第五章结构的位移计算

第五章结构的位移计算

Last Edit: 2009.8.12

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本章主要内容：

1 概述；

2 线性变形体系的功能原理;

3 结构位移计算的一般理论;

4 结构位移计算（荷载作用）的单位荷载法;

5 图乘法；

6 温度变化引起的结构位移

7 由于支座位移引起的结构位移计算。

课后作业

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5-1 概述

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5-1 概述一、结构位移的种类

结构在荷载和温度变化等外界因素的影响下将会发生变形，

因而结构上各点或截面的位置可能发生改变——即产生位移。

结构的位移可分为1 ．线位移：结构上各点产生的位置移动2 ．角位移：杆件横截面所产生的位置转动变形体：在外界因素影响下产生变形（弹性变形和非弹性变形）的物体统称为变形体

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BA C

M F

C'q

B

A

C

D

q

B'C'

D'DCDCV DCH

jC

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A B

C D

P1 P2

P3

C' D'

DCH DDH

jA jB

jAB

绝对位移相对位移：两点或两截面相互之间位置的改变量

HH CCCD ΔΔΔ

BAAB jjj

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5-1 概述二、使结构产生位移的因素1. 荷载结构在荷载作用下产生内力材料发生应变结构产生位移

2. 温度变化材料的热胀冷缩结构产生位移

3. 支座位移基础发生沉降结构支座移动、转动结构产生位移

4. 其他因素结构构件的尺寸制作误差、材料的干缩、混凝士凝结收缩等

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5-1 概述三、计算结构位移的目的1. 验算结构的刚度

结构要满足强度、刚度、稳定性要求。结构的刚度：以其变形或位移来量度（在验算结构刚度时，需计算结构位移）。闸门：沿水流方向位移超过允许限度时，将使闸门的启闭受到阻碍，同时影响止水效果。结构设计规范中具体规定

2. 计算超静定结构计算超静定结构：静力平衡条件、变形协调条件（结构的位移）

本章内容处于静定结构分析与超静定结构分析的交界处，起着承上启下的作用。

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5-1 概述三、计算结构位移的目的3. 为建筑起拱和结构架设提供位移数据

(a) 大跨度建筑中，结构变形→产生明显的下垂现象不但影响美观，而且容易引起人们的不安全感。

(b) 建筑起拱 ( 起拱 ) ：把结构做成具有一定上弯度的初始弯曲形式，用以抵消由挠度产生的下垂现象。 ( 需要计算结构位移 )

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5-1 概述三、计算结构位移的目的3. 为建筑起拱和结构架设提供位移数据

大型桥梁施工进行悬臂拼装时，结构自重、施工机械等临时荷载的作用，悬臂部分将产生挠度，需计算结构位移，便于拼装时使构件准确就位；大型结构进行吊装时，需要合理设置起吊点，使安装部位产生的位移小而且较为均匀，便于安装就位。

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5-1 概述四、线性变形体系的假设及其特性

1 ．线性变形体系（线性弹性体系 / 线弹性体系）：满足两个基本假设的体系（ 1 ）材料是完全弹性的，服从虎克定律 —— 结构在荷载作用下，最大应力不超过材料的弹性比例极限（ 2 ）结构的变形 ( 位移 ) 是微小的，因此不影响荷载的作用 ( 材料力学小变形假设 )

( 不改变荷载作用点的位置和方向 )

—— 应用静力平衡条件建立方程时，可以不计结构变形 ( 位移 ) 的影响，而采用原始的几何尺寸。

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5-1 概述四、线性变形体系的假设及其特性2．线弹性体系的两个主要特性：(1) 结构的变形 ( 位移 ) 与其作用力成正比

A B

l

Fi=1

EI K

dKi

A B

l

Fi

EI K

DKi

柔度 ( 影响 ) 系数d：施加单位力时所产生的结构位移位移D：作用力为一般值时所产生的结构位移 D Ki 第一个下标 K—— 位移所在的地点和方向 D Ki 第二个下标 i —— 产生位移的原因有 D Ki = d · Pi

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5-1 概述四、线性变形体系的假设及其特性2．线弹性体系的两个主要特性：（ 2）计算结构的变形（位移）可应用叠加原理

叠加原理：由若干因素共同作用时所产生的效果（内力、变形等），等于其每个因素单独作用时所产生的效果的总和。

A B

l

F2

EI K

DK

F1 Fi Fn

D

n

iP

PP

PP

iKi

nKniKi

KKK

1

2211

d

dddd

14/72

5-2 线性变形体系的功能原理

15/72


一、外力实功

线性变形体系的功能原理是结构力学的重要理论基础 , 本节包括外力实功、实变形能、附加功或虚功的互等定理以及虚功原理等。

线弹性体系的静力加载过程

荷载 : 0 P

变形 : 0 D两者同步加载过程中，加载速度缓慢，不至于引起振动，这样的家在过程，称为静力加载，相应的荷载为静力荷载

O l

F

P

D

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5-2 线性变形体系的功能原理一、外力实功

O l

F

P

D

单位荷载对应的变形 : d F=1

d

P

D

当荷载到达最后数值 : P

dPΔ

加载过程中荷载的值 : F F

l

dl F

F

dF

l dl

外力做功增量

图示蓝色部分的面积

一、外力实功

ld2

dd

FFFT

2

ddd

ll

FF ldF

dl F Fdd dl

PΔPFFFTTP

2

1

2

1ddd 2

0 ddl

PΔT2

1

17/72

5-2 线性变形体系的功能原理一、外力实功

O l

F

P

D

F

dF

l dl

一、外力实功

PΔT2

1 图示黄色三角形的面积

线弹性体系线性在静力荷载作用下，外力所做的实功等于外力的最后数值与其相应位移乘积的一半。

注意点：(1) 外力实功中，位移是由做功的力本身引起的，且外力是变化的 ( 由零开始逐渐增加到其最后数值 ) 。(2) 计算外力实功时，力与位移必须相对应。

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5-2 线性变形体系的功能原理一、外力实功一、外力实功

计算外力实功时，力与位移必须相对应

P

D

PΔT2

1

MA

j

jAMT2

1

B

A

C

D

P

B'C'

D'DCDCV DCH

V2

1CΔPT

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5-2 线性变形体系的功能原理一、外力实功一、外力实功广义力：凡是做功的力统称为广义力广义位移：与广义力相对应的位移统称为广义位移

广义力 (集中力 ) 广义位移 ( 线位移 )

广义力 (集中力偶 ) 广义位移 ( 角位移 )

广义力 ( 一对大小相等方向相反的共线力 ) 广义位移 ( 相对线位移 )

广义力 ( 一对大小相等方向相反的共线力偶 ) 广义位移 ( 相对角位移 )

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5-2 线性变形体系的功能原理一、外力实功一、外力实功

体系上多个外力共同作用时，总的外力实功

A B

l

P2

EI K

DK

P1 Pi Pn

D1 D2Di

Dn

nn ΔPΔPΔPT2

1

2

1

2

12211

n

iii ΔP

12

1

Di —— 所有外力共同作用时，在 i 点沿 Pi 方向所产生的位移

Dn

jjijniniii PPPP

12211 dddd

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5-2 线性变形体系的功能原理【例 5-1】图示等截面直杆，在截面 1-1 和 2-2 处，分别作用沿轴线方向的静力荷载 P1 和 P2 ，已知杆件截面积为 A ，材料弹性模量 E ，试求外力 P1 和 P2 所做的实功。

1

b

1

a2 2

P1

P2

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1b

1a

2 2

P1

P2

1 1

2' 2'

P1

P2

1' 1'

2 2

D1=Dl1

Dl1Dl2

21N1 PPF

EA

aPP

EA

aFΔlΔ 211N

11

2N2 PF

EA

bP

EA

bFΔl 22N

2

EA

bP

EA

aPPΔlΔlΔ 221

212

2211 2

1

2

1DD PPT ][ 221

221

1

)(

2

1)(

2

1

EA

bP

EA

aPPP

EA

aPPP

EA

aPP

EA

baP

EA

aP 212

22

1

2

)(

2

23/72


1

b

1

a

2 2

P1

P2

1 1

2' 2'

P1

P2

1' 1'

2 2

D1=Dl1

Dl1Dl2

EA

aPP

EA

baP

EA

aPT 21

22

21

2

)(

2

第一项 :P1 单独作用时所做的实功 EA

aPP

EA

aPT 1

1

21

2

1

2

1

b

1

a

P1

第二项 :P2 单独作用时所做的实功

1

b

1

a

2 2

P2

EA

baPP

EA

baPT

2

2

22

2

1

2

第三项 : 两个力的相互影响所产生的功结论：计算外力实功时不能应用叠加原理。

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EA

aPP

EA

baP

EA

aPT 21

22

21

2

)(

2

第三项的物理意义

先加载 P1

1

b

1

a

2 2

P1

1' 1'Dl1

P1 做功 :EA

aPPΔlPT 1

1111 2

1

2

1

再加载 P2

P2

2' 2'Dl2

Dl12

P2 做功 : EA

baPPΔlPT

2

2222 2

1

2

1

由于 P2 作用 1-1 截面再次下移D l12 EA

aPΔl 2

12

P1 在附加位移 D l12 上所做的功EA

aPPΔlPT 21

1213 “ 附加功” “虚功”

“附加功” 用以区别于外力再其本身所引起的位移上所做的实功

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5-2 线性变形体系的功能原理二、实变形能线弹性体系，受到荷载作用，发生变形，荷载卸去后，变形消失。是什么力量能使体系消除变形的呢 ?

原因 : 加载过程中，外力作功，通过体系变形，转化为变形能储存到体系内部 ; 卸载过程中，通过消除体系的变形，释放变形能变形能 : 因弹性变形而积储或释放的能量，称为线弹性体系的变形位能 ( 变形势能 ) ，简称变形能。一般用 U表示实变形能 : 与外力实功相对应的变形能虚变形能 : 与外力附加功 (虚功 ) 相对应的变形能

变形能以体系内力作功来量度的

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5-2 线性变形体系的功能原理二、实变形能从某体系的某根杆上任意截取微段 ds ，研究其内力变形

ds du

FN FN+dFN

ds

FN FN+dFN

M M+dM

FQ+dFQFQ

M M+dM

ds

dj

FQ FQ+dFQ

ds

gdv

内力在相应位移上所做的内力实功实变形能；略去二阶微量

j d2

1d

2

1d

2

1dddd QNVMN FMuFUUUU

对于线弹性体系，三种变形能各自独立，由材料力学

GA

sFs

EI

sM

EA

sFu

ddd

dd

dd QN gj

为剪应力不均匀分布系数，与截面形状有关矩形截面—— 1.2 ，圆形截面—— 32/17 ，工字形截面——总面积 A 除以腹板面积 AS ，即 A/ AS

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5-2 线性变形体系的功能原理二、实变形能

j d2

1d

2

1d

2

1dddd QNVMN FMuFUUUU (1)

GA

sFs

EI

sM

EA

sFu

ddd

dd

dd QN gj

将式 (2) 代入 (1) ，并在长度方向积分，得到一个杆件的实变形能

(2)

)ddd(2

1d QN j FMuFUU

GA

dsF

EI

sM

EA

sFUU

22

d

2

dd

2Q

22N

累加所有杆件的实变形能，得到体系的实变形能

计算实变形能时，不能应用叠加原理( 不能按单个荷载产生的实变形能累加得到全部荷载作用的实变形能 )

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5-2 线性变形体系的功能原理三、实功原理 - 外力实功与实变形能的关系

线弹性体系，静力加载，只发生变形，不引起振动，故无动能的变化。

如果不计体系内部因材料应变发生内摩擦而损耗的微小热能，则体系上外力所做的实功，将全部被吸收转化为变形能 ( 能量守恒 ) 。

UT

GA

sF

EI

sM

EA

sFΔP

n

iii 2

d

2

d

2

d

2

1 2Q

22N

1

29/72

5-2 线性变形体系的功能原理四、附加功 (虚功 ) 的互等定理

实功：一批荷载在其本身产生的位移上所做的功附加功：一批荷载在别的因素产生的位移上所做的功

做功和位移的下标说明

TK i 第一下标 K 表示做功的荷载第二个下标 i 表示做功的位移是在哪个状态

DK i 第一下标 K 表示位移发生的位置第二个下标 i 表示引起该位移的荷载

1. 附加功的互等定理

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A B A B

第一组荷载Pi

状态①

Dii

第一组荷载在状态①所做实功

iii ΔPT2

111

状态②

第二组荷载Pk

Dkk

Dk

第二组荷载在状态②所做实功

kkk ΔPT2

122

第一组荷载在状态②所做附加功

iki ΔPT12

第二组荷载Pk

状态②

DkkDk

第二组荷载在状态②所做实功

kkk ΔPT2

122

Pi

状态①

第一组荷载

Dii Dki

第一组荷载在状态①所做实功

iii ΔPT2

111

第二组荷载在状态①所做附加功

kik ΔPT21

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A B A B

第一组荷载Pi

状态①

Dii

状态②

第二组荷载Pk

Dkk

Dk

第二组荷载Pk

状态②

DkkDk

Pi

状态①

第一组荷载

Dii Dki

由于线性变形体系外力做的实功，与加载顺序无关，只与体系的初始状态和最终状态有关，所以两种加载次序下所得到的外力 (Pi ,Pk) 实功相等

21 TT 211122122211 TTTTTT 2112 TT

附加功互等定理 : 第一状态的外力在第二状态位移上所做的功，等于第二状态的外力在第一状态位移上所做的功。

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（ 1 ）位移互等定理力法解超静定梁2. 附加功的互等定理的推论

A B

Pi=1

dkii 状态

A B

Pk=1

k 状态dik

kikkiikiik PTPT dd

kiik TT

kiik dd 1 ki PP

位移互等定理：第—个单位力在第二个单位力方向上所产生的位移，等于第二个单位力在第一个单位力方向上所产生的位移。

注意：单位力——广义力位移——广义位移

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（ 1 ）位移互等定理力法解超静定梁2. 附加功的互等定理的推论

A B

Pi=1

i 状态

A B

k 状态dik

jki

Mk=1

kiiik PT d

kiik TT

ikik jd

1 ki MP

ikkki MT j

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（ 2 ）反力互等定理位移法解超静定梁

1

i 状态

i k

rii rki

1

i k

rik rkk

K 状态

1 kiik rT

i 状态的反力在 k 状态的位移做功

k 状态的反力在 i 状态的位移做功

1 ikki rT

kiik TT

ikki rr

反力互等定理：第一个约束发生单位位移时在第二个约束中所引起的反力，等于第二个约束发生单位位移时在第一个约束中所引起的反力

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5-2 线性变形体系的功能原理五、附加功原理体系总的外力实功：

122211 TTTT

A B

第一组荷载Pi

状态①

Dii

状态②

第二组荷载Pk

Dkk

Dk

体系总的实变形能：

122211 UUUU

U11 与 T11 相对应 ( 实变形能 )

U22 与 T22 相对应 ( 实变形能 )荷载单独作用时做功和变形能

由实功原理， T11=U11 T22=U22 (单独作用 ) T=U (共同作用 )

则有， T12 = U12 同理可推知， T21 = U21

一般情况 Tik = Uik

i 状态中的外力在 k 状态中的位移上所做的附加功，等于 i 状态中的内力因 k 状态中的变形而产生的附加应变能。

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5-2 线性变形体系的功能原理五、附加功原理根据： ikiik ΔPT

kikikiik FMuFU j ddd QN

kikikiiki FMuFΔP j ddd QN

—— 线弹性体系的附加功原理 ( 外力虚功与虚变形能的关系 )

方程称为虚功方程。可写为 Σ 外力 × 位移＝内力 × 变形虚功原理需要涉及到两个状态： (1) 一个状态取其外力和内力 (2) 一个状态取其位移和变形实际上一般只提供一个状态——即实际状态，另一个状态假设 (根据分析问题的需要设定 )——虚拟状态

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5-2 线性变形体系的功能原理五、附加功原理

外力虚设——虚力原理

Σ 外力 × 位移＝内力 × 变形

实际的位移 ( 变形 )

虚拟的力系

位移虚设——虚位移原理

Σ 外力 × 位移＝内力 × 变形

虚拟的位移 ( 变形 )

实际的力系

虚功原理适用范围：线弹性体系，非线弹性体系产生的变形 (位移 )的原因可以为外界各种因素： ( 包括荷载、温度变化、支座沉降、制造误差等 ) 小变形范围

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5-4 结构位移计算的一般理论

39/72

5-3 结构位移计算的一般理论一、结构位移计算的一般公式虚功方程：

kikikiiki FMuFΔP j ddd QN

虚设 Pi = 1 (虚拟状态 ) ：

kikikiik FMuFΔ j ddd QN

——结构位移的一般计算公式（单位荷载法）

iii FMF QN表示虚拟状态中由虚设单位力 Pi = 1 所产生的内力kkku j ddd 表示实际状态中结构杆件微段的变形。

ikΔ 表示实际状态中由于杆件变形引起的结构位移。

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5-3 结构位移计算的一般理论二、虚拟状态的设置方法

虚拟状态中所设置的单位力与所求位移，必须符合广义力与广义位移的对应关系。

单位力是无量纲的量

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5-3 结构位移计算的一般理论实际状态k

q

P

A

E E'

BB'

C

C'DC

DCV

DCH jC

O

D'

D

求DCV的虚拟状态 i

A

E

B

CD

Pi=1

求DCH的虚拟状态 i

A

E

B

CD

Pi=1

求jC的虚拟状态 i

A

E

B

CDMi =1

求DCE的虚拟状态 i

A

E

B

CDPi =1

Pi =1

求jCE的虚拟状态 i

A

E

B

CD

Mi =1

Mi =1

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5-3 结构位移计算的一般理论

实际状态k

A B

C

D

PP

P

求DDV的虚拟状态 i

A

C

DPi=1

求jCD的虚拟状态 i

A

C

D

d

T

T

1dT

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5-4 结构位移计算 ( 荷载作用 ) 的单位荷载法

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5-4 结构位移计算 ( 荷载作用 ) 的单位荷载法——虚力原理的应用 (Maxwell——Mohr 法 )

根据结构位移计算的一般公式 kikikiik FMuFΔ j ddd QN

k 状态：实际状态，内力以 FNP 、 MP 、 FQP 表示对线弹性体系，有

EA

sFuuk

ddd NP

P EI

sMk

ddd P

P jjGA

sFk

ddd QP

P

DGA

sFF

EI

sMM

EA

sFF iiii

ddd QPQPNPNP

——线弹性体系杆件结构在荷载作用下，结构位移计算的一般公式

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一、桁架 EA

lFFΔ i

iNPN

P

二、梁和刚架 EI

sMMΔ i

i

dPP

三、组合结构 EI

sMM

EA

sFFΔ ii

P

dd PNPNi

链杆受弯杆件

四、曲杆和拱轴线的曲率半径较小——采取同梁或刚架那样的处理方法较扁平的拱——必须同时考虑轴向变形和弯曲变形两项影响 (由于轴力较大，轴向变形显著 )

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5-4 结构位移计算 ( 荷载作用 ) 的单位荷载法【例 5-2】图示钢桁架， P = 160kN ，各杆用两个 80mm×5mm 的等边角钢 (2L80×5) ， A = 2×791.2mm2 ， E = 210GPa ，

试求 D CV P=160kN P=160kN

3m 3m 3m 3m

4m

A

C

B

D E

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P=160kN P=160kN

3m 3m 3m 3m

4m

A

C

B

D E

实际状态k 求DCV的虚拟状态 i

3m 3m 3m 3m

4m

A

C

B

D E

Pi=1

计算实际状态和虚拟状态下各杆的内力 (轴力 ),如图

160KN 160KN

0 0–200

120

–120

120

–200

12

12

58 3

8

58

34

58 3

8

58

EA

lFFΔ i

CNPN

V lFFEA i NPN

1

mkN2330NPN lFF i

mm012.7

2.791210210

1023303

6

VCΔ

48/72


147.245

39.497 -0.625 -20015.8245B-E

0.000 0.625 015.8245C-E

0.000 0.625 015.8245C-D

39.497 -0.625 -20015.8245A-D

34.125 -0.750 -12015.8246D-E

17.063 0.375 12015.8246B-C

17.063 0.375 12015.8246A-C

　轴力（ kN ）

轴力 (kN)

截面积A

(cm2)

杆长 l(m)

杆件名称 NPF iFN

2NPN

cm

mkN

A

lFF i

2NPN

cm

mkN

A

lFF i

P=160kN P=160kN

3m 3m 3m 3m

4m

A

C

B

D E

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5-4 结构位移计算 ( 荷载作用 ) 的单位荷载法【例 5-3】图示简支梁，受到集中荷载 FP 作用，试求梁两端截面 A 、 B 的相对转角 j AB

A B

FP

qA qB

jAB

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A B

FP

qA qB

jAB

解 BAAB qqj 虚拟状态 , 在截面 A,B 施加一对反向单位力偶

A B

MA=1 MB=1

确定实际状态下的弯矩方程 (参见弯矩图 )

a b

l

l

abFP

lxal

xaF

axxl

bF

M1

0

P

P

P

虚拟状态下的弯矩方程 (参见弯矩图 )

1

1M

sEI

MMAB dPj

a l

ax

l

x

EI

aFsx

EIl

bF0

PP d1d

EI

abF

2P 正值表示与所设的一对单位

力偶方向相同。

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5-4 结构位移计算 ( 荷载作用 ) 的单位荷载法【例 5-4】图示一等截面圆弧曲杆 AB, 截面为矩形，圆弧的圆心角为 ,半径为 R 。设均布竖向荷载 q 沿水平线作用，试求 B 点的竖向位移D BV

A

B

q

O

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A

B

q

O

虚拟状态：在 B 点加单位竖向荷载

A

B

O

1

取 B 点为坐标原点，任一点C坐标 (x,y), 圆心角qC

y

x

q 计计计计计计计计计计计计计计计计计

2P 2

1qxM

qsinNP qxF

qcosQP qxF

xM

qsinN F

qcosQ F

A

B

A

BM xxEI

qs

EI

MMΔ d

2d 3P

A

B

A

Bxx

EA

qs

EA

FFΔ dsind 2NNP

N q

A

B

A

Bxx

GA

qs

GA

FFΔ dcosd 2QQP

Q q

53/72


A

B

q

O

C

y

x

q

A

B

A

BM xxEI

qs

EI

MMΔ d

2d 3P

A

B

A

Bxx

EA

qs

EA

FFΔ dsind 2NNP

N q

A

B

A

Bxx

GA

qs

GA

FFΔ dcosd 2QQP

Q q

QNV ΔΔΔΔ MB 计q计计计计计

qqq ddcos1sin RsRyRx 计计计计计

3

4

cos3

1cos

3

2

2EI

qRΔM

计计计计计计计计计计计

3

2

N cos3

1cos

3

2

EA

qRΔ

32

Q cos13

1

GA

qRΔ

54/72


A

B

q

O

C

y

x

q

3

4

cos3

1cos

3

2

2EI

qRΔM

3

2

N cos3

1cos

3

2

EA

qRΔ 3

2

Q cos13

1

GA

qRΔ

计 90

EI

qRΔM 3

4

EA

qRΔ

3

2 2

N GA

qRΔ

3

2

Q

GA

qR

EA

qR

EI

qRΔΔΔΔ MB 33

2

3

224

QNV

计计计计2.112//3/8/)(10/1/90 3 hAIGEhRh 为截面高

600

1

6

122

2

2N

R

h

AR

I

Δ

Δ

M 375

1

12 2

2

2

Q GR

Eh

GAR

EI

Δ

Δ

M

计计计计计计计计计计计计计计计计计计计计计计计D计计计计计计计计计计计计计计计计计计计计计计计计计计计计

55/72

5-5 图乘法

56/72

5-5 图乘法一、图乘法的应用条件

(1) 杆件轴线为直线——直杆；(2) 杆件是等截面的（或分段等截面的）—— EI = 常数；(3) 两个弯矩图中至少有一个是直线变化的（或分段直线变化） ——直线图形。可用图乘法求积分运算

57/72

5-5 图乘法二、图乘法公式推导

y

xO

A

A

B

B

yiC

dx

x

xC

形心C

面积wK

MK图

Mi图Mi=yi

B

A KiKi xMM

EIs

EI

MMd

1d

B

A Ki xMM d

B

A K xxM dtan

B

A K xMx dtan

MK 图面积对 y 轴的面积静矩

KC

B

A K xxxM w d

KC

B

A Ki xxMM w tand iCK yw

EI

yx

EI

MM CB

A

Ki w d

58/72

5-5 图乘法二、图乘法公式推导

y

xO

A

A

B

B

yiC

dx

x

xC

形心C

面积wK

MK图

Mi图Mi=yi

注意点：(1) 两个弯矩图中，一个取面积w，另一个取纵坐标 yC , 但纵坐标必须取自直线图中，并与面积 w 的形心相对应。 (2) 两个弯矩图在杆件的同一侧为正，反之为负。(3) 实际上，梁和刚架的单位弯矩图是直线变化的。

59/72

5-5 图乘法二、图乘法公式推导若弯矩图长度上由两根直线组成

w1 w2

y1 y2

2211 yyy www

w1 w2

y1

y20

11 yy ww

60/72

5-5 图乘法若两个弯矩图均为梯形时

a b

cd

将梯形分解为两个三角形，分别与另一个弯矩图相乘后相加

w1

w2

y1

y2

l/3 l/3 l/3

2211 yyy www

)3

1

3

2(

2

1dcal )

3

2

3

1(

2

1dcbl

)22(6

bdbcadacl

y w

61/72

5-5 图乘法若两个弯矩图均为梯形时 )22(

6bdbcadac

ly w

l

a

b

c

d

注：(1) 如 a 、 b 、 c 、 d 分处于杆的不同侧边时，上式仍然适用注意正负号：“同侧相乘为正，异侧相乘为负”(2) 如两个弯矩图中一个为梯形，另一个为三角形上式仍可应用。

62/72

5-5 图乘法三、几种常见图形的面积及其形心

h

4l

43l

3

hlw

标准二次抛物线

h

83l

85l

3

2hlw


la b

(l+a)/3 (l+b)/3

三角形

2

hlwh

3

2hlw

l/2


h

l/2

注意 :　二次抛物线顶点处切线与基线平行

63/72

5-5 图乘法【例 5-5】试用图乘法求简支梁 C 截面j C

ABC

q

l/2 l/2

64/72

5-5 图乘法

ABC

q

l/2 l/21) 确定虚拟状态

ABC

l/2 l/2

1 2) 画出实际状态和虚拟状态的弯矩图

ql2/16ql2/32

1/2

1/2

1/4

3) 图乘

EI

yCC

wj

Cyw384

04

1

2323

2 32 qllql

逆时针

ql/83ql/8

65/72

5-5 图乘法【例 5-6】图示阶梯形变截面梁， q =20kN/m ，已知其弯曲刚度： AB 段为 4EI ， BC 段为 EI 。试求D CV

q = 20kN/m

4EI EIA CB4m 2m

66/72

5-5 图乘法q = 20kN/m

4EI EIA CB4m 2m

1) 确定虚拟状态

2) 画出实际状态和虚拟状态的弯矩图

1

360

40

40

6

3) 图乘AB 段：

2

AB 段：2640360 dcba矩形部分

3

10880)22(

6 bdbcadac

lyw

抛物线部分

3

128026

2

1404

3

2yw

BC 段： 4024

3402

3

1yw

401

3

1280

3

10880

4

1V

EIEIΔC

3mkN840

EI

67/72

5-5 图乘法【例 5-7】图示刚架， EI ＝常数，试求 C 、 D 两点沿 CD 方向的相对线位移D CD

A BC

D

E

2m 6m 3m

3m2kN/m

4kN

8kN

68/72

5-5 图乘法

A BC

D

E

2m 6m 3m

3m2kN/m

4kN

8kN

虚拟状态

A BC

D

E

2m 6m 3m

3m1

1

弯矩图

4kN

17.5kN6.5kN

912

2412

9

5

6

5

6

刚架轴力产生的轴向变形和剪力产生的剪切变形对于结构位移的影响忽略不计 (参见第 4节 ) 。

69/72

5-5 图乘法

A BC

D

E

2m 6m 3m

3m2kN/m

4kN

8kN

4kN

17.5kN6.5kN

912

2412

9

5

6

5

6

)22(611 bdbcadacl

y w

)5

6122

5

69(

6

6

5

90

5

108

5

6

2

196

3

222

yw

5

72

5

6

3

2123

2

133

yw

iiCD yEI

Δ w1

5

19072108

1

EI

3mkN518

5

90

EIEI

CD之间的相对距离缩短

70/72

5-5 图乘法【例 5-8】组合结构， CD 杆横截面 A ＝ 200×200mm2 ， AB和 BE 杆横截面为 b×h＝ 300×600mm2 ，弹性模量 E = 30GPa ，试求D BH

2m

3m 5m 2m

4m5kN

/m

16kN/m

A

BC

E

D

EAEI

EI

71/72

5-5 图乘法

2m

3m 5m 2m

4m5kN

/m

16kN/m

A

BC

E

D

EAEI

EI

画出组合结构的实际状态和虚拟状态内力图 (ABCE-弯矩图 CD-

轴力图 )

【分析】 ABCE 刚架，弯矩对位移有影响 CD 链杆 , 轴力对位移有影响虚拟状态：在 B处施加水平向右的单位力

96kN

20kN

16kN

A

BC

D

32

8888

实际状态的内力图未标单位 kN·m

10

50 96kN

虚拟状态的内力图

A

B

C1

1

0.50.5

D

E

2.5

2.50.5

72/72

5-5 图乘法

A

BC

D

32

8888


10

50 96kN


A

B

C1

1

0.50.5

D

E

2.5

2.50.5

EI

y

EA

lFFΔ Ciii

B

wNPNH

EAEAEA

lFF i 1924965.0NPN

5.22

1105

3

2

5.23

2885

2

111

Cyw

3005.2325.28826

522 Cyw

33.2082

5.2505

3

233 Cyw

EIEI

yCii 67.916w

33.408

73/72

5-5 图乘法

A

BC

D

32

8888


10

50 96kN


A

B

C1

1

0.50.5

D

E

2.5

2.50.5

mm16.0

mm200200MPa1030

mmN10192

192

23

6

NPN

EAEA

lFF i

EIEI

yCii 67.916w

43

3

312

mm12

600300MPa1030

mmN1067.916

mm658.5

EI

y

EA

lFFΔ Ciii

B

wNPNH

mm818.516.0658.5

74/72

5-6 温度变化引起的结构位移

75/72


一般的建筑材料 (钢，砼 )都有热胀冷缩的特性，因此结构在实际使用过程中，如果其周围温度发生变化，则杆件将发生变形，因而结构可能引起位移。

在静定结构中，由于体系不存在多余约束，当温度发生变化时，结构及其各杆可以自由地发生 (符合体系约束条件的 ) 变形或位移，但不会引起任何的反力和内力。

A B

h

l

t1

t2

均匀升温 t1=t2

B' A Bh

l

t1

t2

不均匀升温 t1 < t2

B'

76/72

5-6 温度变化引起的结构位移假设杆件内部的温度变化沿截面高度按直线变化

h

h 1h 2

t1

t2

t0

故杆件中性轴上的温度为

21

1221

21

11210 )(

hh

htht

hh

htttt

若 h1 = h2

221

0

ttt

ds t2ds

t1ds

duk

dj

微段的轴向变形： stuk dd 0

微段的弯曲变形： tk jj dd h

stst dd 12

h

st dD

12 ttt D (杆件上、下侧温度差的绝对值 )

微段的弯曲变形：

微段的相对剪切位移： 0dd tk vv

77/72

5-6 温度变化引起的结构位移h

h 1h 2

t1

t2

t0

ds t2ds

t1ds

duk

dj stuk dd 0

tk jj dd h

st dD

0dd tk vv

根据结构位移计算的一般公式

kikikiik FMuFΔ j ddd QN

代入上述三式，得

D

sh

tMstFΔ iiik dd0N

78/72

5-6 温度变化引起的结构位移h

h 1h 2

t1

t2

t0

ds t2ds

t1ds

duk

dj 等直杆情况下， h 为常量

D

sh

tMstFΔ iiik dd0N

若有 , t1, t2 沿杆长不变

D

sMh

tsFtΔ iiik ddN0

取 sF ii dNN w 表示杆件单位荷载下轴力图的面积

取 sM iMi dw 表示杆件单位荷载下弯矩图的面积

D Miiik h

ttΔ ww N0

t0 升高为正，降低为负wNi 拉为正，压为负wMi 温度变化产生的弯曲变形与产生的弯曲方向相同时为正，反之为负

iM

79/72

5-6 温度变化引起的结构位移注意：(1) 温度变化时，杆件的轴向变形与其横戴面大小无关 ( 截面很大的杆件，也可能产生显著的轴向变形 )

在梁、刚架计算中，由于温度变化引起的位移时，必须考虑受弯杆件的轴向变形对结构位移的影响。(2) 温度升高或降低，均为相对温度，而不是绝对温度。

桁架：一般只承受轴力，故可得桁架由于温度变化引起的位移计算公式：

lFttΔ iiik N0N0 w

80/72

5-6 温度变化引起的结构位移【例 5-9】 AC 、 BC 杆截面为矩形，高 h ＝ 300mm ，已知材料的线膨胀系数为，温度变化如图，试求结点 C 上两杆截面的相对角位移q C

4m 4m

3mq

BA

C

+12℃

+12℃

-6℃ -6℃

81/72

1 1


4m 4m3mq

BA

C

+12℃

+12℃

-6℃ -6℃

虚拟状态

BA

C

Mi=1

绘制虚拟状态的轴力图和弯矩图提示：约束反力均为 0

弯矩图

BA

C

Mi=1

轴力图

+

1/3

－－4/15 4/15

链杆 AB t0 = 12℃

受弯杆 AC BC 中性轴温度 t0 = (t1 + t2) /2 =3℃

上下温差 Dt = |t1-t2| = 18 ℃

AC CB 由于温度变化引起的弯曲为下凸上凹，而单位荷载下上凸下凹，故计算时该项取负号。

82/72


1 1

4m 4m3mq

BA

C

+12℃

+12℃

-6℃ -6℃

虚拟状态

BA

C

Mi=1

弯矩图

BA

C

Mi=1

轴力图

+

1/3

－－4/15 4/15

D MiiikC h

ttΔ wwq N0

22

115

3.0

1825

15

438

3

112

276

结果为负值，表明结点 C 上两杆截面相对角位移实际方向与 Mi=1 假设的方向相反，即结点 C 上两杆的截面法线的夹角 q 减小

83/72

5-6 温度变化引起的结构位移求D CV 的虚拟状态

如果结构均匀升温和降温，如图求D CV qC

各杆轴力

BA

C

Mi=1

轴力图

+

1/3

－－4/15 4/15

4m 4m3mq

BA

C

+12℃

+12℃

+12℃ +12℃

结构成为桁架。确定虚拟状态的轴力

BA

C

1

5/6 5/6

-2/3

DD lFt iitC N0V 83

21225

6

512

36

求q C 的虚拟状态

D lFt iitC N0q 83

11225

15

412

0

( 各杆按比例伸长或缩短，形状不变 )

84/72

5-6 温度变化引起的结构位移制造误差引起的结构位移温度变化时： lFttΔ iiik N0N0 w

t0 l———— 杆件由于温度变化引起的轴向变形现在是杆件长度的尺寸误差为 e ，用 e 代替 t0 l ，则得杆件尺寸制造误差引起的结构位移计算公式为

eNe ii FΔ

e 为杆件长度制造误差，超出量为正、短缺量为负

85/72

5-6 温度变化引起的结构位移例：图示桁架，为建筑起拱，制作时有意把 DE 杆的长度超出 e =10mm ，试求D CV

A BC

D E

3 3 3 3

4m

A BC

D E

Pi=1

12

12

其实只要求 DE 杆的单位内力

34

eNeV iiC FΔΔ 10)4

3( = –7.5mm ( )

能达到建筑起拱的目的

86/72

5-7 由于支座位移引起的结构位移计算

87/72


当结构支座或其他约束由于某种原因 (如基础沉降 ) 而发生位移时，结构也可能引起位移。

在静定结构中，由于体系只具备满足几何不变所必要的约束数，故当某些支座或约束发生沉降或位移时，结构及其各杆只可能引起位置的改变，而不会产生任何的反力和内力，因而杆件本身不发生变形。

88/72


A

BC

D

求任意点 D 的位移在某指定方向 i-i 的分量D

iC

D'

i

i

DiC

虚拟状态A

BC

Di

i

Pi=1

xR

yR

jR

BR

Cx

Cy

Cj

虚拟状态 i 中的外力 (包括支座反力 ) 在实际状态中相应位移上所做外力虚功

CRΔCRCRCRΔT iCyyxxiCik Σ1 jj

静定结构在支座位移下，不会产生任何的反力和内力，杆件不发生变形，因此虚拟状态中的内力在实际状态中相应的变形上所作的内力功 =0 。

89/72


A

BC

D

D'

i

i

DiC

虚拟状态A

BC

Di

i

Pi=1

xR

yR

jR

BR

Cx

Cy

Cj

CRΔCRCRCRΔT iCyyxxiCik Σ1 jj 0 CRΔiC Σ

(1) 不能把总和之前的负号遗漏；(2) 内正、负号： R 与 C 方向相同时，为正，反之为负

90/72

5-7 由于支座位移引起的结构位移计算【例 5-10】静定刚架，已知支座 A 向右移动距离 A=10mm ，向下移动距离 vA=20mm ，并沿顺时针方向转动j A=0.3° ，求D 点的水平位移D DH 。

A'

C

B D

A

vA

jA

4m 4m 2m

3m

91/72


A'

C

B D

A

vA

jA

4m 4m 2m

3m

虚拟状态

C

B D 1

1

0.75

0.753m

CRΔDH][ 10003

4

31 AAA j

][180

π3.0300020

4

3101

)mm(07.2π)1(5

92/72

5-7 由于支座位移引起的结构位移计算例：图示桁架，已知 B = C ，试求杆 BC 的角位移j B

C

B

A B

C

B'

l

d

A B

C

解：把单位力矩换算成组成力偶的两个力 T=1/d ，分别作用在结点 B 、 C 上，并与 BC 垂直。

1/d

1/d

RA= 1l

RB= 1l

CRBCj )( BBR )()1

( 顺l

cc

l

93/72

本章课后作业

94/72

【作业 1】

等截面伸臂梁 , 在图示荷载作用下 , 求截面 C 的角位移j C

(郑版 5-2)

BAEI EI

40kN10kN/m

6m 2m

C

95/72

【作业 2】图乘法已知各杆的 EI = 2.1×104kN·m2 ，求图示刚架铰 C 左右截面的相对角位移。

A

C

B

3m 3m

3m3m

60kN

40kN

96/72

【作业 3】组合结构如图示荷载作用下，已知链杆 BE 的轴向刚度 EA=EI/4 (1/m2) 其余为受弯杆件， EI = 常数求 C 点的水平位移D CH （郑版 5-17 ）

6m 2m

4m2m

A B

C

D E

30kN10

kN/m

97/72

【作业 4】等截面刚架各杆截面均为矩形 , 截面高度 h = 0.25m, 材料线膨胀系数为 , 试求 B 的水平位移D BH ，和横梁中点 C 的竖向位移D CV 。 (郑版习题 5-21)

A B

C

t1

t2

t1t2

t1=25℃

t1=15℃

3m 3m2m2m

4m

98/72

本章完

谢谢听讲

第五章结构的位移计算

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