第四章 刚体的转动

习题课

一、基本要求

1 、掌握角位移、角速度和角加速度等物理量以及角量与线量的关系。

2、理解力矩、转动惯量、角动量等物理概念，了解转动惯量计算的基本思路。

3、掌握转动定律、功能原理、角动量定理和角动量守恒定律并能正确应用。

二、基本内容1 、描述刚体转动的物理量

2、刚体定轴转动定律

角位移 d角速度

dt

d 与线量的关系rv r

2 rn 角加速度dt

d

)dt

vdmamF(

dt

dJJM

sinrFM FrM

力矩

方向：右手法则

dmrJ 2转动惯量：

3 、刚体转动的功能原理21

22 2

1

2

1 JJdMW )mvmvrdFW( 2

122 2

1

2

1

2iirmJ

当 时

0M 常量 JL

4 、刚体定轴转动角动量原理

力矩的功 dMW

刚体定轴转动动能 2

2

1 J

1212 JJLLMdt )PPdtF( 12

dt

dLM )

dt

PdF(

或

)P,F( 常矢量

0

三、讨论

方法Ⅰ

1 、质量为 ，长为 的细棒，可绕 转动。由水平位置自由下落。求下落到竖直位置时的角速度。

m lo

由dt

dJJM

d

d

dt

dJcos

lmg

2

0

2

0 2dJdcos

lmg 求出

lo

gm

方法Ⅱ

方法Ⅲ

分别判断三种方法的正误

2

2

1

2Jl

mg 求出

2

2

1

2 cmvl

mg 求出 cv

又 2

lvc 求出

2 、判断角动量是否守恒

（ 2）对定滑轮轴的角动量

两半径不同圆轮， 1轮转动， 2轮静止今将两轮子靠拢，轮被带动而转动

（ 1）圆锥摆（对 轴）小球质量为

oo m

重物、人质量均为 ，定滑轮质量不计，人向上爬行

m

（ 3）对轴 ， (或 ) 的角动量1o 2o

o

o

v

m

1o 2o

√

√

X

小结：刚体定轴转动中几个应注意的问题。

（ 1）刚体运动规律区别于质点运动规律，切莫混为一谈！

（ 2）注意“转轴”（ 3）系统中质点、刚体同时存在，应分别讨论

四：计算

解：分析受力：图示质点 1m

11111 amcosgmsingmT 质点 2m 2222 amTgm

1m

2m

r,J

1m

NF

1T

gm1rF

RF

2T P

1T

2m2T

gm2

1 、斜面倾角为 ，质量分别为 和 物体经细绳联接，绕过一定滑轮。定滑轮转动惯量为 ，半径为 。求 下落的加速度（设 与斜面的摩擦因数为 ）

1m 2m

J r1m

2m

滑轮（刚体）

解得

讨论：是否有其它计算方法？

JrTrT 22

)TT,TT( 1122

联系量 raa 21

221

21221

rJmm

cosgmsingmgmaa

1m

NF

1T

gm1rF

RF

2T P

1T

2m2T

gm2

功能关系！

解：分析系统机械能守恒 ( 为什么？ )

2 、光滑斜面倾角 ，一弹簧 (k) 一端固定，另一端系一绳 绕过一定滑轮与物体 相连。 滑轮转动惯量为 ，半径为 。设开始时弹簧处于原长，将物体由静止沿斜面下滑，求 下滑 时物体的速度为多大。

mJ R

m l

222

2

1

2

1

2

1mvJklsinmgl

则有

Rv 且有m

m

lR,J

k

解得

2

2

21

21

21

RJ

m

klsinmglv

3 、一行星质量为 ，半径为 ，今有一飞船在相距行星为 时，飞船相对行星静止，同时发射一速度为 质量为 的仪器，发射角为 ，使仪器恰好略着行星表面着陆。求角 应为多大？着陆滑行的初速多大？（设 飞船质量）

1m RRr 40

0v

2m

2m

2m

0r

0v

v

R

1m

解：分析（ 1）不计其它作用力，仪器 只处在行星的中心力场中， 则由仪器和行星组成的系统对行星中心的角动量守恒。

所以得 恒矢量 vmr

vRmsinrvm 2002 （ 1）

又有 21 EE

2m

0r

0v

v

R

1m（ 2）系统仅有保守力作用，故机械能守恒。

R

mmGvm

r

mmGvm 212

20

21202 2

1

2

1 （ 2

）

解得 21

20

1

2

31

4

1

Rv

Gmsin

21

20

10 2

31

Rv

Gmvv

4 、长为 ，质量为 的匀质 杆，一端悬挂，可通过点 转动。今使杆水平静止的落 下，在铅直位置与质量为 的物体作完全非弹性碰撞后， 沿摩擦因数 的水平面滑动。求 滑动的距离。

l 1mo

2m

2m2m

l,m1

2m

l,m1

2m

解：处理这类碰撞问题与过去质点运动相似但又有区别，将分阶段进行讨论

由角动量守恒（为什么？动量守恒吗？）

由机械能守恒得

21 2

1

2Jl

gm

l

g3

（ 1）杆自由下落到将和 碰撞

2m

（ 2）杆和物体 碰撞过程

2m

22lmJJ

22

21

21 3

13

3

1lmlm

l

glm

21

1

3

3

mmlg

m

（ 3）物体 沿水平面运动直到静止

2m

由质点的动能定理得 gsmvm 22

22

1

lv 21

21

32

3

mm

lms

l,m1

2m

解： (1) 子弹与棒相碰撞动量守恒？角动量守恒？

5 、在摩擦因数为 的水平桌 面上，一棒长为 ，质量为 的细杆可绕一端转动，今一 子弹质量为 ，速度为 垂直射入杆另一端后，穿出的速率为 ，求（ 1 ）棒获得的角速度 （ 2 ）杆转多长时间后停止

l 1m

2m v

2v

由子弹与棒组成的系统的角动量(对 o轴 )守恒得

02

122 3

1

2

lml

vmvlm

1m

l

2

v

2m

v

o0

(2) 棒从转动到停止过程（为什么会停止转动）

受摩擦力矩 gxdx

l

mxgdmdMM

ll

0

1

0 1

lm

vm

1

20 2

3

glmM 12

1

由角动量原理

00 JJMdt

t gm

vmt1

2

x

x

1dmdxo