第三章 线性代数 方程组
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第三章 线性代数 方程组 第三章 线性代数 方程组 第一节 矩阵的秩 第二节 线性代数方程组的解 第三节 向量的线性相关与线性无关 第四节 线性方程组的结构
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第三章 线性代数 方程组. 第一节 矩阵的秩 第二节 线性代数方程组的解 第三节 向量的线性相关与线性无关 第四节 线性方程组的结构. 第一节 矩阵的秩. 3.1.1 矩阵的秩的概念 3.1.2 秩的计算. 返回. 3.1.1 矩阵的秩的概念. 定义1 对于 m×n 矩阵 A， 称其一切非退化方子矩阵的最高阶数 k 为 A 的 秩 ( rank)， 记作 r(A)， 并规定 r(0)=0. 例1 求下面矩阵的秩 ：. 因为矩阵没有4阶子式，则 r(A)
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3.1.1 3.1.2
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3.1.1 1 mnAkA(rank)r(A)r(0)=0.1
- 4r(A)
-
Akr(A)k.r(A)=kAkAkk().Amn r(A)min(m,n) r(A)=r(A')Ar(A)=0.
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Anr(A)ndet(A)0 r(A)=n.
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3.1.2 2 mn 1. k+1k(k=1,2,,m-1). 2. .
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10. 2 AB
-
1 mnA.1 mnA.2 AmnBmnr(BA)=r(AB)=r(A).3 mnA A=PNQ N= r(A)=r
.
-
2 mnA.3
.
-
1BA r(A)=r(B)=3.
Ar(A).
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3.2.1 3.2.2
-
3.2.1 3 nAx=b1r(A)r()2r(A)=r()=n3r(A)=r()n.
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3.2.2 1. r(A)r().r(A)r().2. r(A)=r().A.
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3. r(A)=r()=rrn-r An-r.
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1
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4 1Ax=br(A)=r(A|b) 2nAx=0r(A)n.
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3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4
-
3.3.1 3 k k .
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1
.
-
.
-
3.3.2 5 k2.6 .
-
1 .2 .3 .
-
4 .5 .6 nkkn .
-
.
-
3.3.3 4 ()12 .2
.
-
A
-
124 .
-
5 r..
-
3.3.4 6 mn
A .
-
7 Amn Ar(A) Ar(A) = =r(A)
-
3.4.1 3.4.2
-
3.4.1 1.2.3..
-
7 Ax=0 Ax=01Ax=0 2 .8 n-rrn-r.
-
3.4.2 Ax=b0Ax=0Ax=0Ax=bAx=bAx=0Ax=bAx=0
-
Ax=b = +Ax=0. Ax=bAx=0.1 .
-
1 . B
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2.
-
= +.
