第二章

转子的临界转速

转子的振动问题是影响机组能否长期安全运行

的决定性因素，一旦发生大的振动 ，就要影响生 产，甚至被迫停产，造成巨大的经济损失，可见，

如何设计出具有良好振动特性的转子是设计人员

在设计阶段必须做好的一项十分重要的工作。

第一节 基本概念

造成振动的原因是复杂的，多方面的，其中一个重要

的其危害性最大的方面就是“临界转速”的问题。 有一个圆盘转子，如图所示：

由于加工的原因，转子的质心与其几何轴线心不完全重合，产生的偏心（距）为 e ，转子质量为 M ，以角速度 旋转，产生的离心力为 P ，使轴挠曲，圆盘处挠度为y ，由力的平衡有：

（ 3-1 ）

12

k

ey

式中： ——质量偏心距（质心到几何中线心的距离） —— 转子的固有频率（弯振频率）由上式可知：1 ）若质量偏心 =0 （理论而言），那么在一般转速

（也即一般 ）下，转轴无挠度， y=0 ，即不发 生 弯曲。

ek

e

2 ） 若 =0 ，但 时（即转子在临界转速下运转） 则

e k

0

0y

此时可能

y

y

y 0

任意值（即发生弯曲）

在这三种情况的无穷多个值中， 的机会只有 一个。所以由此说明：在质量完全匀布而无质量 偏心时即 =0 时，转子只有以 运转时， 转子才会发生挠曲，即弯曲，而且 y 值有可能很大。

0y

e k

3 ）当 （即存在质量偏心时），若 ，则 y 值 会很大，甚至当 时都会使 y 值很大。4 ）以上 2 ）、 3 ）说明，转子不能在临界转速下工作， 否则转子会因弯曲过大而折断。

0e k k

5 ）式（ 3-1 ）也说明，质量偏心 e 的大小并不影响临界转 速的数值，它们是互相独立的二个参数。也就是说存 不存在临界转速以及它的大小如何，与存不存在质量 偏心 无关。

e但是，偏心 严重影响振幅 y 的大小。它说明加工和平衡都不好的转子，由于其偏心 过大，即使其工作转速远离临界转速，由于振幅 y 大，转子也会发生强烈的振动。反之，若加工和平衡都做得很好的转子，只要保证工作转速不等于临界转速，即使工作转速很接近临界转速，转子也能良好运转。

ee

6 ） 行业规定，为安全起见，应该有： —— 此状态下的轴称为刚轴

—— 此状态下的轴称为柔轴。

knn 75.0

knn 3.1

第二节 等直径轴的临界转速 讨论： 无圆盘、等直径光轴的临界转速以及 轴弯曲振动的形式

假设：无质量偏心即 = 0 ，轴的临界角速度为e k

1 （ 1 ）由材料力学知：轴挠曲时，轴上任意一截面弯矩方

2 程为： 3 （ A ）

（ 2 ）目前状态下，轴单位长度所受的载荷就是轴单位长

度的质量 所产生的离心力：

（ B ）

Mdx

ydEI

2

2

im2

ki ymq （ 3 ）又由材料力学知：沿轴长度弯矩的二次导数，等 于轴单位长度所受的载荷，即： （ C ）

qdx

Md

2

2

（ 4 ） 由（ A ）（ B ）（ C ）得：

令常数项的组合： 得到： （ 3-2 ）

上式的通解为：

2

2

4

ki ymdx

ydEI

EImk ki /24

044

4

ykdx

yd

chkxCshkxCkxCkxCy 4321 cossin （ 3-3 ）

系数（常数） C1 、 C2 、 C3 、 C4 由边界条件决定。 对两端铰支座（一般滑动轴承相当于这种情况）， 边界条件为： A ）    当 x=0 时，B  

B ） 当 x=l 时， C ）    当 x=0 时， D ）   当 x=l 时，

0y0y

0" y

0" y

最终解得：

（ 1 ）有 显然，对正弦函数，当 时， 上式可满足， i 为任意整数（ i=1 ， 2 ， 3 ，……）， 因为前面令有 ，现又得

到 ，所以有：

（ 3-5 ）

式中： ——为整个轴得质量，

0sin kl

ikl EImk ki /24

ikl

3

2

ml

EIik

m lmm i

由上式可知：（ A ）一个转子的临界转速不是一个，而是无限多

个。（ B ）第一阶振动时的临界转速称为第一临界转速

， ；第二阶振动时的临界转速称为第二临界 转速， ；余依次类推。（ C ）行业一般要求（为安全起见）：

1kn2kn

21 7.03.1 kk nnn

（ 2 ） （ 3-4 ）

可见：轴的振动弹性线为正弦曲线。第一阶振动（ i=1）

l

xiCy

sin1

轴无节点；第二阶振动（ i=2 ）有一个节点； 第三阶振动（ i=3 ）有二个节点；余依次类推。

第三节 普洛尔法计算转轴的 临界转速 前面已讨论了有关“临界转速”的基本概念， 下面将介绍真实转子临界转速的计算。

一．力学模型的建立

1． 将质量连续分布的实际转轴，简化为一系列质量集 中而又分散分布的计算轴，在各个集中质量之间用

没有质量但有弹性的轴段连接起来，因而将整个转

轴分为许多小段，如图所示：

2．  转轴中凡直径改变之处，一般均取为分段点， 如“ 1” 、“ 3” 点； 3． 叶轮和其他回转零件通常作为一个质量集中于 其质心的集中质量来考虑，同时取质心所在位置 作为分段点，如“ 2” 点；

4. 每段轴的质量均分为二半，分别集中到该段轴 的两端的截面上（即分段点处）。这样，各段之 间的分段点上则分别集中有相临两段轴的质量和 的一半。如分段点“ 1” 点上集中有第Ⅰ段的质量 与第Ⅱ段的质量 之和的一半；即

1m2m

221

1

mmM

5. 如分段点之上还有其他回转零件（如叶轮）则分段点上还应该加上这部分零件（如叶轮）的集中质量，例如：在分段点“ 2” 上面，除了集中有第Ⅱ段的质量 与第Ⅲ段的质量 之和的一半，还应加上叶轮的质量，即 ， 式中 ——叶轮的质量

2m3m

impmmm

M

2

322

impm

6. 除上所述，按变直径和集中载荷自然分段外，一般分段数应该高于所求临界转速阶数的 5~6倍，例如：求转轴2 阶临界转速，则至少要划分 2* （ 5~6 ）段，上述的图中，可在每一段中人为再增加段数。

二．计算公式——递推公式

1 1．基本参数 由材料力学可知，弯曲梁上任一截面的变形情 况可由 4 个基本参数来反映，即 切力—— Q 弯矩—— M 转角—— θ 挠度—— y

2．    计算公式 将实际轴简化为计算轴后，如下图所示：

以左边为起点，转轴的第一个分段点为 0 点，依次各

个分段点分别为 1 ， 2 ， 3 ，…… i-1 ， i ，…… j ，分段点 0

于 1 之间称为第 1段， 1 与 2 之间称为第 2段，… .. （ i-1 ）与 I

点之间称为第 i段，依次类推。 规定： 第 i段包括第（ i-1 ）分段点的集中质量，不包

括第 i分段点的集中质量，而第 i分段点的质量包含再 i与 i+1

分段点组成的第（ i+1 ）段上，依次类推。

取第 i段轴分析， i 和（ i+1 ）分段点上的 Q 、 M 、θ和 y ，

当轴以某临界角速度 旋转时，根据“规定”，再 （ i-1 ）分段点上除有切力 Qi-1外，还有因为 i-1分段

点上 的集中质量产生的离心力，所以由力的平衡则有： （ A ）

再由力矩的平衡，则有： （ B ）

k

12

11 ikiii ymQQ

iiii xQMM 1

又因为由实轴简化为计算轴的过程及上述“规定”，在当前讨论的第 i段轴上，除了在 i-1分段点有集中质量外，其他部分是无关质量，只有弹性的轴，所以这一段内的切力为常数，即 Qi ，因此在这段轴上 i 与 i-1分段点的距离为 x 的地方的弯矩就为：

（ C ）x

x

MMMxQMxM

i

iiiii

111)(

另：由材料力学知有： （ D ）

由材料力学及数学知识有： （ E ） 将（ C ）代入（ D ）得到：

EI

xM

dx

yd )(2

2

)()( xxtgdx

dy

)(1 1

12

2

xx

MMM

EIdx

yd

i

iii

对上式积分一次，得：

由边界条件： 处有：

1

21

1 2

1)( C

x

x

MMxM

EIdx

dyx

i

iii

0x 1)( ix

所以得 C1=

所以有： （ F ）

1i

1

21

1 2

1)(

ii

iii

x

x

MMxM

EIdx

dyx

又对上式积分，得：

（ F+ ）

又由边界条件： 处有：

21

31

2

1 62

1)( Cx

x

x

MMxM

EIxy i

i

iii

0x 1)( iyxy

所以有： C2= 1iy

C2代入（ F+ ）得：

（ G ）

1

31

2

1 62

1)(

iii

iii yx

x

x

MMxM

EIxy

又由边界条件： 时有： ixx

i

i

yxy

x

)(

)(

所以当 时由（ F ）和（ G ）式及

则有：

ixx

i

i

yxy

x

)(

)(

11

21

2

1

1

21

1

62

1

2

1

iiiiiii

ii

ii

i

iiiii

yxEI

xMMxM

EIy

x

x

MMxM

EI

（ H ）

（ I ）

将以上 2 式整理后与（ A ）、（ B ）两式归纳在一起，得：

36

2

111

11

1

12

11

iiiiiiii

iiiii

iiii

ikiii

MMxxyy

MM

xQMM

yMQQ

（ i=1 ， 2 ， 3…n ） （ 3-6 ）

式中

EI

xii

上式表明：

只要知道第 i-1分段点上的 4 个基本参数（ Qi-1 、Mi-1 、

θi-1 、 yi-1 ），在选定一个临界角速度值 后，利用上

式就可求得相邻的后一个分段点 i分段点上的 4 个基本参

数（ Qi 、 Mi 、 θi 、 yi ），依次类推，就可以求得转轴

上任一个分段点上的这 4 个基本参数，直至最后一个分 段点，因此，上式又称为“递推公式”。

k

三．计算步骤：

1． 将实际轴简化为计算轴；

2． 假设（试凑）一个临界角速度 ； 3．在保证满足轴始端（一般取左端）的边界条件 的情况下，给定一组始端的参数（ Q0 、 M0 、 θ0 、 y0 ）。

k

4 ．利用递推公式逐段递推计算各个分段点的 4个基本参数 （ 、 、 、 ），直到计算出转轴终端（右端）的 4个边界参数（ 、 、 、 ）5 ．如果计算出的终端的 4个参数能满足边界条件，则所假 设（试凑）的 就是真实的临界角速度，否则就不是 真实的临界角速度。6 ．重新假设（试凑）临界角速度 ，重复上述 1-5 步骤， 直到满足边界条件为止。

注：不同的支撑和联接方式有不同的边界条 件，计算时根据具体情况确定相应的边 界条件。

iiQ iYiM

zzQ zYzM

k

k

四．几种情况的计算： 1 ．二支座单跨

如图所示，两端铰支，这是一种最简单又最常见的转子支撑情况。一般单根轴且无外伸端时均属这种情况。 从递推公式可以看出，若把O支座作为始端，那么，只要知道这个分段点（也即截面）上的 4个弯振基本参数 、 、 、 （称为初参数），再假设（试凑）一个临界角速度 ，就可按公式逐段递推，依次计算了。由此便可求出轴上任一个分段点 i上的 4个参数， 即 、 、 、 。

那么始端 O分段点上的 4个基本参数知道不知道呢？

实际情况是：有的知道，有的不知道。

ooQ oYoM

iiQ iYiM

( (1)    边界条件： 由材料力学知，对一根两端绞支的梁，应有： 而 且不为 0

（ 2）    分析： 从递推公式可看出，前后两截面 4个基本参数 Q、M、 、 Y之间的关系是线性的（在已经假定 之后），从数学知识可知，如果我们一开始就 将 和 作为未知数代入递推公式（此时的 边界条件 ），逐个分段点递推， 那么很显然，任一截面（分段点） i上的 4个基 本参数 、 、 和 都只是 和 的线性函数，即有：

0

0

O

O

M

Y

?

?

O

O

Q

k

o oQ

0 OO MY

iY i iM iQ

o oQ

oioii

oioii

oioii

oioii

QHGQ

QFEM

QDC

QBAY

（ i=1 ， 2 ， 3……n ） （ 3-7 ）

另外，递推公式清楚地表明，在目前两端绞支这种情况下，在递推过程中，未知的始终只是 和 （ 已先假定了一个数值），所以上式中的系数 、 、…… 都是有确定值的。

o oQ kiA iB

iH

（ 3）     计算系数 、 、…… 首先假定一个 值，且对两端绞支，已知有 边界条件：

再分两次计算系数 、 、…… 第一次：

取 ， （已知 ） 因为转轴的第一个分段点（即始端点） 、 、 和 均已知，代入递推公式（ 3-6），就可逐段递推 依次计算出各个分段点的参数，写为： 、 、 、 （ i=1， 2，…… n……j）

iA

iB

iH

0 oo MY

iA

iB

iH

1o 0oQ

0 oo MY

o oQ

oYoM

)( IiY )( I

i )( IiM )( I

iQ

k

将第一次计算的结果与（ 3-7）式对照，显然有 :

)(

)(

)(

)(

Iii

Iii

Iii

Iii

QG

ME

C

YA

（ i=1 ， 2 ，…… n……j ） （ 3-8 ）

上式说明：第一次取 ， ，用递推公式（ 3-6 ）所计算出来的各个截面（分段点）的 、 、 和 并不是在各个分段点的真实挠度、转角、弯矩和切力，而只是相应的系数 、 、 、

1o 0oQ

iY iiM iQ

iA iCiE iG

第二次：

取 ， （同样已知有 ） 同第一次一样，将 、 、 、 代入递推公式，逐 段递推，得出各个分段点的 4 个基本参数，写为： 、 、 、 （ II=1 ， 2 ，…… n……j ）

上标 II表示第二次计算结果。 同理，将此次结果与（ 3-7 ）式对照，显然有：

0o 1oQ 0 oo MY

o oQ oY oM

)( IIiY )( II

i )( IIiM )( II

iQ

)(

)(

)(

)(

IIii

IIii

IIii

IIii

QH

MF

D

YB

（ II=1 ， 2 ，…… n……j ） （ 3-9 ）

同样，第二次计算得出的并不是各个分段点（截面）上的真实参数 、 、 和 ，而只是相应的系数。iY

i iMiQ

这样，通过以上二次计算，边可得出各个分段点（截面）上的所有系数 、 、……

iAiB iH

(4) 临界转速的判别： 经过以上二次计算，已得出各个分段点截面上的系数，设最后一个分段点（转轴终点）为“ j” 点，则 、 、…… 已求出。则由（ 3-7 ）式，有

iA iB iH

ojojj

ojojj

ojojj

ojojj

QHGQ

QFEM

QDC

QBAY

而目前讨论二端绞支的情况下，终端参数应该有如下边界 条件： 即

0

0

i

i

M

Y

（ 3-10 ）0)(

0)(

ojojj

oooji

QFEM

QBAY

和 虽为未知数，但材料力学知识告诉我们， 和 在两端绞支的情况下肯定不为 0 。这样在 和 不 为 0 的前提下，要式（ 3-10 ）成立，只有系数行列式必 须为 0 ，即

ooQo oQ

ooQ

（ 3-11 ）

也即： （ 3-11A ）

经过上述计算与分析，得出如下结论：

0jj

jj

FE

BA

0 jjjj EBFA

（ A ）    若最初假设（试凑）的角速度 为真实临界

角速度 , 则式（ 3-11A ）成立。反之，则式

（ 3-11A ）不成立（即不为 0 ），这样，就要重

新假设（试凑）新的 值，再重复上述的计 算及判别过程，直至式（ 3-11A ）成立，从

而 求出各阶之临界角速度 。（ B ） 由于不可能很快就试凑出真实 ，而上述

计 算过程又是一个繁琐的重复过程，为计算方 便起见，不妨先令式（ 3-11A ）式为：

显然 与假设（试凑）的 有关，称为 残值。

k

kk

(3-11B)0 jjjj EBFA

)( j

)( j

若

不同的 对应不同的残值 。当试凑过一定数量的角速度 后，就可画出 曲线，如图所示：

)( j

)(__ j

显然，曲线与 轴的交点， =0 ，这些交点的 值就是转轴的各阶临界角速度，例如 、 、

…… 。 实际上，利用计算机计算时，是很容易搜索出各个交 点，也即各阶临界角速度 值的。

)( j

1k 2k

3k

k

2 ．多支点多跨情况 下图就是实轴简化为计算轴的一根 3跨（二支撑点间为一跨） 4 支点的转轴。（例如二根转轴用刚性联轴器联接后，就构成一根 4 支点 3跨的转子）

如 如 图所示，始终端点用 o 、 z表示，中间支座用 j 、 s表示。

（ 1 ）第 1跨从 o 到 j 之间各个分段点上参数 Y 、、 M、 Q 的计算显然与前面介绍的 2 支座单跨的情况一样。

（ 2 ） 第 2 跨从 j 到 s分段点之间任意一分段点（截面）的计算与第一跨基本一致，只是要多考虑一个问题——即“跨越支座点”的问题。具体如下： 在计算 j 支座点后一点，即 j+1分段点时，按第推公式，需要用到 j分段点的 4 个基本参数（作为已知数）。而 j分段点的 4 个基本参数则应该在上一次的第推中求出。但我们再仔细分析一下第推公式（ 3-6 ）式就可知，第推公式中没有考虑“支座反力”的影响，这是 j 点既具有一般分段点的性质有具有其作为“支座点”的特点。

显然，这个“支座反力”在 4 个基本参数（ Y 、 、 M 、Q ）中应反映在切力 Q 的大小中，也就是说按递推公式计算出的 j 点的切力 还应再加上支反力（写为 ）即，

那么支反力 有多大呢？不知道！

'jQ jR

jjj RQQ '

jR 它也是一个未知数，既然这样，为计算方便，就将作为一个未知数来处理（因为 ），这样，在用递推公式计算 j +1分段点时就似乎有三个未知数了，即 、 和 。

jQ

jjj RQQ '

o oQ jQ

但在深入分析后又可以发现，在 j分段点，既然它又是支座点，那么必有：

则 ：0jY

所以有： （ 3-12 ）

将上式代入（ 3-7 ）式，则得：

0 ojojj QBAY

oj

jo B

AQ

joj

jjjjojojj

oj

jjjojojj

oj

jjjojojj

j

RB

AHGRQHGQ

B

AFEQFEM

B

ADCQDC

Y

)(

)(

)(

0

（ 3-13 ）

未知数

从上式可看出，通过中间支座 j ，利用其上 4 个参数 、 、 和 再计算 j+1分段点的 4 个参数 、 、 和 时，必然减少一个初参数 同时又增加一个新未知参数 。因此 j 支座点后各个分段点的 4 个参数通过递推公式计算出来后，将表达为 和 的线性组合，若以 K标号代表 j 和 s 支座间（即递 2跨）任一分段点，则有：

jY j

jM jQ 1jY1j 1jM

1jQoQ

jQ ojQ

k=j+1 ，…… s （ 3-14 ）

jkokk

jkokk

jkokk

jkokk

QHGQ

QFEM

QDC

QBAY

即他们是 和 的线性组合而不是 和 的

线性组合了，其中，系数 、 …… 的确定与前面

介绍 2 支座单跨的情况时相同。同理，从 S 到 Z 之间的第3跨

的任一分段点的参数的计算同第 2跨完全一样，不再赘述。

最后，临界转速的判别也与 2 支座单跨的一样， 不再 重复。

o jQ o oQ

kA kBkH

3 ．存在外伸端的情况

（ （ 1 ）分析和边界条件 一般的转子都有一定的外伸端，其 的计算过程 及所用的递推公式与前面介绍的情况基本相同，差 别只是边界条件不同，如下图所示， 双支座三跨转 子有较长的外伸端（轴两端挂叶轮，二轴承支座在 中间就是这种情况） 图 3

k

仍以 o 和 z分别表示始端和终端。显然这时的边界条件属自由端情况，按材料力学知识，应有边界条件为：

因此在第一跨内各分段点（截面）上的 4 个基本参数不是 和 的线性组合而是 和 的线性组合，如仍取 i 作为第一跨中任一点的标号，则有：

0

0

o

o

M

Y

o oQ ooY

（ i=1 ， 2……j ） （ 3-15 ）

oioii

oioii

oioii

oioii

QHGQ

QFEM

QDC

QBAY

式中系数 、 …… 的求法与前述一样。当递推经过j 支座和 s 支座时其处理也与前述一样：减少一个初参数，增加一个初参数，不再赘述。

iA iB iH

（ 2 ）    临界角速度的判定 A. 终点 z 上质量的处理 根据最初的“规定”，第 i段轴在运用递推公式时只考虑集中到 i-1分段点上的质量，而不考虑集中到 i分段点上的 ， 是往后推到第 i+1 上来考虑，依次类推。但是此时对第 z段的 z分段点而言，它上面的集中质量已无“后”推（因为 z 点已经是整个转轴的最后一个分段点了），而递推公式又没有考虑到这种特殊的情况，因此，只能在用递推公式计算出 z分段点的 4 个基本参数 、 、 和 的基础上，再在切力 上加上 z 点上的质量 所产生的离心力 即：

iMiM

zY z zM zQzQ

zMzz YM 2

szozz QBAY

（ 3-16 ） 

szoz

zzszozz

szozz

szozz

szozz

QHG

YMQHGQ

QFEM

QDC

QBAY

11

2

（ 3-17 ）)(

)(2

1

21

zzzz

zzzz

MBHH

MAGG

式中：

代入：

B．终点边界条件及临界角速度的判定 按材料力学知识，外伸端按自由端处理，其边界条件 应该为：

由（ 3-16 ）和（ 3-17 ）式，上式即为：

0

0

z

z

M

Y

与前面相同。

0

0

11

szoz

szoz

QHG

QFE

由材料力学知道， 和 的值虽然不知道， 但他们不为 0 ，所以要上式成立，其系数行列 式必 应为 0 ，

即：

o sQ

011

zz

zz

HG

FE

011 zzzz GFHE

式中：

zzzz

zzzz

HMBH

GMAG

21

21

（ 3-18 ）

（ 3-19 ）

判定：若所假设（试凑）之 为真实临界角

速度 ，则式（ 3-18 ）成立。反之，则需要

试凑 重算，直至满足（ 3-18 ）式，其详细 过程与前面介绍的一样，不再赘述。

k