第六章 在磁场中的原子第六章 在磁场中的原子6.1 原子的磁矩

一、电子运动的磁矩一、电子运动的磁矩1.1. 电子轨道运动磁矩电子轨道运动磁矩闭合电流回路的磁矩闭合电流回路的磁矩 iSn

z

i

电子轨道运动的电流电子轨道运动的电流 ::

T

ei

“-” 表示电流方向与电子运动方向相反表示电流方向与电子运动方向相反

一个周期扫过的面积：一个周期扫过的面积：

2 2

0 0 0

1 1 1

2 2 2 2

T T TS dS r dt mr dt dt T

m m m

( 1) ( 1)2 4l B

e hel l l l

m m

量子化。量子化。

磁矩大小磁矩大小 ::

23 20.92740 104B

heA m

m

玻尔磁子玻尔磁子

磁矩磁矩空间取向量子化空间取向量子化 2z z l B

em

m

2iS e

m

2

e

m

............ 电子轨道运动磁矩电子轨道运动磁矩

2.2. 电子自旋运动磁矩电子自旋运动磁矩

S

eμ s

m

………… 自旋磁矩自旋磁矩

二、单电子原子的总磁矩二、单电子原子的总磁矩

l s

( 2 )e

sm

( )e

j sm

j与 并不正好反向

在在 方向投影 是恒定的，垂直 的分量因旋转，其方向投影 是恒定的，垂直 的分量因旋转，其平均效果为零。所以对外起作用的是 ，常把它称为平均效果为零。所以对外起作用的是 ，常把它称为电子电子的总磁矩的总磁矩。。

j

j

j

j

( )2j

j j e j jj s

j j m j j

2(1 )2

e s jj

m j

j s 2 2 21

2s j j s

2j

egj

m

单电子原子总磁矩（有效磁矩）单电子原子总磁矩（有效磁矩） ::

1 1 11

2 1

j(j ) l(l ) s(s )g

j(j )

朗德因子朗德因子

单电子电子 ,, 自旋自旋 s = 1/2,s = 1/2,

0 , 1/ 2 2j g 时1

0 , 1/ 2 12 1

j g

时

三、多电子原子的磁矩三、多电子原子的磁矩

2J

eμ g J

m

原子总磁矩仍表示为原子总磁矩仍表示为 ::

（（ 11 ）） L-S L-S 耦 合耦 合)1(2

)1()1()1(1

JJ

SSLLJJg

（（ 22 ）） j-jj-j 耦合耦合)J(J

)(JJ)(jj)J(Jgg PPii

i 12

111

)J(J

)(jj)(JJ)J(Jg iiPP

p 12

111

解：解：)1(2

)1()1()1(1

jj

sslljjg

11P 0s 1l 1j 1g(1) ： ， ，，

2/32P

2

1s 1l 2

3j

3

4g(2) ： ， ， ，

11P 2/3

2P 2/14D例 例 求下列原子态的求下列原子态的 gg 因子因子： (1) (2) (3)

2/14D

2

3s 2l

2

1j 0g(3) ： ， ， ，

6.2 外磁场对原子的作用

一、拉莫尔旋进一、拉莫尔旋进

0

2

J J

e

M μ μ H μ B

eg J B

m

dJM

dt

( , )dJ B J

将绕磁场进动将绕磁场进动 , , 只改只改变方向而不改变数值变方向而不改变数值 . .

J

J

在外磁场在外磁场 BB 中中 ,, 原子磁矩 原子磁矩 受磁场力矩的作用 受磁场力矩的作用 ,, 绕绕 BB 连连续进动的现象。续进动的现象。

J

2J

J

d eg B B

dt m

2

egB B

m

: 旋磁比

绕 的方向进动的角频率绕 的方向进动的角频率 ,, 与 的方向一致与 的方向一致 ,, 称为称为拉莫尔进动拉莫尔进动角频率角频率 .. 拉莫尔频率拉莫尔频率 : : ： J

B

2 4 2

egB B

m

二、原子受磁场作用的附加能量二、原子受磁场作用的附加能量1. 1. 弱磁场弱磁场外磁场的作用比原子内部轨道磁矩与自旋磁矩的耦合弱外磁场的作用比原子内部轨道磁矩与自旋磁矩的耦合弱 ..

L S

与外磁场耦合产生附加能量与外磁场耦合产生附加能量 :: JE B

2 Z

eE g BJ

m

2 B

eE Mg B Mg B

m

ZJ M 而：, 1,......M J J J 磁量子数

在外磁场中在外磁场中 ,, 原子的能级分裂成 个原子的能级分裂成 个 ,, 间隔为间隔为2 1J Bg B

例例 : : 在磁场中能级的分裂情况在磁场中能级的分裂情况23/ 2P

1, 1/ 2, 3 / 2L S J ( 1) ( 1) ( 1)

1 4 / 32 ( 1)

J J L L S Sg

J J

3/ 2,1/ 2, 1/ 2, 3 / 2

6 / 3,2 / 3, 2 / 3, 6 / 3

M

Mg

分裂为四个能级，裂距分裂为四个能级，裂距 4 / 3 BB

2. 2. 强磁场强磁场

在强外磁场作用下， 不能再耦合成 ，而是分别直接与 在强外磁场作用下， 不能再耦合成 ，而是分别直接与 耦合产生附加能量 耦合产生附加能量 ..

,L S B

L SE B B

取外磁场方向为取外磁场方向为 ZZ 轴方向，轴方向，

2 Z Z

e eE L B S B

m m

( 2 ) ( 2 )2 L S B L S

eB M M B M M

m

, 1,......,

, 1,......,L

S

M L L L

M S S S

能量与量子数 有关。能量与量子数 有关。由于不再出现 ，也就没有由于不再出现 ，也就没有 因子出现。因子出现。

,L SM MJ

g

6.3 史特恩 - 革拉赫实验

19211921 年史特恩年史特恩 ------ 盖拉赫进行的实验是对盖拉赫进行的实验是对原子角动量空原子角动量空间取向量子化间取向量子化的首次直接观察，是原子物理学最重要的的首次直接观察，是原子物理学最重要的实验之一。实验之一。

19431943 年，年，史特恩史特恩获诺贝尔物获诺贝尔物理学奖，贡献：开发了分子理学奖，贡献：开发了分子束方法以及质子磁矩的测量 束方法以及质子磁矩的测量

当时，电子自旋角动量的概念尚未提出。实验目的：证明原子轨当时，电子自旋角动量的概念尚未提出。实验目的：证明原子轨道角动量在外磁场中具有空间取向量子化特征。 道角动量在外磁场中具有空间取向量子化特征。

每个角动量对应一个磁矩

L量子化即： 量子化

1. 实验目的

2. 实验设计思想具有磁矩的原子在磁场中受力矩的作用而产生拉莫儿旋进具有磁矩的原子在磁场中受力矩的作用而产生拉莫儿旋进 ,, 在外在外磁场中的附加能量磁场中的附加能量 (( 势能势能 ): ):

E B

而力而力 :: F E

对均匀磁场对均匀磁场 : , : , 原子不改变运动路径原子不改变运动路径 ..0F

对非均匀磁场对非均匀磁场 : , : , 原子除受力矩作用外原子除受力矩作用外 ,, 还受到力的作用还受到力的作用 ,, 而改变运动路径而改变运动路径 ..

0F

0, 0x y

z Z

F F

dBF

dz

无磁场 有磁场

N

S

银原子束通过非均匀磁场时将分裂成两束

3. 实验结果

对 对 HH 、、 LiLi 、、 NaNa 、、 K K 、、 CuCu 、、AuAu 等原子也都观察到了类似的取等原子也都观察到了类似的取向行为。向行为。

基态银原子基态银原子 ,, 相片相片 PP 上有两条上有两条黑斑，两者对称分布。黑斑，两者对称分布。证明了证明了原子磁矩原子磁矩 μμ 进而角动量的空间进而角动量的空间取向量子化行为。取向量子化行为。

按波尔理论，对一轨道角动量 ，按波尔理论，对一轨道角动量 ，空间取向量子数有 ，即分空间取向量子数有 ，即分裂应为裂应为奇数个奇数个。。

n n2 1n

为什为什么？？么？？

为了解释上述困难以及碱金属原子的双线结构为了解释上述困难以及碱金属原子的双线结构，， 19251925年两位年两位不到不到 2525 岁的荷兰学生乌伦贝克和古兹米特提出岁的荷兰学生乌伦贝克和古兹米特提出电子自旋电子自旋假设。假设。

4. 实验结果解释

21( )( )

2 Z

dB Lz

mdZ v

原子束偏离原方向的横向位移为原子束偏离原方向的横向位移为

应为 在 方向的分量 应为 在 方向的分量 ::Z J

B

( )J Z

( ) ( )2J Z z

egJ

m

2

eg M

m

BMg

21( )( )

2 B

dB Lz Mg

mdZ v

有 个值，因而有 个条有 个值，因而有 个条纹。纹。

, 1,......M J J J 2 1J 2 1J

基态Ａｇ原子最外层为５基态Ａｇ原子最外层为５ s s 电子，原子态：电子，原子态： 两个条纹！两个条纹！

21/ 2 , 1/ 2,S J

1/ 2, 1/ 2M

5.意义史特恩－盖拉赫实验证明了史特恩－盖拉赫实验证明了 ::

1.1. 角动量空间量子化行为；角动量空间量子化行为；2.2. 电子自旋假设是正确的，而且自旋量子数电子自旋假设是正确的，而且自旋量子数 ss＝＝ 1/21/2；；3.3. 电子自旋磁矩为电子自旋磁矩为 (s 1) 3s s B Bg s

6.4 塞曼效应

一、实验事实一、实验事实1.1.塞曼效应现象塞曼效应现象

18961896年，荷兰物理学家塞曼发现：若把光源放入磁场中，则年，荷兰物理学家塞曼发现：若把光源放入磁场中，则一条谱线就会分裂成几条，且一条谱线就会分裂成几条，且分裂后的谱线成分是偏振的，分裂后的谱线成分是偏振的，这种现象称为这种现象称为塞曼效应。塞曼效应。

正常塞曼效应：正常塞曼效应：一条谱线在外磁场作用下，分裂为等间隔的一条谱线在外磁场作用下，分裂为等间隔的三条谱线。三条谱线。

垂直于磁场方向观察垂直于磁场方向观察 沿磁场方向观察沿磁场方向观察

反常塞曼效应：反常塞曼效应：除正常塞曼效应外的塞曼效应。除正常塞曼效应外的塞曼效应。

19021902 年，洛仑兹、塞曼获诺贝尔物理学奖年，洛仑兹、塞曼获诺贝尔物理学奖

二、理论解释二、理论解释1.1. 基本理论基本理论

12 EEh

设无磁场时，有两个能级 设无磁场时，有两个能级 ，它们之间的跃迁它们之间的跃迁将将产生一条谱线：产生一条谱线：

1 2,E E

若加外磁场，则两个能级各附加能量 若加外磁场，则两个能级各附加能量 ,,使能级发生分裂，所以光谱为：使能级发生分裂，所以光谱为：

1 2,E E

2 1 2 2 1 1( ) ( )h E E E E E E 2 2 1 1[ ] Bh M g M g B

h

1E

2E

0B

2 2E E

1 1E E

h

0B

2 2 1 1[ ] /BM g M g B h

将频率差转为波数差将频率差转为波数差 ::

2 2 1 1

1 1[ ]

4

BeM g M g

mc

2 2 1 1[ ]M g M g L 4

BeL

mc 洛仑兹单位

磁能级之间的跃迁选择定则磁能级之间的跃迁选择定则

产生产生 线 线 ((但 但 时时 除外除外 ))

0M 0J 00 12 MM

1M 产生 线产生 线

2.2. 镉镉 6438.476438.47 埃的塞曼效应埃的塞曼效应这条线对应的跃迁是这条线对应的跃迁是 1D2

1P1

1P1

1D2

L S J M g Mg

2 0 2 0 ， ±1 ， ± 2 1 2

1 0 1 0 ， ±1 1 1

2 2 1 1

1 1( )

'(0, 1)

M g M g L

L

00

L

借助格罗春图计算波数的改变：

M 2 1 0 -1 -2

M2g2 2 1 0 -1 -2

M1g1 1 0 -1

（ M2g2 - M1g1 ） =

L)1,0,1()1

(~

0 0 0-1 -1 -1 1 1 1

0

L0

1D2

1P1

6438

无磁场 有磁场

Cd6438Å 的正常塞曼效应跃迁图

M Mg

-1-2

-1-2

210

210

-1 -1

10

10

3.3. NaNa原子原子 58905890 埃和埃和 58965896 埃双线的塞曼效应埃双线的塞曼效应

这两条线对应的跃迁是：这两条线对应的跃迁是：2P3/2

2P1/22S1/2

2S1/2

2P3/2

2P1/2

L S J M g Mg

0 1/2 1/2 ±1/2 2 ± 1

1 1/2 1/2 ±1/2 2/3 ±1/3

1 1/2 3/2 ±1/2±3/2 4/3 ±2/3 ±6/3

2S1/2

在外磁场中 2P3/2 分裂为四个塞曼能级， 间距为 4 μBB /3 ；2P1/2 分裂为二，间距为 2μBBo/3 ； 2S1/2 分裂为二，间距为 2μBBo

2P1/22S1/2

M 1/2 -1/2

M2g2 1/3 -1/3

M1g1 1 -1

（ M2g2 - M1g1 ） = -2/3 2/3

L)3

4,

3

2,

3

2,

3

4()

1(~

-4/3 4/3

借助格罗春图计算波数的改变：借助格罗春图计算波数的改变：

2P3/22S1/2

M 3/2 1/2 -1/2 -3/2

M2g2 6/3 2/3 -2/3 -6/3

M1g1 1 -1

-1/3 1/3

L)3

5,

3

3,

3

1,

3

1,

3

3,

3

5()

1(~

-5/3 -3/3 3/3 5/3

3S

3P

不考虑自旋 考虑自旋

2S1/2

2P1/2

2P3/2

1/2 1/3-1/2 -1/3

1/2 1

-1/2 -1

Mg

-1/2 -2/3

M

3/2 6/31/2 2/3

-3/2 -6/3

在磁场中

5896 5890 5896 58905893

4.4. 塞曼效应谱线的偏振性质塞曼效应谱线的偏振性质

发光前原子系统的角动量等于发光后原子系统的角动量与所发光前原子系统的角动量等于发光后原子系统的角动量与所发光子的角动量的矢量和发光子的角动量的矢量和 ((光子的角动量为 光子的角动量为 ).).ΔΔM=MM=M2(2( 初初 ))-M-M1(1( 末末 ))=+1: =+1: （（ σσ++ 型偏振）型偏振）原子在磁场方向的角动量减少 原子在磁场方向的角动量减少 11ħ ħ ，所发光子必定具有，所发光子必定具有在磁场方向在磁场方向 +1 ħ+1 ħ 的角动量。的角动量。迎着磁场方向观察：迎着磁场方向观察：该光的矢量该光的矢量逆时旋转逆时旋转，所以，所以它是左旋圆偏振光它是左旋圆偏振光 σσ++ 。。（沿B方向观察，它是右旋圆偏振光σ- ）

垂直于磁场方向观察： 垂直于磁场方向观察： 线偏振光。线偏振光。

ΔΔM=MM=M2(2( 初初 ))-M-M1(1( 末末 ))= -1: = -1: （（ σσ- - 型偏振）型偏振）原子在磁场方向的角动量增加 原子在磁场方向的角动量增加 11ħ ħ ，所发光子必定具有，所发光子必定具有在磁场方向 在磁场方向 -- ħ ħ 的角动量。的角动量。

迎着磁场方向观察：迎着磁场方向观察：该光的矢量该光的矢量顺时旋转顺时旋转，所以，所以它是右旋圆偏振光它是右旋圆偏振光σ- 。。（沿 B方向观察，它是左旋圆偏振光 σσ++ ）

垂直于磁场方向观察： 垂直于磁场方向观察： 线偏振光。线偏振光。

ΔΔM=0M=0 ： ： （（型偏振）型偏振）光子携带角动量垂直于磁场。光子携带角动量垂直于磁场。

迎着磁场方向观察：迎着磁场方向观察：观察不到 ΔΔM=0M=0 跃迁的光跃迁的光

垂直磁场方向观察垂直磁场方向观察：：电矢量平行磁场的线电矢量平行磁场的线偏振光。偏振光。

按观察方向：按观察方向：

在垂直磁场方向：在垂直磁场方向：

迎磁场方向：迎磁场方向：

1:

0 :

M E B

M E B

的线偏振的线偏振

1:

1:

0 :

M

M

M

左旋圆偏振右旋圆偏振

看不到

6.5 帕邢—贝克效应

19121912 年。年。原子谱线在强磁场中分裂的现象。原子谱线在强磁场中分裂的现象。强磁场虽然破坏强磁场虽然破坏了了 LSLS 耦合，但各电子间的轨道角动量、自旋角动量的耦合仍耦合，但各电子间的轨道角动量、自旋角动量的耦合仍然存在，然存在， L,SL,S 量子数仍然有意义，而总角动量量子数仍然有意义，而总角动量 JJ 不再有意义。不再有意义。

轨道磁矩、自旋磁矩与强磁场作用，产生的能级分裂为：轨道磁矩、自旋磁矩与强磁场作用，产生的能级分裂为：

L SE B B

( 2 )B L SB M M

2 2 1 1 0( ) ( ) [ 2 ]B L Sh E E E E h B M M

0h

1E

2E 2 2E E

1 1E E

h

0B 0B

2 1

2 1

L L L

S S S

M M M

M M M

0 [ 2 ]BL S

Bv v M M

h

选择定则：选择定则： 0, 1 0L SM M

因此：因此：0

BBv vh

当 当 1LM

0v v 1LM 当 当

谱线分裂为三条。谱线分裂为三条。正常塞曼分裂谱线正常塞曼分裂谱线也为三条，但两者也为三条，但两者产生的机理不同。产生的机理不同。

强、弱外磁场说明：强、弱外磁场说明：例题：例题：已知锂原子主线系第一条谱线由两条精细谱线已知锂原子主线系第一条谱线由两条精细谱线 AA 组成，试问当外磁场为组成，试问当外磁场为 B=3.2T B=3.2T 时，时，产生何种效应，能级分裂的裂距？产生何种效应，能级分裂的裂距？

1 26707.85, 6708.00

解解 :: 35

2 2

12.4 10 . 0.154.13 10

(6708 )

eV A AE hc eV

A

此能量也可理解为电子自旋磁矩与电子轨道此能量也可理解为电子自旋磁矩与电子轨道运动产生的内磁场间的作用所致。运动产生的内磁场间的作用所致。

B s i sZ i i s

eE B B BM

m

1 1 2[ ( )]2 2 2B i i

e eE B B

m m

0.36iB T

可见，表现为帕邢可见，表现为帕邢 -- 贝克效应。在磁场中，能级的裂距 贝克效应。在磁场中，能级的裂距 波数表示：波数表示：

BB1149BB cm

hc

对钠原子主线系第一条谱线由两条精细谱线对钠原子主线系第一条谱线由两条精细谱线 AA 组成，同理可计算出内磁场约为组成，同理可计算出内磁场约为 18T18T 。。

1 25890, 5896