《高中数学同步辅导课程》

人教版高一数学上学期第一章第 1.2 节

子集、全集、补集 (2)

主讲：特级教师 王新敞

教学目的：

（ 1 ）使学生进一步熟悉集合的包含、相等关系；（ 2 ）使学生加深理解子集、真子集的概念；（ 3 ）使学生了解全集的意义及补集的概念；

一般地，对于两个集合 A 与 B ，如果集合 A

中的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们就说集合 A 包含于集合 B ，或集合 B 包含集合 A ，记作 A B （ B A ），这时我们也说集合 A 是集合 B 的子集 .

子集定义：

如： A={2 ， 4} ， B={2 ， 5 ， 7} ，则A B

当集合 A 不包含于集合 B ，或集合 B 不包含集合A ，则记作 A B （ B A ）

知识回顾

规定：空集是任何集合子集 . 即 A （ A 为任何集合） .

规定：任何一个集合是它本身的子集 .

如 A={11 ， 22 ， 33} ， B={20 ， 21 ，31} ，那么有 A A ， B B.

例如： A={ 正方形 } ， B={ 四边形 } ， C={ 多边形 } ，则从中可以看出什么规律：

AB ， B C ，从上可以看到，包含关系具有“传递性” .

A C

知识回顾

如果 A B ，并且 A ≠B ，则集合 A 是集合 B 的真子集 .

可这样理解：若 A B ，且存在 bB ，但 bA ，称 A 是 B 的真子集 .

真子集关系也具有传递性

规定： 是任何非空集合的真子集 .

A 是 B 的真子集，记作 A B （ B A ）

若 A B ， B C ，则 A C

真子集的定义：

bB A

C

B A

知识回顾

集合相等的定义：

一般地，对于两个集合 A 与 B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，集合 B的任何一个元素都是集合 A 的元素，我们就说集合 A 等于集合 B ，记作 A =B.

用式子表示：如果 AB ，同时 AB ，那么 A=B.

知识回顾

新课讲授事物都是相对的，集合中的部分元素与集合之间关系就是部分与整体的关系 .

事物都是相对的，集合中的部分元素与集合之间关系就是部分与整体的关系 . 如图所示，表示：S={ 全班同学 }A={ 班上参加足球队同学 }B={ 班上没有参加足球队同学 }那么 S 、 A 、 B 三集合关系如何？

如图所示，表示：S={ 全班同学 }A={ 班上参加足球队同学 }B={ 班上没有参加足球队同学 }那么 S 、 A 、 B 三集合关系如何？ 集合 B 就是集合 S 中除去集合 A 之后余下来的集合 . 即图中阴影部分 . 集合 B 就是集合 S 中除去集合 A 之后余下来的集合 . 即图中阴影部分 .

·Ç×ãÇò¶Ó

×ãÇò¶Ó

SB

A

新课讲授 补集定义： 一般地，设 S 是一个集合， A 是 S 的一个子集（即 AS ），由 S 中所有不属于 A 元素组成的集合，叫做 S 中集合 A 的补集（或余集） .

补集定义： 一般地，设 S 是一个集合， A 是 S 的一个子集（即 AS ），由 S 中所有不属于 A 元素组成的集合，叫做 S 中集合 A 的补集（或余集） .

记作 CSA ，即 CSA={x| x S 且 x A} 记作 CSA ，即 CSA={x| x S 且 x A} 全集定义： 如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，记作 U.

全集定义： 如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，记作 U.

解决某些数学问题时，就要以把实数集看作是全集 U ，那么有理数集 Q 的补集 CUQ 就是全体无理数的集合 .

解决某些数学问题时，就要以把实数集看作是全集 U ，那么有理数集 Q 的补集 CUQ 就是全体无理数的集合 .

例题讲解1.1. 填充题：填充题：⑴⑴若若 S={2S={2 ，， 33 ，， 4}4} ，， A={4A={4 ，， 3}3} ，则，则 CCSSA=A=

__________________⑵⑵ 若若 S={S={ 三角形三角形 }} ，， A={A={ 锐角三角形锐角三角形 }} ，则，则 CC

SSA=_________A=_________

⑶⑶ 若若 S={1S={1 ，， 22 ，， 44 ，， 8}8} ，， A=A= ，则，则 CCSSA=_A=_

____⑷⑷ 若若 U={1U={1 ，， 33 ，， aa22+2+2 a a +1} +1} ，， A={1A={1 ，， 3}3} ，，则则 CCUUA ={5},A ={5}, 则则 aa =_______ =_______

1.1. 填充题：填充题：⑴⑴若若 S={2S={2 ，， 33 ，， 4}4} ，， A={4A={4 ，， 3}3} ，则，则 CCSSA=A=

__________________⑵⑵ 若若 S={S={ 三角形三角形 }} ，， A={A={ 锐角三角形锐角三角形 }} ，则，则 CC

SSA=_________A=_________

⑶⑶ 若若 S={1S={1 ，， 22 ，， 44 ，， 8}8} ，， A=A= ，则，则 CCSSA=_A=_

____⑷⑷ 若若 U={1U={1 ，， 33 ，， aa22+2+2 a a +1} +1} ，， A={1A={1 ，， 3}3} ，，则则 CCUUA ={5},A ={5}, 则则 aa =_______ =_______

{2} {2} { 直角三角形或钝角三角

形 } { 直角三角形或钝角三角

形 } S S

1 5 ⑸⑸ 已知已知 A={0A={0 ，， 22 ，， 4}4} ， ， CCUUA ={-1A ={-1 ，， 1}1} ，，则则 CCUUB={-1B={-1 ，， 00 ，， 2}2} ，求，求 B=_______B=_______

⑹⑹ 设全集设全集 U={2U={2 ，， 33 ，， mm22+2+2 m m -3} -3} ，， A={|A={|m+1|,2}m+1|,2} ，则，则 CCUUA ={5},A ={5}, 求求 m= _______m= _______

⑸⑸ 已知已知 A={0A={0 ，， 22 ，， 4}4} ， ， CCUUA ={-1A ={-1 ，， 1}1} ，，则则 CCUUB={-1B={-1 ，， 00 ，， 2}2} ，求，求 B=_______B=_______

⑹⑹ 设全集设全集 U={2U={2 ，， 33 ，， mm22+2+2 m m -3} -3} ，， A={|A={|m+1|,2}m+1|,2} ，则，则 CCUUA ={5},A ={5}, 求求 m= _______m= _______

{1 ， 4} {1 ， 4}

-4 或 2 -4 或 2

例题讲解 作 业作 业

2.2. 设全集设全集 U={1U={1 ，， 22 ，， 33 ，， 4}4} ，， A={A={ x x | | x x 22-5-5 x x

+m=0+m=0 ，， xx U} U} ，求，求 CCUUAA 、、 m.m.

2.2. 设全集设全集 U={1U={1 ，， 22 ，， 33 ，， 4}4} ，， A={A={ x x | | x x 22-5-5 x x

+m=0+m=0 ，， xx U} U} ，求，求 CCUUAA 、、 m.m. 解：将解：将 xx =1 =1 ，， 22 ，， 33 ，， 44 代入代入 xx 22-5-5 x x +m=0 +m=0

中，中， 解：将解：将 xx =1 =1 ，， 22 ，， 33 ，， 44 代入代入 xx 22-5-5 x x +m=0 +m=0

中，中， 得得 m=4m=4 或或 m=6m=6 得得 m=4m=4 或或 m=6m=6 当当 m=4m=4 时，时， xx 22-5-5 x x +4=0 +4=0 ，即，即 A={1A={1 ，，

4}4} 当当 m=4m=4 时，时， xx 22-5-5 x x +4=0 +4=0 ，即，即 A={1A={1 ，，

4}4} 当当 m=6m=6 时，时， xx 22-5-5 x x +6=0 +6=0 ，即，即 A={2A={2 ，，

3}3} 当当 m=6m=6 时，时， xx 22-5-5 x x +6=0 +6=0 ，即，即 A={2A={2 ，，

3}3} 故 故 m=4, A={1,4}, Cm=4, A={1,4}, CUUA={2,3}.A={2,3}.

或 或 m=6.A={2,3}, Cm=6.A={2,3}, CUUA={1,4}A={1,4}故 故 m=4, A={1,4}, Cm=4, A={1,4}, CUUA={2,3}.A={2,3}.

或 或 m=6.A={2,3}, Cm=6.A={2,3}, CUUA={1,4}A={1,4}

自我演练 简答题

1.U =R={ 实数 } ， Q ={ 有理数 } ，则 CCUUQQ 的意义的意义 ..

2. U ={ 梯形 } ， A={ 等腰梯形 } ，则 CUA 的意义 .

3. U =Z ，则 CUN+ 的意义 .

4 .U=N ，则 CUN+ 的意义 .

5. U =R ，则 CU (CUQ) 的意义 .

6.U={ 四边形 } ， A={ 至少有一组对边平行的四边形 } ，则 CUA 的意义 .

课时小结

一般地，设 S 是一个集合， A 是 S 的一个子集（即 AS ），由 S 中所有不属于 A 元素组成的集合，叫做 S 中集合 A 的补集（或余集） .

一般地，设 S 是一个集合， A 是 S 的一个子集（即 AS ），由 S 中所有不属于 A 元素组成的集合，叫做 S 中集合 A 的补集（或余集） .

如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，记作 U.

如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，记作 U.

补集：补集：

全集：：全集：：

本节课到此结束，请同学们课后再做好复习。谢谢！

再见！