素数判定法

2011/6/20

Eratosthenesのふるい

古典的

• ２から n-1まで割ってみる• 割り切れた時点で nは合成数• 実際は SQR(n)までで OK

Fermatと eulerの定理• Fermatの小定理pを任意の素数としたとき　　　　 ap-1 ≡ 1 (mod p)

• Eulerの定理pを整数 ,aを pと互いに素な整数としたとき　　　　 aφ(p) ≡ 1 (mod p)

自然数 nがあったとしてnと互いに素な aで

　 an-1 ≡ 1 (mod n)

が成り立たないものがあれば nは合成数

●逆は成り立たない！

Fermatテスト

擬素数とカーマイケル数Fermatテストを“すり抜ける”合成数があるすなわち、 nが合成数であっても、nと互いに素である aでan-1 ≡ 1 (mod n)となるｊものがある（擬素数）。

特に、 nと互いに素なすべての aで上記がなりたつものをカーマイケル数と呼ぶ

５６１＝３ｘ１１ｘ１７

Solovay-Strassen素数判定法

• 二次合同式  X2 mod pの解を利用（ pを法とした平方剰余）

• Eulerの基準

pを奇素数、 aを pと互いに素な任意の数としたとき、次の合同式が成り立つ。　　　　　　　 a(p-1)/2 ≡ (a/p) (mod p)

(a/p)は Legendre記号　　　 aが pを法とした平方剰余の場合 (a/p)=1         aが pを法とした非平方剰余の場合 (a/p)=-1

• Solovay-Strassen素数判定法のまとめ

Fermatテストでのカーマイケル数のような擬素数は存在しない。

nが合成数であれば、 1から  n - 1のうち少なくとも半分は合成数と判別可能

k回のテストに対し、合成数に対して誤った判定を返す確率は (1/2)k

Miller Rabin素数判定法

素数の性質

• pを奇素数とし、 p - 1 = 2kq (qは奇数 )と表す。また、 aを pと互いに素な任意の数とすると

　　　 aq ≡ 1 ( mod p )

• K = 2i(但し  iは 0から k - 1までの整数 )としたとき、 aKq ≡ -1 ( mod p )が成り立つ  Kが必ず一つ存在する。

p - 1 = 2k×q とおく。 pと互いに素な aをとる

 (i) aq=1 mod p  または、 (ii) aq,a2q,a4q,...,a2k-1qの どれか一個は pを法として -1(=p-1)

フェルマーの小定理より  ap-1 = 1 mod p aq,a2q,a4q,...,a2k-1q,a2kqの 最後の項は ap-1なので、1となる。 この系列は、前の項の二乗が次の項になっているので、 以下の二通りの場合がありうる。

 (a) aq = 1 mod p (b) 途中のある項が 1をとる。その場合、その直前の項は -1(=p-1)をとる。

Miller Rabinの確率的判定法pを奇数として、奇数 qに対して p - 1 = 2k×qとおく

(i) aq≠1 mod p  かつ、 (ii) aq,a2q,a4q,...,a2k-1qのすべてが、  pを法として

　　 -1をとらない。

Miller Rabin判定法では、 1から p-1の間の pとは互い素な aの 75%が合成数であることの 証人になる。

1個の底 aでテストしたときに合成数を合成数でないと判定する 確率は 25%

2個の底ではその確率は 25%×25%=6.25%

10個の底を使用した場合には 9.5×10-5%

AKS素数判定法