1

§5 －１ 引言§5 －１ 引言

1 、弯曲构件横截面上的（内力）应力

内力剪力 Q 剪应力

弯矩 M 正应力

平面弯曲时横截面纯弯曲梁 ( 横截面上只有 M 而无 Q的情况 )

平面弯曲时横截面剪剪剪剪横截面上既有 Q 又有 M 的情况

2 、研究方法

纵向对称面

P1 P2例如：

某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如 AB 段。

P Pa a

A B

Q

M

x

x

纯弯曲 (Pure Bending):

§5 － 2 平面弯曲时梁横截面上的正应力

§5 － 2 平面弯曲时梁横截面上的正应力

1. 梁的纯弯曲实验

横向线 (a b 、 c d ）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。

（一）变形几何规律：　　　　　　　　

一、 纯弯曲时梁横截面上的正应力

中性层纵向对称面

中性轴

b d

a c

a

b

c

d

MM

横截面上只有正应力。　

平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。　

（可由对称性及无限分割法证明）

3. 推论

2. 两个概念

中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。

中性轴：中性层与横截面的交线。

7

平面假设

梁在纯弯曲时，横截面仍保持为平面，且与梁变形后的轴线仍保持正交，只是绕垂直于纵对称轴的某一轴转动。

即中性轴

mabm

an

bn

Me Me

m

m

n

n

a ab b

8

根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层，称为中性层 。

中性层

中性轴 中性层与横截面的交线就是中性轴。中性层 中性轴

Me Me

9

y

OO

BB

AB

BB

21

1

1

1

dd21 xOO

d)( yAB

——中性层的曲率半径

C

A B

y

O1O2

B1

d

}

dx

Me Me

m

m

n

n

a ab b

10

A1 B1

O1O

4. 几何方程：

(1) ......

yx

a b

c dA B

d

x

y

11111 OOBA

AB

ABBAx

剪 剪 剪

OO1

剪

yy

d

dd)(

11

（二）物理关系：　　　　　　　　

假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应 力状态。

(2) ......

EyE xx

xx

（三）静力学关系：　　　　　　　　

0ddd z

AAAx

ESAy

EA

EyAN

轴过形心中性)( 0 zS z

0dd)d( yz

AAAy

EIAyz

EA

EyzzAM

（对称面）

MEI

AyE

AEy

yAM z

AAAz dd)d( 2

2

z

z

EI

M

1

… …(3)

(4) ...... z

xI

M y

这是纯弯梁变形时中性层曲率的表达式。 EIz 称为梁的抗弯刚度。

y

EE

zEI

M

1

弯曲正应力计算公式

zI

My

14

中性轴 z 为横截面的对称轴时

zI

Mymaxmax

称为抗弯曲截面模量

maxy

I

M

z zW

M

y

zz

y

b

h

15

中性轴 z 不是横截面的对称轴时

zI

My max,tmaxt,

zI

My maxc,maxc,

O z

yy t，

max

y c，

max

16

（四）最大正应力：　

zW

Mmax … …(5)

maxy

I W z

z 抗弯截面模量。

17

简单截面的轴惯性矩和抗弯截面模量

⑴ 矩形截面

12

3bhI z 62/

2bh

h

IW z

z

12

3hbI y

62/

2hb

b

IW y

y

⑵ 圆形截面

64

π 4dII yz

32

π

2/2/

3d

d

I

d

IWW yz

yz

z

y

b

h

y

z

d

18

⑶ 空心圆截面

44

44

164

π

64

π

D

dDII yz

Dd /

yz

z WD

D

IW 4

3

132

π

2/

(4) 型钢截面：参见型钢表

式中

D

O

d

y

z

19

纯弯曲理论的推广横力弯曲时：

1 、由于切应力的存在梁的横截面发生翘曲；

2 、横向力还使各纵向线之间发生挤压。

平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。

20

弹性力学的分析结果：

对于细长梁（ l/h > 5 ），纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。

zI

yxM )(

zW

xM )(max

l

F

例 1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：

（ 1 ） 1——1 截面上 1 、 2

两点的正应力；（ 2 ）此截面上的最大正应力；（ 3 ）全梁的最大正应力；（ 4 ）已知 E=200GPa ，求 1

—1 截面的曲率半径。

Q=60kN/m

A B

1m 2m

1

1

x

M

+

8

2qL

M1 Mmax

1 2

120

180z

y

解：画 M 图求截面弯矩

kNm60)22

( 1

2

1 x

qxqLxM

30

Q=60kN/m

A B

1m 2m

1

1

x

M

+

8

2qL

M1 Mmax

1 2

120z

y

kNm5.678/3608/ 22max qLM

451233

m10832.51012

180120

12

bhI z

34 m1048.62/ zz IW

MPa7.6110832.5

6060 5

121

zI

yM

求应力

180

30

MPa6.921048.6

60 41max1

zW

M

m4.1941060

832.5200

11

M

EI z

MPa2.1041048.6

5.67 4maxmax

zW

M

求曲率半径

Q=60kN/m

A B

1m 2m

1

1

x

M

+

8

2qL

M1 Mmax

1 2

12018

030

§5 － 3 梁横截面上的剪应力§5 － 3 梁横截面上的剪应力一、 矩形截面梁横截面上的剪应力

1 、两点假设： 剪应力与剪力平行；矩中性轴等距离处，剪应力 相等。

dxx

5.12

3max

A

Q

)4

(2

22

yh

I

Q

z

矩Q

方向：与横截面上剪力方向相同；

大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度 h 分布为抛物线。

最大剪应力为平均剪应力的 1.5 倍。

2 、几种常见截面的最大弯曲剪应力

① 工字钢截面：

maxmin

;maxA

Q

f

结论： 翼缘部分 max« 腹板上的 max ，只计算腹板上的 max 。

铅垂剪应力主要腹板承受（ 95~97% ），且 max≈ min

故工字钢最大剪应力

Af — 腹板的面积。;maxA

Q

f

②圆截面： 3

4

3

4max

A

Q ③薄壁圆环： 22max

A

Q

④ 槽钢：

e

x

y

z

P

QRRz

z

bI

QS

，合力为腹板上 ;

。合力为翼缘上 HzI

QA;

21

0)d( Ax dAM 力臂

R

Hhe

Q

e

Q

eh

§5-4 梁的正应力强度条件 • 梁的合理截面§5-4 梁的正应力强度条件 • 梁的合理截面

1 、危险面与危险点分析：

一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；

M

一、梁的正应力强度条件

2 、正应力强度条件：

zW

Mmaxmax

28

3 、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：

、校核强度：Œ 校核强度： ];[max

剪 设计截面尺寸：][

max

M

Wz

Ž 设计载荷： )(][ ];[ maxmax MfPWM z

4 、需要校核剪应力的几种特殊情况：

梁的跨度较短， M 较小，而 Q 较大时，要校核剪应力。

铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。

各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。

解：画内力图求危面内力

例 2 矩形 (bh=0.12m0.18m ）截面木梁如图， []=7MPa ， []=0.

9 M Pa ，试求最大正应力和最大剪应力之比 , 并校核梁的强度。

N54002

33600

2max

qL

Q

Nm40508

33600

8

22

max

qL

M

q=3.6kN/m

x

M

+

8

2qL

A BL=3m

Q

2

qL

2

qL

–+

x

求最大应力并校核强度

应力之比

7.163

2max

max

max h

L

Q

A

W

M

z

q=3.6kN/m

x

M

+

8

2qL

Q

2

qL

2

qL

–+

x

][7MPa6.25MPa

18.012.0

40506622

maxmaxmax

bh

M

W

M

z

][0.9MPa0.375MPa 18.012.0

54005.15.1 max

max

A

Q

y1

y2

G

A1

A2

A3

A4

解：画弯矩图并求危面内力

例 3 T 字形截面的铸铁梁受力如

图，铸铁的 [L]=30MPa ， [y]=6

0 MPa ，其截面形心位于 G 点，

y1=52mm ， y2=88mm ， Iz=763c

m4 ，试校核此梁的强度。并说明 T 字梁怎样放置更合理？

kN5.10;kN5.2 BA RR

)(kNm5.2 下拉、上压CM

（上拉、下压）kNm4BM

4

画危面应力分布图，找危险点

P1=9kN

1m 1m 1m

P2=4kN

A BC D

x

2.5kNm

-4kNm

M

校核强度

MPa2.2810763

885.28

22

z

CLA I

yM

MPa2.2710763

5248

1

3

z

BLA I

yM

MPa2.4610763

8848

2

4

z

ByA I

yM

LL 2.28max

yy 2.46max

T 字头在上面合理。

y1

y2

G

A1

A2

A3

A4

x

2.5kNm

-4kNm

M

y1

y2

G

A3

A4

MPa6.1610763

525.28

11

z

CyA I

yM

33

拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁

][ tmax,t

][ cmax,c O z

yy t，

max

y c，

max

][ tmaxt,max

maxt, zI

yM

][ cmaxc,max

maxc, zI

yM ][

][

c

t

maxc,

maxt,

y

y

为充分发挥材料的强度，最合理的设计为

34

§7-6 梁的合理设计

一、合理配置梁的荷载和支座

][maxmax

zW

M控制强度条件：M↓

Wz↑

35

2max 125.0

0

qlMM

a

C

时当

2

max

0214.0

207.0

ql

MMM

la

CB

时当

36

二、合理选取截面形状1 、 尽可能使横截面面积分布在距中性轴较远处，以使弯曲截面系数与面积比值 W/A 增大。

y

z z

y

b

hz

37

2 、 对于由拉伸和压缩强度相等的材料 制成的梁，其横截面应以中性轴为对称轴。

y

zz

y

b

hz

38

3 、对于拉、压强度不等的材料制成的梁，应采用对中性轴不对称的截面，以尽量使梁的最大工作拉、压应力分别达到 ( 或接近 ) 材料的许用拉应力 [ t ] 和许用压应力 [ c ] 。

][ t1max

maxt, zI

yM

][ c2max

maxc, zI

yM ][

][

c

t

2

1

y

y

O z

y

y 1y 2

（一）矩形木梁的合理高宽比

R北宋李诫于 1100 年著 « 营造法式 » 一书中指出 :

矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5

英 (T.Young) 于 1807 年著 « 自然哲学与机械技术讲义 » 一书中指出 :矩形木梁的合理高宽比 为

刚度最大。时强度最大时 , 3 ;, 2 b

h

b

h

b

h

32

31

1

DWz

1

32

2 1.18 6

)(

6 zz WRbh

W

)2/( ;,4 1

22

1 DRaaD

时当

强度：正应力：

1 、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面

zW

M

其它材料与其它截面形状梁的合理截面

z

D1

za

a

14

3

3 75.2 )0.8-(132 zz WD

W

1

2221 67.1,

4

])8.0([

4 DD

DDD

时当

1121

21 2,2

4 Daa

D 时当

1

31

2

4 67.1 6

4

6 zz Wabh

W

z D0.

8D

a1

2a1 z

工字形截面与框形截面类似。

15 57.4 zz WW

1222

22

21 05.1,6.18.02

4 Daaa

D 时当

0.8a2a2

1.6a

2

2a2 z

43

三、合理设计梁的外形

考虑各截面弯矩变化可将梁局部加强或设计为变截面梁。

F1F2

50kN 40 kN 60kN

CA B

FB

1.5 m1.5 mFA

1.5 m 1.5 m

z

y

9.5

1001032

010

44

若梁的各横截面上的最大正应力都达到材料的许用应力，则称为等强度梁（鱼腹梁）。

][6/)(

)2/(

)(

)(2max

xbh

xF

xW

xM

][

3)(

b

Fxxh

][2

)2/(3

2

3

min

Smax

bh

F

A

F

][4

3min b

Fh

(a)

l2

F

h(x)

b

(b)

F

l2

对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用 T 字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：

2 、根据材料特性选择截面形状

G

z

（二）采用变截面梁 ，如下图：

最好是等强度梁，即

][)(

)()(max

xW

xMx

若为等强度矩形截面，则高为

][

)(6)(

b

xMxh

同时 ][)(

5.1max xbh

Q

][5.1)(

b

Qxh

P

x

s

s

§5-5 考虑材料塑性时的极限弯矩§5-5 考虑材料塑性时的极限弯矩

全面屈服后 ,平面假设不再成立 ;

s

s

理想弹塑性材料的图

s

s

弹性极限分布图

塑性极限分布图

例 4 试求矩形截面梁的弹性极限弯矩 M max 与塑性极限弯矩 Mjx 之

比。

解：ss

bhWM

6

2

max

ssszsSjx

bhhbhSWM

44222

2

拉

3

2max jxM

M

49