形式言語 と オートマトン

第 13 回鳥取大学工学研究科

情報エレクトロニクス専攻田中美栄子

形式言語とオートマトン

本日の予定

オートマトン と　形式文法 の

関係 を学ぶ　

1

正規文法と有限オートマトンの対応

形式言語とオートマトン

1正規文法は正規言語（有限状態言語）

を生成し、

有限オートマトンは正規言語（有限状態言語）

を識別する

正規文法と有限オートマトンの対応

形式言語とオートマトン

110 aSS

21 aSS

aS2

q1

q2

q0a

02 aSS

オートマトンの遷移規則

q1

a

a

a

q2

q2

q0

オートマトンの遷移規則　 δ （ q,a)=p 　があるときは、文法の置換規則　 Q→aP 　が対応。但し p が終状態ならば　 Q→a 　が対応。

正規文法と有限オートマトンの対応

10 aSS

21 aSS

aS2 aq1 q2

L={a3n} を受理する FSA

q0

a a

02 aSS

L={a3n} を生成する文法

aaaaaaaaaaaSaaaaSaaaSaaSaSS 210210

形式言語とオートマトン

1

対応：文法～言語～オートマトン

オートマトン（左）と文法（右）の対応する階層性

FSA

PDA

LBA

TM

正規文法

文脈自由文法

文脈依存文法

句構造文法

形式言語とオートマトン

1

正規表現による正規言語の表現

形式言語とオートマトン

2正規表現に書き換えると？

L = {a3n | n>=0} = {aaa}* 　　　　Ｌ = (a3)*

L = {an | n>=0} = {a}* 　　　　　　　 L = a*

L={ab,ba} ={ab} U {ba} 　　　　　L=ab+baL={aa}{a,b}*{bbb} 　　　　　　　　　　

L=a2(a+b)*b3 　

文脈自由文法

形式言語とオートマトン

3文脈自由文法により生成される

オートマトンでなく文法で語るとき、Ｇ＝（Ｖ，Ｔ，Ｓ，Ｐ）Ｖ＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝，　　　Ｔ＝｛ 0,1 ｝，　

　　　 S=A ，P ={A→BC, 　 A→BAC, 　 B→0, 　 C→1}

これから生成される言語は？　　 L={01, 　 0011, 　 000111, 　 00001111,…}

形式言語とオートマトン

3これは有限状態言語でない有限状態オートマトンを作ろうとすると　　　　　　　　　　　　　　　　　無限個の状態が必要。

0 が n 個並んだ後に 1 が同じ個数 n 個並ぶように　　　　　　　　しようとすると、何らかの記憶装置が必要。

無限集合ゆえ、ループを作る必要があるが、0 の部分に作ると 0 の数が不確定のものを受理する。1 の部分に作っても同じ。0 と 1 にまたがると結果として　　　　　　　　 0 の後に 1 が出るものも受理してしまう。

形式言語とオートマトン

４ CFGの例

問　

　 G=(V,T,S,P) 　 P={S→0S0 ｜ 1S1|00|11}　　　　　　　　　　　　　　　　が生成する言

語は？

答　

　 L={xxR| ｘは {0,1}* の元， |x|>0}

形式言語とオートマトン

４ 注　意　点L= ｛ 0n|n= ２ k,k>0 ｝を生成する文法は？

　 G=<{S},{0},S,{S→SS,S→0}> は間違い

　 G は例えば 000 も生成　 L は CFG では不可　　　　　　　→ Turing Machine が必要

• 全てのクラス i-0,1,2,3 に属する言語は、和、連結、＊ に対して閉じ

ている。• 文脈自由言語は補集合や交わりの元では閉じていない。• 交わりはドモルガンにより補集合と和で書けるから、 補集合に閉じれば交わりで

閉じる。• 正規言語は補集合の元で閉じている。• Type0 は補集合の元で閉じる。• Type1 は補集合の元で閉じることが 1988 判明した。　　　　　　　　（ Neil Immerman 、 SIAM

J ． Computing vol.17-5 ）形式言語とオートマトン

5 閉　　包　　性

閉　　包　　性

１．有限状態言語は、和集合、補集合、連結、＊積、積集合、などにおいて閉じている

２．文脈自由言語は補集合に於いて閉じていない、よって積集合に於いても閉じていない

反例は　　 L1={anbncm} 、 L2={ ambncn }

において二つの積集合は　 L3={ anbncn }

であるが、これは文脈自由言語でない

形式言語とオートマトン

5

Chomsky 標準形

Chomsky 標準形　　プロダクションルールが

　　　　　　 A→BC, または , A→a 　　　　　　　　　　（ここで S は開始記号 ,A,B,C は変数 a は終端記号）

任意の文脈自由文法 G に対して

　　等価な Chomsky 標準形の文法が存在する

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Greibach 標準形

プッシュダウン・オートマトン（ PDA)

　　　　　　　　　　　　　　　との関連性が見易い

生成規則が　 A→aα 　の形（Ａは非終端記号、 a は終端記号、　　　　　 α は終端記号と非終端記号からなる

列）形式言語とオートマトン

6