4 тухли?

•

• РЕШЕНИЯ : • 76.Отговор. З кг.• Решение. Една четвърт от калъпа сапун тежи 3/4 кг.• Следователно един калъп сапун ще тежи 3 кг.• 77.Отговор. 6 лв.• 78.Отговор. 5 лв.• Решение. Една риба струва 1 лв. Следователно 5 риби ще

струват 5 лв.• 79.Отговор. 10 лв.• Решение. Половин риба струва 1 лв. Следователно 1 риба

ще струва 2 л в., а 5 риби ще струват 10 лв.• 80.Отговор. 4 кг.• 81.Отговор. 20 кг.• 82.Отговор. 16 кг.• Решение. Половин тухла тежи 2 кг. Тогава една тухла ще

тежи 4 кг, а 4 тухли - 16 кг.•

• 91. Котка и половина за час и половина изяждат мишка и 'половина. Сто котки за сто часа колко мишки изяждат? 92. Ако две котки за два часа изяждат две мишки, то четири котки за четири часа колко мишки ще изядат?

• 93. Ако 3 котки за 3 часа изяждат 3 мишки, то:• а) 5 котки за 3 часа колко мишки ще изядат?• б) 5 котки за 6 часа колко мишки ще изядат?• в) 7 котки за 9 часа колко мишки ще изядат?• 94. Ако 4 котки за 3 часа изяждат 84 мишки, то 13 котки• за 11 часа колко мишки ще изядат?

95. Ако 4 котки за 3 часа изядат 84 мишки, то:

• а) 13 котки за колко часа ще изядат 1001 мишки?• б) колко котки за 11 часа ще изядат 1001 мишки?• 96.Котка и половина за час и половина изяждат мишка и половина. За

колко часа 5 котки ще изядат 100 мишки?• 97. Пет копачи изкопават за 5 часа 5 метра канавка. Колко копачи ще

потрябват, за да изкопаят за 100 часа 100 метра• канавка?• 9 8. .Кокошка и половина за ден и половина снасят яйце и половина.

Колко яйца ще снесат 4 кокошки за 9 дни?•

• РЕШЕНИЯ :• 91.Отговор. 6666 2/3• Решение. Понеже котка и половина за час и половина

изяждат мишка и половина, то една котка за час и половина ще изяжда една мишка, а за 1 ч ще изяжда 1/1,5мишки. Тогава 100 котки за 100 часа ще изяждат 100.100/1,5 мишки, т.е. 6666 2/3 мишки.

• 92.Отговор. 8 мишки.• 93.Отговор, а) 5 мишки: б) 10 мишки; в) 21 мишки.• 94. Отговор. 1001 мишки.• 95. Отговор, а) 11 часа; б) 13 котки.• 96. Отговор. За 30 ч.• Решение. От условието на задачата, следва че:• З котки изяждат 3 мишки за 1,5 часа. Тогава 3 котки изяждат

6 мишки за 3 часа. 1 котка изяжда 2 мишки за 3 часа. 5 котки изяждат 10 мишки за З часа. 50 котки изяждат 100 мишки за З часа.

• 97.Отговор. Ще трябват пак 5 копачи.• 98.Отговор. 24.• Решение Една кокошка снася едно яйце за ден и половина.

Следователно за 9 дни тя ще снесе 6 яйца, а за същите дни 4 кокошки ще снесат 24 яйца.

• 220.Една жена продавала кокошки на пазара. Дошъл купувач и купил половината от тях и още половин кокошка. След него дошъл втори. Той взел половината от останалите кокошки и още половин кокошка. Третият купувач купил половината от останалите кокошки и половин кокошка. Колко са били кокошките и по колко кокошки е купил всеки един от купувачите, ако след третия купувач на жената не останала нито една кокошка? 221 От кошница със сливи една жена взела половината и още 1, друга жена взела половината от останалите и още 1 и трета жена взела половината от последните останали и още 3 сливи, след което в кошницата не останали никакви сливи.

Колко сливи е имало първоначално в кошницата?• 222.Върви яйчар и продава яйца. На първата жена продал половината от яйцата в

кошницата и едно яйце. На втората жена - половината от останалите и едно яйце и на третата жена -половината от останалите и едно яйце. С това яйцата се свършили. Колко са били яйцата в кошницата и по колко е взела всяка жена? 223. Търговец минавал през три града. В първия град взели от него мито половината и една трета от имуществото му. Във втория град - половината и една трета от това, което му останало, а в третия град - половината и една трета от това, което вече му останало. Когато се върнал в къщи, той имал 11 монети. Колко монети е имал търговецът в началото?

• 224.Една майка купила от пазара ябълки. От тях две взела за себе си, а останалите разделила между тримата си синове

• така: На първия дала половината от всичките ябълки и половин ябълка. На втория дала половината от остатъка и още половин ябълка. На третия - половината от новия остатък и останалата половина от ябълките. Нито една от ябълките не била разрязана. Колко ябълки е купила майката от пазара и по колко е получил всеки от синовете й? 225.На група деца раздавали ябълки. Първото дете получава 1 ябълка и 1/10 от остатъка, второто дете - 2 ябълки и -1/10 от остатъка, третото - три ябълки и -1/10 от остатъка и т.н. Оказало се, че всички деца са получили по равен брой ябълки. Колко са били ябълките, ако децата са 9?

•

• РЕШЕНИЯ :• 220.Отговор. Кокошките са били 7. На първия купувач са

продадени 4 кокошки, на втория - 2 и на третия - 1 кокошка.• 221.Отговор. 30 сливи. (Вж граф схемата на фиг.70.)• 222. Отговор. 14 яйца (8; 4; 2).• Решението е дадено на граф-схемата на фиг.71. • 14:2-1=6 6:2-1=2 2:2-1=0• 223. Отговор. 2376 монети• Решение. Във всеки от по ½+1/3=5/6имуществото на

търговеца и му оставало по 1/6- от имуществото, с което е пристигал в този град. Като използваме това, получаваме граф-схемата на фиг.72.

• 2376 ^396^66• 2376:6=396 396:6=66 66:6=11 • 224. Отговор Майката е купила 9 ябълки. На първия дала

4, на втория - 2, на третия - 1 ябълка. Потърсете и други решения.

225.Отговор Ябълките са били 81.

• 243• Стопанин докарал във двора си няколко вола. В двора имало забити няколко кола. Ако на всеки кол се върже по вол, за един вол няма кол. Ако на всеки кол се вържат по два вола, един кол остава без никакъв вол. Колко кола имало забити в двора и колко вола е докарал стопанинът?

• 244.Над една градина летели врани. В градината имало дървета. Ако враните кацнат по една на дърво, за една врана няма да има дърво. Ако пък кацнат по две на дърво, едно дърво ще остане без врани. Колко са били враните и колко са били дърветата? 245.В една къща пристигнали сурвакари. Ако на всеки сурвакар стопанката даде по една ябълка, ще й останат три ябълки. Ако на всеки сурвакар даде по три ябълки, то ябълките няма да стигнат за три момчета. Колко са момчетата и колко са ябълките? 246.На едно дърво кацнали врабчета. Ако на всяко клонче кацнат по 4 врабчета, едно врабче, ще остане да лети около дървото. Затова кацнали по 5 врабчета на клонче. Тогава пък едно клонче останало без нито едно врабче. Колко са били врабчетата и колко са били клончетата? 247.Ученици отишли в градската градина. Решили да починат на пейките, но какво се получило. Ако седнат по 7 души на пейка, за двама няма пейка. Ако седнат по 8 на пейка, остават две празни места. Колко са учениците и колко са пейките?

• 248. Над една градина летели врабчета. В градината имало няколко дръвчета. Ако на всяко дръвче кацне по едно врабче, за 5 врабчета няма дръвчета. Ако пък кацнат по 3 врабчета на дръвче, за едно дръвче няма да има нито едно врабче. Колко са врабчетата и колко са дръвчетата?

• 249. В едно учреждение имало служебни мотоциклети с кошове. С тях трябвало да пътуват по работа няколко служители. Ако на всеки мотоциклет се качват по двама служители, един мотоциклет остава свободен. Ако с всеки мотоциклет пътуват по трима служители, 2 мотоциклета остават свободни. Колко са били мотоциклетите и колко - служителите?

• 250.На три дървета са кацнали общо 36 врабчета. Когато от първото дърво прелетели на второто 6 врабчета, а от второто прелетели на третото 4 врабчета, на трите дървета врабчетата останали по равно. Колко врабчета първоначално е имало на всяко дърво?

• РЕШЕНИЯ :• 243.Отговор. 4 вола и 3 кола.• Решение. Ясно е, че воловете са четен брой и са с един повече от коловете. Най-малкото

четно число е 2, но отговорът не може да бъде 2 вола и 1 кол. Следващото четно число е 4 и веднага се проверява, че воловете са 4, а коловете - 3.

• 244. Отговор. 4 врани и 3 дървета.• Ще отбележим, че тази задача се среща и в друга форма, като вместо врани се говори за

врабчета.• 245.Отговор. 6 момчета и 9 ябълки.• 246.Отговор. 25 врабчета и 6 клончета.• Решение. Ако с х означим броя на врабчетата, а с у - броя на клончетата, то задачата може да се

представи с граф схемата на фиг.80. Като използваме тази граф-схема можем да получим системата уравнения. (х-1):4=у (х:5)+1=у.

• Тогава (х-1):4=(х:5)+1, 5х-5=4х+20, х=25. у=х:5+1=25:5+1=6.• 247.Отговор. Пейките са 4, а учениците са 30.• 248.Отговор. 9 врабчета и 4 дръвчета.• 249.Отговор. 4 мотоциклета и 6 служители.• 250.Първоначално на трите дървета е имало 18, 10 и 8 врабчета.• Решение. Можем да разсъждаваме по няколко начина.• / начин. След двете прелитания на всяко от трите дървета е имало по равен брой врабчета, т.е. по 12.

Следователно преди това на третото дърво е имало 8 врабчета, тъй като 8+4=12, а на първото дърво врабчетата са били 18, понеже именно 18-6=12. Остават 36-(8+18)=10 врабчета, които очевидно са били на второто дърво.

• // начин. Същият отговор се получава, ако се използва граф-схемата на фиг.81.•

/// начин. Означаваме броя на врабчетата на първото и на второто дърво съответно с х и у. Тогава на третото дърво врабчетата ще бъдат 36-(х+у).

• След двете прелитания броят на врабчетата на трите дървета е. съответно х-6, у+6-4 и 36-(х+у)+4, т.е.

• х-6, у+2 и 40-(х+у).• Тъй като на трите дървета врабчетата са станали по равно и броят им на всяко дърво вече е 12, то• х-6=у+2=12, откъдето х=18, у=10. Тогава на третото дърво врабчетата са били• 36-(18+10)=8.

• 256.Ваньо и Митко отишли в зоологическата градина. По едно време Ваньо попитал:

• Знаеш ли колко крака, рога и крила преброих?• Не - отговорил Митко. Дошъл съм да гледам животните, а

не да броя краката, рогата и крилата им.• Добре - продължил Ваньо. - Досега видяхме мечки, лъвове,

диви кози и щъркели. Общо краката им бяха 32, рогата им 6, а крилата им 12. Познай по колко животни от всеки вид сме видели?

• 257.В един двор има кокошки и зайци. Колко са едните и колко - другите, ако има всичко 700 глави и 1800 крака?

• 258.Колко зайци и колко кокошки се намират в една клетка, ако общо главите им са 35, а краката - 94?

• 259.Баща задава следната задача на сина си: „В двора имаме гъски и прасета. Те имат общо 30 глави и 84 крака. Колко са гъските и колко са прасетата?"

• 260. В стая има табуретки и столове. Всяка табуретка е с З крака, а всеки стол - с 4. Ако на всяка табуретка и на всеки стол седне по един човек, то броят на всички крака в стаята ще бъде 39. Колко са столовете и колко - табуретките?

•

• РЕШЕНИЯ :• 256.Отговор. Видели са 6 щъркела, 3 диви

кози, 1 мечка и I лъв.• 257.Отговор. 500 кокошки и 200 заека. (Виж

решението на зад 255).• 258.Отговор. 12 заека и 23 кокошки.• 259.Отговор. 18 гъски и 12 прасета. (Вж.

зад 255 и нейното решение).• 260.Решение. Нека табуретките са т, а

столовете са п.Тогава т(3+2)+п(4+2) =39 => 5т+6п=39 =>

• Но т е естествено число само за п=4, при което т=3. Следователно в стаята има 3 табуретки и 4 стола.

• 13. В арабските приказки от "Хиляда и една нощ", които са били събрани преди много столетия, в 458-та нощ откриваме една хубава гатанка: Ято гълъби долетяло до едно високо дърво и част от тях кацнали на дървото, а другата част - на земята. Тогава тези на дървото рекли на кацналите долу: "Ако един от вас долети тук горе, ще станете една трета от всички ни, ако един от нас се спусне долу, ще се изравним по брой с вас." Колко гълъби са били на дървото и колко на земята?

• Решение:Нека x е борят на гълъбите, кацнали на дървото, а y да е борят на гълъбите до него. Тогава е изпълненоy - 1 = (x + y)/3Очевидно имаме x - 1 = y + 1 и значи x = y + 2.Оттук следва(y - 1).3 = y + 2 + y3y - 3 = 2y + 2,y = 5,откъдето x = y + 2 = 77 гълъба са били на дървото и 5 гълъба са били на земята

• 14. В древното персийско повествование "Историята на Морадбал", включено в алманаха "Хиляда и една нощ", мъдрец задава следната задача на една девойка: Някаква жена отива в една градина да бере ябълки. Градината има четири врати и пред всяка от тях стои на стража мъж. На пазача пред първата врата жената дава половината от набраните ябълки, като отива до втория пазач, му дава половината от останалите ябълки; по същия начин постъпва и с третия; най-сетне дели и с четвъртия, така че накрая й остават само десет ябълки. Пита се колко ябълки е била набрала.

• Решение:Ако x е борят на ябълките, набрани от жената, тогава първият пазач получил x/2, вторият - x/4, третият - x/8 и четвъртият x/16. Така имаме x/16 = 10 и значи x = 160. Жената е била набрала 160 ябълки.

• 15.Следната задача е давана на приемен изпит за постъпване в… детска градина за млади таланти в Нагоя, Япония. Решили са я 74 % от децата. Жокер: Всички кандидати са можели да броят до десет.

•8809 = 67111 = 02172 = 06666 = 41111 = 03213 = 07662 = 29312 = 10000 = 42222 = 03333 = 05555 = 08193 = 38096 = 57777 = 09999 = 47756 = 16855 = 39881 = 55531 = 06782 = ?

Затруднихте ли се ?

• Решение:

• ТРИ. Ама не съм замествал нищо, ами броих кръгчетата ,от които са съставени цифрите…

• 0 – 1кръгче

• 6 и 9 – по 1 кръгче

• 8 – от 2 кръгчета

• И после записвате броят им …

• Благодаря на г-жа Козовска ,за предоставените сборници !

• До нови срещи !

Краси Ангелов СОУ”П.Берон”