Ⅶ . 원 의 성 질
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Transcript of Ⅶ . 원 의 성 질
Ⅶ. 원 의 성 질Ⅶ. 원 의 성 질1. 원 과 직 선1. 원 과 직 선
2. 원 주 각2. 원 주 각
3. 원 과 비 례3. 원 과 비 례
1. 원 과 직 선
1) 원
2) 원의 접선
3) 두 원
원의 중심원의 중심
반지름반지름
현현
부채꼴부채꼴
호호
용어의 정의용어의 정의
활꼴활꼴
●
OA
BC
D
CDAB
CDAB
CODAOB
중심각에 대한 호와 현 Ⅰ중심각에 대한 호와 현 Ⅰ
1) 크기가 같은 두 중심각에 대한 호의 길이와 현의 길이는 각각 같다 . 그 역도 성립한다 .
2) 중심각의 크기와 호의 길이는 서로 비례한다 .
3) 현의 길이는 중심각의 크기에 비례하지 않는다 .
중심각에 대한 호와 현 Ⅱ중심각에 대한 호와 현 Ⅱ
한 원 또는 합동인 두 원에서
풀이 ) 현의 길이는 중심각의 크기와 비례하지 않는다 .
※ 활 용 예 제
문제 ) 다음 설명 중에서 바르지 않은 것을 고르시오 .
(1) 크기가 같은 중심각에 대한 호의 길이는 같다 .
(2) 크기가 같은 중심각에 대한 현의 길이는 같다 .
(3) 호의 길이는 중심각의 크기에 비례한다 .
(4) 현의 길이는 중심각의 크기에 비례한다 .
(5) 한 원에서 현의 길이가 같으면 중심각의 크기도 같다 .
(4)
● O
A BM
1) 현의 성질
BMAM
ABOM
※ 원의 중심에서 현에 내린
수선은 현을 수직 이등분한다 .
즉 ,
원의 중심과 현 Ⅰ원의 중심과 현 Ⅰ
●A
B
C
D
O
M
N
2) 현의 길이
CDAB
ONOM
※ 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같다 .
역으로 ,
길이가 같은 두 현은 원의 중심에서 같은 거리에 있다 .
즉 ,
원의 중심과 현 Ⅱ원의 중심과 현 Ⅱ
A
B C
O
M N
풀이 )
이므로
이다 .
따라서 삼각형 ABC 는
이등변 삼각형이다 .
ONOM
ACAB
※ 활 용 예 제
문제 ) 아래 그림에서 일 때 , 삼각형 ABC 는 어떤 삼각형이 되는가 ?
ONOM
●O
Tl
lOT
원의 접선과 반지름원의 접선과 반지름
1) 원의 접선은 그 접점을
지나는 반지름에 수직
이다 .
2) 원 위의 한 점을 지나고
그 점을 지나는 반지름에
수직인 직선은 이 원의
접선이다 .
1) 원의 접선은 그 접점을
지나는 반지름에 수직
이다 .
2) 원 위의 한 점을 지나고
그 점을 지나는 반지름에
수직인 직선은 이 원의
접선이다 .
●P O
T
T
TPPT
접선의 길이접선의 길이
△PTO 와 △ PT’O 에서
∠PTO= PT’O=90º∠
는 공통
∴ △ PTO≡PT’O(RHS)
∴ TPPT
OTTO
PO
A B
C
D
O
5cm
2cm
EF
풀이 )
이므로 이다 .
또 이므로피타고라스의 정리에 의해
DEDBCECA ,
cmCD 7cmcmcmDF 325
102
40949 37 22 CF
102 AB
※ 활 용 예 제
문제 ) 아래 그림에서 는 원 O 의 지름이고 는 원 O 의 접선일 때 지름의 길이를 구하시오 .
AB BDCDAC ,,
● O
A
B C
D
BCADCDAB
원에 외접하는 사각형원에 외접하는 사각형
● O
A
B C
D 풀이 )
BCADCDAB 이므로
4cm + 6cm = 3cm +
10cm = 3cm +
= 7cm BC
BC
BC
※ 활 용 예 제
문제 ) 아래 그림에서
일 때 의 길이를 구하시오 . cmADcmCDcmAB 3,6,4
BC
●
A
B C
D F
E
O
방심방심방접원방접원
1) 방심
삼각형의 한 내각의
이등분선과 다른 두
각의 외각의 이등분
선과의 교점
2) 한 삼각형의 방심은
3 개이다 .
삼각형의 방심삼각형의 방심
A
B
C
D
E
F
풀이 )
cmcmcmAD 4352
cmAD 6
AFAD 이고
CABCABAFAD 이므로
※ 활 용 예 제
문제 ) 아래 그림에서
일 때 의 길이를 구하시오 . cmCAcmBCcmAB 4,3,5
AD
● ●O Or rd
1) 두 원이 만나지 않는 경우 ( 외부에 있을 때 )
rrd
두 원의 위치관계 Ⅰ두 원의 위치관계 Ⅰ
2) 외접 할 때 3) 두 점에서 만날 때
rrd
● ●
d
r rO O
rrdrr
● ●O Or rd
두 원의 위치관계 Ⅱ두 원의 위치관계 Ⅱ
● ● ● ●
4) 내접 할 때 5) 내부에 있을 때
rrd rrd
두 원의 위치관계 Ⅲ두 원의 위치관계 Ⅲ
두 원이 서로 만나는 경우 중심거리와 반지름 사이의 관계는
풀이 )
rrdrr 이므로
cmcmdcmcm 3434
cmdcm 71
문제 ) 반지름의 길이가 각각 4cm, 3cm 인 두 원 O, O´ 가
서로 만날 때 중심거리의 범위를 구하시오 .
※ 활 용 예 제
● ●O Or rd
1) 외부에 있을 때
공통 내접선 : 2 개 공통외접선 : 2 개
공통접선의 개수Ⅰ공통접선의 개수Ⅰ
공통 내접선공통 내접선공통 내접선공통 내접선
공통 외접선공통 외접선공통 외접선공통 외접선
2) 외접 할 때 3) 두 점에서 만날 때
● ●O Or r ● ●
d
r r O O
공통 내접선 : 1 개공통 외접선 : 2 개
공통 내접선 : 0 개공통 외접선 : 2 개
공통접선의 개수 Ⅱ공통접선의 개수 Ⅱ
● ●
4) 내접 할 때 5) 내부에 있을 때
● ●
공통 내접선 : 0 개공통 외접선 : 1 개
공통 내접선 : 0 개공통 외접선 : 0 개
공통접선의 개수 Ⅲ공통접선의 개수 Ⅲ
풀이 ) (1) 두 원이 외부에서 만나지 않는 경우 :
공통접선은 4 개 그을 수 있다 .
(2) 두 원이 외접하는 경우 :
공통접선은 3 개 그을 수 있다 .
(5) 두 원이 내부에 서 만나지 않을 때 :
공통접선은 그을 수 없다 .
(3) 두 원이 두 점에서 만나는 경우 :
공통접선은 2 개 그을 수 있다 .
(4) 두 원이 내접하는 경우 :
공통접선은 1 개 그을 수 있다 .
문제 ) 두 원의 위치에 따른 공통접선의 개수를 각각 말하시오 .
※ 활 용 예 제
1) 공통외접선의 길이
l
● ●
rr
d
l
22 )( rrdl
공통접선의 길이공통접선의 길이
문제 ) 반지름이 각각 3cm, 4cm 인 두 원이 외접할
때 공통외접선의 길이를 구하시오 .
※ 활 용 예 제
4cm3cm
x
풀이 )
이므로22 )( rrdx
22 )34(7 x
149
48
34
2) 공통내접선의 길이
22 )( rrdl
● ●
r
r d
l
l
문제 ) 반지름이 각각 3cm, 4cm 인 두 원의 중심거리가
9cm 일 때 , 공통내접선의 길이를 구하시오 .
※ 활 용 예 제
풀이 )
이므로22 )( rrdx
22 )34(9 x
4981
32
24
4cmx
9cm3cm
2. 원 주 각
1) 원 주 각
3) 접선의 성질
2) 원과 사각형
A
●
B
P
O
원주각원주각
중심각중심각
AOBAPB 2
1 902
1AOBAPB
●
OA B
P
원주각과 중심각 Ⅰ원주각과 중심각 Ⅰ
원주각과 중심각 Ⅱ원주각과 중심각 Ⅱ
1) 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호 에
대한 중심각의 크기의 이다 .
2) 반원에 대한 원주각의 크기는 90 ° 이다 .
21
문제 ) 아래 그림에서 x, y 의 크기를 구하여라 .
※ 활 용 예 제
(1)
0120
x(2)
0120y
00 120,60 yx
CQDAPB
CDAB
●
A
B C
D
P Q
O
원주각과 호원주각과 호
1) 한 원 또는 합동인 두 원에서- 길이가 같은 호에 대한
원주각의 크기는 같다 .
- 크기가 같은 원주각에 대한
호의 길이는 같다 .
2) 한 원에서 원주각의 크기는
호의 길이에 비례한다 .
문제 ) 아래 그림에서 a+b+c 의 값을 구하여라 .
※ 활 용 예 제
a
b
c070
030
A
B C
D풀이 ) ABD = ACD ∠ ∠ 이고 ,
∠BAC = BDC ∠ 이므로
b = 030
a = c = 040
∴ a + b + c = 110
●
A
B C
D
E
내대각내대각
외각외각
∠A + B = 180º∠
∠B + D = 180º∠
∠A = DCE∠
원에 내접하는 사각형원에 내접하는 사각형
1) 원에 내접하는 사각형
에서 한 쌍의 대각의
크기의 합은 180 º 이다 .
2) 원에 내접하는 사각형에
서 한 외각의 크기는 그
내대각의 크기와 같다 .
문제 ) 아래 그림에서 x, y 의 크기를 구하여라 .
※ 활 용 예 제
075
085
x
y
• 내접사각형은 대각의
합이 이므로°180
°° 105,95 yx • 내접사각형의 한외각의
크기는 내대각의 크기와
같으므로
0160y
x
º80 yx
●
A
B C
D
E
1) BAD + BCD = 180º,∠ ∠
∠ABC + ADC = 180º ∠ 일 때 2) BAD = DCE ∠ ∠ 일 때
사각형이 원에 내접할 조건사각형이 원에 내접할 조건
1) 한 쌍의 대각의 크기의
합이 180 º 일 때
2) 한 외각의 크기가 그
내대각의 크기와 같을 때
(2) => 외각과 그 내대각의 크기가 같다 .
문제 ) 아래 사각형 중에서 원에 내접하는 것은 ?
※ 활 용 예 제
075
0850110
(1)
070
070
075
(2)
095045
030
(4)
075
0110
(3)
●
A
B
C
T접선
AB 에 대한 원주각AB 에 대한 원주각
접선과 현이 이루는 각접선과 현이 이루는 각
접선과 현이 이루는 각접선과 현이 이루는 각
문제 ) 아래 그림에서 직선 XY 가 원 O 의 접선일 때 , 각 x, y
의 크기를 구하여라 .
※ 활 용 예 제
●
A
B
C
Yy070
040
x
X
풀이 )
∠XAB = ABC ∠ 이고 ,
∠YAB = ACB ∠ 이므로
x = , y = °70 40°
3. 원 과 비 례
1) 원 과 비 례
2) 할 선 과 접 선
●
A
BC
DP
PDPCPBPA
1) 두 직선이 원의 내부에서 만날 때
원에서의 비례관계 Ⅰ원에서의 비례관계 Ⅰ
O
A
B
C
D
P5cm
6cm
7cm
x
풀이 )
이므로
x×7 = 5×6
7x = 30
x =
PDPCPBPA
730
문제 ) 아래 그림과 같이 원 O 의 내부에서 두 선분이 만날 때 선분 PA 의 길이를 구하시오 ..
※ 활 용 예 제
x = cm730
●
P
A
B
C D
2) 두 직선이 원의 외부에서 만날 때
PDPCPBPA
원에서의 비례관계 Ⅱ원에서의 비례관계 Ⅱ
풀이 )
이므로
x×(x + 9) = 4×9
PDPCPBPA
D
OA
B
CP4cm
5cmx
9cm
312
0)3)(12(
03692
orx
xx
xx
cmx 3
문제 ) 아래 그림과 같이 원 O 의 외부에서 두 선분이 만날 때 선분 PA 의 길이를 구하시오 ..
※ 활 용 예 제
22 OPrPBPA
●
A
B
C DP r
O
증명 )
PDPCPBPA
)()( OPrOPr 22 OPr
현과 지름이 만나는 비례 관계 Ⅰ현과 지름이 만나는 비례 관계 Ⅰ
A
B
C DPO
6
5
6
x
풀이 )
이므로22 OPrPBPA
23630 OP
62OP
6 OP
66 x
문제 ) 아래 그림에서 O 가 원의 중심일 때 선분 PC 의 길이를 구하시오 .
※ 활 용 예 제
22rOPPBPA -
증명 )
PDPCPBPA
)()( rOPrOP
22rOP
●P
A
B
C Dr
O
현과 지름이 만나는 비례관계 Ⅱ현과 지름이 만나는 비례관계 Ⅱ
O
P
A
B
CD
3cm 6cm
xcm3cm
풀이 )
이므로
22rOPPBPA
927 2 x
182 x
23 x
문제 ) 다음 그림에서 O 가 원의 중심일 때 선분 AB 의 길이를 구하시오 .
※ 활 용 예 제
PBPAPT 2
PT
PB
가 원 O 의 접선이고 ,
가 원 O 와 두 점에서 만날 때
P
●A
B
T
O
원의 접선과 할선원의 접선과 할선
B
A
P T
x
6cm
4cm
풀이 )
이므로
36 = 4(4 + x)
36 = 16 + 4x
4x = 20
PBPAPT 2
문제 ) 다음 그림에서 선분 PT 가 원 O 의 접선일 때 선분
AB 의 길이를 구하시오 .
※ 활 용 예 제
x = 5cm