第一节单纯形法的矩阵描述及改进单纯形法介绍

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单纯形法的矩阵描述改进单纯形法介绍

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对偶问

对偶问

题题

单纯形法矩阵描

述大规模线性规划

大规模线性规划

单纯形法的矩阵描述单纯形法的矩阵描述

不妨设基为 mPPPB 21

基变量非基变量

0.

max

XbAXtsCXz

设线性规划问题

)()()()( 21

NBNB

n

CCCXXXNBPPPA

则

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对偶问

对偶问

题题




NNB

NB

N

B

XNbNXbBX

bNXBX

X

XNBbAX

~~)(

)(

1


其中 NBNbBb 11 ~,

~

令得当前的基解为：0NX

bBbX B1~

当前基解

约束方程组约束方程组

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对偶问

对偶问

题题




NBNB

NBNB

NNBBN

BNB

XNCCbC

XNBCCbBC

XCXCX

XCCz

)~

(~

)(

)(

11

当前目标值

目标函数目标函数

bBCbCz BB1

0

~

令得当前的目标函数值为：0NX


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对偶问

对偶问

题题




N N B

m n m m n

n m B m

n n B n

C C N

C C C C P P

C C P

C C P

~

( ) ( )(~ ~

)~

~

1 1 1

1 1 1

当前检验数

单纯形法的矩阵描述单纯形法的矩阵描述检验数检验数

其中 jj PBP 1~ 当前对应的系数列jx

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对偶问

对偶问

题题




矩阵单纯形法计算的描述矩阵单纯形法计算的描述线性规划问题

0..

max

XbAXts

CXz

化为标准型，引入松弛变量 sX

0,0..

0max

s

s

s

XXbIXAX

ts

XCXz

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对偶问

对偶问

题题




初始单纯形表

00

NBjj

s

sNB

CCzcINBbXXXX

非基变量基变量

初始基变量

矩阵单纯形法计算的描述矩阵单纯形法计算的描述

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对偶问

对偶问

题题




11

11

0

BCNBCCzcBNBIbBXCXXX

BBNjj

BB

sNB

基变量非基变量

当基变量为时，新的单纯形表BX

矩阵单纯形法计算的描述矩阵单纯形法计算的描述

当前检验数当前基解

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对偶问

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题题




修正单纯形法简介修正单纯形法简介原因：原因：

单纯形法的目的是要求问题的最优解，而在迭代过程中，单纯形表中的某些列与求最优解关系不大。因此，对单纯形法进行修正。

B P b Pk k j i 1 ,

~,

~, , B P b Pk k j i

1 ,~

,~

, ,

需要换入的变量对应的列

思路：思路：每次迭代关键求出

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对偶问

对偶问

题题




修正单纯形法的优点：修正单纯形法的优点：能够从问题的原来参数（ A ， b ， C ），计算出单纯形表中所有的数据，只要导出即可。

单纯形表中的任一数字，只要作部分的矩阵乘法即可获得。

1B

修正单纯形法简介修正单纯形法简介

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对偶问

对偶问

题题




BB

a

aB i l

B

ai l

new

oldik

lkold

old

lk

1

1 1

1

'

'

'

有关公式：有关公式：

当换入变量，换出变量时，新的为：

kx xl1B


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对偶问

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题题




单纯形乘子（行向量）

j j B j j j

B

k k i

c C B P c P

C B

P B P b B b

1

1

1 1~,

~其中

确定新的换入变量

确定新的换出变量

有关公式：有关公式：


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对偶问

对偶问

题题




修正单纯形法要点：修正单纯形法要点：寻求初始可行解，方法与单纯形法相同。寻求初始可行解，方法与单纯形法相同。其迭代过程如下：其迭代过程如下：确定换入变量，方法与单纯形法相同。确定换入变量，方法与单纯形法相同。确定换出变量，方法与单纯形法相同。确定换出变量，方法与单纯形法相同。确定新的基可行解：确定新的基可行解：

首先导出 B-1

然后计算 XB= B-1 b

迭代终止原则与单纯形法相同。迭代终止原则与单纯形法相同。


第二节变量有界的第二节变量有界的大规模线性规划大规模线性规划

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题题




11 、基本可行解概念的推广、基本可行解概念的推广

考虑线性规划问题：

uXl

bAXts

CXz

.

minA为m*n, 秩为 m

基本解 X(0) ： X(0)为 AX=b 的一个解，其中 m 个分量对应 A 的列线性无关，其余 n-m 个分量取上界或下界值。基本可行解 X(0) ：基本解 X(0) 中m 个基变量的值介于上下界之间。

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题题




推广基本可行解的表达式：

BBB

N

N

NN

N

N

B

TNNB

uxl

u

l

uNBlNBbB

x

x

x

X

NNBA

xxxX

,,

,,

2

1

21

2

1

21

21

111

21

且

基可行解：

推广基本可行解集与可行域凸集 K 的极点集等价

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题题




22 、基本可行解的改进、基本可行解的改进设 X(0) 是一个基本可行解

),,c21

2

1

21

2

1

21

111

)0(

)0(

)0(

0

NNB

N

N

NN

N

N

B

ccc

u

l

uNBlNBbB

x

x

x

X

（令

）（

目标函数值

1 2

221

)()(

c1

Rj RjjjjjjjB

NNNNBB

xczxczbBc

xcxcxf ＋１

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题题




讨论最优性条件讨论最优性条件换入变量？

换出变量？

kjjRj

jjRj

xczcz

0)(max,maxmax

21

不越上界。）保持（

不越上界；）保持（

不越下界；）保持（

必须满足下列条件：即行性，非负，且要保证解的可，令若

k

B

B

k

kkkk

x

x

x

lxRk

3

2

1

,1

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题题




设 x 是线性规划（ LP ）的一个基本可行解，若对每个取下界值的非基变量，有

对每个取上界值的非基变量，有

则 x 是最优解。

讨论最优性条件讨论最优性条件

0 jj cz

0 jj cz

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题题




33 、计算步骤、计算步骤例、解下列线性规划问题：

21

40

40

822

10 ..

-32 min

3

2

1

321

321

321

x

x

x

xxx

xxxts

xxx

第三节可分解的第三节可分解的大规模线性规划大规模线性规划

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题题




线性规划应用－－－数据包络分析法

数据包络分析法（ Data Envelopment Analysis, 简称 DEA ），是著名运筹学家 A.Charnes和W.W.Copper 等学者以“相对效率”概念为基础，以凸分析和线性规划为工具，根据多指标投入和多指标产出对相同类型的单位（部门）进行相对有效性或效益评价的一种新的系统分析方法。它是处理多目标决策问题的好方法。

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题题




重要概念

决策单元（ Decision Making Units,简称 DMU）

一个经济系统可以看成一个单元在一定可能范围内，通过投入一定数量的生产要素并产出一定数量的产品的活动，这样的单元就被称为决策单元。 ( 当然，一个单元的不同时间阶段也可以看做是不同的决策单元）。

特点：1. 具有一定的输入和输出2. 在将输入转换成输出的过程中，努力实现自身的决策

目标。

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题题




重要概念

决策单元的相对有效性

评价的依据是决策单元的“输入”和“输出”数据，根据输入和输出数据来评价决策单元的优劣。

决策单元的相对有效性（即决策单元的优劣）被称为 DEA有效，它用数学规划模型计算比较决策单元之间的相对效率，为评价对象作出评价。

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题题




DEA 步骤

1. 假设设某个 DMU 的输入向量为 ,输出向量为。则 n 个（）对应的输入、输出向量分别为：而且即每个决策单元都有 m 种类型的输入以及 s 种类型的输出为第 j 个决策单元对第 i 种类型输入的投入量；为第 j 个决策单元对第 r 种类型输出的产出量。这些都是已知的数据。

Tmxxxx ),,( 21

Tsyyyy ),,( 21

jDMU nj 1

,0),,,( 21 Tmjjjj xxxx ,0),,,( 21 T

sjjjj yyyy nj ,,2,1

srmiyx rjij ,,2,1;,,2,1,0,0

ijxrjy

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题题




DEA 步骤

1. 假设现在，我们是要最优化这些决策单元，那么我们假设一个

假想决策单元满足产出最大，同时投入最小。在此基础上，我们来判断是否真的满足该条件。0j

0j

),,2,1(1

mixijn

jj

),,2,1(1

sryrjn

jj

)0(11

j

n

jj

因此，我们假设该决策单元的第 i 项投入为

产出为且

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题题




2. 构造数学模型我们进行检验，先假设存在其他的决策单元组合的产出不

低于而且投入尽可能的比小，构造数学模型如下：

0j0j

min

),,2,1(0,1

),,2,1(

),,2,1(

..

1

01

01

nj

mixx

sryy

ts

j

n

jj

ijij

n

jj

rj

n

jrjj

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题题




3. 求解并判断当求解结果为时，说明存在其他的决策单

元比该决策单元更满足条件，所以，该决策单元非 DEA 有效；

当时，该决策单元 DEA 有效。并可以根据所求得的最优解重新分配各决策单元的比例，也就是系数 , 再生成新的决策单元，又继续检验。

10j

1 0j

j 0j

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题题




习题例 8 振华银行的 4 个分理处的投入产出情况如表 1-16所示

。要求分别确定各分理处的运行是否 DEA有效。

分理处投入产出

职员数营业面积（）储蓄存取贷款中间业务

分理处 1 15 140 1800 200 1600

分理处 2 20 130 1000 350 1000

分理处 3 21 120 800 450 1300

分理处 4 20 135 900 420 1500

表 1-16 产出单位：处理笔数 / 月

2m

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题题




解：根据数据包络法，我们假设构造一个决策单元组合，

使得其第 i 个项的投入为第 r 项的产出为且

然后，让我们以分理处 1 为例，将分理处 1 作为，来判断分理处 1 的运行是否 DEA 有效。建立数学模型如下：

。其中 1,2i,4

1

ijj

jx

。其中 3 2, 1,r,4

1

rjj

j y

0j

14

1

j

j

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题题




将该模型代入到 Excel电子表格中进行求解得 θ=1 。

)4,3,2,1(,0

1

140135120130140

1520212015

16001500130010001600

200420450350200

180090080010001800

..

min

4321

4321

4321

4321

4321

4321

j

ts

j

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题题




同理分别以分理处 2 ， 3 ， 4 作为要衡量的决策单元，得θ=0.966， 1 ， 1 。

因此，这几个分理处的有效性见下表：

分理处 θ 结论

分理处 1 1 DEA 有效

分理处 2 0.966 非 DEA 有效



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题题




DEA 在评价城市发展的可持续性中的应用案例背景分析目前对城市可持续发展影响最大的是环境问题。所以，我

们把城市的可持续发展系统视作 DEA 中的一个决策单元，它具有特定的输入输出，在将输入转化成输出的过程中，努力实现系统的可持续发展目标。现在，我们利用 DEA 方法对天津市的可持续发展进行评价。在这里选取具有代表性的指标作为输入变量和输出变量。

输入变量：政府财政收入占 GDP 的比重、环保投资占 GDP 的比重、每千人科技人员数；

输出变量：经济发展（用人均 GDP 表示）、环境发展（用城市环境质量指数表示，在计算过程中，城市环境指数的数值作了归一化处理）。（具体数值见下表）

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题题




序号决策单元

政府财政收入占GDP 的比重

环保投资占GDP 的比重

每千人科技人员数人均 GDP

城市环境质量

指数1 1990 14.40 0.65 31.30 3621.00 0.00

2 1991 16.90 0.72 32.20 3943.00 0.09

3 1992 15.53 0.72 31.87 4086.67 0.07

4 1993 15.40 0.76 32.23 4904.67 0.13

5 1994 14.17 0.76 32.40 6311.67 0.37

6 1995 13.33 0.69 30.77 8173.33 0.59

7 1996 12.83 0.61 29.23 10236.00 0.51

8 1997 13.00 0.63 28.20 12094.33 0.44

9 1998 13.40 0.75 28.80 13603.33 0.58

10 1999 14.00 0.84 29.10 14841.00 1.00

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题题




同样的 , 我们以序号 1（ 1990年）为例建立数学模型

)10,,2,1(,0

1

*30.31*10.29*80.28*20.28

*23.29*77.30*40.32*23.32*87.31*20.32*30.31

*65.0*84.0*75.0

*63.0*61.0*69.0*76.0*76.0*72.0*72.0*65.0

*40.14*00.14*40.13*00.13

*83.12*33.13*17.14*40.15*53.1590.16*40.14

00.0*00.1*58.0

*44.0*51.0*59.0*37.0*13.0*07.0*09.0*00.0

00.3621*00.14841*33.13603*33.12904*00.10236

*33.8173*67.6311*67.4904*67.4086*00.3943*00.3621

..

min

10

1

1098

7654321

109

87654321

1098

7654321

109

87654321

10987

654321

j

ts

j

jj

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题题




同样将该模型代入到 Excel电子表格中进行求解得 θ=0.2854同理可得其他的 θ的最优解 ,所有决策单元的结果如下表所示 :

年份 θ 结论

1990 0.2854 非 DEA 有效

1991 0.2902 非 DEA 有效1992 0.2968 非 DEA 有效1993 0.3425 非 DEA 有效1994 0.4595 非 DEA 有效1995 0.7183 非 DEA 有效1996 0.9069 非 DEA 有效1997 1 DEA 有效1998 1 DEA 有效1999 1 DEA 有效

我们可以看到 θ值逐年增加 ,而 1997年开始有效。显而易见 , 天津市在 20世纪 90年代的发展是朝着可持续发展的方向前进的 ,并且在 1997年以后取得了显著效果。

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第一节 单纯形法的矩阵描述 及改进单纯形法介绍

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