1

第六章機率分配

2

隨機變數機率分配函數常用的機率分配

3

隨機變數 (random variable)

將隨機實驗中每一個樣本點對應至實數值之“函數”

樣本點

實數值

隨機變數 f

4

EX: 丟擲兩個銅板

樣本空間：

（正，正）

（正，反）

（反，正）

（反，反）

隨機變數值 x ：

?

?

?

隨機變數 X = 正面出現個數

5

間斷型隨機變數

隨機試驗 隨機變數 隨機變數 X可能的數值

一個銅板丟擲三次 出現正面的次數 0, 1, 2, 3

檢查 10個產品 不良品的個數 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

觀察一小時內汽車 到達收費站的情況

到達收費站的車輛數 0, 1, 2,…

隨機變數值為：•有限可數• 無限可數

6

連續型隨機變數

隨機變數值為： 無限且不可數

隨機試驗 隨機變數 隨機變數 X可能的數值

觀察顧客至銀行的情形 顧客到達的間隔時間 x 0

計算飲料罐的容量 飲料罐的容量(c.c.) 200 x 250

觀察某公司接電話的情況 兩通電話的間隔時間 x 0

7

間斷機率分配函數

間斷型隨機變數的機率分配

1

( ) ( )

(1) 0 ( ) 1

(2) ( )

( X )

1

i

i

i i

n

ii

X x

P X x f x

f x

f x

f x

隨機變數 等於某一隨機變數值 的機率為其滿足以下兩個條； 件：

則 稱為 之機率分配

Example

8

EX: 丟擲兩個銅板

樣本空間：

（正，正）

（正，反）

（反，正）

（反，反）

隨機變數值 x ：

2

1

0

隨機變數 X = 正面出現個數

f(2)=

f(1)=

f(0)=

f(x)= 正面出現 x 次的機率

1)2()1()0( fff

Return

9

例 6.1 丟擲一個均勻的銅板三次 ( 續 )

f(0) = P(X=0) = P({(T,T,T)})=

f(1) = P( X=1) = P({( H,T,T),(T,H,T), (T,T,H)})=

f(2) = P( X=2) = P({( H,H,T),(H,T,H), (T,H,H)})=

f(3) = f( X=3) = P({((H,H,H)})=

每一個 f(x) 皆介於 0 與 1 之間 所有 f(x) 總和等於 1 。

10

隨機變數

例 6.1 丟擲一個均勻的銅板三次 ( 續 1)

圖 6.2 隨機變數 X 的機率分配樣本空間 機率 f(x)

3

2

1

0

11

隨機實驗 隨機變數 機率分配函數

12

累加機率分配

1 2

( ) ( )

( ) ( ) ( )i i

i

F x P X x

f x f x f x

• 對每一個可能數值 xi 而言， 0 F(xi) 1 。• 若 x1 ＜ x2 ，則 F(x1) F(x2) 。• 若 a ＜ b ，則 f(a ＜ x b) =F(b) － F(a) 。

Example

13

)21(

)21(

)2(

)1(

)0(

:

XP

XP

F

F

F

EX 丟擲兩個銅板

Return

14

因此， X 之累積機率函數為

x

x

x

x

xF

2

21

10

0

)(

　 　 　

15

)(xF

1 20

1

4/1

2/1 階梯式函數

16

以機率分配計算母體平均數、母體變異數 ***

隨機變數值 x1 x2 … xn

機率值 f(x1) f(x2) … f(xn)

17

EX 6.3 & 6.5 (p.140)

x 0 1 2

f(x) 1/4 1/2 1/4

2

)(

)(

XVar

XE

18

例 6.4 教師出教科書之情況

表 6.3 為某學校 400 名教師出版教科書冊數之次數分配表，試求教師出版教科書之平均冊數？

表 6.3 教師出版教科書冊數之次數分配表

19

例 6.4 教師出教科書之情況 ( 續 )

解： 如果我們讓代表教師出版教科書冊數，然後其相對次數

視為其出版冊數的發生機率，那麼就可視為一個間斷的隨機變數，因此

根據 (6.1) 式計算，其期望值為

xall

xfxXE )()(

20

例 6.6 接續例6.4

接續例 6.4 ，試求某學校教師出版教科書冊數之變異數和標準差？

解：

因此，某學校教師出版教科書冊數之平均數為 1.5725冊，變異數為 1.1897 ，標準差為 1.09 冊。

21

期望值定理 ***

22

( ) ;

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

E a a a

E a bX a bE X

E X Y E X E Y

E X

E XY E X

E X

E Y

（ 為常數）

22

變異數定理 ***

2

2

( ) 0;

( ) ( )

( ) ( )

Var a a

Var bX b Var X

Var a bX b Var X

（ 為常數）

23

標準化隨機變數

隨機變數 X 標準化隨機變數 ( ) 0; 1E Z Var(Z)

2,

X

Z

)(ZE

24

)(ZVar

25

常用的機率分配

二項分配超幾何分配波松分配

26

二項分配

27

伯努利 (Bernoulli) 實驗

只有兩種結果之實驗 Ex: 成功 = 1 vs. 失敗 = 0

成功機率 = P(X=1) = f(1) = p失敗機率 = P(X=0) = f(0) = 1-p期望值 = 變異數 =

28

二項分配

特性 進行 n 次伯努利實驗 成功機率 = P(X=1) = f(1) = p 失敗機率 = P(X=0) = f(0) = 1-p 每一次實驗互相獨立

隨機變數 X = n 次實驗中成功次數X = 0, 1, 2, … , n

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二項機率函數

期望值

變異數

( ) (1 )

!(1 ) ; 0,1,2, ,

!( )!

n x n xx

x n x

f x C p p

np p x n

x n x

( )E X np

( ) (1 )Var X np p

~ B , X n p

30

例 6.8 超級市場消費情形

一家超級市場發現在促銷活動期間，每位顧客會消費超過 1,

000 元的機率為 80% 。現有 5 位顧客，請問這 5 位顧客於促銷期間會消費超過 1,000 元的人數之機率分配為何？其期望值和變異數又為何？

解：此隨機試驗具有下列之性質1. 包含 5 個試驗，每位顧客之消費視為一試驗。2. 每次試驗互相獨立，每位顧客消費之情況不會互相影響。3. 每次試驗只有兩種可能的結果，消費超過 1,000 元（視

為成功）或沒有超過 1,000 元（視為失敗）。4. 每次試驗成功的機率為，消費超過 1,000 元的機率為 0.8 。

31

例 6.8 超級市場消費情形（續 )

由於符合二項隨機試驗之性質，故為二項隨機試驗。現定義隨機變數 X 為 5 位顧客於促銷期間會消費超過 1,000 元的人數。所以，其機率分配為 n=5 、 p=0.8 的二項分配。根據(6.5) 式，其各可能數值之機率值分別為

根據 (6.6) 與 (6.7) 式，其期望值和變異數分別為

5)2.0()0(f

451 )2.0)(8.0(C)1(f

3252 )2.0()8.0(C)2(f

2353 )2.0()8.0(C)3(f

)2.0()8.0(C)4(f 454

5)8.0()5(f

)(XE

)(XVar

32

超幾何分配

33

超幾何分配

特性 母體為 N ，可分為兩類，其中一類（成功）

共有 k 個，另一類（失敗）共有 N – k 個 共抽取 n 次且每次成功機率會改變（ ex: 抽

出不放回）隨機變數 X = n 次實驗中成功次數

34

二項分配與超幾何分配比較

二項分配 超幾何分配

抽出後 放回 不放回

每次實驗成功的機率

相同 不相同

每次實驗 獨立 不獨立

35

成功 k

失敗N-k 失敗

n-x成功

x

母體 N

樣本 n

36

超幾何機率函數

~ , ,X HG N n k

37

期望值 and 變異數

( )k

E X nN

( )1

k N k N nVar X n

N N N

因實驗不獨立之校正因子

p

1-p

38

例 6.9 行動電話系統市場概況

根據調查顯示，台灣大哥大與遠傳電信為消費者心目中的前二名行動電話系統業者。假設現有 10 位行動電話使用者，其中 7 位使用台灣大哥大， 3 位使用遠傳電信。茲從這 10 人中隨機抽取 3 人，定義隨機變數為抽取的 3 人中使用遠傳電信的人數，試問恰有 2 人使用遠傳電信的機率為何？ X 之期望值與變異數又為何？

解： 令抽取一個使用遠傳電信的人視為成功事件，且定義

隨機變數為抽取的 3 人中使用遠傳電信的人數，則 X 的可能數值為 0,1,2,3 ，根據 (6.8) 式，其機率值分別為

39

例 6.9 行動電話系統市場概況（續）

)0(f

)1(f

40

例 6.9 行動電話系統市場概況 ( 續 1)

40

7

!7!3

!10

!6!1

!7

!1!2

!3

C

CC)2(f

103

71

32

1201

!7!3!10

!0!7!7

!0!3!3

C

CC)3(f

103

70

33

41

因此，恰有 2 人使用遠傳電信的機率為 7/40 。且根據 (6.9) 式和 (6.10) 式， X 之期望值與變異數分別為

例 6.9 行動電話系統市場概況（續 2 ）

)(XE

)(XVar

42

波松分配

43

波松分配的實例

考慮下列現象：每小時服務台訪客的人數，每天家中電話的通數，一本書中每頁的錯字數，某條道路上每月發生車禍的次數，生產線上的疵品數，學生到辦公室找老師的次數……。

上述現象大致上都有一些共同的特徵：在某時間區段內，平均會發生若干次「事件」，但是有時候很少，有時又異常地多，因此事件發生的次數是一個隨機變數， 它所對應的機率函數稱為 Poisson 分配。

44

波松分配 隨機變數 X = 在一連續區間內某一事件之發生次數

X = 0, 1, 2, … 假設 :

在一連續區間（時間、距離、空間…）發生某一事件的次數與另一區間發生的次數互不相關

45

波瓦松分配：

期望值 and 變異數

( )( ) ; 0,1,2, .

A

A

..,!

t xef

X

tx x

x

中，發生事件 的 在 個單位區間中事件 的

單位區間 平均次數數 t 發生次

( )E X t

~ X P

( )Var X t

46

例 6.10 新光百貨公司顧客概況新光百貨公司在晚上 7:00至 10:00 期間，平均每半小時有 90 位顧客，試問該公司在晚上 7:00至 10:00 期間，每分鐘顧客人數不 少於 2 人之機率為何？

解： 令隨機變數 X 表示每分鐘內顧客的數目，因為平均每半小時有 90 位顧客，所以平均每分鐘有 3位顧客。因為每位顧客到達百貨公司之事件互相獨立，故每分鐘顧客人數之機率分配為 =3 的波松分配。根據 (6.11) 式，其機率函數 f(X) 為 ,1,0x

47

例 6.10 新光百貨公司顧客概況（續）

由 (6.14) 式，可得

因此，每分鐘顧客人數不 少於 2 人之機率為

)0(f

)1(f

)2(f

)1()0(1

)2(1)2(

ff

XPXP

48

計算某一事件發生次數之

機率

離散 n實驗次數

抽出放回

抽出不放回

連續 t( 某一段時間、距離、

區域 )

事件發生之背景

49

機率分配

f(x) x 之範圍 E(X) Var(X)

二項分配

x=0,1,…,n

超幾何分配

x=a,a+1,…,b

a=max(0, n-(N-k))

b=min(k, n)

波瓦松分配

x=0,1,…

50

伯努力分配

超幾何分配 二項分配 波瓦松分配

n=1

20; 1

50; 5

100; 10

n np

n np

n np

0.05

n

N

( )k

pN

( )np (t=1)