第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法 第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法

4.1 根 轨 迹 方 程

4.2 根轨迹绘制的基本法则

4.3 广 义 根 轨 迹

End

本章作业

4.1 4.1 根轨迹方程根轨迹方程4.1 4.1 根轨迹方程根轨迹方程

根轨迹：是指开环系统某个参数由 0 变化到∞，闭环特征根在 s 平面上移动的轨迹。根轨迹与系统性能密切相关。

Kss

K

Kss

Ks

2)1(

)(

2

41

2

1,

2

41

2

121

Ks

Ks

表示系统的闭环极点

0

j

j0.5K=1/2

-0.5-1

s1

s2

闭环特征方程为 s2+s+K=0, 解得闭环特征根表达式

令 K （由 0 到∞ ）变动， s1 、 s2 在 s 平面的移动轨迹即为根轨迹。研究根轨迹的目的：分析系统的各种性能（稳定性、稳态性能、动态性能）

4.1.1 根轨迹 (root locus) 概念1)( ss

KR(s)

(-)

C(s)

4.2 4.3

动画演示

• 根轨迹增益： K* 为开环系统根轨迹增益；闭环系统根轨迹增益 等于开环系统前向通路根轨迹增益。 ( 由下式及 m<n 可知）

• 开环零点：指系统开环传递函数中分子多项式方程的根。• 开环极点：指系统开环传递函数中分母多项式方程的根。• 闭环零点：指系统闭环传递函数中分子多项式方程的根。闭环

零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。

• 闭环极点：指系统闭环传递函数中分母多项式方程的根。闭环极点与开环零、极点以及根轨迹增益 K* 均有关。 (K*→0, 开闭环极点相同。 )

n

jj

m

ii

n

m

ps

zsK

pspspsa

zszszsbsHsG

1

1*

210

210

)(

)(

)())((

)())(()()(

m

ii

n

jj

n

jj

zsKps

pssG

sHsG

sGs

1

*

1

1

)()(

)()(

)()(1

)()(

4.1.2 开 / 闭环传递函数零极点表达式

• 根轨迹法的基本任务：• 由已知的开环零、极点分布 及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。

1. 由闭环特征方程得根轨迹方程为 G(s)H(s)= –1 。

),2,1,0(1)(

)()12(

1

1

*

ke

ps

zsKk

n

ii

m

jj

,1||

||

1

1

*

n

ii

m

jj

ps

zsK)12()()(

11

kpszsn

ii

m

jj

4.1.3 根轨迹方程 (magnitude and phase equations)

再把矢量方程表示为模值方程与相角方程，其模值方程和相角方程分别为：

2. 将根轨迹方程写成零、极点表示的矢量方程为：

MATLAB 仿真 -Root

• 法则 4: 实轴上的根轨迹 :实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、 极点数目之和应为奇数。

• 法则 2: 根轨迹对称于实轴 : 闭环极点若为实数，则位于 [s] 平面实轴；若为复数则共轭出现，所以根轨迹对称于实轴。

• 法则 3: 根轨迹的起点与终点 :根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点数 m 小于开环极点数 n ，则有（ n-m ）条根轨迹终止于无穷远处 (的零点 )。

mn

zpm

ii

n

ii

a

11• 法则 5:根轨迹的渐近线 :渐近线与实轴交点的坐标

而渐近线与实轴正方向的夹角 k 依次取 0,+1,–1,+2,–2,… 一直到获得 n-m 个倾角为止。其中， n

为开环极点数， m 为开环零点数。 (a 可由相角方程中 s 得到。 )

mn

ka

)12(

4.24.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则 4.24.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则

例 1a

4.3

证 1

4.1

例 1 例2

证 1

例 1b

• 法则 1: 根轨迹的分支数 :根轨迹在 [s] 平面上的分支数等于闭环 特征方程的阶数 n, 也就是分支数与闭环极点的数目相同。

• 法则 8: 根轨迹与虚轴的交点 ( 也可用劳斯判据 )：

• 法则 7: 分离点（会合点）坐标 d ：o 几条根轨迹在 [s] 平面上相遇后又分开的点，称为分离点。o 分离点的坐标 d 可由方程

得到。

m

i i

n

i i zdpd 11

11

0)()(1 jHjG

0)]()(1Im[

0)]()(1Re[

jHjG

jHjG

)(111

常数apsn

ii

n

ii

)zz()pz()1k2( j

m

kj1j

ki

n

1ikzk

o 终止角：

紧转例 4

• 法则 9: 根之和：o 若 n-m>=2 ，则有

例 2 证 3

例 2

例 2

动画演示

• 法则 6: 根轨迹的起始角 (从极点 pk) 和终止角 (到零点 zk) ：o 起始角： )()()12(

11i

n

ki

ikjk

m

jpk ppzpk

例3

证2

证明 1• 由根轨迹方程：

*/1)(

)(

1

1 Kps

zs

n

ii

m

jj

01

lim)(

)(

lim

1

1

mnsn

ii

m

jj

s sps

zs

)12()()(11

kpszsn

ii

m

jj

j

p01

p02

p03

p04 0 z01z 02

z 03

z 04

s0

z 05

其余 n-m 条终止于无穷远处 :

起点 :K*=0, 式 (#) ∞, 所以 s=pi (i=1,2,…n)

终点 :K* ∞, 式 (#) 0, 所以 s=zj (j=1,2,…m)

证明 2

• 由

n

kii

i

m

jjk pszskps

11

111 )12()(

n

kii

ik

m

jjkpskpk ppzpkps

k11

1 )12(1

)z(z)p(z)π1k2(θ j

m

kj1j

ki

n

1ikzk

)12()()(11

kpszsn

ii

m

jj

• 同理得

• 假设在一开环极点 pk 附近取一点 s1, 则

证明 3

• 系统闭环特征方程为 0)()(1

*

1

m

jj

n

ii zsKps

0)()(1

*

1

m

jj

n

ii zsKps 0)]()([

1

*

1

m

jj

n

ii zsKps

ds

d

m

jj

m

jj

n

ii

n

ii

zs

zsdsd

ps

psdsd

1

1

1

1

)(

])([

)(

])([

ds

zsd

ds

psdm

jj

n

ii

11

)(ln)(ln即

n

ii

n

ii psps

11

)ln()(ln又

m

jj

m

jj zszs

11

)ln()(ln

m

i i

n

i i zsps 11

11即

m

j

jn

i

i

ds

zsd

ds

psd

11

)ln()ln(代入得

• 根轨迹若有分离点，表明闭环特征方程有重根，重根条件为

• 两式相除得

例 1a

103

)2()1(011

mn

zpm

ii

n

ii

a

,3

,3

)12(

mn

ka

)2)(1()(

*

sss

KsG

例 1b 已知单位反馈系统的

动画演示

动画演示

)22()(

2

*

sss

KsG单位反馈系统的

例 2

p02

j

0-1

j1 j1.15

a

p03

p0160

603

2

45

2,4: * K临界稳定

3

2

03

)1()1(011

jj

mn

zpσ

m

ii

n

ii

a

mn

ka ,

3,

3

)12(

n

kii

ik

m

jjkpk ppzpk

11

)12(

0220)22(0)()(1 *23*23

KjjKssssHsGjs

即

4,202

02 *

3

*2

KK

44

3

20)12(2

kp

动画演示

)2( 此时另一闭环极点为

例 3

103

)2()1(011

mn

zpσ

m

ii

n

ii

a

π ,π

,π

mn

π2ka

33

1)(

02

1

1

11

ddd

)(58.1,42.0 21 舍去 dd

023

0)23(0)()(1

*23

*23

Kjj

KssssHsGjs

即

6K,2ω *

• 开环增益为 K=K ＊ /2 ， K 的稳定域为 0<K<3 .

)2)(1()(

*

sss

KsG• 例 : 某单位反馈系统

，

动画演示

例 4 （了解即可）

0

j

j2.45

j4

-4-2

10j

45

135

复数分离点

实数分离点)42)(42)(4(

)204)(4()()(

*

2

*

jsjsss

K

ssss

KsHsG

• 例 :

若开环零、极点个数均为偶数，且左右对称分布于一条平行于虚轴的直线，则根轨迹一定关于该直线左右对称。

MATLAB 仿真 -Root-6

2

* )1()(

s

sKsG

例 5

j

0

s1

s2

• 例 :

带开环零点的二阶系统，若能在复平面上画出根轨迹，则复平面根轨迹一定是圆或圆弧。

动画演示

MATLAB 仿真 -Root-7

•例 6: 已知系统 , 求 Ta 由0→∞ 的闭环根轨迹。

)15(

)1(5)()(

ss

sTsHsG a

•解 : 原系统的闭环特征方程为 D(s)=1+G(s)H(s)=s(5s+1)+5(Tas+1)=0 ，

所以 就是新的开环传函，而 5Ta 相当于新的开环增益。 55

52 ss

sTa

4.3 4.3 广义根轨迹广义根轨迹4.3 4.3 广义根轨迹广义根轨迹

• 变化的参数不是开环根轨迹增益 K* 的根轨迹叫参数根轨迹。• 将开环传函变形，让变化的参数处于开环增益的位置，就可以采用绘制常规根轨迹时的法则。

• 解题关键：要将开环传函变形，将非开环增益的参数变换到开环增益的地位。

将和参数有关的各项归并在一起，上式可写为 5s2+s+5+5Tas=0

4.1 4.2

4.3.1 参数根轨迹 (parameter root locus)

在负反馈系统中， K* 变化时的根轨迹叫做常规根轨迹。其他情况下的根轨迹称广义根轨迹。通常有参数根轨迹和零度根轨迹。

例 7 ：求 Tm 从 0 → ∞ 时的根轨迹

1)( sTs

K

m

R(s)

(-)

C(s)

j

0

P1

P2

-K

原系统的闭环特征方程为 Tms2 + s + K = 0

整理可得等效开环传函

或由 s2 + s/Tm + K/Tm = 0

得新的特征方程为 s2 + (s+ K)/ Tm = 0

)1)()((

1

''2

sHsGs

KsTm 即

）（

则新的等效开环传函为

)1)()((01 ''2

sHsGKs

sTm 即）（

动画演示

MATLAB 仿真 -Root-8

• 如果系统的特征方程的形式为 1-G(s)H(s)=0,

),2,1,0k(e1

)ps(

)zs(Kk2

n

1ii

m

1jj

*

4.3.2 零度根轨迹 (0o root locus)

其根轨迹叫零度根轨迹。

此时因为其相角遵循条件：

零度根轨迹与 180 根轨迹的区别体现在：1. 实轴上的根轨迹；2. 渐近线与实轴的夹角；3. 出射角与终止角。

•附加开环零点的作用

( 参见 P132)

增加极点

增加零点

MATLAB 仿真 -Root-9

)22()()(

2

*

sss

KsHsG

本 章 作 业本 章 作 业本 章 作 业本 章 作 业

P147

• 4-1• 4-2(2)• 4-3(2)• 4-4• 4-5• 4-10(1)