เรื่อง อาหารหลัก ๕ หมู่

ความรพนฐานเกยวกบเรขาคณต

ชดท1

ความรพนฐานเกยวกบเรขาคณต

โดย วาท ร.ต. อนนตยอดภญญาณ

< ความรพนฐานเกยวกบเรขาคณต ต

บทนยาม (Definition) คอขอความทใชอธบายหรอกำาหนดสงใดสง หนงซงเปน ของใหม โดยใชความรทเรยนมาแลวมาอธบาย

อนยาม (Undefined Term) คอคำาบางคำาหรอสงบางอยางไมตอง อธบายความหมายเพยงแตบอกหนาทวาใชแทนอะไร เชน จด, เสน

< หนาท และความหมายของศ พทต างๆ 1. จด (Point) ใชแสดงตำาแหนง ไมคำานง

ถงขนาด

2. เสนตรง (Straight line) มความยาวไมจำากด

เสนตรง AB เขยนแทนดวยสญลกษณ

3. รงส (Ray) เปนสวนหนงของเสนตรงทมจดปลาย (End point) หนง

จด

รงส AB เรยกวา A เปนจดปลายของรงส AB เขยนแทนดวยสญลกษณ

( ตางกบ )

A B

ABAB BA

A B

AB

A B C

B A

หนาท และความหมายของศ พทต างๆ (ตอ)

4. สวนของเสนตรง (Line Segment) เปนสวนหนงของเสนตรงทม

ความยาวจำากด(มจดปลาย 2 จด)

สวนของเสนตรง AB เขยนแทนดวยสญลกษณ

ความยาวของสวน ของเสนตรง AB เขยนแทนดวยสญลกษณ m( ) หรอ

AB 5. มม (Angle) หมายถง รงสสองรงสทมจด

ปลายรวมกน รงสแตละเสน เรยกวา แขนของมม

จดปลายของ รงส เรยกวา จดยอดมม

มม ABC เขยนแทนดวยสญลกษณ ซง หมายถง ชอของมม และขนาดของมม

A B

AB

CBA

AB

A

B C

หนาท และความหมายของศ พทต างๆ (ตอ)

6. ชนดของมม (Classification of Angles)

- มมแหลม (Acute Angle) คอมมทกางมากกวา 0 องศา และนอยกวา 90 องศา

- มมฉาก (Right Angle) คอมมทกาง 90 องศา- มมปาน (Obtuse Angle) คอมมทกางมากกวา

90 องศา และนอยกวา 180 องศา- มมตรง (Straight Angle) คอมมทกาง 180

องศา- มมกลบ (Reflex Angle) คอมมทกางมากกวา

180 องศา และนอยกวา 360 องศา- มมประชด (Adjacent Angle) คอมมสองมมทม

จดยอดรวมกน และมแขนของ มมรวมกนหนงแขน- มมประกอบหนงมมฉาก(Complementary

Angle) คอมมประชดทรวมกน เทากบหนงมมฉาก

< การหาเหตผลในว ชาเรขาคณต

วชาเรขาคณตทเรยนในวชาคณตศาสตรพนฐานสวนใหญจะเรยนเรขาคณตภาคปฏบต(การสราง) ซงเปนความรเบองตนเทานน ยงไมไดศกษาวชาเรขาคณตอยางแทจรง เชน เราทราบวาเสนตรงสองเสนตดกน มมตรงขามจะมขนาดเทากน แตเรายงไมไดเหนจรงวามนกางเทากนจรงๆ ทกรปหรอไม การเรยนในรหสวชานนอกจากจะรบรวามมตรงขามกางเทากนแลว จะตองพสจนใหเหนจรงวาเปนเชนนเสมอไป ไมวาจะเปนเสนตรงคไหนทตดกนกตาม “การพสจน” เปนหวใจสำาคญในการศกษาวชา เรขาคณตภาคทฤษฎ

< การหาเหตผลในว ชาเรขาคณต (ตอ)

“การพสจน” (Proof) คอการอางองถงหลกฐานประกอบ

การคดหาเหตผลเพอสรปความจรง หรอการใชความจรงเปนฐาน (Premise) ในการใชความคดหาเหตผล (Reasoning) เพอนำาไปสขอสรป (Conclusion) ซงเปนสงทตองการใหพสจน

ฐานหรอเหตผล ทเราใชอางองในการพสจนจะเรมจากสงทเรารอยแลว - สงทเหนจรงแลว (Axioms)

- สจพจน (Postulates) ปจจบนจะไมแยกคำา จะใชรวมกนวา “สงทเหนจรง

แลว” จะหมายถง สมบตตางๆแหงความเทากน (Properties of Equality) และความ

จรงบางอยางทไมตองพสจน

< สมบต ต างๆ แหงความเท าก น

1. สมบตสะทอน (Reflexive Property) หรอ เอกลกษณ (Identity)

จำานวนทกจำานวน ยอมเทากบตวมนเอง เชน a = a , AB = AB , ∆ABC ≅

∆ABC

2. สมบตสมมาตร (Symmetric Property) ถา a = b แลว b = aถา AB = CD แลว CD = AB

3. สมบตการถายทอด (Transition Property)

ถา a = b และ b = c แลว a = c

< สมบต ต างๆ แหงความเท าก น (ตอ)

4. สมบตปฏบตการ (Operation Property)

ปฏบตการ (Operation) หมายถง การบวก การคณ การยกกำาลง และการถอดราก

สจพจน (Postulates) หมายถง ความจรงบางอยางทไมตองพสจนและเปนความจรงท

เกดขนโดยธรรมชาต


สจพจน (Postulates)- มเสนตรงเพยงเสนเดยวเทานนทลากผานจด

2 จดทกำาหนดให- เสนตรงสองเสนตดกนไดเพยง 1 จด- รปเรขาคณตสามารถเคลอนทไดโดยไม

ทำาใหขนาดหรอรปราง เปลยนแปลง- สวนของเสนตรงหนงเสนมจดกงกลางเพยง

จดเดยว- มมๆ หนงมสวนของเสนตรงทแบงครงเพยง

เสนเดยว- จากจดๆ หนงบนเสนตรง จะลากสวนของ

เสนตรงตงฉากกบ เสนตรงนนไดเพยงเสนเดยว


สจพจน (Postulates) (ตอ)- จากจดๆ หนงนอกเสนตรง จะลากสวนของ

เสนตรงตงฉากไปยง เสนตรงนนไดเพยงเสนเดยว- เสนหลายๆ เสนทลากผานจด 2 จด สวนของ

เสนตรงยอมเปนเสนท สนทสด- รศมของวงกลมทเทากน ยอมยาวเทากน- เมอกำาหนดจดศนยกลางและรศมมาให

สามารถสรางวงกลมไดเพยง วงเดยว- สวนของเสนตรงทยาวเทากนยอมทบกน

สนท- มมทมขนาดเทากนยอมทบกนไดสนท


ทฤษฎบท (Theorem) หมายถงขอความทเปนจรงในเรขาคณตซงนำา

มาพสจนใหเหนจรง เพอประโยชนในการใชอางองในการพสจน

เนอหาตอไป แบบการพสจน1. เขยนโจทยหรอทฤษฎบททตองการใหเราพสจน2. วาดรปตามทโจทยกำาหนดให พรอมทงกำาหนดตว

อกษรภาษาองกฤษตวพมพ ใหญกำากบ3. เขยนสงทโจทยกำาหนดให4. เขยนสงทโจทยตองการใหพสจน และสรางเพอ

การพสจน(ถาม)5. สรางตารางการพสจน ชองซายเขยนวา “ขอความ

พสจน” ชองขวาเขยนวา “เหตผล” แตละขอของการพสจนเขยนตวเลข

กำากบไว และสรปทายตารางวา ซ.ต.พ. (ซงเปนสงทตองพสจน)

< เอกสารฝกห ดช ดท 1

1. จงหาคำาตอบของสมการ x + 5 = 20 วธทำา

ซ.ต.พ.

เหตผล ขอความพสจน

1. x + 5 =20 2. x + 5 + (-5) =

20 + (-5) 3. ∴ x =15

1. โจทยกำาหนดให 2. สมบตการบวก 3. ผลจากขอ 2.


2. จงหาคำาตอบของสมการ 2x + 6 = 24 วธทำา

ซ.ต.พ.

เหตผล ขอความพสจน1. 2x + 6=24 2. 2x + 6 + (-6) = 24 + (-6) 3. 2x =

18


4. =

5. ∴ x =9

4. สมบตการคณ

5. ผลจากขอ 4.

2x 21 ⋅ 18

21 ⋅


3. ถา x + y = 10 และ x – 1 = 5 จงหา x และ y

วธทำา

ซ.ต.พ.

เหตผล ขอความพสจน1. x - 1= 5 2. x - 1 + 1 = 5 + 1 3. ∴ x = 6


4. x + y= 105. 6 + y = 10

4. โจทยกำาหนดให 5. แทนคา x ดวย 6

6. 6 + y + (-6) = 10 + (-6)

6. สมบตการบวก 7. ∴ y = 4 7. ผลจากขอ 6.


4. จากรป กำาหนด = และ = จงพสจนวา =

กำาหนดใหจะตองพสจนวาพสจน

DBA BDA DBC BDC CBA CDA

CBA CDAให = และ = ลาก

DBA BDA DBC BDC AC=

A

B

C

D


4. (ตอ)

ซ.ต.พ.

เหตผลขอความพสจน1. =2. =3. + = +

1. โจทยกำาหนดให 2. โจทยกำาหนดให 3. สมบตการบวก

4. ∴ = 4. ผลจากขอ 3.

DBA BDADBC BDC

DBA DBC BDA BDCCBA CDA

A

B

C

D




ให = และ ==

XOA YOD XOC YOB COA DOB

X

A D

O Y

C B

XOA YOD XOC YOBCOA DOB


5. (ตอ)

ซ.ต.พ.

เหตผลขอความพสจน1. =2. =3. + = +


4. ∴ = 4. ผลจากขอ 3.

XOA YODXOC YOB

XOA XOC YOD YOBCOA DOB

X

A D

O Y

C B


6. จากรป กำาหนด AB = AC และ AD = AE จงพสจนวา BD = CE


ให AB = AC และ AD = AE ลาก BD = CE

A

B C

DE

BC


6. (ตอ)

ซ.ต.พ.

เหตผลขอความพสจน1. AB =

AC 2. AD = AE 3. AB + AD = AC + AE


4. ∴ BD = CE


A

B C

DE


7. จากรป กำาหนด BD = CE และ AD = AE จงพสจนวา AB = AC


ให BD = CE และ AD = AE ลากAB = AC

A

B C

E D

BC


7. (ตอ)

ซ.ต.พ.

เหตผลขอความพสจน1. BD = CE 2. AD =

AE 3. BD + (-AD) = CE + (-AE)


4. ∴ AB = AC


A

B C

E D




ให = และ ==

CAB CBA DAB DBA DAC DBC

CAB CBA DAB DBADAC DBC

C

A B

D


8. (ตอ)

ซ.ต.พ.

เหตผลขอความพสจน1. =2. =3. + (- )

= + (- )


4. ∴ = 4. ผลจากขอ 3.

CAB CBADAB DBA

CAB DAB CBA DBADAC DBC

C

A B

D


9. จากรป กำาหนด และ เปนสวนของเสนตรงคหนงม มาตดสวน

ของเสนตรงทงคทจด P และ Q , = , = และ =

จงพสจนวา =

กำาหนดให

จะตองพสจนวา

ให และ เปนสวนของเสนตรงคหนงม มาตดสวนของเสนตรงทงคทจด P และ Q ทำาให = , = และ = =

AB CD EFEPB FPA FPA EQD EQD FQC

EPB FQC

A B

C D

E

P

Q

F

AB CD EFEPB FPA

FPA EQD EQD FQCEPB FQC


9. (ตอ)พสจน

ซ.ต.พ.

เหตผลขอความพสจน1. =2. =3. =

1. โจทยกำาหนดให 2. โจทยกำาหนดให 3. สมบตการถายทอดจากขอ 1. → 2. 4. = 4. โจทยกำาหนดให

5. ∴ = 5. สมบตการถายทอดจากขอ 3.→ 4.

EPB FPAFPA EQDEPB EQDEQD FQCEPB FQC

A B

C D

E

P

Q

F


10. จากรป กำาหนด และ = จงพสจนวา =


และ ==

CO AB DOC EOC DOA EOB

A B

CED

O

CO AB DOC EOCDOA EOB


10. (ตอ)

ซ.ต.พ.

เหตผลขอความพสจน1. ⊥ 2. = =3. =

1. โจทยกำาหนดให 2. ⊥ 3. โจทยกำาหนดให

4. - = - 4. สมบตการบวก 5. ∴ = 5. ผลจากขอ 4.

CO ABCOA COB 90

DOC EOCCOA DOC COB EOC

DOA EOB

CO AB

A B

CED

O

< ความรพนฐานเกยวกบเรขาคณต

จบ ชดท 1

เรื่อง อาหารหลัก ๕ หมู่

Documents

Transcript of เรื่อง อาหารหลัก ๕ หมู่