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角平分线的性质

教教学学重重难难点点

教学重点掌握关于角平分线的一个重要结论：角平分线上的点到角两边的距离相等教学难点1. 能用尺规画出一个角的平分线。2.“ 角平分线上的点到角两边的距离相等”这个重要结论的证明与应用。

回回顾顾与与思思考考

1. 角平分线的定义是： .过角的顶点 , 能把一个大角平分成两个小角的射线2. 点到直线的距离的定义： .过一点做已知直线的垂线 , 这一点与垂足之间的垂线段的长度3. 如图 1，根据题意填空：（ 1）若 OC平分∠ AOB ，则 是∠ AOB 的角平分线， ＝ .（ 2）若∠ AOC ＝ ∠ COB ，则 是∠ AOB 的角平分线。A

O

C

B图 1

∏ B

⊙ P

A D 图 23. 如图 2，根据题意填空：已知 PD⊥AB，则点 P到直线 AB 的垂线段是 ， P 到直线 AB点距离是 .

创设情景 , 引入新课 小明的妈妈是玩具厂工人，她的工作就是在三角形的钢板上画出角的平分线，由于这些角大小各不相同，因此她每次得首先量出角的度数，然后再计算出它的一半，最后才能画出角平分线，既要动脑又要动手，这样每天工作结束时都感到很劳累，特别是算角的一半很烦人。一天，爱动脑筋的小明到妈妈的班上去玩，发现了这个问题，他就制作了一个仪器，说能平分角， 这个仪器如图所示，A 、 B 、 C 、 D 四个点处可以转动，其中 AB=AC ， BD=CD ，使用时将点 A 放在角的顶点， AB 和 AC 沿着角的两边放下，沿 AD 画一条射线 AE ，则 AE 就是∠ BAC 平分线，你说对吗？如果是正确的，你能说说它的道理吗？

DA

B

C

DE

小明做的有道理吗？若有道理，那么为什么 AE 是角平分线，尝试将其转化为数学问题。已知： 。求证： 。

AB=AC ， BD=CD

AD 平分∠ BAC

证明：分析：证 AD 平分∠ BAC ，即证∠ BAD= ∠DAC

用这个平分角的仪器可作出角的平分线，从几何的角度用尺规该怎样作？

证角相等，须证两个三角形全等

A

B

C

D

画一个角，用尺规做出它的角平分线

尺规作角的平分线观察领悟作法，探索思考证明方法：观察领悟作法，探索思考证明方法：

AA

ＢＢ ＯＯ

ＭＭ

ＮＮ

ＣＣ画法：　　１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．　　２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．

３．作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求．

AA

ＢＢ

ＭＭ

ＮＮ

ＣＣ

为什么 OC 是角平分线呢？

ＯＯ

想一想：已知： OM=ON ， MC=NC 。求证： OC 平分∠ AOB 。

证明：在△ OMC 和△ ONC 中， OM=ON ， MC=NC ， OC=OC ， ∴ △OMC≌ △ONC （ SSS ） ∴∠MOC=∠NOC 即： OC 平分∠ AOB

将画好的∠ AOB 剪下来，并沿作出的角平分线 OC 折叠，再折出一个直角三角形来（注意：要以 OC 为斜边），折好后展开，观察两次折叠形成的三角折痕，你能得到什么结论？角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

已知：求证 :

A

O BE

D

PC

OC 平分∠ AOB ，点 P 在 OC 上， PD OA⊥ 于 D ，PE OB⊥ 于 E

PD=PE证明：∵ OC 平分∠ AOB ∴ ∠DOP=∠EOP ∵ PD OA PE OB⊥ ⊥ ∴ ∠ODP=∠OEP 在△ ODP 和△ OEP 中， ∠DOP=∠EOP ， OP=OP ， ∠ODP=∠OEP ， ∴ △ ODP ≌ △ OEP （ ASA ） ∴PD=PE

角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

思考：课本 108 页：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1 ： 20 000 ）

Ｓ

Ｏ

公路 铁路

1：画一个已知角的角平分线；及画一条已知直线的垂线；2 ：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．3 ：角平分线的判定结论：到角的两边的距离相等的点在角平分线上。

再 见