形式言語とオートマトン2014

ー第 5&6 日目ー東京工科大学

コンピュータサイエンス学部亀田弘之

前回までの確認

• 有限オートマトン (FA)– FA の定義と記述法

テープ上を一方向に動くヘッド（テープ上の記号を読みながら、内部状態を変えていく）

M = <K, Σ, δ, q0, F> 状態遷移図

– FA の種類決定性 FA （ DFA ）非決定性 FA （ ε 遷移のあるものとないもの）

– 言語認識能力はどの FA でも同じ。正規言語（正規表現）を認識可能。 2

前回までの確認（２）

• 正規表現を認識する FA の存在とその構成法

1. 正規表現 α が与えられる。2. 正規表現 α に対して、 ε-NFA を構成する。3. ε-NFA を DFA に書き換える。4. DFA を状態数最少の DFA に書き換える。5. Min-DFA をシミュレートするプログラムを作

成する。

3

前回の積み残し

• 正規表現 α ＝ a(a|b)*bb で定義される言語を受理する DFA を求める。

1.まず、 α と等価な ε-NFA を書きだす。2.その ε-NFA と等価な DFA を作る。3.得られた DFA をもとに、その DFA と等

価であり、かつ、状態数が最少となっている DFA を求める。　

4

確認問題集

• （少しずつこなしていってください。）

5

確認問題１

• （オートマトンの定義）次の状態遷移図で与えられるオートマトンを、　M= ＜ K,Σ,δ,q0, F ＞ の５つ組で記述しなさい。

p q r

a

a

a

b

b

b

6

確認問題

• 前問のオートマトンの動作のトレース– 次の文字列のうち、前問のオートマトンM

が受理するのはどれとどれですか？① aabba

② bababbb

③ aaaa

④ bbba

7

確認問題

• 下図の ε-NFA を DFA に書き換えなさい。

１ ２ ３

４

５６ ７ ８

b

a

ε aε

b b

cc

ε

ε

8

確認問題

• DFA から min-DFA を求める手順について述べなさい。（理論的根拠は、後日お話します。 Myhill-Nerode の定理がポイントです。）

9

確認問題

• （正規表現を受理する min-DFA を求める）

　　次の正規表現を受理する min-DFA を求めよ。

1. (ab|bc)*a(b|c)

2. (a|b|ε)(ab|b)*bc

3. (a|b)*a(a|b)

10

さて、…

11

今日からの話題

1. FA の様相 (configuration)( 第 2 章の補足 )

2. 演習　 第５回はここまで。3. プッシュダウンオートマトン

（ pushdown automaton ）（第 3 章の話）

12

FA の様相

• FA の動作の様子・状況を様相(configuration) という。

• 動作開始時の様相を特に、初期様相という。

13

様相の表現

入力文字列の末尾入力文字列の末尾

入力文字列入力文字列

14

様相表現の例

• （具体例で理解しよう）教科書 p.36 問 2.1

15

FA M = <K, Σ, δ, q0, F>

0

1

p

1

0

q0

1

r

16

FA M = <K, Σ, δ, q0, F>

0

1

p

1

0

q0

1

r

様相 (p, 11010) |- (q,1010) |- (q,010) |- (q,10) |- (q, 0) |- (q, ε)

(p,11010) |*- (q,ε) <= M は入力文字列 11010 を受理 17

• 様相 (configuration) という用語は、本を読んでいると時々出てきます。例えば、「様相論理学」。この英語は Modal Logic 。混乱しないように！

• オートマトンの動作状況を表現する単なる１つの方法にすぎません。でも、便利ですよね。

18

自主練習

教科書 p.58 の【演習問題】にチャレンジしてください。

19

ここから新しい話し

• （第３章に入ります） Let’s get down to today’s

topics.

20

でも、今年は復習をしましょう。

1. まずは、議論をしましょう！

21

自分の課題を見つけよう。

1. まずは、議論をする。– 議題：

この授業をうけ、ここまでに学んだことは何か？　（単語だけでもいいので多く書き出すこと）

– 成果物：自分が理解していない用語（概念）や事実（内容）のうち、最も重要だと思うものを１つ書きだす。

22

２．課題　次の ε-NFA と等価な状態数最少の DFA を求めよ。

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M = { 状態の集合 Q, 入力アルファベット S, 状態遷移関数 δ,　　　 初期状態 σ, 最終状態の集合 F 　｝ただし、　・ Q = { 1, 2, 3 }　・ S = { a, b }　・ σ = 1　・ F = { 1 }　・ δ: δ(1,b)={2}, δ(1,ε)={3}, δ(2,a)={2, 3}, δ(2,b)={3}, δ(3,a)={1}

M = { 状態の集合 Q, 入力アルファベット S, 状態遷移関数 δ,　　　 初期状態 σ, 最終状態の集合 F 　｝ただし、　・ Q = { 1, 2, 3 }　・ S = { a, b }　・ σ = 1　・ F = { 1 }　・ δ: δ(1,b)={2}, δ(1,ε)={3}, δ(2,a)={2, 3}, δ(2,b)={3}, δ(3,a)={1}

a b ε

1 ー ２ ３

2 ２，３

３ ー

3 １ ー ー

ヒント

1. 状態遷移図を書く。2. 等価な DFA を求める。3. 状態数最少の DFA を求める。

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以上で有限オートマトンは終わり。

25

形式言語とオートマトン2014

ー第 6 日目ー東京工科大学

コンピュータサイエンス学部亀田弘之

プッシュダウンオートマトン

• 有限オートマトンにプッシュダウンスタックメモリを追加装備したもの。

• Pushdown automaton (PDA)

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プッシュダウンスタック

• 歴史的 view:– 初期の頃：プッシュダウン型スタックメモリ

（特殊なハードウェアと考えていた）– 現在：「スタック」は基本的なデータ構造の

１つと考えられている。プッシュダウンスタックとは言わず、スタックと呼ぶことが多い。

データ構造：

・配列（またはアレイ）

・リスト

・スタック

・キュー　など

続きは「データ構造とアルゴリズム」で。

28

プッシュダウンスタックのイメージ

Push down Pop up

LIFO (Last In First Out)

最後に入れたものが最初に取り出される。29

PDA の種類

• 決定性プッシュダウンオートマトンDeterministic pushdown automaton (DPDA)

• 非決定性プッシュダウンオートマトンNondeterministic pushdown automaton (NPDA)

30

DPDA M の定義

• M = <K, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F>– K: 内部状態の集合　（ #K < ∞ ）– Σ ：入力アルファベット （ #Σ < ∞ ）– Γ ：プッシュダウンアルファベット（ #Γ < ∞ ）– δ ：状態遷移関数

K×(Σ {ε})×Γ → K×Γ*∪– q0 ：初期状態 (q0 K )∈– Z0 ：ボトムマーカ ( Z0 Γ)∈– F ：最終状態 ( F K )⊂

31

DPDA M の定義

• M = <K, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F>– K: 内部状態の集合　（ #K < ∞ ）– Σ ：入力アルファベット （ #Σ < ∞ ）– Γ ：プッシュダウンアルファベット（ #Γ < ∞ ）– δ ：状態遷移関数

K×(Σ {ε})×Γ → K×Γ*∪– q0 ：初期状態 (q0 K )∈– Z0 ：ボトムマーカ ( Z0 Γ)∈– F ：最終状態 ( F K )⊂

32

ハードウェア構成でのイメージ

33

DFA と DPDA

類似点と相違点

類似点： 相違点：

・入力テープ ・プッシュダウンスタックメモリ

　（左から右へ読み込むだけ）

・ヘッドとその内部状態 34

　　ハードウェア構成でのイメージ

なぜ、プッシュダウンスタック？なぜ、プッシュダウンスタック？

研究

35

研究テーマ

36

入力

記号

列

内部処理装置

内部処理装置

記憶装置記憶装置

参考図書

• J. ライバー，認知科学への招待　チューリングとウィトゲンシュタインを道しるべに，新曜社，今井邦彦訳 (1994).

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研究課題：　脳の設計図を記述せよ。1.事実を言葉で表現し，列挙せよ。2.UML で表記せよ。3.SysML で表記せよ。4.プログラミング言語で表現せよ。

難しいことはさておいて…

• ( 例を見てみましょう )教科書 p.68 例 3.1

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DPDA M の例

• M = <K, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F>– K 内部状態の集合 = { q0, q1, q2 } 　（ #K < ∞ ）– Σ 入力アルファベット = { a, b } （ #Σ < ∞ ）– Γ プッシュダウンアルファベット = { A, Z0 } （ #Γ<

∞ ）– δ ：状態遷移関数

K×(Σ {ε})×Γ → K×Γ*∪– q0 初期状態 = q0 (q0 K )∈– Z0 ：ボトムマーカ ( Z0 Γ)∈– F ：最終状態 F = { q2 } K⊂

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δ ：状態遷移関数

K×(Σ {ε})×Γ∪ K×Γ*

δ( q0, a, Z0 ) ( q0, AZ0 )

δ( q0, a, A ) ( q0, AA )

δ( q0, b, A ) ( q1, ε )

δ( q1, b, A ) ( q1, ε )

δ( q1, ε, Z0 ) ( q2, Z0 )

40

DPDA M の例

• M = <K,Σ,Γ,δ,q0,Z0, F>

– K = { q0, q1, q2 }

– Σ = { a, b }

– Γ = { A, Z0 }

– δ ：状態遷移関数– q0 ：初期期状態

– Z0 ：ボトムマーカ

– F = { q2 } K⊂

K×(Σ {ε})×Γ∪ K×Γ*

δ( q0, a, Z0 ) ( q0, AZ0 )

δ( q0, a, A ) ( q0, AA )

δ( q0, b, A ) ( q1, ε )

δ( q1, b, A ) ( q1, ε )

δ( q1, ε, Z0 ) ( q2, Z0 )

41

動作のトレース• (q0, aaabbb, Z0)

|- (q0, aabbb, AZ0) |- (q0, abbb, AAZ0)|- (q0, bbb, AAAZ0)|- (q1, bb, AAZ0)|- (q1, b, AZ0) |- (q1, ε, Z0)|- (q2, ε, Z0)

• |- (q0, aab, Z0)|- (q0, ab, AZ0)|- (q0, b, AAZ0)|- (q0, ε, AZ0)

K×(Σ {ε})×Γ∪ K×Γ*

δ( q0, a, Z0 ) ( q0, AZ0 )

δ( q0, a, A ) ( q0, AA )

δ( q0, b, A ) ( q1, ε )

δ( q1, b, A ) ( q1, ε )

δ( q1, ε, Z0 ) ( q2, Z0 )

受理

拒否42

状態遷移図

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動作のトレース• (q0, aaabbb, Z0)

|- (q0, aabbb, AZ0) |- (q0, abbb, AAZ0)|- (q0, bbb, AAAZ0)|- (q1, bb, AAZ0)|- (q1, b, AZ0) |- (q1, ε, Z0)|- (q2, ε, Z0)

• |- (q0, aab, Z0)|- (q0, ab, AZ0)|- (q0, b, AAZ0)|- (q １ , ε, AZ0)

K×(Σ {ε})×Γ∪ K×Γ*

δ( q0, a, Z0 ) ( q0, AZ0 )

δ( q0, a, A ) ( q0, AA )

δ( q0, b, A ) ( q1, ε )

δ( q1, b, A ) ( q1, ε )

δ( q1, ε, Z0 ) ( q2, Z0 )受理

拒否

自分で確認しよう

44

練習

• 教科書の p.71 問題 3.1 の DPDA の動作をいろいろな入力に対して調べてみよう。

45

非決定性プッシュダウンオートマトン

• DPDA での状態遷移関数部分が１対多の写像になる。

46

DPDA M の定義（再）

• M = <K, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F>– K: 内部状態の集合　（ #K < ∞ ）– Σ ：入力アルファベット （ #Σ < ∞ ）– Γ ：プッシュダウンアルファベット（ #Γ < ∞ ）– δ ：状態遷移関数

K×(Σ {ε})×Γ → ∪ K×Γ*– q0 ：初期状態 (q0 K )∈– Z0 ：ボトムマーカ ( Z0 Γ)∈– F ：最終状態 ( F K )⊂

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NPDA M の定義（再）

• M = <K, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F>– K: 内部状態の集合　（ #K < ∞ ）– Σ ：入力アルファベット （ #Σ < ∞ ）– Γ ：プッシュダウンアルファベット（ #Γ < ∞ ）– δ ：状態遷移関数

K×(Σ {ε})×Γ → ∪ ２ K×Γ*

– q0 ：初期状態 (q0 K )∈– Z0 ：ボトムマーカ ( Z0 Γ)∈– F ：最終状態 ( F K )⊂

48

DPDA M の例

• M = <K, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F>

（教科書 p.73 の例 3.2 ）

49

NPDA M の例

• M = <K,Σ,Γ,δ,q0,Z0, F>

– K = {q0,q1,q2, q3, q4, qf }

– Σ = { a, b, c }

– Γ = { A, Z0 }

– δ ：状態遷移関数– q0 ：初期状態

– Z0 ：ボトムマーカ

– F = { qf } K⊂

K×(Σ {ε})×Γ∪ K×Γ*

δ( q0, a, Z0 ) ( q0, A Z0 )

δ( q0, a, A ) ( q0, AA )

δ( q0, b, A ) (q1,ε), (q3,A)

δ( q1, b, A) ( q1,ε)

δ( q1, c, Z0) ( q2, Z0 )

δ( q2, c, Z0) ( q2, Z0 )

δ( q2,ε, Z0) ( qf, Z0 )

δ( q3, b, A ) ( q3,A )

δ( q3, c, A ) ( q4,ε)

δ( q4, c, A ) ( q4,ε)

δ( q4,ε, Z0) ( qf, Z0 )50

状態遷移図

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今日の設問（１番だけ提出）

1. (q0, aaabbbcc, Z0) |*- ?

2. aaabbbcc は受理されるか？される場合は、その動作の様子を様相表現で示しなさい。

3. aabbbccc は受理されるか？

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ここまでのまとめ

• プッシュダウンスタック• プッシュダウンオートマトン

– 決定性– 非決定性

• PDA は FA を含む（ PDA は FA よりも文字列認識能力は高い。）　＜＝（ Why? ）

• DPDA は NPDA よりも能力は低い。（証明はしませんが、事実です。）

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次回は、チューリングマシンです。

• チューリングマシンは、アルゴリズムや計算に関する理論の基礎を与えてくれます。

• チューリングマシンと、認識可能な言語との対応（チョムスキー階層）の話しもやがて出てきます（第５章）。

• 線形拘束オートマトン（線形有界オートマトン）も今後導入します。

• 計算量・計算の複雑さなどの話題にも触れましょう。　　お楽しみに！

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ここまで積み残してきているもの

• Myhill-Nerode の定理• （ DFA における）ポンピング補題　など

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