ข้อสอบ เรื่อง...

ชื่อ………………………..……………………………………..…………………………………………ชั้น………………………..…....เลขที่……………..………

โจทย์ทบทวน

1. ถ้าจุด P(4, y) อยู่ห่างจากจุด A(-5, 2) และ B(13, -6) เป็นระยะทางเท่ากัน จงหาค่า y

2. ก าหนดให้ A(2, 7) , B(-5, 6) เป็นจุดปลายของส่วนของเส้นตรง จงหาพิกัดของจุดบนส่วนของเส้นตรงนี้ ซึ่งอยู่ห่างจาก A

เท่ากับ 34

ของระยะทางระหว่าง A และ B

3. ถ้าเส้นตรงที่ลากผ่านจุด (k, 7) และ (-3, -2) ไปตั้งฉากกับเส้นตรงที่ลากผ่านจุด (3, 2) และ (1, -4) จงหาค่า k

4. จงหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (7, 5) และขนานกับเส้นตรง x + 2y + 12 = 0

5. จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (2, 1) และผ่านจุดตัดระหว่างเส้นตรง 2x + 3y = 3 กับเส้นตรง 3x – 2y = 11

6. จงหาสมการเส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรง 5x + 12y – 2 = 0 และห่างจากเส้นตรงเป็นระยะ 3 หน่วย

7. วงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (-1, 2) และสัมผัสกับเส้นตรง 4x – 3y – 5 = 0 แล้วจะมีรัศมีเท่าใด

Pra Fun Math เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย 2 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8. จงเขียนสมการวงกลมในรูปแบบมาตรฐานเมื่อจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (7, -3) และวงกลมนี้สัมผัสแกน x

9. จงหาจุดศูนย์กลางและความยาวของรัศมีของวงกลม x2 + y2 + 4x – 2y + 1 = 0

10. จงหาค่า k ของสมการ x2 + y2 – 8x + 10y + k – 10 = 0 เมื่อวงกลมมีรัศมี 5 หน่วย

11. จงหาสมการเส้นตรงที่สัมผัสวงกลม x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0 ที่จุด (5, 5)

12. จงหาจุดยอด จุดโฟกัส เส้นไดเรกตริกซ์ ความยาวของลาตัสเรกตัม แกนสมมาตรของพาราโบลาพร้อมทั้งเขียนกราฟ 12.1 x2 + 4x + 12y – 8 = 0

12.2 y2 – 6y + 4x + 1 = 0

Pra Fun Math เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย 3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

13. จงหาสมการพาราโบลาที่มีสมการเส้นไดเรกตริกซ์คือ y = 3 และจุดโฟกัสอยู่ที่จุด (0, -3)

14. จงหาสมการพาราโบลาซึ่งมีจุดยอด (2, 1) แกนพาราโบลาขนานกับแกน x หรือ y และจุดปลายของลาตัสเรกตัม คือ (-1, -5) กับ (-1, 7)

15. จงหาจุดยอด โฟกัส ความเยื้องศูนย์กลาง สมการแกนเอก สมการแกนโท ความยาวของแกนเอกและแกนโท ความยาวของลาตัสเรกตัมของวงรี 25x2 + 9y2 – 100x + 18y – 116 = 0 แล้วเขียนกราฟ

16. จงหาสมการของวงรีที่มีแกนเอกยาว 4 หน่วย แกนโทยาว 2 หน่วย โฟกัสอยู่บนแกน x และมีจุดก าเนิดเป็นจุดศูนย์กลาง

17. ผลบวกของระยะทางจากจุด P(x, y) ใดๆ บนวงรีไปยังจุด (0, -3) และ (0, 3) เท่ากับ 10 หน่วย จงหาจุดยอด จุดโฟกัส ความยาวของแกนโท และเขียนกราฟ

18. จงหาสมการของเส้นสัมผัสกับวงรี 2 22

10 5

x y = 1 ที่จุด 1

3,2


19. จงหาสมการของวงรีที่มีจุดยอดและโฟกัสจุดหนึ่งร่วมกับพาราโบลา y2 + 4x = 100 และโฟกัสอีกจุดหนึ่งอยู่ที่จุดก าเนิด

20. จงหาจุดศูนย์กลาง จุดยอด จุดโฟกัส ความยาวแกนตามขวาง ความยาวแกนสังยุค และสมการเส้นก ากับของ 16x2 – 9y2 – 64x – 18y – 89 = 0 พร้อมทั้งเขียนกราฟ

21. จงหาสมการของไฮเพอร์โบลาที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้ 21.1 โฟกัสคือจุด (5, 0) , (-5, 0) และมีจุด (0, -4) เป็นจุดปลายข้างหนึ่งของแกนสังยุค

21.2 จุดยอด คือ จุด (0, -1) , (0, 1) เส้นก ากับ คือ 1

5y x

21.3 มีเส้นตรง x = 1 เป็นแกนสังยุคและแกนสังยุคนี้ยาว 8 หน่วย จุดยอดจุดหนึ่งอยู่ที่ (4, -2)


ข้อสอบ PAT1 คณิตศาสตร์ เร่ือง เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย

B – PAT1 ต.ค. 51

1. ให้ C เป็นจุดตัดของเส้นตรง x – 2y = 0 และเส้นไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา x2 = 8y ระยะระหว่างจุด C และเส้นตรง 2x – y = 1 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 5

6 หน่วย 2. 5

7 หน่วย 3. 7 หน่วย 4. 5

7 หน่วย

2. วงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (1, 2) แกนเอกขนานกับแกน X และยาว 6 หน่วย แกนโทยาว 4 หน่วย ผ่านจุดในข้อใดต่อไปนี้ 1. (0, 1) 2. (2, 0) 3. (1, 4) 4. (4, 1)

3. ก าหนดให้ P(-1, -1) และ Q(1, c) เป็นจุดในระนาบ XY ถ้า l เป็นเส้นตรงซึ่งผ่านจุด P, Q และมีความชันเท่ากับ 3 แล้วเส้นตรงที่มีความชันเท่ากับ -2 และผ่านจุด Q จะมีสมการดังข้อใดต่อไปนี้ 1. y = -2x + 7 2. y = -2x + 5 3. y = -2x + 3 4. y = -2x + 1

4. ก าหนดให้ 21,CC เป็นจุดโฟกัสของไฮเพอร์โบลา 8)2()1(2 22 yx โดยที่

2C อยู่ในควอดรันต์ที่ 1 วงกลมที่มี

2C เป็นจุดศูนย์กลางและผ่านจุด )3,32( คือวงกลมที่มีสมการดังข้อใดต่อไปนี้

1. 24)321( 22

yyx 2. 24)321( 22

yyx

3. 24)321( 22

yyx 4. 24)321( 22

yyx

PAT1 ม.ีค. 52

5. ถ้าเส้นตรงหนึ่งผ่านจุดก าเนิดและจุดยอดของพาราโบลา 0442 xyy และตัดเส้นไดเรกตริกซ์ที่จุด ),( ba แล้ว ba มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 4 2. 5 3. 6 4. 7

6. ก าหนดให้ วงกลมรูปหนึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (2, 1) ถ้าเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด 1x เส้นหนึ่งมีความชันเท่ากับ 3

1

แล้วจุดในข้อใดต่อไปนี้อยู่บนวงกลมที่ก าหนด 1. (0, 1) 2. (0, 2) 3. (1, 0) 4. (3, 0)

7. ก าหนดให้ วงรีรูปหนึ่งมีโฟกัสอยู่ที่จุด )0,3( และผ่านจุด

2

21,2 จุดในข้อใดต่อไปนี้อยู่บนวงรีที่ก าหนด

1. )0,4( 2. )2

25,0( 3. )0,6( 4. )23,0(

PAT1 ก.ค. 52

8. ก าหนดให้เส้นตรง 1l และ

2l สัมผัสวงกลม 20)5( 22 yx ที่จุด P และ Q ตามล าดับ และจุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่บนเส้นตรงที่ผ่านจุด P และ Q ถ้า

1l มีสมการเป็น 052 yx แล้วจุดในข้อใดต่อไปนี้อยู่บนเส้นตรง 2l

1. )2

5,0( 2. )1,8( 3. )8,1( 4. )0,15(


9. ก าหนดให้ 1|),(

1|),(

17|),(

22

22

22

xyyxB

yxyxA

yxyxS

ถ้า ASp และ BSq แล้วระยะทางน้อยสุดที่เป็นไปได้ระหว่างจุด

p และ q เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 423 2. 223 3. 232 4. 332

10. ระยะทางจากโฟกัสของพาราโบลา xy 82 ไปยังเส้นตรง 62 yx เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 52 หน่วย 2. 25 หน่วย 3. 5

2 หน่วย 4. 5

2 หน่วย

11. ก าหนดให้วงรี E มีโฟกัสทั้งสองอยู่บนวงกลม C ซึ่งมีสมการเป็น 122 yx ถ้า E สัมผัสกับ C ที่จุด (1, 0) แล้ว จุดในข้อใดต่อไปนี้อยู่บน E

1. )2

3,

2

1( 2. )

2

5,

2

1( 3. )

3

2,

3

1( 4. )

3

4,

3

1(

PAT1 ต.ค. 52

12. ก าหนด A = {(x, y) | x2 + y2 = 1} และ B = {(x, y) | x2 + y2 – 10x – 10y + 49 = 0} ถ้า p A และ q B แล้ว ระยะทางมากสุดที่เป็นไปได้ระหว่างจุด p และ q เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 25 หน่วย 2. 252 หน่วย 3. 52 หน่วย 4. 525 หน่วย

13. ก าหนดให้ E เป็นวงรีที่มีโฟกัสอยู่ที่จุดยอดของไฮเพอร์โบลา x2 – y2 = 1 ถ้า E ผ่านจุด (0, 1) แล้ว จุดในข้อใดต่อไปนี้อยู่บน E

1. )2

2,1( 2. )2,1( 3. )

2

1,1( 4. )

2

3,1(

14. ให้ a, b และ c เป็นจ านวนจริง ถ้าวงกลม x2 + y2 + ax + by + c = 0 มีจุดศูนย์กลางที่ (2, 1) และมีเส้นตรง x – y + 2 = 0 เป็นเส้นสัมผัสวงกลม แล้ว | a + b + c | เท่ากับเท่าใด

15. พาราโบลามีจุดยอดที่ (-1, 0) และมีจุดก าเนิดเป็นโฟกัส ถ้าเส้นตรง y = x ตัดพาราโบลาที่จุด P และจุด Q แล้ว ระยะทางระหว่างจุด P กับจุด Q เท่ากับเท่าใด

PAT1 ม.ีค. 53

16. ก าหนดให้วงรีรูปหนึ่งมีสมการเป็น 404421002125 22 yxyx = 0 แล้วไฮเพอร์โบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดโฟกัสทั้งสองของวงรีและผ่านจุด )81,3( มีสมการตรงกับข้อใดต่อไปนี้ 1. 0253281045 22 yxyx 2. 01588623 22 yxyx 3. 0191624 22 yxyx 4. 0282827 22 yxyx


17. จุด A(-3, 1) B(1, 5) C(8, 3) และ D(2, -3) เป็นจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยม ABCD ข้อใดต่อไปนี้ผิด 1. ด้าน AB ขนานกับ ด้าน DC 2. ผลบวกความยาวของด้าน AB กับ DC เท่ากับ 210 หน่วย

3. ระยะตั้งฉากจากจุด A ไปยังเส้นตรงที่ผ่านจุด C และจุด D มีค่าเท่ากับ 2

29 หน่วย

4. ระยะตั้งฉากจากจุด B ไปยังเส้นตรงที่ผ่านจุด C และจุด D มีค่าเท่ากับ 2

9 หน่วย

18. ก าหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มี A(0, 0) และ B(2, 2) เป็นจุดยอด และ C(x, y) เป็นจุดยอดในจตุภาค (quadrant) ที่ 2 ที่ท าให้ด้าน AC ยาวเท่ากับด้วย BC ถ้าพ้ืนที่ของสามเหลี่ยม ABC มีค่าเท่ากับ 4 ตารางหน่วย แล้วจุด C อยู่บนเส้นตรงในข้อใดต่อไปนี้ 1. x – y + 4 = 0 2. 4x + 3y – 1 = 0 3. 2x – y – 3 = 0 4. x + y – 5 = 0

PAT1 ก.ค. 53

19. ก าหนดวงกลมรูปหนึ่งมีจุดปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางอยู่บนจุดศูนย์กลางและจุดโฟกัสด้านหนึ่งของไฮเพอร์โบลา 0176490169 22 yxyx แล้ววงกลมดังกล่าวมีพ้ืนที่เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 4

25 ตารางหน่วย 2. 2

25 ตารางหน่วย 3. 4 ตารางหน่วย 4. 5 ตารางหน่วย

20. รูปสามเหลี่ยม ABC มีมุม CBA ˆ เป็นมุมฉาก และด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 10 หน่วย ถ้าพิกัดของจุด A และจุด B คือ (-4, 3) และ (-1, 2) ตามล าดับ แล้วสมการเส้นตรงในข้อใดผ่านจุด C 1. 0278 yx 2. 0278 yx 3. 0354 yx 4. 0345 yx

PAT1 ต.ค. 53

21. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. x2 + y2 + 6x – 4y = 23 เป็นสมการวงกลมที่สัมผัสกับเส้นตรงซึ่งมีสมการเป็น 21x + 20y + 168 = 0 ข. y2 + 16x – 6y = 71 เป็นสมการของพาราโบลาที่มีจุดยอดท่ี (-5, 3) และจุดโฟกัสที่ (-1, 3) ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด 3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด

22. ก าหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีจุดยอดเป็น A(-2, 3) B(2, 8) C(4, 4) และ D(0, -3) พ้ืนที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 16 ตารางหน่วย 2. 32 ตารางหน่วย 3. 1310 ตารางหน่วย 4. 1026 ตารางหน่วย

23. จุด A(1, 0) และจุด B(b, 0) เมื่อ b > 1 เป็นจุดปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมวงหนึ่ง ถ้าเส้นตรง L ผ่านจุด (-1, 0)

และสัมผัสกับวงกลมวงนี้ มีความชันเท่ากับ 3

4 แล้ว b เท่ากับเท่าใด


PAT1 ม.ีค. 54

24. ให้เส้นตรง x – y + 2 = 0 ตัดกับวงกลม x2 + y2 + 6x – 4y + 4 = 0 ที่จุด A และจุด B ถ้า (a, b) เป็นจุดโฟกัสของพาราโบลาซึ่งมีเส้นตรง y = 2 เป็นแกนของพาราโบลาและพาราโบลานี้ผ่านจุด A และจุด B แล้ว a + b เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 4

11 2. 4

9 3. 4

7 4. 4

5

25. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ไฮเพอร์โบลา 4x2 – 25y2 + 24x – 100y – 164 = 0 มีจุดยอดอยู่ที่จุดยอดของวงรี 4x2 + 252 + 24x + 100y + 36 = 0 และมีแกนสังยุคยาวเท่ากับแกนโทของวงรี ข. วงรี 4x2 + 252 + 24x + 100y + 36 = 0 มีจุดยอดจุดหนึ่งอยู่บนพาราโบลา y2 + 4y – 4x + 12 = 0 ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด 3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด

26. ก าหนดให้ a > tan 60o และ A(a, 3) , B(7, 8) และ C(-4, 9) เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม A เป็นมุมฉาก ให้ L เป็นสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด A และจุด B จงหาจ านวนเต็มบวก k ที่น้อยที่สุดที่ท าให้พาราโบลา ky = x2 + 2k มีจุดร่วมกับเส้นตรง L เพียงจุดเดียว

PAT1 ธ.ค. 54

27. ให้ P เป็นจุดบนวงกลม x2 + y2 + 2x – 4y – 15 = 0 ที่อยู่ใกล้จุด A(1, 3) มากที่สุด จงหาระยะระหว่างจุด P กับเส้นตรง 3y – 4x = 15 1. 3 2. 3.2 3. 3.4 4. 3.5

28. ก าหนดให้พาราโบลามีจุดยอดที่ (-3, -2) ผ่านจุดโฟกัสของไฮเพอร์โบลา 5x2 – 4y2 – 16y + 4 = 0 จงหาสมการไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา 1. 4y + 15 = 0 2. 4y + 9 = 0 3. 4x + 9 = 0 4. 4x + 15 = 0

29. ก าหนดให้ M(a, b) เป็นจุดกึ่งกลางของเส้นตรงที่เชื่อมจุดตัดไฮเพอร์โบลา xy = 6 กับเส้นตรง x – y – 1 = 0 จงหาระยะระหว่างจุด M กับเส้นตรง 6x – 8y + 13 = 0

PAT1 ม.ีค. 55

30. วงรีที่มีแกนเอกอยู่บนแกน x แกนโทอยู่บนแกน y ระยะระหว่างจุดโฟกัสทั้งสองเท่ากับ 12 หน่วย ถ้าความยาวของคอร์ดที่ผ่านจุดโฟกัสหนึ่งและตั้งฉากกับแกนเอกของวงรี เท่ากับ 10 หน่วย แล้วสมการของวงรี คือข้อใดต่อไปนี้ 1. 5x2 + 9y2 = 405 2. 9x2 + 5y2 = 81 3. 5x2 + 9y2 = 225 4. 9x2 + 5y2 = 20


31. พาราโบลาที่มีจุดโฟกัส F อยู่ที่จุดศูนย์กลางของวงกลม x2 + y2 – 6x + 4y + 4 = 0 และมีจุดยอด V อยู่ที่จุดตัดของวงกลมกับแกน y ถ้า A และ B เป็นจุดบนพาราโบลาซึ่งส่วนของเส้นตรง AB ผ่านจุดโฟกัส F และตั้งฉากกับแกนของพาราโบลา แล้วพ้ืนที่ของรูปสามเหลี่ยม VAB เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 9 ตารางหน่วย 2. 12 ตารางหน่วย 3. 18 ตารางหน่วย 4. 36 ตารางหน่วย

PAT1 ต.ค. 55

32. แกนเอกของวงรีเป็นส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดตัดของวงกลม 2522 yx กับวงกลม 07622 yyx และโฟกัสจุดหนึ่งของวงรีอยู่บนเส้นตรง 032 x สมการของวงรีตรงกับข้อใดต่อไปนี้ 1. 084 22 xyx 2. 020244 22 yyx 3. 0764 22 yyx 4. 048324 22 xyx

33. ถ้าวงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนย์กลางคือ ),( khC อยู่บนเส้นตรง 04 yx และวงกลมนี้ผ่านจุด )2,5( A และจุด )5,2(B แล้ว พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC เท่ากับเท่าใด

PAT1 ม.ีค. 56

34. ให้พาราโบลา P มีสมการเป็น 04622 xyy ถ้าวงกลมวงหนึ่งผ่านจุดโฟกัสของพาราโบลา P และสัมผัสกับเส้นตรง 0623 yx ณ จุด 3,4 แล้วสมการของวงกลมตรงกับข้อใดต่อไปนี้ 1. 05582477 22 yxyx 2. 05582477 22 yxyx 3. 05582477 22 yxyx 4. 05582477 22 yxyx

35. ก าหนดให้ 01996418169 22 yxyx เป็นสมการไฮเพอร์โบลา ถ้าพาราโบลารูปหนึ่งมีแกนสมมาตรขนาน แกน y ตัดแกน x ที่ (1,0) และผ่านจุดยอดทั้งสองของไฮเพอร์โบลาที่ก าหนดให้ แล้ว จุดในข้อใดต่อไปนี้ไม่อยู่บนพาราโบลา

1.

8

1,2 2.

2

1,1 3.

2

1,3 4.

4

1,4

36. ก าหนดให้วงรีมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ )0,0( และมีโฟกัส 1F และ 2F อยู่บนแกน x จุด )1,4(A เป็นจุดบนวงรีโดยที่ผลบวก

ระยะทางจากจุด )1,4(A ไปยังจุดโฟกัสทั้งสองมีค่าเท่ากับ 26 ให้เส้นตรง L ตัดแกน x ที่จุด )0,5.4( และสัมผัสกับวงรีที่จุด )1,4(A ถ้า d เป็นระยะห่างระหว่างจุด )0,0( กับเส้นตรง L แล้ว ค่าของ 21

2 AFAFd เท่ากับเท่าใด

PAT1 ม.ีค. 57

37. ก าหนดให้ L เป็นเส้นตรงมีสมการเป็น 1b

y

a

x เมื่อ 0, ba และให้ 1C และ

2C เป็นวงกลมสองวงที่ต่างกัน โดย

ที่มีรัศมีเท่ากันและวงกลมทั้งสองวงต่างสัมผัสกับเส้นตรง L ที่จุดเดียวกัน ถ้าวงกลม 1C มีจุดศูนย์กลางที่จุด (0, 0) แล้ว

สมการของวงกลม 2C คือข้อใดต่อไปนี้

1. 03))((4)()( 222222222 baaybxbaabyxba 2. 03)(4))(( 222222 baaybxabyxba 3. 05))((4)()( 222222222 baaybxbaabyxba 4. 05)(4))(( 222222 baaybxabyxba


38. ก าหนดให้ไฮเพอร์โบลารูปหนึ่งมีสมการเป็น x2 – y2 – 2x = 0 ถ้าพาราโบลามีโฟกัสเป็นจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดตัดของเส้นตรง y = 2x กับเส้นก ากับของไฮเพอร์โบลา และมีเส้นไดเรกตริกซ์เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดยอดทั้งสองของไฮเพอร์โบลา แล้วสมการของพาราโบลาคือข้อใดต่อไปนี้ 1. 9x2 + 12x + 12y – 3 = 0 2. 9x2 + 12x + 12y + 8 = 0 3. 9x2 + 6x – 12y – 3 = 0 4. 9x2 + 6x + 12y + 5 = 0

39. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ให้ P(x, y) เป็นจุดใดๆ ในระนาบ ถ้าผลบวกของระยะทางจากจุด P(x, y) ไปยังจุด (0, -2) และระยะทางจากจุด P(x, y) ไปยังจุด (2, -2) เท่ากับ 52 แล้วเซตของจุด P(x, y) คือ { (x, y) | 4x2 + 5y2 – 8x + 20y – 12 = 0 } ข. จุด (1, 1) เป็นจุดบนพาราโบลา y = x2 อยู่ใกล้กับเส้นตรง y = 2x – 4 มากที่สุด ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด 3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด

PAT1 เม.ย. 57

40. ให้ F เป็นโฟกัสของพาราโบลา 1364 2 xxy ถ้าไฮเพอร์โบลารูปหนึ่งมีสมบัติดังนี้ ก. แกนตามขวางขนานแกน Y ข. จุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลาอยู่ที่ F ค. โฟกัสหนึ่งของไฮเพอร์โบลาคือ 322,3 ง. แกนสังยุคยาว 12 หน่วย แล้วไฮเพอร์โบลารูปนี้มีสมการตรงกับข้อใดต่อไปนี้ 1. 0144362494 22 yxyx 2. 036362494 22 yxyx 3. 0144362449 22 yxxy 4. 036362449 22 yxxy

41. ก าหนดให้วงรีรูปหนึ่งมีสมการเป็น 09222 CyBxAyx โดยที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (2, 1) และแกนเอกยาวเป็น 2 เท่าของแกนโท ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. 0 CBA

2. ความเยื้องศูนย์กลางของวงรีเท่ากับ 5

3

3. วงรีมีจุดศูนย์กลางร่วมกับจุดศูนย์กลางของวงกลม 0202422 yxyx และแกนเอกยาวเท่ากับ รัศมีวงกลม 4. ผลบวกของระยะทางจากจุด (2, 6) ไปยังโฟกัสทั้งสองของวงรีเท่ากับ 20 หน่วย

42. ให้ A เป็นจุดตัดของเส้นตรง 013 yx และ 0952 yx ถ้าเส้นตรง L มีความชันเท่ากับ m เมื่อ m < 0 มีระยะห่างจากจุดก าเนิด (0, 0) เท่ากับ k หน่วย โดยที่ k2 + 2m = 1 และผ่านจุด A แล้วสมการของเส้นตรง L ตรงกับข้อใดต่อไปนี้ 1. 052 yx 2. 073 yx 3. 042 yx 4. 053 yx


PAT1 พ.ย. 57

43. ก าหนดให้ 0682 22 xxy เป็นสมการของไฮเพอร์โบลา ให้เส้นตรง 2y ตัดกับเส้นก ากับของไฮเพอร์โบลาที่จุด A และจุด B เมื่อจุด B อยู่ทางขวามือของจุด A และเส้นตรง 2y ตัดกับกราฟไฮเพอร์โบลาที่จุด P และจุด Q เมื่อจุด Q อยู่ทางขวามือของจุด P สมการของวงรีที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด P และจุด Q โฟกัสของวงรีอยู่ที่จุด A และ B มีสมการตรงกับข้อใดต่อไปนี้ 1. 042482 22 yxyx 2. 082282 22 yxyx 3. 062442 22 yxyx 4. 062442 22 yxyx

44. ให้ C เป็นวงกลมมีสมการ 022 FEyDxyx มีจุดศูนย์กลางอยู่ในควอดรันต์ (quadrant) ที่ 1 และวงกลม C สัมผัสแกน y ให้ P เป็นพาราโบลามีสมการ FEyyDx 2 ผ่านจุด (-4, -1) และระยะระหว่างจุดยอดกับโฟกัสเท่ากับ 1 หน่วย พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. 133222 FED ข. เส้นตรง 0734 yx สัมผัสกับวงกลม C ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด 3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด

45. ก าหนดให้ L1 เป็นเส้นตรงผ่านจุด (-2, -4) มีความชันเป็นจ านวนเต็มบวก และตัดแกน X และแกน Y ที่จุด A และจุด B ตามล าดับ โดยผลบวกของระยะตัดแกน X และระยะตัดแกน Y เท่ากับ 3 หน่วย ให้ L2 เป็นเส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรง L1 และผ่านจุด (0, -13) ถ้า C เป็นจุดบนเส้นตรง L2 โดยที่ CA = CB แล้วพ้ืนที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 8.5 ตารางหน่วย 2. 7.5 ตารางหน่วย 3. 6.5 ตารางหน่วย 4. 5.5 ตารางหน่วย

PAT1 ม.ีค. 58

46. ก าหนดให้ 2 216 9 36 32 124 0y x x y เป็นสมการของไฮเพอร์โบลา ให้ L เป็นเส้นตรงผ่านจุด (0, 0) และจุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลานี้ ผลบวกของระยะจากโฟกัสทั้งสองไปยังเส้นตรง L เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 2 5 2. 3 5 3. 4 5 4. 5 5

47. ถ้าจุด ( , )a b เป็นจุดบนเส้นตรง 2 6 0y x ที่อยู่ใกล้จุด (3,1) มากที่สุด วงกลมที่มีจุด ( , )a b เป็นจุดศูนย์กลางและสัมผัสแกน x ตรงกับข้อใดต่อไปนี้ 1. 2 2 8 2 16 0x y x y 2. 2 2 8 2 1 0x y x y 3. 2 2 4 2 16 0x y x y 4. 2 2 4 2 1 0x y x y

48. ก าหนดให้วงรีรูปหนึ่ง ผ่านจุด (8, 0) มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (4, -1) และโฟกัสจุดหนึ่งอยู่ที่ (1, -1) ถ้าพาราโบลารูปหนึ่งมีโฟกัสอยู่ที่จุดปลายของแกนโทของวงรีในควอดรันต์ (quardrant) ที่ 1 และมีเส้นไดเรกตริกซ์ทับกับแกนเอกของวงรี แล้วสมการของพาราโบลารูปนี้ตรงกับสมการในข้อใดต่อไปนี้ 1. 2 8 4 13 0x x y 2. 2 8 4 20 0x x y 3. 2 8 6 12 0x x y 4. 2 8 6 19 0x x y


ข้อสอบ A – NET คณิตศาสตร์ เรื่อง เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย

A – NET 49

1. วงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนย์กลาง อยู่ที่จุดศูนย์กลางของวงรีที่มีสมการเป็น 9x2 + 4y2 – 36x – 24y + 36 = 0 ถ้าวงกลมวงนี้สัมผัสกับเส้นตรงที่ผ่านจุด (1, 3) และ (5, 0) แล้ว รัศมีของวงกลมวงนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 5

3 2. 5

4 3. 8

7 4. 13

9

2. ก าหนดให้ H เป็นไฮเพอร์โบลาที่มีสมการเป็น 16x2 – 9y2 – 144 = 0 ถ้าจุด A(6, k) เมื่อ k > 0 เป็นจุดอยู่บนเส้นก ากับของ H และ F1 , F2 เป็นโฟกัสของ H แล้ว พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม AF1F2 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 2


45 ตารางหน่วย 3. 30 ตารางหน่วย 4. 40 ตารางหน่วย

A – NET 50

3. ถ้า k, l และ m เป็นจ านวนจริงที่ท าให้วงรี kx2 + ly2 – 72x – 24y + m = 0 มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (4, 3) และสัมผัสแกน Y แล้ว ข้อใดต่อไปนี้ผิด 1. ความยาวแกนเอกเท่ากับ 12 หน่วย 2. ความยาวแกนโทเท่ากับ 8 หน่วย 3. ระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสทั้งสองเท่ากับ 54 หน่วย 4. จุด (2, 6) อยู่บนวงรี

4. วงกลม C มีจุดศูนย์กลางที่จุดก าเนิด และผ่านจุดโฟกัสของพาราโบลาซึ่งมีสมการเป็น (x – 2)2 = 8y โดยเส้นไดเรกตริกซ์ของพาราโบลาตัดวงกลม C ที่จุด P และจุด Q ถ้าจุด R อยู่บนพาราโบลาและอยู่ห่างจากจุดโฟกัสเป็นระยะทาง 4 หน่วย แล้ว สามเหลี่ยม PQR มีพ้ืนที่เท่ากับข้อใด 1. 8 หน่วย 2. 9 หน่วย 3. 10 หน่วย 4. 12 หน่วย

5. ถ้าเส้นก ากับของไฮเพอร์โบลา 16x2 – 9y2 + 32x + 36y = 164 ตัดแกน X ที่จุด x1, x2 แล้ว ระยะระหว่าง x1, x2 ยาวกี่หน่วย

A – NET 51

6. ให้ A และ B เป็นจุดยอดของไฮเพอร์โบลา 4x2 – y2 – 24x + 6y + 11 = 0 สมการของพาราโบลาที่มี AB เป็น เลตัสเรกตัม และมีกราฟอยู่เหนือแกน X คือสมการในข้อใดต่อไปนี้ 1. (x – 3)2 = 4(y – 2) 2. (x – 3)2 = 8(y – 1) 3. (x – 2)2 = 4(y – 2) 4. (x – 2)2 = 8(y – 1)

7. ให้ E เป็นวงรีที่มีแกนเอกขนานกับแกน X , มีจุดศูนย์กลางที่ (-2, 1) , สัมผัสเส้นตรง x = 1 และ y = 3 โดยมี 1F และ

2F เป็นจุดโฟกัสของ E ให้ C เป็นวงกลมที่มี

21FF เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ถ้าวงรี E ตัดวงกลม C ที่จุด P, Q, R และ S แล้ว พื้นที่รูปสี่เหลี่ยม PQRS มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 5




48 ตารางหน่วย


ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยเชียงใหม่ วิชา คณิตศาสตร์ 1 เร่ือง เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย

มช 49

1. วงรีรูปหนึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดก าเนิดและแกนเอกอยู่บนแกน Y ความยาวแกนโทเท่ากับ 6 และความเยื้องศูนย์กลางเท่ากับ 0.8 จงหาความชัน m > 0 ของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดโฟกัสหนึ่งของวงรีกับจุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลา 2x2 – y2 – 8x + 2y + 5 = 0

2. ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมท่ีมีรัศมี R < 10 ซึ่งผ่านจุด (-1, 8) และสัมผัสแกน X และแกน Y ที่จุด A และจุด B ตามล าดับ พ้ืนที่ของรูปสามเหลี่ยม OAB เท่ากับข้อใด 1. 10.5 2. 12.5 3. 14.5 4. 16.5

มช 50

3. ถ้ากราฟไฮเพอร์โบลามีสมการเป็น 9(x – 2)2 – 16(y – 1)2 + 144 = 0 แล้ว ระยะห่างระหว่างเส้นก ากับที่มีความชันเป็นบวกกับจุด (4, 2) มีค่าเท่ากับข้อใด 1. 0.2 2. 0.4 3. 0.6 4. 0.8

มช 51

4. ก าหนดให้วงรี 2 2

19 4

x y มีจุดยอดอยู่ที่จุด A(x1, y1) และ B(x2, y2) โดยที่ x2 > 0 แล้ว สมการของวงกลมที่มีจุด

ศูนย์กลางอยู่ที่จุด B และสัมผัสเส้นตรง y = x + 3 คือข้อใด

1. x2 + (y – 2)2 = 2 2. x2 + (y – 2)2 = 12

3. (x – 3)2 + y2 = 3 4. (x – 3)2 + y2 = 18

5. ไฮเพอร์โบลารูปหนึ่งมีแกนตามขวางยาว 6 หน่วย จุดโฟกัสจุดหนึ่งอยู่ที่ (-6, 0) และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่โฟกัสของพาราโบลา y2 = -8x แล้ว สมการของไฮเพอร์โบลาที่ก าหนดคือข้อใด

1. 2 2( 2)

19 7

x y 2.

2 2( 2)1

9 10

x y

3. 2 2( 2)

19 55

x y 4.

2 2( 2)1

9 28

x y

6. เส้นตรง L1 : 2x + 3y = 12 ตัดกับเส้นตรง L2 : 2x + y = 8 ที่จุด (3, 2) ถ้า เป็นมุมแหลมที่เกิดจากการตัดกันของเส้นตรงทั้งสอง แล้วค่าของ cos คือข้อใด

1. 1

65 2. 1

65 3. 7

65 4. 7

65


มช 52

7. ให้ L เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดตัดของวงกลม x2 + y2 = 4 และ (x – 5)2 + y2 = 9 และท ามุม 30o กับเส้นตรง x = 5 สมการของเส้นตรง L คือข้อใด

1. 1 2

3 3y x 2. 1 2

3 3y x

3. 3 2 3y x 4. 3 2 3y x

8. วงรีวงหนึ่งมีจุดโฟกัสอยู่ที่ ( , 0)c จุดยอดอยู่ที่ ( ( 1), 0)c เมื่อ c เป็นระยะทางระหว่างจุดยอดและจุดโฟกัสของพาราโบลา x2 + 12y = 0 สมการของวงรีรูปนี้คือข้อใด 1. 5x2 + 9y2 = 45 2. 7x2 + 16y2 = 112 3. 9x2 + 25y2 = 225 4. 13x2 + 36y2 = 468

9. ให้ L เป็นเส้นตรงที่มีความชันเท่ากับ m และผ่านจุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลา 2

2 ( 1)( 2) 1

4

yx

แล้วค่า m

ที่ท าให้ L ไม่ตัดไฮเพอร์โบลารูปนี้คือข้อใด 1. m = 0.5 2. m = 1.0 3. m = 1.5 4. m = 2.5

มช 53

10. ถ้าพาราโบลา y = 5x2 – 4x + c สัมผัสแกน X แล้ว c จะมีค่าเท่าใด

1. 45

2. 0 3. 4

5 4. 2

5

มช 54

11. ก าหนดให้ P(x, y) เป็นจุดบนวงกลม x2 + y2 = 1 ที่อยู่ใกล้จุด A(3, 4) มากที่สุด จงหาระยะห่างระหว่างจุด P(x, y) และเส้นตรง 4x – 3y + 1 = 0

12. ถ้าจุด 1F และ

2F เป็นโฟกัสของไฮเพอร์โบลา 9x2 – 16y2 – 18x + 32y – 151 = 0 และวงกลม C มีเส้นตรง

1 2F F

เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง สมการของวงกลม C คืออะไร 1. x2 + y2 + 2x + 2y – 23 = 0 2. x2 + y2 – 2x – 2y – 23 = 0 3. x2 + y2 + 2x + 2y – 14 = 0 4. x2 + y2 – 2x – 2y – 14 = 0

มช 55

13. สมการในข้อใดมีระยะห่างระหว่างจุดยอดและจุดโฟกัสมากท่ีสุด

1. 2 4 24 0x y 2. 2 2

125 16

x y ; 0x

3. 2 2

125 16

x y ; 0x 4. 2 2 2 10 23 0x y x y


มช 56

14. จงหาระยะระหว่างจุด 11 , 03

กับเส้นตรงที่สัมผัสวงกลม 2 2

3 21( , ) 1

5 20x y x y

ณ จุด 10,4

15. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ a) วงรีคือเซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่สองจุดมีค่าคงตัวเสมอ b) สมการในรูปทั่วไปของวงกลมคือ Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 เมื่อ A B C D และ E เป็นจ านวนจริงใดๆ ที่ A ≠ B c) คอร์ดร่วมของวงกลม x2 + y2 = 9 และ x2 + y2 – 3x = 0 เป็นส่วนของเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y d) ระยะทางระหว่างจุดยอดของกราฟ xy – x – y = 0 คือ 13 1 ข้อความใดถูกต้อง 1. a) และ b) 2. a) และ c) 3. b) และ c) 4. c) และ d)

มช 58

16. วงรีมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีสมการเป็น x2 + y2 + 2y – 6x – 15 = 0 โดยมีแกนโทขนานกับ แกน Y มีจุดปลายของแกนเอก (จุดยอด) ทั้งสองอยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมดังกล่าว และจุดโฟกัสวงรีจุดหนึ่งอยู่ที่จุด (0, -1) วงรีนี้มีสมการตรงกับข้อใด 1. 16x2 + 25y2 – 96x + 50y – 231 = 0 2. 16x2 + 25y2 – 96x + 50y – 230 = 0 3. 25x2 + 16y2 – 150x + 32y – 59 = 0 4. 25x2 + 16y2 – 150x + 32y – 60 = 0

ข้อสอบ เรื่อง...

Documents

Transcript of ข้อสอบ เรื่อง...